^7- «t*. ARITHMETI' CA INTEGRA. ' % 4 t • # . i ) .. v Authore Michaelc Stifclio* > t/is_ fy****^.fo l{L*>+ . |r» — 1_ U»; "■«£.'* Af r JMgba * - A » ■ Norimbcrgx * udlohan.Pctr ‘nn. AiinoCi .j m» Dt xiuiit Cum gratia & priuilegio Gcfareo atq? Regio ad Sexennium* f Arithmeticum fcriptum Micfiaelis SnTcffj ftudiofae iuuencuci comendandum effe duxi, quod cum ad ex* «meationem proderit,tum ueroad caulas praeceptio* num quaerendas plurimum lucis afferet. Bene uaic, Vuiccbcrga? Calendis ianuarij ; p 4. $, 1 j f 1 CLARISSIMO VI' RO D. I ACO B O MILICHIO Dodori Medicinae, Michael Stifel Paftor '• Ecclcfiac Holtzdorfianae S» D» ^Epe me confpcdus ruris noftri &nemo* rum , & tranquillitas colonoru qui mecu habitant,admonetdc uetcri fabula, in qua dicit Aftrca pulfa ex magnis duitatibus, & Principu rcgijs , difceflifle in pagos & ad hos cce* tus rufticos , &his de Deo , de honeftis officijs , de redc fadorum praemias, de fceleru pccnis, denicp de natura rerum etiam condonata. Haec ubi ueftigia ad buc in rure deprehendo,ualdemihi folitudinis tsediu minuitur, uidelicct cu uideo in hocnoftro rure Eccle- fiam e (Te, ac fonare laudes Dei & filrj eius dni noftri? Icfu Chrilb',cu intueor familias non ambitione,luxu,. aut odijs certantes , fed domi puerida affuefadentes ad agnitione Dei , & fdentiam ruris colendi, deinde’ cum in his nemoribus locum etiam philofophiae efle uideo. Sicubi paftorcs Ecclefiaru amant ftudiadodri nae Chriitianae,&: aliarum bonarum artium. Tale rus mihi fimile uidetur illis praediolis in quibus Sem,A* braham,Iiaac, Iacob, & fimiles uiri uixcrunt,quae ner folum Ecdefiae, fed etiam omnium dodrinarum do* micilia fuerunt. Deledor igitur hoc noftro rure, & Deum precor, ut Ecdefias & dodrinam etiam in his nemo*' nemoribus confcruct. cocp libentius ipfe ad fctftion? {acrorum libroru, haec philofophica ftudia adiungo, utcxemplu inuitet alios ad ftudia colenda. Quancp igitur Ecdefiae ruris, & haec noftra ftudia, & hominu candor ac humanitas in hac folitudine magnae mihi uoluptati fint , tamen urbanis comodis non prorfus carere pofIumus,praefertim ubiuidna eft Academia* hmatibi interdu aliquid iciicirari de artibus , nccefle eft etiam interdu explorari aliarum Ecclefiarum ftatu meae Ecdefiae comoncfacicndae caufa. Nam de tyran nis nihil ftifeitor. Jntcrduopus eft nobis Medicortt confilqs, qua in re & tuam & aliarum humanitatem faepe fum expertus, & ^pfttcor gratitudine me uobis- debcrc,quam ut preftem toto pccftorc Deum oro, ut ipfe benefida ueftra compcnfct: ficut promifit fc arru piam mercedcm daturum qfle omnibus, qui uel potu aquae frigidae miniftros Euangelrj adiuuant, Volui autem edi hunc librum aufpido tui nominis,non fo* lum ut hac commemoratione meam gratitudinem fignificarem,fed quia non folum in medendo 3 te ad» iuuor,frd etiam in hoc toto genere ftudiorum philo* (ophicoru faepe tuis eniditiffimis fermonibus fruor„ Dei beneficio tua opera fideli grauifTimo morbo 8>C cruciatu liberata eft chariflima coiunx mea, huius tui offici] teftis eft mea uidnia,quod omnium longe fuit mihi gratiffimum. Praeterea eo etiam nomine plu* rimum te amo , qudd ad ucftram illam Phyficcn fcu Iatricen,hanc noftram do&rina addis.ipfe fao quan* tum tum in hac numerandi arte ualeas. Praeterea tuse tum cubrationes tcftantur , quales ,pgreflus in fcientia de motibus aftroru feceris. Recte ergo faris qui uniuer fam philofophiam coplcctfftudes. Cumqp mihi fu* eris hortator, ut hos Iibellos,in quibus arris Arithme ricae mirifica feries & ,ppagario confpiritur , colligem rem & ederem, erit humanitatis niae etiam hanc mei inferiprionem boni confulere. PoiTum aute hocuere dicere,me dedifle operam, ut multiplicem numeroru doctrinam breuibus regulis & idoneis exemplis com plectcrer,ita ut ftudiofi etia fine magiftro hanc tracta rionem perripere pofient. Quanep autem plurimi de Arithmetica libelli exten t,& quotidie plures noui gignuntur,ego tamen adhuc nullum uidi qui integri artem traderet. Complexus itacp fum non tantum Algorithmos uulgares, proportionum uarietates, progreiTionum diferimina ac intcrualla, & reliquas rationalium numerorum pafliones, Verum etiam integram tractationem omnium regularum Collae, quas Algcbrae uocant , & reliquos omnes Algorith* mos irrationalium numeroru. Quid autem in uni# uerfa hac tractatione effecerim iudicabunt ftudiofi lectores , quibus opto meum laborem cfie gratum. Bene Vale, Vuitebergaeferijs Michaelis ; f 43 . ' Sequitur Index Ca* 1 ' pitum. INDEX CAPF TVM OPERIS HVIVS ARITH*, metlccs Mlchaelis Stifelij. , LIBRI L t 4 • f. De communi Algori thmo numerorum Integrorum & minutiarum. Folio i i i. De natur^i & fpeciebus numeroru abftractorum. 7 1 1 f« De progrelftonibus Arithmeticis. 1? 1111« De progrefffonibus Geometricis, dC quaedam ad Algebram pertinentia. 3 o T. De extractionibus radicum. 3 p vr. De Proportionibus,& earum Algorithmo. 47 Yil. De «pportlonafltate Harmonica, Contraharmonica, &C alijs quibufdam flmilibus. 5 j vnr* DeprogrelftoneAftronomica.&uIiieius. 6? IX. Dc Muficls progrelTlonibus. 70 X* De numeris uulgarlter denominatis * & de praxl Italica. F 8o Appertdix de regula falli, ^ De regula Alligationis. 1 Oo De regula quadam Hieronymi Cardani. j 0 1. LIBRI II. , 1 • r. De effentia numerorum Irrationalium. io$ I I. Quid Euclides feferit de numeris Irrat/onaJib^, » 04 III. De definitionibus decimi libri Euclidis. |0j 1 1 1 1. De fpeciebus numerorum Irrationalium. io? ▼* Qu/d Euclides collegerit ex praedictis fpeciebus, 8C ut collectorum iliorum ufus fit. 1 1 1 1 -• & DeAlgoo VU De Algorithmo medialium. 1 14 ▼ 1 I. De ufu illortf medialia.quoru Euclides nullam men* tione facit in iuo decimo:& de duplatioe cubi. 1 1 8 Vili. De proportionibus irrationalibus. 121 I X. De Algorithmo numerorum irrationalium copofi» torum,& tanquam compotitorum. 1 2 3 X. De Binomtjs & Refiduis , atcg de eorum radicibus quadratis extrahendis. 1 27 X I. De Algorithmo minutiarum irrationalium & de pro batione quadam huiufmodi Algorithmorum. 1 3 1 XII. De furdis radicibus binomiorum & refiduorum,& de Algorithmo earum. 134 XIII- De jppofftionib? Euclidis, quibus ipfe numeros irra tionales abftracftc cofidcratos tradafle uidet. 1 44 XI III. DepropoOtionibus quibus Euclides utitur tancg c* lementis quibufdam ad compofitionem iuarum trcdecim fpecicrum. 15-2 X V. De propofitionibus decimi Euclidfs,quas de duplici fpecie rationalium linearum propofuir. 1 5-7 XVI. De propofitionibus Euclidis, quas pofuit de media» libus lineis, quae iunt lineae primae fpccieilineartS Tutorum irrationalium. 1 60 XVII. De propofitionibus Euclidis quas pofuit de fecunda fpecie irrationalium linearum fuarum, id eft, de binomialibus lineis. 1 6 3 X VII r. De propofitionibus Euclidis,tradantibus bimediaa les primas, id eft, fpeciem irrationalium linearum tertiam. 1 69 XlX. De propofitionibus tradantibus bimediales fecun- das, conftituentcs ipeciem irrationalium lineari! quartam. 174 X X. De propofitionibus Euclidis tradantibus lineas ma fores, quae conftituunt fpeciem irrationalium line» arum fuarum quintam. 1 78 De pro» V XXI. De propofitionibus Euclidis traditibus lineas po# letes mediale Qt rationale : &! hae lineae coftituunt fpec/em irrationalium linearam fcxtam. i 8 1 XXII. De ,ppoOtionibus tractatibus lineas irrationales iep timae fpeciei.quae funt potctes duo medialia. 1 84 X X 1 1 1, De propofitionibus tractatibus refidua binomialia , quae eft fpeeies octaua irrationalium linearo. 1 88 XXim.De,ppofitionibus tractantibus refidua bimedialia prima» haecconftituuntfpecicm Irrationalium li* nearam nonam. 191 XXV. De propofitionibus decimae ipeciei » irrationalium linearum. »94 XXVI. De lineis minoribus. » 9T xxvi i.De lineis coponentibus mediale cum rationali. 1 98 xxvili .De lineis coponentibus mediale cfi mediali, a 0 o XX 1 x. De Epilogo decimi libri Euclidis. ao» xxx. De propofitionibus quibufdam in decimo Euclidis defideratis. aoy xxxi. De refolutione linearum irrationalium in lineas rationales. ao8 XXXI 1* De numeris irrationalibus contradis ad corpora. Continens omnia illa , quae liber decimustertius & decimusauartus Euclidis docent. aio Appendix de Quadra tura Circuli. a >4 LIBRI III. I. De regula Algebrae, & de partibus eius, earumbp de* daratione. zty I I. De partium regulae Gebri oftenfione, ex figura qua- drangulari. ajo III. De Algorithmo numerorum CofiScorum. a 3 j Ilii* De extractione radicum ex numeris Codicis/ a4o A x Denu- P* L v. - <* ,n VII. VIII. f IX. X. XI. XII. XIII. De numer/s coflicis irrationalibus, bi eorum Algo* rithmo : & de numer/s abfordis. x+6 De perfectione regula: Algebra: , bC de fecundis ra* dicibus. iyi De exemplis regula: Algebrar pertinentibus ad ca- put primum. De exemplis regula: Algebra: pert/nent/bus ad Ce* eundum caput prarceptorum. 264 De exempl/s pertinentibus ad caput tertium. 173 De exemplis regula: Algebra: pertinentibus ad quat tum caput. i77 De exemplis regula: Algebra: pertine tibus ad caput quintum libri huius terti), % 8 1 De exemplis regula: Algebra: pertinetibus ad caput ^ fextum praeceptorum. 192, Epilogi uice repetit mentione faciens perfectioni» regula: Algebra:, cu exemplis quibufdam Hiero* nyrai Cardani ad hanc rem pertinentibus- 30* Appcndix,ubi autorgrauia aliquotexempla Hiero. Cardani exponit. j 0£ <- • : FINIS. Ii- 'aio i -4 MICHAELIS' STIFELII ARITHME- TICAE, LIBER. PRIMYS* De communi Algorithmo numerorum Integro rum dC Minutiarum • Caput u 1GVK1S decem utimur, tanquam neccflarrjs ad numerorum reprarlentationem, u/delicec i . 2. 3 .4« r.tf-7,8.9.o,Et nouem quidem priores, flgm’ ficati uae uocantur, Quaelibet enim earum lignincat nu« merum fui ordinis,licut eas u/des efle politas: ut 7. Ifgnificat numerum leptenarium9(icenim uides eam figuram fe ptimo loco efle politam Sic. Decima autem figura nihil uoca« tur,eo quod lolitarie polita, uel ultimo loco figurarum alicuius numeri.nihil ligniffcet pror fus. Illa autem figura dicitur ultima, quae fuerit extrema i parte II mitra,fn ordine figurarum repratfentantium aliquem numera unum, Et illa erit prima , quae i parte dextra fuerit extrema , ut hic 3 24.Prima figura eft4. &ulcimaeft 3. At lifingul* figurse ungulos numeros repraefentent,uthic, 3. z.4.erit 3 prima,&4 reputabitur efle ultima» VDt repraefentatione & enunciatione nu* merorum , haec breuilsima latisfaciunt. Figura quaelibet polita in primo loco alicuius numeri , fu5 limplicem ugmflcationem retinebit. In fecundo uero loco poli# ta,lignificationem fuam decuplabit»Et in tertio loco centupla - bit.ut hic, 3 z4, Prima.id eft 4,lignificat quatuor.Secuda , id eft a.lignificat uiginti,id eft decies z.Tertia uero.id eft ajgnificat trecenta , id eft centies 3 • Et lic de alijs. Ex quibus iam uide a ** •/Y D.-uia^ Michaelis Stipelii V quid faciat figura nihili Cquam etiam cifram uocant) fct! icet fo- cum occupat>ut hic 304. facit ultimam figuram , Id cft 3 . lignis ficare trecenta ,quar line eifra ( ut hic 34) folum ligni ficarec trf= ginta &c. lam (I magnus tibi propofitus fuerit numerus,id eft, qoi mul tas habeat figuras, tu ordinem figurarum partire in membra, ita ut quodtibet membrum habeat tres figaras.nifi forte ultimo membro defit una aut altera^ut in hoc exemplo fadum uides. 23 ijospr^iSoo, Vides hic tredecim figuras, & ordinem ipfum uides die parti# tum in membra quinqj.Quod1ibetenirnpundum,lignificatprt «nam figuram, noui mcmbri.eflc illam cui fupraponitur . Vnde ultimum membrum, id eft, extremum i parte finiftra , uides folummodo unam habere figuram hanc 2. Membrum autem quod in fignatione pundorum fuerit ulti- mum, in cnuncia tione erit primum. Membrum autem quodlibct integre recipiatur.ut enuncien* tur figurae eius fimul,utiam audies. - Primum ifacg membrum enunciandum.eft 2 .facitbp duo mil lia,millics,millies,millies . Sequitur 3 29, facite^ necent a uiginti nouem millia ,millies» millics. . Sequitur 089. facittj; oduaginta nouem millia , millics. Sequitur y6z, facitcp quingenta fexaginta duo millia. Sequitur demum primu membrum, quod in enunciationeut limum eft.uidelicet 8oo,facitq$odingenta. Saus autem uides, ut uoeabuIum(milIies)repetitam, iuxta nu .merum pundorum fcquentiu illud membrum quod enunciatur. DE ADDITIONE. PEr additionem efficies unum numerum ex duobus aut plu- ribus ,ut hic, ex duobus fupra lineam pofitis.fadus cft unus infra lineam politus. 2 Arithmeticae Lib, 1. ») 290 8pr6i8oo .y 40 6 1431480 1 3 3 J 150995-280. ► In Additione,Subtra90895-628 . At 15-60090 in i49292o.Facit hunc numerum fequentem 23290895-62800. Non etiam opus eft ( fi obfemes quae dixi ) ut reliquas cifras in multiplicante cures.Nam cum cifra nihil producat nifi cifra, fiue multiplicet flue multiplicetur, nullum faciet, cifra aliqua multiplicantis numeri, ordinem. Inter mnltfplicandum autem (dum uidelicet flgora multipli* icatur in figuram) excrefcen tis numeri,qui duabus figuris feri bitur. ARITHMETICAE IIB* I. % bitur, primam figuram fcribe,& fecundam referua (ut in Addi- tione nmile habes). Exempli gratia: Multiplico primo (in dato exemplo) 9 in z.facit i8.Pono8.&feruo i . Deinde 9 in 9. faci unt8i.addo 1 prius referua tam,fiunt 8 z, Scribo igitur z«&rc* feruo 8.& fic in limitibus* TRegula multiplicationis figurae in figuram. Primo. Subtrahe utrancg figuram i 10.& multiplica relidla inter fe,& dabittibi haec multiplicatio, prima figuram fummae qua quaeris.Si aute ex multiplicatioe illa exercuerit numerus du abus figuris fcribendus.fcribe primam, & referua fecundam* ut eam addes ad figuram fecundam fummae quam quaeris* Secundo* Figuras tuas adde, & dabit tibi haec additio fecuo dam figuram fummae quam quaeris. Si autem ex additione illa exercuerit numerus duabus figuris fcribendus,fcribe primam.flC Vt feptiesodo Item fepties fex faciunt faciunt 4z* 9. a 7* i 7* 3 <5. 4 r 4 *• * DE DIVISIONE. D Tuitio eft inuentio numeri toties continentis unitatem, quoties numerus diuidendus continet diuidentem * feu di uiforem. Dicitur aute numerus inuentus Quo t iens, no tatufqj huiufmodi uirgula curua (. ut in exemplo uidebis* V Modum diuifionis tibi tribus literis dabo his Q.M.S* Expolitio harum trium literarum. Primo Q, hoc eft Quaere,uidelicet quoties diuifor inuenia# tur in tibi fuprapotito. Secundo M,hoc efl Multiplica*uidelicet figuram quotientis inuentam,in totum diuiforem* Tertio S,hoceft Subtrahe,uidelicetprodu feceris f §r,Tunc rede dixeris 3 grA' f gr.facere 3 f gr.Idem de Subtra# tione intellige: Si enim 4 & fubtrahas i 1 o gr. non remanebunt 6 gr.aut6$.Sed reducenda eft inaequalitas denominationum» ad aequalitatem, manente ualore & proportione priore in rebus denominatis. f.f^f******' Eft autem regula, ex 17& 1 8 propofitionibus feptimi Eucli# l ^dis fumpra.quafacile quaslibetduasminutias inaequalium de- * «^ta(^ufda™Al^rt^ra“'t,4,n ofttndms «*>• «Wff^2fi3?p5 sE@0»ab»s d • FReSuIa cx i. & 2, Septimi Euclidi* oris Arithmeticae Lib, t« eris diuifionis per re fiduum . Et fic deinceps femper diufforem proximae diuifionis diuide per refiduum,donec occurrat diuifor qui nullum relinquat refiduum.Et talis diuifor femper eft maxi s fnamenfura,quar reponat & numeratorem & denominatorem Minutiae tuae in terminos proprios feu rninimos,ut £££ facit jft f Vel fic operare* Diu/de utruncg terminum tuae Minutiae per numerum ali- 2 uem numerantem utrunqp.Ethoc fac toties, donec Minutia et in propriis fuis terminis,ut yf diuide g z. fit A- Deinde per 3. fit£. Eadem enim proportio manet inter terminos tuae Minu tiar,idem'cgualor,fiuediuidasutruncg terminum per unum ali# quem numerum, fiue multiplices. Et eft 18 fcptimi Euclidis, $tA FDe Algorithmo integrorum comiflorucuMinurijs, Integro numero fuppone unitatem interieda uirgula , tuc integro numero fecrfti Minutiam. Operare igitur iuxta regu-,*^**'^^3*^»- lasMinutiarum,&nulla opus erit propria regula aut proprio Algorilhrno. EtiTi FDeAIgorithmo Minutura ex alijsMinutqs* C. Minutias Minutiarum fic repraeientari debent, at i! fimplid- ~ busMinutijspoisintdiTcerniut 1 - Tres quartae, duarum tertiarum, f * uniusfcptimae.ficrepratfententur. y V Idem autem faciunt hx Minutiae Minutiaru fingutac» Patet hoc ex regula reducftionfs huiufmodi Minutiarum,qua uidelicet reducuntur ad fimplices Minutias, FRegula haec eft. Multiplica numeratores inter fe, Deinde multiplica et/a deno minatores inter fc,tunc efficit Minutia fimplex , utex illis quaa pofut, fit haec fimplex Minutia A feu 7* . b 3 Vides : • wr- M FCH A ELIS Stifelii Vides ut Minutiae Minutiarum non egeant proprio aliquo Algorithmo, quando tam facile ad fimpliccs Minutias reducun tur,earum'qj regulis fubijciumur* Sed probemus operationis huius regulam aliquo exemplo* $fc. facit 3 6 &. nam i fc facit i zj-i De 36 & faciunt f* *4 7 + fc Etde z4&fariunt «8 Videia 7 an ji faciat 1 3 $. . Operatio tamen probationis huius , fum* pta cft fecundum hanc lignationem , & non fc- 5 eundum priorem. Vides autem, ut in huiufmo* f fc di Minutqs tantum fic unus numerator prind< \ palis.reliqui ucro improprie uocantur numeratores De natura & fpeciebus numero R2 abftra&oru. Gap. 11« Vmeri abftradi proprie dicuntur, § nulla proriiis denominatione habet. Cu aute omnis Minutia de ! nominatore habeat,certu eft eas etia Minutias im lipprie uocari abftradas,quar nulli reali,aut artifici ali denominande funt lignatae , ut funt Minutiae q fiunt ex Di- uifione numeri abftradi,per numeru abftradu .Solemus tarae eas nihilominus,docendi gratia uoca re abftradas.Scilicet j- uo camus Minutiam abftradam. At uoca mus Minuriam con tradam. Sicut autem |f^.funt duae tertiae unius FIoreni,ficy. funt duae tertiae unius unitatis. Quod autem tales Minutiar,fint unitatis fradiones,potius quam numerorum, paret uel ex Mul* tiplicatione Minutiarum.Nam pono has Minutiasy Si^eAe fradioneshuiusnumeri »zo.& multiplico eas inter fe. Faciunt autem iuxta regulam Multiplicationis jf feu£. Eli autem i dc izo.lblummodolo.Aty de tao. faciunt 80. Et \ de izo faciut 90, Oporteret iam, iuxta Algorithmi regulam, quod 80 in 90* multiplicata facerent folummodo 60 .fed non laciunt 60, fed po tius 7 100, Certe uides clare , ut Algorithmi Minutiarum multi plicatio. ♦ Arithmeticae Lib. i. $ plica t/o, non refpondeat Minutrjs numerorum abffracfforum , Icd potius Minutijs unitatis. Sed quid dices ad Arithmeticorum iententias.qui dicunt uni ratem efle indiuifibilem C Nam Boetius recfle iuxta Euclidem coIh'gtt,exindiuifibiIitateunitaHs,tmparemnumeru non pofle diuidi in duo aequalia , dialia huiufmodi plura , imo uniueriam Theoricac partis Arithmeticae tractationem , huic fundamento fuperftruunt . Refpondeo permittendum efle Arithmeticis,ut du bona ratione & utili confllio aliquid fingunt,uti pofsint hmuf» «nodi rebus fictis , Liceat igitur eis fingere fractiones unitatis indiuifibilMel hac faltem urii itate.ut earum fractionum Algo rithmusjdocendi gratia,exter,qui uidelicet exemplar fit regula- rum pro omnibus Minutrjs ueris , qualitercunc^ flgnentur aut denominetur, nifl forte Minuta Pbyfica uelis efle excepta. Cer te inflgnis efl i fla utilitas , id quod nouerunt , qui calculationes Algebrae non ignorant. Duo uero funt,ad quae omnia fere referuntur^uae in hoc eae pite dicenda funt,uidelicet Com politio & Numeratio . D/fcer- nitur autem hic compofltio i collectione numeror u, qualis fit j> additione,quancpalicubiinpropofitionibus Euclidis legamus compofitione fumi pro tali colIectioe,quaIis fit in additione nu meroru. Compofltio autem numeroru, proprie dicitur confli tutio eoru per multiplicatione numeri in numeru . ut 6 compo nitur ex 2 & 3 . Dicuntur cr 2 & 3 ,hac ratione,partes copofltio/s fenartj. Compofltio ergo & MuItiplicatio,una & eadem opera- tione ffunt.Sic Numeratio & Diuifio,una &C eadem operatione flunt.Et tamen Numeratio differti Diuiflone, id quod uelhac exper ientia probatur.quod unitas omnem numeru numerat, nui Ium autem numeru diuidit .Numerus aut numerum numerare dicitur,quandoeumdiuidittta,utneq) Minutia Aatuat,neq; re (iduu relinquat. V nde omnis numerus numerans numeru,cfl gs eius aliquota. Et omnis numerus, efl pars num eri fe maioris,ucJ aJiquota,uel aliquara. Aliquota quide,fi euro numerer3ut iain di xL Aliquanta uero, fi eu non nuroeret, Vt Michaelis Stifblh Vt autem ea quae in hoc capite diceda funt, facilius atep prom piius dijudicare ac probare pofsMiligcnter obferua quae iam di cam denumeratione & compofitionc numerorum. Vnitas omnem numerum numerat , nullum autem nume* nim componit. , ^ Binariusquero1ibetnumerumcompomtamimerat,cuiusn mira nrima ab ipfb binario numeratur* gura prima ab ipio binario numeratur* Ternarius quemlibet numerum componit & numerat , cuius Ongulae figurae, pro primis acceptae, & ad fe additae, ab ipfo ter* nario numerantur* \ft-y 9 ,f ' tr x *' '7'7' Quaternarius quemlibet numerum componit & numef at,cu ius ipfe panem numerat illam,quae fub duabus figuris eius pri- miscontinetur.vf ^ YL-- 15* 4*# Quinarius quemlibet numerum coponit & numerat, cuius prima figura fuerit 5- uelo. Senarius,quemlibet numerum parem componit & numerat; quem numerat ternarius* Septenarius,qucmlibet numerum componit & numerat, qui colligitur ex tribus,fex,nouem,aut duodecim terminis,propor* tionalitatis duplae, quadruplae ,aut fcdecuplae* Odonarius,quemlibet numerum componit & numerat, cu* ius ipfe numerat partem illam,quae fub tribus primis figuris cius continetur* Nouenarius,quemIibet numerum componir & numerat, cu- ius (ingulae figurae pro primis acceptae, Si fimul additae , ab ipfo nouenario numerantur*. Denarius.quemlibet numerum componit QC numerat, cuius prima figura fuerit o. Ex his iam facile fdes,quos numeros numeret xo.aut 3 o.aut 4o,autfo &c. Item (cies fadle,quos numeros numeret »<£ , aut 3 2* aut 64. aut 1*8 &c* ' Item fdes quos numeros numeret 12, aut 24. aut 48 ac. ISa ssnii* 1 s ■ f. 2. *• 4« 7- 4r -x .--A. Jp* Arithmeticae Lib, i, p f i. numera t omnem numerum » quem fenarius numerat nume ro pari dic. FDe fpec/ebus numerorum abftradorum, Numeri abftracfti prima iui diuifionc diuidun tur in Pares & Impares. Numeri pares iunt,qui binario numero numerantur» Numeri impares, funt qui binario non numerantur* . » r Proprietates numerorum parium. Par additus paridpeciem non mutar* Par additus impar/, fpccicm mutat. * Par fubtratffus i pari/peciem non mutat* Par iubtradus ab impari, fpcciem mutar. Par numerus dum componit, nunquam murat ipeciem. Par numerus dum numerar,iuz fpccici numeru numerat* Pares numeri fequGrur fefe hac Arithmetica Progrcfsidc* x. 4. 64 8. 10. 11. 14. 16. &c* Haec omnia fuos habent uius,ut fuis locis dicam • * FDc fpeciebusnumerorumparium. Subdiuiduntur autem pares numeri dupliciter* Nam primo Binarius differt fpecie i quolibet alio numero pari * Cum enim BinariusGtprimus&incopo(?tus,reliquiparesoesruntc5po« » r fiti.ConftituititacpBinariusibluspropriam fpccicm. Hinc ^>4 tir nulli fpecierum parium refpondear conffanter . Dum cnim^^ additur aut fub trahitur, fer uat proprietatem parium impariter, cw " Dum uero multiplicat feu componit, & numera t, fercta t proprie tatepariupariter.Quodutuideas,proprieutcs eius receiebo^M^r r“~~ Binarius additus numero p ari compofito, primae fpeciei , aut^f fubtraeffus i tali.conftituit numerum fecundae uel tertiae fpeciei^*** *****"** iuxta proprietatem parium impariter. Item e diuerib.^*~*!^*2* ^ Binarius additus numero pari compotito, iccundae uel tertiae * jj*** fpeciei.aut fubtratff us i tali,conft ituit numerum primae fpecieiC^jf*' JmA iuxta proprietarem panum impariter.* . . ii' S •Him Binarius multiplicans parem compotitum fpeciei fecundae, . ^ ^ c compo cf '1 Michaelis Stifblii componit numerum eiufdem fpeciei,iuxta proprietatem parium pariter. Sic. Binarius du numerat parem copofitQ iecudar fpeciei,tuc facit . * numerum ciufdem fpeciei juxta proprietatem parium pariter, ✓ Itacg Binarius huiufmodi ratioibus , necppar pariter dici po ' teft , neqj par impariter . Multo minus dici poteft pariter im* pariter*# par , Stet igitur binarium propriam confhtuere fpe* ciem. rDc fpeciebus numerorum pariu copofitoru. Pariam compotitorum fpecies iiint tres .quarum mentio fa- da eft proximo Ioco,prseter ordinem.mdelicet re ipfa,quar tra# z- dabatur (ic exigente. Primo. Quidam pares compofiti.funt pares impariter, qui Vurcfi tl-r iparinon numerantur, nifi impariter, hoc eft. Dum diuiduntur ^ \ .r* perp?remnumerum,femper faciunt imparem quotientem. 4- • Secundo. Quidam numeri pares compo(iti.funt parespari n,tti t x- ttr>qui * nullo impari numero numerantur. >« 6 4- . -g- 1 C- ; Tertio. Quidam numeri pares compoiiti.iunt pariter impa Xe J,^*?*»***^^^ pares,qui modo i pari numerantur pariter,modo impa» vi* tA JFVt’ ** riKt^umenjntur,abaIionumeropari,xtviX.' w R Proprietates parium impariter. . Par impariter,additus ad numerugi fuae fpeciei, conilis Cuit numerum parem alterius fpeciei . 2. Par impariter, additus pari a 1 tcrtu*Tpec^coili tuitnu ^ merum fu* fpeciei. 3 . Par iraparirer,fubtradus 1 numero luse fpeciei, relin numerum parem alterius fpeciei. 4. Par imparitcr,fubtradus i numero pari alterius fpcci» ci, relinquit numerum fu* fpeciei, f . Par impariter coponit ex impari namerum fuse fpeciei. 6» Par impariter, componit ex pari numerCI tertiae fpeciei, 7. Par impariter dum numerat, numerat numerum tertiae fpeciei, •• ^ # » f. Par Arithmetica» Lib, r. JO 0. Par impariter dum numeratur , aut i numero 'Cux fpe- , dei numeratur, aut ab impari. $>. Pares impariter lequuntur fcfe hac Arithmetica Pro- grefsione,qua nullus Intermittitur. 6. io. 14. 18. %%. x6. 30. 34. 38.&C. 7* - — ■ ««i uuujLiuiii iucc ipcuci j Iiun-ZOTP» ^ m«teAw4| mutat fpeciem. «**»* •'•^•4. 4. Par pariter dum numerat numerum fu«e fpcciei, aut dt binarium ,aut numerum fuac fpedel. f . Par pariter dom numerat numerum alterius fpecie/.ninc nilrru>raf numrriim t.rriv Crurrioi 2 . Farlter imparitercp par.dum numerat,fuac fpedel nume ~ •* rum folummodo numerat. — ?• Pariter impariterfcp partu, numeri tres primi egrediatur fecundQ Progrefsfone Cotraharmon(ca,ut 1 2. 20. 24. Reliqui irregulariter progrediunt.Impofsibile aut eft Progrefsionc & traharmonicam polle extedl ultra terminos rationales tres.ut fuo loco dicam. Sub hac fpede funt oes nu mcrl integri dlametrales , de qbcls ' TDe numeris perfertis. (fuo loco dicam. Omnes numeri perfert/, funt pariter fcnpariteitp pares.exce pto primo perfertorum,id eft fenario, qui eft primus paria im- c a pariter Mickaelis Stifelii pulter, & primus perfectorum.componirurcp ex duobus nume ris primis,id eft , ex z & 3 . Reliquorum autem perfectorum cos politionem mox indicabo • Dicuntur aute numeri pcrfectf,qui coaceruatione omniu par tium Tuarum aliquotarum fcipfos rcftituunt prarcife, ut partes (enarti aliquotae omnes funt bae, i. z . 3. Et har fimulcoacerua- tar reftituunt fenarium. Hac ratione imperfecti funt , qui ex collectione fuarum partium aliquotarum omnium , uel plus fa ciunt ( ut t zo. facit collectione fuarum partium Z84) uel minus faciunt, ut z84.facit collectione fuarum partium zzo. FInuentio numerorum perfectorum pariter im- pariter^ parium , hac pictura offenditur. | 4? 8 | 16. 3Z | 64. 1 18 | z ?6, yiz j&c. | Vides autem hunc ordinem efle Progrefsionem pariter part- um , QC quemlibet terminum habere iocium. Poterisautem co* ponere ex huiufmodi Progreisioe ftngulos numeros perfectos, fuo ordine, ut nullus obmictatur. Hoc modo* A maiore inter duos combinatos , fubtrahe unitatem, & rei?# duum multiplica per minorem , tunc femper habebis numerfl perfectum, Exempla* 4in7*fac/tz8« 16 in 3 1. facit 49^. 4+ in 1 z7. facit 8 1 z8» z y6 iti f 1 1. facit 1308 1 6» Et (7c de altjs in infinitum. FHarc eft ergo Progreisio numeroru perfectorfi* 6 , z8, 4 96. 8 1 z8. 1 308 i6,&c. Mira admodum funt perfectorum numeroru rationes . QuJ uisenim paruum uium habeant numeri perfecti, in rebus Arith meticis,iucundum tamen eft cernere, ut fub tam mira raritate eorum inter numeros a1ios,proferri tamen poftint feu inueni* fi tam prompte,6i modo um facili,ordine'qi tam pulchro , Tra didit Arithmhticab Lib, t. I f Adit autem Euclides modum inueniendi propofitione ultima (i bri noni. Et poft eum Boetius, Vides autem compofitioncjn numerorum perfectorum efle ex maxime diuifibilibus numeris,ut funt pates pariter; di ex mi nime diuifibifibus,ut funt impares incompofiti. Sun cautem perfectioni numerorum perfectorum adeo pro- pinqui.paritcr pares.ut quilibet eorum fola unitate deficiat i per fectione praedicta. Vr fi omnes partes aliquotae numeri pariter paris cuiufcunqt,in unam fummam colligas .addasqj illi aggre gato,fo!ummodo unitatem. tunc reftiruitur integer numerus il larum partium. Et cum partes illae inter fe fempcrconftituant Progreisionem Geomctricam.uaria etiam additione fui conti tuuc femper Progrefsionem Arithmeticam numerorum natura lem.ab unirareufcp adfuum integrum progredientes,cuius fpe culationis ufiim habemus in ponderibus inditorum. Et perfectorum numerorum nullus potet numerare afifi nu- merum perfectum, quemadmodum imparium incompofitori nullus potet numerare alium numerum imparem incompofitff. Haec de paribus numeris dicta iamfuffidant.Sequitur dc imparibus. r Proprietates numerorum imparium» I • Impar additus impar/, mutat fpeciem. 1 . Impar additus pari,non mutat ipeciem, 3* Impar fubtractus ab impari,mucat ipeciem* 4» Impar iubtradus i pari, non mutat fpeciem. Impar cum componit numerum cum numero fuae ipe- cid.non mutat ipeciem. 6* Impar cum componit numerum cum numero alterius iped€i,mutat fpeciem. 7 • Impar numerus dum numerat numerum fuae fpedii/, no mutat ipeciem. 8 • Impar dum numerat numerum alterius ipecid, fpeciem mutat. a c j 9 Jm Michael;* Stifelii 9* Impares numeri, fequuntur fefe bac Progrefs/one Aritfl merica admodum admiranda,dc qua (uo loco dicam* *• 3* S» 7. 9* fi. 13* ij\ &c. TDe ipeciebus numerorum imparium. De fpec/ebus numerorum imparium pauca reflant dicenda» Diuiduntur autem impares numeri, in incompofitos &compo ficos. Ex rjs autem quar fuperius dida funt.fatis conftat,qui nu» meri flmplices/eu incompofiti fint,& qui fiat compofiti. TDe imparibus incompofitis. Simplices feu incompofiti fiint , qui i nuito numero numera** ri poflunt . Hi fune, qui nullam partem aliquotam habent, exce pta unitate. De unitate autem fupetiusdixi,quod nihil poflini componere» Habet autem incompofiti numeri ufas uafde egregios. Nam per eos inueniuntur figna artis Algebrar, quar res ineffabilem ufum habet. Et (ut de Algebraft fignis eius inueniendis iam tranieam , donec locus eorum proprius mihi occurrat) fecunda eam intientionem , componuntur figna radicum, infinitarum Ipccierum. Item per numeros imcoropofitos.inueniuntur partes nume« rorum aliquotar utili & iucunda operatione». r Sic operor» Numero aliquo propoflto. ut 4<5i. refoluo eum in parte* fit , as incompofitas aliquotas omnes , quae ipfum conftituunt , id cft, ex quarum multiplicatione inter fe , ipfe reflituitur . Sicai* tem cum refoluo. Primo diuido eum per z.tanquam per aliquo- tam partem incompofitam omnium minimam. Facit Diuifio »3 i.ReferuoigitUf z.&C zj i diuido per j. tanquam per mini- mum numerum quo poteft numerari. Facie Diuifio 77.Referuo Igitur 3 .& 77 diuidoper minimu,id eft per 7.&cit Diuifio i u itacpiamhabeo 1.3.7. i i.uidelicct omnes partes incompofitas aliquotas,conft:ituentes +6 ».numerum uidelicccintegrum. Par cibus inuentis fic utor. Multi-* Arithmbticab Lib. i. i* Multiplico 7 in 1 1. facit 77.Fado'c$ ordinem primum ex hi* tribus numeris.uidelicet 7. 1 1.77. Deinde recipio fequentem incompofitam partem, uidelieet multiplico eam in primum ordinem ,facio'qp ex 3* & pro# audis eius hunc ordinem fecundum 3.21.3). 131* Deinderecipio reliquam partem incompofitam, uidelieet a. multiplico eam in omnes ordines fliperiores. Faciocg ex t.dl produdiseiushuncordinem 2. 14,12, 15-4.6.42.66. Vltima autem multiplicatio , femper producit ipfum nume* rum integrum,pro quo tu pone unitatem. Habet itacp numerus ille 46 2. partes has. 1.2. 3.6.7. 1 1* 14» a 1.22. ) 3. 42.66.77. 15*4.23 i.Et certum eft nullam partem ali-» quotam efle intermittam. * Sic numerus ille 23 fo.inueniturhaberepartes aliquotas tri gintaunam. Item numerus ille 30030, habet partes aliquotas fexaginta (res. Sed uideamus aliud exemplum. Volo inuenire,partes aliquo# (as , omnes numeri huius 4 96. Partes incompofitae componentes totum funt hae. •Sta 2.« 2-a I* ) fo Primus ordo facit 2. 3 1.62, Secundus ordo facir, 4, 1 24. Tertiusfacit,8. 248. ' Quartus ordo, facit 16, Parces igitur fingular funt hae. • I ^ 'P O&ii 4. 2, 4. 8. 16. 31. 6 2. 124. 25*8. Ex his exemplis iudicabis de omnibus alqs faciliter. Sunt autem Cut ad impares redeam) omnes numeri incotn» pofiti,impares,excepto uno pari incompofito,id eft binario, qui in ufu imparium incompofirorum femper fcillis adiungit. Haec autem eft incompofirorum numerorum Progrefsio, 3* S* 7* H* <3* >9* »3« *9* 3 i.&c. Dc Michaelis Stifblii r De impa rfbus com poflcis. Numeri impares compoOti/unt qui ab uno numero,aut i phi ribus numcrantur.Notum cft autem,ut numeri numerantes na merum,fint partescompofft/onis eius. Vnde omnis multiplica tio imparis in imparem, producit imparem numerum compofl tum. Et fi impar incompofitus multiplicetur in fe lemefnon po- terit produdus numerus numerari,nifi ab uno illo folo.Si bis in fe multiplicetur impar incompofitus.producitur impar compo* fitus,foIidus,qui £ duobus folummodo numeris numeretur.Et (i ter in fe multiplicatus fuerit numerus impar incompofitus, nu tnerabitur impar ille compofitus productus, i numeris folum* modo tribus,ut 8 1. numeratur prarter unitatem i tribus his 3. 9» »7 .Sic. Si autem multiplicentur inter Ce duo impares incompo (iti,produciturimpar compofitus pure fuperficialis,utqui folu« modo i duabus illis partibos fuis pofsit numerari.Si autem co- pofitus ille rurfum multiplicetur per alteram,ex partibus illis(ut fi 1'/ multiplicetur per 3 .aut per j) tunc impar compofitus , qui pfoducitur,numerabitur neceflario £ numerisquatuor,prarter u ' nitatem . Si aute multiplicetur per alium aliquem imparem in* compofitum (ut fi, 15- multiplicetur per 7. aut per 1 Otuncim* par compofitus, qui fuerit frodudus , numerabrtur neceflario i numeris fex. Si impar compofitus, pure fuperficialis , non quadratus,fue- rit.multiplicatus in imparem compofitum, pure fuperficialem, non quadratum.Fuer int'c$ numeri ilii duo contra fe incompofi- ti, tunc compofitus , qui producitur , numerabitur neceflario i quatuordedm numeriSjprzterunitacen^ut 1 j in 77.facit 1 » ST numerabilem i quatuordecim numeris* Et fi ille multiplicaretur in alium numerabilem I quatuorde* cim numeris , tunc qui naiceretur, numerabilis e fle/i ducentis quinquaginta quajtuor numeris,dummodo duo illi multiplicari tes eflent contra feTompofiti. Si impar compofitus pure fuperflcialis,no qua drantus, fuerit multi# f Arithmeticas Lib. i. i; multiplicatus in imparem compofi tum,pure fuperficfaIem,non quadratum, fuerint'qj numeri illi duo contra fe compofiti , tunc produdtur impar numerabilis folummodo i decem numeris» praeter unitate ,ut j y.in 77,facic i^5>r*Item ij-inti» facit 3 1 y» Si uero multiplicentur inter feduo numerivimpares compofi ti.pure fuperficiales quadrat/, producitur impar numerabilis i feptem numerispracter unitatem,ut 9. in 1 y. facit M-f.t Omnes numeri pure fuperficiales quadrati,funt contra ie in» compofiti. Omnes numeri pure fuperficiales quadrati, fant impares,ex- cepto quaternario. Numeri contra ieincompofiti dicuntur, qui nullam habent partem aliquotam communem, ut efi; omnis impar numerus ad omnem pariter parem.Nam impar.non nifi abimpari numera» tur,& pariter par,non nifi i pari numeratur, Numeri ergo contra fe compofiti funr,qui partem habent ali quotam unam communem, aut plures, ut funt omnes numeri pares adinuice, Intelliguntur autem ifta de partibus aliquotis coponentibus.ur fcias unitatem e fle exclufam. Praeter compofitionem funt ah j quidam modi producendi nu meros impares compofitos,ut fi i numero pariter impariter'<$ pari perfe 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r 1 • 1 1 1 1 j ■ * 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 • I 1 Arithmeticae Lib, i* 14 Eos etiam numeros, qui altera parte longiores iunt,hoc loco negligo,tanqua parum utiles}nifi regula quadam longitudine latitudini conferant.ut diametrales numeri,qui certas proportio nes ftatuunt inter luam latitudinem Si longitudinem . De dia- metralibus ergo numeris atcp quadratis>hocloco dicam, eo q> regulares fuperficies habere uideantar. rDe quadratis numeris, QVadra tus numerus, eft qui partem habet al/quotam, i le ipfa denomina tam,ut 7 eft fcptima parsde^.utuides ex figura quadrata paulo fuperius polita. Aequat enim illa, ex hae ratione, longitudinem latitudini. Quadratorum numerorum uliis infinitus eft,uf ex rjs intelli • ges,quae de irrationalibus numeris Si de Algebra dicam, Suffi- ciant ergo harc pauca , hoc loco pro multis, > Primo, Notu eft unuqueqj numer u ex fc coponere quadratu, at 7 (epties faciant 4?.ut indicat figura quadrati polita. Secundo, Omnisnumerusquadratus,multiplicatus in qua- dratum.quadratum numerum componit, T ertio. Numeri quadratis fimiles,dum inter (e multiplican# tur,quadratum numerumcomponunt. Dicutur aute numeri duo, quadratis fimiles, inter $s mediat numerus, diuides proportione eorS in duas ^pportioes aequales, cil tame ipfi no fint quadratiJHoc aut quadratis peculiare eft, ut inter quofcucp duos, mediet numerus ,pportionaIiter,Et impof fibile eft, ut inter numerO quadra tfi,Si numera non quadratu, nu merus cadat,qui pratditfto modo mediet,id eft ,,pportione extrc mora aequaliter diuidat.Sic aut in Cie ni tur medias numerus, feu mediu «pportionale.Numeros ipfos (fiuefint quadrati fiue qua dratis fimiles) interit multiplica ,8i radix ,pdu Sed 4?.ifi uenio efle latera diametralia .Na quadrata eorum, uidelicet 8 1. & 1 6oo.fadunt (fi addantur) 1 68 1 numerum quadratum,cuius radix quadrata facit 4 1 .diametrum uidelicet huius numeri 3 60* Ergo 3 6o.eft numerus diametralis . Vel fic exploro . Maiorem partem inter combinatas diuido per minorem,& uideo an Quo dens contineatur in allero ordinum quos iuperius pofui > ut 40* per 9 .facit 4 f . Quotientem.uidclicet quartum primiordinis. Notum eft»ut ad partem minorem inoematur fua pars ma* cedendo in una Progrefsione iiniftrorftim, QC io altera dex* Crorfum. Ambitura habentem cellulas denumero impariter pariter 'cg par/ , non numerant ffnguli numeri pares , qu/ continentur fub dimidio numero cellularum ambitus • Et hic uide mirabilem na (uram numerorum» Quando Progreisio /Ua parium numerorum habuerit termi- rios de numero impari incompofito ( de pari incompofito hic pulchre nihil dicitur) tunc medius terminus non numerat am« bi tum circulariter,reliqui ucro ftnguli numerant. Exemplum. Vt ii lacus figurae quadratae habeat 8 cellulas, ha beb/c ambitus z 8. cuius dimidium eft 14» Sic autem itat Progref fio parium ufep ad 14. z. 4. 6. 8» 10, iz . 1 4. Sunt autem termini 7 * Et eft 7. numerus impar incompofi- tus. Igitur medius eorumuidelicets.non numerat 28. circulas' riter.Reliqui uero numerant . Qjjandoucro Progrefs/o illa parium numerorum habuerit terminos de numero compofito , tunc qutrre omnes partes* compofitionis eius aliquotas impares incompoftras , & diui- de fecundum fingulas earum, ordinem terminorum, & inueniet cuiuslibet partis , medium parem , non pofle numerare ambitu, Vt hunc ordinem , *• 8. 10. iz. 14« 16. 18 . Sicdiuide. 1 z, 4. 6, | 8. 10. iz. | 14, 16 . i8. j « Hic uides, ut necp 4,neqj 1 o.neqj 1 f .pofsit numerare 3 6, circi^ lariter. i Arithmeticae Lib* 4 i. v£ latftcr .Reliquos autem uides poflc, Sic 4 non numerat 1 z.fimi* li ratione. ^ ritem hunc ordinem a* 4* 4. 8* 10. iz* 14. 1 & multiplica re» fiduum per 4. t a- De Arithmeticas Ltb. ip Cum 8 numerat 1 8, obmittuntur tres celiular.poft quamlibet numerationem. Et cura 6 numerat is. intercalatur 7 .Et dom 2 numerat, 1 y eft intercalari s.Nam fleut 4 obmittitur,ut no nu- jmerer.ita 1 1 obmittitar^ut non intercaletur. Satis eft per haec Indicata di explicata circularis numeratio* De Progrefsionibus Arithmeticis. Cap, m, V 1 T prarcedentiscapitistratftatio de numerisiQ fe,& in fuis partibus confideratis. Sequentia uero jj capita , erunt de admirandis numerorum uicibus, id eft.de Progrefsioibus feu ordinibus numerorfl. Inter ipecies autem innumerabiles progrefsio- num,duae funt prae alrjs utiles,atcp in frequentiori ufu ueriantut • nide licet fpecies Arithmeticarum Progrefsionum , & Geo me» Cricarum.De Arithmeticis prius dicam. Arithmetica Progrefsio , eft fucceisio numerorum progredi entium fecundum aequales differentias, ut hic uides, 4* 4» 4» 4* 4» 4. 3* 7. in ly» 19, »3. »7. &c* Hoc autem uide, ut in qualibet Progrefsione Arithmetica, differentia communis.addita termino excremo .cStinuer /piam Progrefsionem.Et hate eft regula progrediendi Arithmetice, ut his duobus terminis pofitis 3 . 7, addo differentiam eorum roa* Iori>(id eft 4 ad 7)tunc fit terminusdeb/te/equens>uidelicet 1 u Iterum addo 4 ad 1 1 .fiunt 1 y. Et fic deinceps , in hac &! in alijs, qu/bufcunqj Progrefsionibus Arithmeticis.cotinuabis eas. Videmur forte haec inutilia effe , ut funt facilia . Sed ex Geo- metricis Progreisionibus oftendam iuo Ioco,quim fint haec uti" lia atcp/ucunda. F Regula qua uniufcuiafq^ Progrefsionis Arithmeticae termini in unam iummarn redigantur. Addeterminos.Ptogreisionis Arithmeticar,extremos,ad Ar» « 3 8 MichAilij Sti»»h»:A §1 aggregati partem dimidiam multiplica per numerum loco# tum > tunc proueniec (limma omnium terminorum Progrefsio ais difpoficae, ut j. 6 . 9. i*« »«♦ *»• M* 3 ad inficit 27. Huius dimidium factt quod multiplica per 8 (eo quod fint termini oAo»(oi Ioca8. ) facit io8,iummai» Progrefsionis illius. Sufficit haec regula eriam pro inuentione arearum Polygo# tialium fuperficierum, talium ^.quales Boetius ponit, uidelicet trigonalium » pentagonalium , hexagonalium fuperficierum* rSic operare» Primo refolue tuam Polygonakm aream infuam Progrcfsf- anem Arithmeticam (quaelibet eriam earum conftat ex rermi# Iris , Progrefsionis alicuius Arithmeticae » firaul collc&is ) hoc modo» Denumero angulorum (feu laterum) iubtrahe unftatem, tunc unitas erit terminus primus illius Progrcisionis,fii refidu» tim illius iiibtra Aionfs ( id cft numerus unitate minor, quin» fttnumetus angulorum tuae Polygoniae ) erit terminus fecun- dus. Poteris iam continuare tuam Progrefsionem per quot ter# minos liberit . Sed uide quotpunAa habeat unum latus tuae P» lygotnae.Nam tot terminos conftituendifuntin illa tuaPro- grefsione, quot punAa habuerit tua Polygonia in uno latere* Conftituta uero,fecundum haec, tua Progrefsione , utereregu- iaiuperiusiamdata, qua ex omnibus rermfnis, unamiummi lacias ♦ Et ea (limma erit area tuae Polygoniae* rExemplum* Sit hexagonus Arithmeticus , cuius ratus imum habeat eunAa k>. uthicuides . Subtraho 1 i* I. ti- nis faciendae , duo hi, i . r • Sic ergo ftabit Progrcfcio fienda* ♦ ' * »• f. 9. *3* *7. *l« *r* *?• 33* 37. Hos decem terminos i3 collige in unam fummam , per regulam fuperius data, tuncinuenies 190. Et tanta cft area huius hexagoni que eofui. Etficin alijs operae ocris fimiliter* * • . 1 *, • . . : ! ■'.* ' j) > * y 8 e, oeo°o°o 00 000 000000 0000 000 0900000® o 0 0 o o o o_ o o_ Q _ ww_oooo__ 00000 o O O a OOOOO OOO vo o o o 00 o WoW VoV • V ; * Tl/J , « •O I -r-1 k- , rinterc/f* ProgteGiones, ut hac funt. J - * ’ ' • 1« a» 1, a» 1» t ». T* 7« «. 10. Ii; I4'&* Item* * * .1 * i ; 1 ''".irft**4 ‘ ' *;v » , vt ^ 4* Mi »3* 17* »7« »3* *;♦ »3« 3 *♦ • . •; Item VCVe» MfCHAlLI* STlFBtlf * ritembarc. 6* j. J« - 6. Ij-. 18. c. »4* *T» 3 3* 3^* 41. &Ci- non funt Progrefsiones Arithmetfcat propf ie.Habent tamen fu os udis (ut uidebimus in capite de Proportionibus ) licet iu Cnt interdfar. rDeProgrefsione naturali numerorum. NAturalis numerorum Progrefsio.eft Progrefsio Arithme rica progrediens abunitate per binarium adreliquos nu# meros- fecundum differentiam unitatis.ut i. r» i. r* i. i* i» i* t* l. *. 3 • 4* JV T* 8. 10. ac. Notum autem eft quim in frequenti ufufitharc Progreisio^a* pud omnes homines^tiam apud pueros Sic. Et ficutomnia folemus numerare hac Progrefsione, ita etiS per eam numeramus proportiones proportionalitatum,in qua re mirifice feruit Algebrar. „ ^ _ LongumautemeiTet nimis,recen(creu(us eius uarfos. Et ne mo eft qui hoc ditis praftare poilet . Exempla autem udis eius,, frequenter occurrent nobis in hacmea Arithmetica,utdealijs: negorqs taceam. Eft autem Progrefsioilla naturalis numero- rum,fons & origo omnium fpeculationum Arithmeticaru &c. Huius Progreftionis termini nouero priores,finguIi una figo ra fcribuntur,& nonaginta fequentes binis figuris fcribuntur.de inde noningenti fequentes termin/,tribus fcribuntur figuris , Et fic deinceps iuxta hanc Progrefsipnem Geometricam.. 9. 90. 900. 90 no* 90000. 6(Ck TDe Progrefsionenaturalinumerorum parium. Si de Progrefsione numerorum naturali deleantur terminf locorum imparium (ut primus>tertiusxquintus &c. ) tunc teli» quitur Progrefsio numerorum parium.ut hic uides. 4 ; 2. 4, £? 8* 10*- l*. 14«; *. f Habet haec Progrefsio ufum egregium in Geometria. Re* fpondee Arithmeticas Lib, r. 21 fpondct autem Ordini Polygoniarum Gc, ut facile ex hac Pro» grefsione dicere pofsis.de qualibet Polygonia, quot angulis re» rtis,ualeant omnes anguli eius. V t ( exempli gratia) io eft quin tus terminus Progrefsionis huius , et Heptagonus eft fub quin- ta fpecie Polygoniarum Jtaqp feptem anguli,cuiuslibet hepta» gon/,ualent angulis re&is decem. Sic omnes anguli cuiuslibet Hexagoni.ualent angulis redis odo . Sic enim 8 . eft terminus quartus Progrefsionis parium,quemadmodum Hexagonalium ipec' ipedes, quarta eft interfpecies Polygonalium.EtGcdealijs, VDc Progrefsione naturali numerorum imparium. Side Progreisionenaturali numerorum, deleantur numeri lo eorum parium (utiecundus.quartus,fextus,Sic.)tunc relinqui» tur Progrefsio naturalis numerorum imparium ,ut hic uides. i. 3* S* 7. 9» ii* n* ir. 17. 19. Sic. Hacc Progrefsio numeroru imparium,omnescompIicatPro grefsiones Gcomecricas,numerorum integrorum, quas ab uni» tate incipiunt.Si excipiuntur folummodo radices ProgreisionS . termini primi.id eft, 1 Si 3 faciunt quadratum binarij. Tres ter» mini primi, id eft 1. 3. 5-. faciunt quadratu ternarrj. Quatuor ter- ^ mini primi, faciunt quadratum quaternarij ,ut 1,3, 5-, 7. faciunt i6.Etftc deinceps. Necefte aut eft in qualibet Progreft/one Geometrica ab uni tate incipicnte,in tertio loco poni quadra tum, deinde in quinto, ieptimo,nono Sic. femper inuenies quadratos,ut non Gc necefle^ 2? dicere de numeris illorum locorum- rc Cubicos numeros GnguIos,etiamcompr«ehedit, hoc modo ,+********^\» V nitas reputatur pro primo cubo • Deinde duo termini iequen tes.id eft, 3 8 i j-. faciunt Cubum binarij.id eft 8. Deinde tres fe» ^ quentes termini,uidelicet 7.9. 1 1 .faciunt Cubum ternarij . Ddn ^ o* de quatuor termini fequentes 13. iy. 17. 19, faciunt Cubum qua -z ternarij, Et Gc ddnceps.Necefle eft autem in omni Progrefsioe c? wr JS&L I- Michaelis Stifelii Geometrica , ab unitate incipiente , in quarto loco poni Cubi!, & deinde in feptimo, decimo, decimotertio fide. femperinue* nies Cubum, ut non fit necefle de numeris locorum illorum dicere, Surdefolidum numerum^d eff fexti loci numerum, Ttemtm decimijiedecimi fide. Sic inucnies comprarhcndi in prardi&a Progrefsionc. Vnitas reputatur pro primo Surde folido. De* inde obmittitur unus terminus, Sd bis duo termini iequentes faciunt Surdefolidum binarij ,ut j\ 7. 9, m. faciunt 3 z, Dein* dc obmittuntur tres termini fequentes , uidelicct 13. 15*. 17, J5t ter tres termini fequetes , faciunt Surdefolidum ternarij , ut 19. ii, »3. 2j-. 27. 29. 31, 33, 35-. Faciunt 243, De inde obmittuntur termini fex, uidelicet 37. 39. 4 1.43, 45. 47, Et quater quatuor termini fcquentes faciunt 1 0 24»id eft Surde- folidum quaternarij.Et fic deinceps. Numeri autem terminorum obmittendorum hac Progrefs/a ne repraefentantur, cuius differentias funt termini Progrefs/o- nis naturalis numerorum . Et eft Progrcfsio trigonalium fuper ■ > ficicrum, quas etiam alios ufus habet. * ' 1* 3- 6» 10, 1 r* 21. 28, 3 6. 4f.fi dc. Item ( ut de Cubis denuo dicam ) fi de Progreisione nume* rorum imparium , obmifer/s terminum unum , dabunt tibi duo : * reliqui Cubum binarij . Cubum ternarij dabunt tibi tres termi- ni , oroifsis tribus primis . Obmiisis ucro fex primis,dabunt ti- bi quatuor termini fequentes,Cubum quaternarij.Et fic (eruit il , Ia Progrefsio etiam Cubis , uidelicet I. 3. 6. 10, if, 21, 28. 8idC. Bfurdefolidum , id eft, numerum ocftauiloci, fic inuenies, ,(Suntetiam in quintodecimo,8duigefimo fecundo loco nume- * ri Biurdefolidi ) Vnitas reputatur pro primo Bfiirdefolido . De inde obmittuntur tres termini, id eft 3.5-, 7, Et ex iequentibus bis duobus bisterminisCid eft otfto his 9. 1.1,13. 13, 17; 19,21,23 colligitur Bfurdefolidus binarij. Deinde obmittuntur termini ■*p f 1 v*f M quin- %s ARrTHMtiTiCAB LlB. U 22 quindecim, Et ex fequentibus terminis^er tribus ter^idef^ex jigintifeptem terminis ) colligitur Biurdelolidus ternarij.Dein* de obmittuntur termini 42. Etexiequentibus,quaterquatuor quater , terminis colligitur Bfurdefolidus quaternarij. Et fle de inceps in infinitum* - Numeri autem terminorum obmittendorum hac Progreftio ne reprarientantur. 3* fy. 42* 90* f6jv tyft 420. &C» * Diffcrentire faciunt quadratos triplicatos , quod dico , ut intefa ligas rationem huius Progreisipnis,&modum progrediendi, V Alia ratio Progrefsionis huius fle habetur, i 3- 7* 9* tf* o- 17 • &c# I» 3, 6» io« iy. ii» 28. )6. dic* u IJ. 4»»' 90, I&S* »7J. 4*o. 612. Vides Progrefsioflem priorem efle numerorum imparium. Pc* Aeriorem uero elfe trigonalium fuperftcierum . Si iam multi plicentur termini eorum inter fe , ita ut primus terminus unius Progrefsionis multiplicetur in primum terminum alterius Progrefsionis , Et fecundus unius in lecundum alterius , Et fle deinceps , tunc efficitur Progrefsio illa prxdida fer uiensBfur defolidis numeris ♦ TDe numeris Polygonalibus , &• eorum Progrefsionibusy Polygonal/um nurrterorurnpaulo fuperius obiter fada eft mentio • Euclides autem folummodo tetragbnalium numero rum mentionem facere uoluit , eo quod illi folummodo reipon*1* deant Geometricis flguris , Trigonalesuero numeri & Pentas gonales, Hexagonales , & reliquarum fpecierum Polygcna- ks numeri.non refpondent Geometricis figuris, id quod paucis hoc loco uolo offendere »■ € %■ Tetrago- Michaelts Tetragonalis numerus fic de pingitur , uel ficut fuperius ui- difti quadratum depidum. Re (pondetaute Geometricis qua dratis. Nam latus Tctragoni- cum in fedudum , aream pro ducit, ficu t hic quocg fleri uides tot to ad oppofitum angulum ortho- gonaliter.Et hoc produdum facit aream , trianguli acquilateri. Ratio regulae huius fatis offenditur ex his figuris fequenti* frus. o 00 000 'dboo 00000 000000 0000000 00000000 000000000 oooooooooo Amthmbtic a.b Lib, r ♦ Scilicet omnis triangulus arqufla' ferus refoluitur in duos orthogonii os.qui conftituant unum quadrans gulum redangulum QCc, Pentagonalis numwus ita depii} git.Vndc fi latus unu faciat io .faci- et area pentagoni itf* In Geometri cis aut fi latus petagoni arqlaterifa ciat i o. faciet area totius pentagoni aliquanto plus i7*Jraqpnorefpo dent Arithmeticipentagoni Geome tricis pentagonis . Et nihil eft quod contentiofi contra haec dicant , Me? fano folida eft. ero ) X) o ; #X ...iit o°o o o o o o o o - o o o o o o o o o o o o o oooooooo o o o o o O O O o 0000000009 0000000009 0000000000 0000000009 0000090009 0000000009 00000 00009 0000000000 b o o o o o o.o o 9 0000000009 Quaelibet autem Polygonia ae<* quilatera,refoluitur in tot triangtp los orthogonios, ut numerus iile orthgoniorum duplos fit ad nume rum laterum Polygoniae, ut uidea in figura hac auadrata. contineri hexagono duodecim flCc» f f Reg* tt Michatli s Stieeli r \ Regnla ergo Geometrica efi: ge« neralis,ut dotf a linea i centro figurae Polygonie», ad medium alicuius la- terum eius,& alia linea ab eodem centro ad extremitatem lateris eiuii» dem.Figurato autem hoc modo or* thogonio.multiplicanrur latera eius duo inter fe, quae conrinent angulo rertum . Multiplicatur^ produdii illud per numerum laterum Polygo^ ni» , fcilicet in Pentagono multipli- catur per j- « In Haxagono per 6 , Et fic de alijs « Et ratio re gulae huius fatis clara eft ex figuris illis iuperius pofiris. Hexagonus Arithmeticus, fi unum latus fuerit i o . totaa» rea faciet 1 9 0 . At Hexagonus Geometricus , cuius unum latus- fuerit 1 o» facit tota area plus aliquantum quim z 5-9, Et fic de a *■ Itjs Polygonrjs. Quemadmodum uero Progrelsio imparium numerorum » complicatquadratos numeros fingulos, ita naturalis Progref* fio numerorum , complicat trigonalisnumeros fingulos . Sicetir amhaec progrcfsto o 1« > «o* •* 13» i€, r?» zz &c. complicat fingulos numeros Pentagonales. Et haec fequensr Progrefsio^complicat fingulos numeros hexogonales eodem» modb* 1 t» r. 9, 13« 17« z’ r» Sic, Et fic de al qs Progrefsionibus Arithmeticis numerorum in te it grorum, abunitate incipientibus , per quas numeri Polygono* les Boeti), optime tractantur proponuntur.] Quacuncp enim Progrefsione tali propofita , produces fem’ per Polvgonalem numerum, ex quibufcuncg terminis primif pofitae Progrefsionis. Denominatio Polygonalium .quos fert Progrefsio pofftaL colligi. Arithmeticab Lib. i, 24 s in infinitum Pyramidalis numerus conftatex tot terminis Progrefsionit fuac.quot ipfe in uno latere lineali punfla habet, Progre fsione Pyramidalium propofita,produdtur Pyrami- dalis numerus, ex additione quotcuncp terminorum prinioru. Et hince(l,ut praedidae Progrefsioncs dicantur Pyramidalium Progre(siones>cum tamen Ungulis terminis Polygonalcsnume sos ferant. Denominatio Pyramidalium numerorum quos fert progref fio aliqua Pyramidalium , modo iam oftenfb,fumitur iuxta ter minum Progrefsionisfecundum,utfatisuides Pentagonalium Pyramidalium Progreisionem in loco fecundo ponere j- &c. Vt autem fiant Progrefsiones illae PyramidaU'um>iatis fignhs ficat differentiae terminorum, quas ea ratione exprimere uoluf, un^ cum ipfis terminis,ut hoc uideres , r Sequitur mirabilis rranfpofitio terminorum Progrefsionum Arithmeticarum. PRogrefsio Arithmetica,!! habeat terminos fecundum nu# merum aliquem quadratum , id eff fi habeat terminos ?.auf i6.aut 15-. aut 3 6,&CC. (Nam 4 uoloeflereiedum) poterunt ter* mini eius fub figura quadrata^ita tranfpon^ut eade fumma fem per proueniat , ex Additione omnium terminorum, in uno late* te inuentorum.fiue latus fumatur fecundum Iatitudincm,(?ue fe eundum longitudinem . Voco autem hoc loco latusmon folum extremas lineas cellularum , fed omnes etiam intermedias.imb diametros etiam ambas uolointclligi,ut in exemplo fequenti.in uenies nouem lineas,fccundum longitudinem acceptas, et no» uem alias fecundum latitudinem. Deinde funt duae diametri. Ha rum linearum quaelibet proferet tibi hunc numerum £<£9. fi om- nes numeros eius in unam fummam, per additione,coliigas. Arithmetica* Liber u ll6|8l|75?l77|7rlM>»3 1 1 y| 78|z8|6j| |» • | | Satis uides.ut unica fit regula in quolibet ambitu repledo.fi ha» beat latera imparium cellularis* F Sequitur de Dtfpofltione terminorum maiorum. Satis iam indicauf.ut minores termini intra cellulas Tuas cq! locentur, reflat crgo,ut o flendam idem de maioribus. V acuar aut cellulae (quas uidifli in fuperioribus figuris dua* bus , 8C quas inferius uidebis ) debentur terminis maioribus. Nam qudd in quolibet ambitu totuidcsuacuas ccIIuIas,quot repleta sefTe uides,fignum efl quemlibet terminum ex minori- bus.reipicereunumaliquem terminum ex maioribus. Eum autem maiorem quem refpidt minor, reponendum e fle icito. Intra cellulam ipfi minori oppofleam . Sic enim uides , & infrl etiam ufdebis,cutlibct minori termino uacua cellulam opponi. Angulares aurem cellulae feie refpiciunt diametralirer. Facile uero cft inuenire maiore quemlibet ex fuo minore. Ita operare. Minimum terminum totius progrefTionis.addeadmaxi* Aium terminum eiuidem progreflionis ( ut in pofito exempto i & 8 1 faciunt 8 i.)aggregatum ferua.ut quod utile tibi fit futu sum, per omnes ambitus totius exempli. Iracg numeris mino- ribus difpofitis intra ambitum iuum , uacuas cellulas refiduas fic replebis. Subtrahe de minoribus unumqueep ab aggregato referuato (dc quo /am dixi, (.de 8 x in excplo hoc) tunc femper relinquitur maior terminus,quem minor ille fubtratfus refpi- cic ARltHMBTlCAB LlBB*. I# 2^ dt: ut in hoc ambitu,exempli pofid,ter tio,uidcs poni maiores «batillis minoribus. V Ambitus tertius* Quilibet ex maioribus his, fubtracflus ab 8z, relinquit minorem fuum. Quemadmodum autem impares minores progred/unf per inffmum latus 6C fupremu, ita maiores impares regrediuntur, (id eft, gradiuntur retrorium )per infimum latus & Uipremum. Et quemadmodum pares minores defcendunt per dextrum la tus &C finiftrum, ita maiores pares afcend&t per eadem latera. Sed Iistc intnaiori aliquo ambitu clarius peripidunmr. V Ambitus quartus. Ille eft ambitus qaartus & ulcimus.cuius mi* nores termini fiint hi quatuor. 37* 3 9, 38. 40. Maiores funt: -H. 4r« 4*. 44. Relinquitur tandem media cellula,intra quam ponatur me «dius terminus, totius progreifionfs, ut hic eft 4 1 ♦ Medius terminus prouenit& dimidiatione aggrcgati,co!Ie intermiflio de(cenfijs,non fit cum duobus terminis in uno & eodem latere ponendis, ied prius po nitur unus folitarie In dextro latere, & deinde finit fequens ter minus folus partem illam defcenfus,uidelicet in finiftro latere. Idem fit dum dcfcenfus repetitur.Ponitur enim onus primo in finiftro, 6t deinde (equens ponitur in dexrro latere : atque ita odo ponuntur folitarie. Satis aatemuidcs quae fint illae odo cellulae, quae folitariae excipiant terminos minore$,Scilicer,infima&iupreina dextri lateris : item fecunda fupremi Iateris,& penultima infimi late- tis; dttnde quatuor iliae,de quibus didum eft paulo fuperius. Quartus \ " MlCHABX.lt StiFBLII' V Quartus ambitus. Ille ambitos fimtlis cft Ce» eundo: nec enim dabilis eft ambitus qui differat ab il- lis fuperioribus amplius,ir ratione difponendi feu traf ponendi terminos , nifi An- gularis ille ambitus qui am bit quadratum quatuor cel Iu1ap,cuius uidelicet unum lat? habet quatuor cellulas. FHabent igitur ambitus omnes impari 5 later 3 folum un8 modum difpontionis feu regulam unam, ut fatis ditium eft. At ambitus parium laterum, habent tres modos,(eu tres regu- las difponendi terminos.Videlicet aliter Ht difpofiriodum Ia» 'cera numerantur per 8. Et paulo aliter dum non per 8. fed per quatuor numerantur .Item aliter.dum neqj per 8 aecp per 4, fed per i numerantur, V Quintus ambitus. Ifte ambitus eftAmi Iis primo : numeratur enim latus unum otio* nario. hoc eft,numera^ tur feipfo otionarius. Sextus loi| | 1 104I ioyf 98 99 100 — 107 / 108 # ■ ~ 1 4 » . ' ■ r ;l ' ** # ( — — « * . , i • • 109 1 IO I f 0 z| 1 0 3I 1 j 106 97 Arithmeticae Liber u 29 FSextus ambitus. , Et ambitus ille flmiliseftfecund® . . QC quarto* j FSeptimus ambitus* FMed tj numeri. I3^|iz)|izz mH ij! 9 '1? l^T 1 28 ii4l»)J-|«34|»»»| Quado perueneris ad ultfmfi Ambitus aut ille,qui qua- ambitu, qui uidelicet ambit qua dratum quatuor cellularum dratum quatuor cellularum ,tuc ambit, fola comutatione an* repone 16. terminos tux pro* gularium numeroru fefe re* greftiois,qui reflat, fuo ordine, fidentium , adarquat latera ut uides fadu in fequeti figura, fua inter fe« At propter qua* - dratum quatuor cellularum, (quod numeros fuos feruat imutabiliter, in quatuor fuis cellulis, quemadmodum ora dine fuerant repofiti qua tuor numeri ad cellulas illas)necefle eft ut etiam inrermedij commu tentur. Commutatur ergo primuscum ultimo, & quartus cum tertio decimo A iecundus cum tertio, & quintus cum nono,& odauuscnduodecimo,& quartusdecimus cu quinrodecimo* Medtj autem quatuor(ut dixi) manent ranquam medium unu, & non commutantur • Harc omnia uides in ambitu feptimo /uperiuspofito. I3 »1 1 3 z *33| * 34 1 * ? 5*1 * 3 ^ |M7|h8| 1 12 «<3 114 • IT 1 19 Il6\ | | 1 20 1 1 1 h M ICHAELIS STIPBLII rSi progreflio Arithmetica inciperet i numero par i, habe# ret'cp progreilio illa nihilominus numeros impares, toc omnia quae dixi de terminis imparibus.intelligeda eflTent de terminis paribus : & quae dida funt de terminis paribus,inteliigeQda eC» fent de terminis imparibus. Si autem progreflio nullum haberet imparem, tunc ea quae dida funt de terminis imparibus , accommodanda eflent illis terminisparibus,qui in locis imparibus inuenirentur, id eft, in loco primo, tertio,quinto,feptimo &c. Sic fi progreflio nullum haberet termino parem, tuncea quae dida funt de paribus,intelligenda eflent de illis imparibus ter minis,qui inuenirentur in locis paribus,id eft,in loco fecundo, quarto,(exto,odauo flic. Sufficientia aute regularum negottj huius fle colligitur. Aut enim numerucelluIarumCquae funt in uno latere ambitus) nu- merat quaternarius,aut no numcrat.Si numerat,tunc aut pari numero numerat(ut latus primi ambitus in fecundo exemplo, \ & latus quinti ambitus in eodem exemplo fccudo) aut impari numero numerat, ut latus tertij ambitus in fecundo exemplo. Si non numerat,tunc numerus ille i quaternario non numera# bilis,auteftpar(uteft in latere lecudi ambit?, Si in latere quarti ambitus,& in latere fexti ambitus,in exemplo fecundo)aut eft impar, ut eft in quolibet latere primi exepli per oes ambitus, FReipondent etiam fpeculationi huic, progrefliones Geo- metricae; in qua re fuffilciant duo exempla quae ponam. Primum exemplum,de quadra to cellulato pari , fedecim cel- lularum* 31768 4 r 4096 ij-6 3 z 64 1048 1 6 1014 l xS 8 16184 8 Ipi \ r Arithmeticas Liber i. $o Secundum , de quadrato cellulato im- par i, nouem cellularum. In illis autem non additionibus,fed multiplicatioibus agen* dum eft, ut proueniat squalitas laterum inter fe : ot 8 in aj 6 bis, faciunt, quantum 4(ededesin^4.dic. Vides autem in utroqp cxemplo,pro- grefllonem duplae proportionalitatis. Deprogreflionibus Geometricis* Cap.mr. e qv v n t v r poft Arithmeticas progreflfiones, Geometricae,redo ordine, nifi quod proportio* num tractatio potuiflet intcrponi,c6 q> progreP (Iones Geometricae . nihil aliud ftnt , quam pro* portionaIitates,id eft, proportionum continua* tiones aequalium : ut in hac progreftione i. 2.4.8. 16, 32.64. fuccedit proportio dupla.proportioni duplae, per omnes termi \ nos continue . Sed propoucum hoc loco eft,(oiumodo ponere progreflTiones numerorum integrotum,(ub genere proportio nalitatis multiplicis.quatenus numerorum (olidorum appella tiones, & alia quaedam ad Algebram 8C irrationalium numero rum tradtarionem utilia, poftem exponere. Quare proportio- num tracftatione hoc loco non eft opus. Eximiam ucro laudem merentur Geometricae progrefllo* nes, ucl ex hoc, quod Coda Ceu ars Gebri , nihil aliud elt,quim calculatio pef progrefllones Geometricas:quaetum tanta eft , ot omnium Arithmeticorum regulas calculandi complicet,ira menfutn quocp ufum habeat in Gcomctricis,&c. rSub genere uero multiplici funt infinitae fpecies progref^ (Ionum . Quaedam enim uocanrur duplae propordonalitatis progrefliones,ut haec eft, 3. 6, 1 2. 24.48. ptf.&c.Quaedamuo* h ij 8 %S6 2 4 . 1 6 *4 128 1 3* Michabli* Stifelii cantur triplae proportionali tatis.ut haec, z. 6. 1 8, 5-4« i6i.&c» Quaedam quadruplae .quaedam quin tuplae: & fic in infinitum. Sciendum tamen, quod progrefliones Geometricae . nifi ab unitate incipiant.modicum ufum habent. Omnes autem Geo* metricae progrefliones , fubiacent regulae quae fumpta eftex Euclidis penultima noni, fiue ab unitate incipiant , fiue i nu* mero.uel minutia. Ea autem regula,docet terminos progreflionis geometricae In unam fummam contrahere. Sic uero praecipit. Multiplica maximum terminum per nnmeru denominantem tuam progreilionem. id eft, per numerum qui producitur ex diuifione minimi in fibi proximum.Subtrahe minimum termi num ab eo qui fibi eft proximus, & uocetur hoc relidum.Reli- dum minus. Subtrahe etiam minimum terminum I produdo prius fado per multiplicationem : & uocetur relidum hoc, Relidum maius.Deinde multiplica terminum minimum in relidum maius,& produdum diuide per relidum minus, tunc prouenit fumma terminorum tuae progreflionis Geometricae, qualifcunq? fit. At pro progreflionibus, quas hoc loco tradandas iufcep/, breuioribus traditur regula. Multiplica ultimum terminum per numerum denominatem tuam progreftionem , 2 produdo (obtrahe primum terminum, relidum diuide per numera uni* ta te minorem illo numero,qui tuam progreftione denominat, & habebisfummam. r Regula continuandi progrefliones. Item ad omnium generum & fpecierum progrefliones Geo metricas, pertinet haec regula faciendi & cotinuandi ,pgreflia nes: uide licet. Quacuncp ,p portione propofita,diuide terminu pofteriorem per priorem: quotientem autem illum multiplicas bis in terminum pofteriorem,atq? hac multiplicatione produ* ces terminum tertium. Quo multiplicato per eundem quotien lem, produces quartum terminum ; ex quarto produces quin* cum Arithmetica* Liber i. 31 tum . & fic deinceps in infinitum. Habes iam totum negotium progreflionum,nifi q> fpecies proportionum di exempla refers uantur in alium locum. Sed de rjs mihi reflat dieendum,quae ab unitate incipiunt. In omni progreflione Geometrica ab unitate incipiente,dici* tur radix progreflionis ille numerus, qui unitatem immediate fequitur.ed quod omnes termini illius progreflionis fequentes ex eo termino excrefcant tanquam ex radice. Si enim radix bis ponatur, fiafcg ita multipIicatfo,tuncoritur terminus tertius, qui radicem immediate fequitur . Si radix ter ponatur , oritur . terminus quartus . Si quater, oritur terminus quintus : & fic in infinitum. Et hic uide,ut progrefiio naturalis numerorum feruiat pro* greflionibus Geometricis ; ut, i* a. 3. 4. f* 1. 2. 4. 8. 1 6, 32, 64, Sic. Primo hoc quod in Geometricis progreflionibus eft unitas, in Arithmeticis progreffionibus eft cifra . Quod autem 2 fupra- ponitur termino tertio.figniflcat ipfum terminum tertium pro duci, fi radix (ut dixi ) bis ponatur, atcp ita fiat multiplicatio. Simile eft,qudd 3 fupra ponitur termino quarto. Si 4 fuprapo* nitur termino quinto : 8C ficdcahjs. F De numeris (olidis. SOlidus numerus eft,quf tres dimenfioncs recipit, unam Ion gitudinis,aliam latitudinis,&: tertiam altitudinisjut 3 o con flat ex bis tribus quinquies. V Solidorum numerorum quidam funt regulariter folidi, quidam irregulariter. Solidi irregulariter funt, qui ita fuastres dimenfioncs recipi unt.ut nullam radicem recipianr,cuius multiplicationealiqua regalari excrefcant . Quorum quidam funt folidi injrqualiter fecundum omnes dimenfiones.ut funt numeri quiex tribusin- compofitis numeris producuntur ;qual(s eft 3o.cuiusdimenfio Mjchaelis Stifelii nes funt 2. 3 . j-. Sic 1 oy confta t ex 3 . j\ 7. & fic de alrjs. Quida funt (olidi inaequaliter fecundum unam dimenfionem ; ut 24 confta t ex 2.2 .6. quanquam conftituf poffii inaequaliter fecun dum omnes dimenfiones, Sic 2.3.4. Solidi regulariter funt, qui radicem aliquam habent.ut fimt omnes numeri progrefTtonis Geometricae ab unitate incipien tis,i termino quarto.in infinitum ufep. Vnde in qualibet pro* greffione Geometrica ab unitate incipiente, unitas ponit loco pundi,& radix ponitur loco lincae,& tertius terminus ponitur loco fuperfleiei; & reliquorum finguli funt folidi, PDc Cubis. Primus igitur (olidorum eft cubus.Cubusauteeft,qui pro* ducitur ex numero ter pofftoatcp ita multiplicato : ut 2. 2. 2, interfemult/plicati.fac(unt8. , Haec eft autem figura cubi . Et in omni pro- greftione ab unitate incipiete,quartus terminus eft cubus : quia omnis numerus in quarto loco 4>ducit,ex radice ter pofita atq? ita mutiplicata, FDe Zenfizen fis. Terminus qui cubum (equitur, uocatur zenfizenfus. Refpe xit autem uocabuli impofitor ad modum multiplicationis po- tius,quim ad figuram huius foliditatis. Zenfum uerouocant, 3uod nos quadratum uocamus: dC zenfizenfum,quod nos qua ratum ex quadrato uocare pollemus. Nam zenfizenfus nafeitur ex radice quater pofita atque ita multip!icata,ut 2. 2, 2. 2. facit 16. &idemprouenitex bac quadrata multiplicatione quadra* ti 4.4, Zenfizenfus autem eft linea cu* borum, queadmodum radix progref* fionis eft linea pundorum. Vndezenfizenfus.in dupla pro- greffione eft cubus duplicatus» in tripla eft cubus triplicatus; « ficdcalijs, Dc V r~ 7 / Arithmeticae Liber i* FDe Surdefolidts. • Numerus furdefolidusfcquit zenfizen(um,non ai/ter quim quadratus numerus fequitur radfcem.Et tamen raro eft nume * rus quadratus, fed eft (olidus , di quantum attinet ad radicem quadratameft Turdus : attamen fuat fpeciei radice habcqid eft, lurdefolidam,fic uocatam i numero,cuiUs eft radix,ut Tuo loco dicam latius. Sicut autem in dupla progreftione quatuor cubi(ut hic uides)faciunt unu furdefolidum, fic in tripla progreftioe nouero cubi facifit unum furdefolida ; &in quadrupla, (edecim cubi faciunt unum furdefolidum, di fic deinceps in infinitum. A FDe Zenficubicis, Zenficubus fequitur furdefolidum, quemadmodum cubus (equitur quadratum feu zenfum. Sicut autem indupbe propor tional itatis progreftione 8 cubi faciunt unum zenficubum ( ut hic uides ) fic in tripla progreftione uiginti feptem cubr faciunt unum zenficubum:ct in quadru pia, <5+ cubi faciunt unum zenficubum, di fic deinceps. Vides etiam hic.utdao furdefolidi faciant unum zenficubum; in tripla uero progreftione,faciunt tres furdefolidi unum zenficubum &c, Eft prar tcrca zenficubus talis numerus, ut (imul etia fit quadratus atep cubicus: quod enimfacit multiplicatio harczenficubica.i. 2. 2. 2, 2,. 2 hoc idem facit harc multiplicatio cubica, 4. 4, 4, Atcp idem fa» cit etiam haec multiplicatio quadrata, s. 8, , Michaelis Stifejlii TDe Bfurdefolidis. Qpid fit numerus bfurdefolid*, fatis tibi indicat liare cius figus ratio. Eft autem linea quardam zenficubopr, quemadmodum radix progreflionis eft linea pundorum.Quare fi- milia omnino hic di# cenda funt ( quantum ad figuram attinet) rjs quar de zenflzcfo (qui cft linea quardam cuborum) djda fimt, paulo fuperius.Videli* cct}quod Bfurdefolidus, in dupla progreflione,eft duplicatus zenficubus: in trfpla5eft triplicatus &c . Sed quantu attinet ad multiplicationem, furdus efle inuenitur : raro enim radicem habet qaadratam,ut zenficenfus habet. Licet habeat aliam,ta- lem uidelicet , quar ab ipib numero denominetur.ut pofiea di- cam , qualium radicum Euclidesnullolocolibrorum fuorum meminit:fcilicet radix iepties pofita (ut 2-2.2. 2. 2.2.2.) facit bfurdefolidum. Aptiflima aut harc appellatioeft.multis ratio* nibus. Si uocaueris huiofmodi numeros Bfurdefolidos,obicu rabit ipfa appellatio rem figniflcarS, cum uox harc ioner,qua(i fit conftitutio quarda ex binis furdefolidis. Item fi appelles fur* defolidum fecundum , cogitabit imprudens Lcdor quandam cohaerentiam ,uel quandam communicationem efle fecundi cQ primo. Deinde ratione fignorfi (de quibus dicam in Algebra) ualde commoda eft harc praeiens appellatio : & etiam propter fequentes has iblidorumappellationes,CfurdeibIidus,Diur# defolidus,Efurde(blidus,Ffurdefolidus,&c. De Zcnfi* Arithmetica* Libbr i» FDeZenfizcnzenficis. U Zenfizenzenficl numen' huiufmo dt folidiratis figu ras conftituunt. Sunt autem duo Biurdefolidi : fic era in dupla pros greflione fit. In tripla aure fit u* nuszenfizezenfl cusextrib* bfur* defolidis:in qua- drupla, ex qua* tuor. Item uide% unum hunc zetfi fizenzenficum cotinere quatuorzenficubos,quemadmodum furdefolidus continet quatuor cubos: at in tripla proportion» litate.continet unuszenfizenzenficus nouem zenficubos Sic. Nafdtur uero zenfizenzenficus ex numero odies pofito atque ita multiplicato.uthicfaciunr, a»z.a.a.a«a«a*a. zj-tf.&uoca*^ tur haec multiplicatio zenfizenzeofica . Idem autem facit haec multiplicatiozenfizenfica, uidelicet 4. 4. 4« 4. Item idem fa* cit haec multiplicatio zenfica feu quadrata, 1 6, 1 6, FDe Cubicubic/s. Cubicubicus numerus habet fe ad zenfizenzenlTcum, ficut ie habet cubus ad quadratum ♦ Continet ^utem hic(tanquam in dupla progreifione ) odo zenficubos . Nam in tripla con* jtinet a 7 zenficubos : &C in quadrupla 64 ♦ 6Cc • < • Michaelis Stifelii Eft autem cubicu# bus, edam cubus, ut patet ex ipfa fl* gura, Item ex mul- tiplicatione : nam i»x,x.i»x*x,x»x»x. facit j- iz. Et tanto facit etiam 8,8,8. FDe reliquis folidis. Sequitur Zenfurdcfoltdus.qui eft linea quaedam cubicubo* rum.ficut radix eft linea pundorum. Sequitur Cfurdefolidus,qui eft tanquam fuperfides cubicu . borum,ficut quadratas eft iuperfic ies pundorum. - Sequitur Zenfizeflcubicus , deinde Drurdefolidus,deindc Zenbfurdefolidus, &c. Si forte tibi uidetur difficilis illa folidorum numerorum tra» datio, expeda donec locus ueniar,ubi de uiu eorum dicendum erit ♦ llliCjDeo dante, rem hanc omnem ita clare tradam, ut tu ipfe huiufmodi folidoru appellationes ualde faciliter, per quot libuerit terminos.poffis nominare & continuare,quemadmo- dum iam terminos continuare potes. F Alia notabilia. I . Fln progreftione Geometrica ab unitate incip/ente,duo quilibet tcrmini,inter quos mediat unus tcrminus.aut funt an» bo quadrati, aut quadratis fimiles. Arithmeticas Liber, r. $4 Et (? duo illi termini fuerint qua drati,runcf? medium duplicatum fugaddas illis terminis quadratis, tunc aggregatum ex omnibus illis neceflario etiam fiet quadratum,ut harc figura fatis indicat. Item fi ab aggregato duoru qua dratorum , fubtrahatur duplatum medrj, hoc quod relinquitur.cft nus merus quadratus: cuius radix qua drata,e(l relidum,quod fit ex fubtradione radicis A radice* Habent iftar fpeculationes egregios ufus. Na primo often# ditur ex priore, modus extrahendi radices quadratas ex nume* ris rationalibus & binomialibus,ut fuis locis dicam . Secundo, ex priore & pofteriore fpeculatione, oft epdit modus addendi & fubtrahendi binomiales numeros,ualde utilis.Etpraeter haec figura illa pro- politionis quar* tar fecundi Eu# didis , ufus ha- bet magnificos i Algebra.ut fuo loco offendam. . 2. f\n pro# grelTione Geo# metrica ab uni# tate incipiente, duo quilibet ter mini.inter quos mediat duo ter# mini,aut ambo funt cubici,aut cubicis limites» j: 4 8 8 it l 19 Michaelis Stifelii Si duo illi termini extremi fuerint cubici,tuccoaeeruatio ex filis duobus cubicis, & ex urroqp medio triplicato , fit cubicus, cuius radix cubica fit aggregata ex duabus radicibus ctibicis, prcediifiorum cubicorum minorum. Item fi ab aggregato maioris cubi, & triplato minoris me- di), fubtrahatur minor cubus, 5C triplarum maioris medrj , boc 3uod relinquitur efi cubus,cuius radix cubica eft relicfium.^d t ex fubtra&ione radicis cubica; unius ab altera. Habent iftae fpeculationesufus fimiles prardidis. FIn progrefiione Geometrica ab unitateincipiente,duo quilibet terminidnterquos mediat tres numeri, aut iunt ambo zenfizenfici.aut zenfizen ficis fimiles. Etfiduoilli termini fuerint zenfizcnfici, tunc coaceroatio ex illis duobus zenfizenficis , Si ex medio primo multiplicato per 4,& fecudo medio multiplicaro per 6yQi medio tertio muk liplicato per 4, fit zenfizen ficus numerus, |(6|, 2I64I cuius radix zenfizenfica fit aggregata ex “ duabus radicibus zenfizenficispracdido- rum zcnfizenforum.ut hic uides. Irem fi ab aggregato amborum zenfi* seniorum, & medio fecundo multiplicato per <5.fubtrahantur quadruplicata reliquo rum duorum medioru,id efi, medrj primi di medi) terti), tunc reli&um quod relinquitur efi zenfizenfusr cuius radix zenfizenfica efi rclidum, quod fit ex fiibtrarfiione radids zenfizenfica; unius ab altera. 4,FIn progrefiione Geometrica incipiente ab urmate,duo quilibet termini,interquos mediant qua tuor numeri, aut iunt ambo furdeiolidi,aut furdefolidis fimiles. Et fi duo illi termini fuerint furdefo!idi,tunceoaceruatio eX illis duobus furdefolidis , 6i ex medijs duobus , uidelicer primo Si quarto .quincuplicatis, reliquis uero duobus medijs.uidclicec fecundo Qi tertio >multiplicacis per 10 , fit furdefolidus nume- rus 3 2|64|h8 3i|64|ii8 )i|64|l28 64 64 i Arithmeticae Liber i. fus,curas radix furdefolida fit aggregata ex duabus radicibus furdefolidis pracdidorum fordcfolfdoru ; ut in iequenri figura uidere poteris, Item fi ab aggregato maioris furi? 2l<^4l 1 *8Uy6js- i 1024) 64! izSizj-%li 64 1 18| 1 z 64 izS 64 128 2J-d|j-|Z 1 28 zj-6 128 2 s6 128 2 y<5 128 25-6 128 2J -6 defolidiA medio primo multiplica- co per j-,mediofcg tertio multiplica* co per 10 .fubtrahatur furdefolidus minor, & medius fecundus multipli catus per 10A quartus multiplica* tus per j-, tunc relidum quod rcJin* quitur , cft furdefolidus , cuius radix (urdciolida cft relidum quod rclin- quiturex fubtradione radicis furdc folidae unius ab altera. Et GcdcaJijs hoc modo in infinitum. Numeros autem multiplicantesroedios numeros, inuenics ' ex tabula qua ponam capite fequente de radicib.inucniendis. Vera iunt etiam omnia iamdida,deduobus quibufcuncp quadratis ,& medio fiio proportionali. Item de duobus cubicis quibufcuncp,cum medi js eorum duobus. Item de duobus zen* fizenfis quibufcunq;,cum medijs eorum tribus. Item defurde* folidis duobus quibufcuncjj, cum quatuor medias eorum qua* tuor, 8ic4 V Sequitur utilis quardam tradat io, ut progreflroni Arith meticae refpondeat Geometrica progreisio. 1 . Additio in Arithmeticis progrcfttonibus,reipodet mul tiplicationi in Geometricis.Vt , Ocut in hac Arithmetica pro* greflione, 3,7. 11,1 y. duo termini extremi additi,facium quan tum medtjad fc additi,utrobic$ enim fiunt iS. Sic in hac Geo* metrica, 3. 6. 1 2. 24. duo extremi inter femultiplicaii.faciunt quantum medij inter fe mulriplicati,ucr©biq$cnim fiunt7z« & fic de infinitis alijs exemplis. 2. Subtractio in Arithmeticis } rcfpondet in Geometricis i iq MichAelif Stifelii diuifioni.Vt ficut In hac progreflione.8. i 3. 1 8. 23. idem rema net ex fubtradione primi 4 fecundo.quod cx fubtradione tcr- rijiquart° : fic in hac progrellione,x.6. 18.3-4. Idem proucnit rx diuifionc fecundi per primum, quod ex diuifione quarti Der tertium Sic. r 3 • Multiplicatio fimplex (id e (1, numeri in numerum )qux min Arithmeticis , refpondet multiplicationi infc,qU*fitin Geometricis.V r duplatio in Arithmeticis, refpondet inGeo- • metricis multiplicationiquadratar/cilicet inhac Arithmetica - r.t i.i 7. racit duplatio medij, quantum additio extremorum: fic in hac Geometrica, 4. 6, 9. facit multiplicatio quadrata me dij, idem quod multiplicatio extremorum inter fe. 1 tem tripla* tioin Arithmeticis, refpondet muItiphcarionicubicarinGeo# metricis : ut in fuperiori exemplo. r. 1 1. 17. tripla tiomedtjfa- . clt quantu additio omnium trium , fic hic 4. 6.9. multiplicatio cubica medij facit quantum tres inter fe. Item quadruplatio in Arithmeticis.refpondel multiplicationi zenfizenfic* in Geo# muricis: ut hic z.f.8. r 1. 14. quadruplatio medii facit ciuatum p J/L / upl/catio ^eofizenfica huius 4F.facit quantum FcTTCufqDa ruor ^ r- *nt*r (*» utrobiq* autem fiunt 3-30841 6, Item quintuplatio m Aiichmeticis, refpondet multiplicationi furdefolidar in Geo metricis. Vt hic 2.3-. 8.1 1. i4.quintuplatiomedtj>ideft,8. fecit 91-768. mul tip! ica tio furdefolrda medij, fecit quantum illi fpV' 1 ^^ju‘nc? 'ntcr A multiplicati , utrobiepenim fit 2 y 4 s o 3 9 6 8. |7“V' fic de alijs in infinitum. i** yr***/r>a* &°s 4. Diuifio in Arithmeticis progrcflTonibus , refpondet ex- rad,cum in progreffiombus Geomcnicis.Vtdi- o4A#w^rnidiatfo in Arithmeticis,refpondet extradioni quadrat* in Ctr/C^*^cd,'cct kfc.r.n. i7.mcdiuseft pars dimidia, ' fl*mmac duorum extremorum . Sic in hac 3.6.12. iil 2>< tJuadxata fumma: multiphc^ionis cxiremoR.. *■*> S.; **i*t*sro. — — -A<3 * ^ -lvl iucunda ratione, quibuf- cunq* terminis primis^efticit tot terminos progrelfionis natu* ralis numerorum.quot ipf? coaceruati faciunt unitates.V t (ex- empli gratia ) 1 ♦ 3 . 9. 27.coaceruati , faciunt 40 unitates. Itacp illi terminiquatuorfaciunt4o terminos progrelfionis natura lis numerorum; quemadmodum haec deferiptio indicat» 1. 3 — l. 5. 3 ~t~ *• 9' — 3 — •* 9 — 3‘ p-f-i — 3« 9 — »• 9» 9~ 9~f~ 3 — l* 9- f~3» 9~ *7 — 9 — 3 — »• 47 — 9 — 3* »7— f— » — 9 3* »7 — 9 — l * »7 — 3t7— f—« — 9« a-7— f— 3 — 9 — •* *7 — f — 3 — 3X7— f— 3 — f- f — p , xy — 3 — 1. »7 3* 27 -f- 1 3* 27 1. 17. *7 — f— I» »7-f-3 — »♦ 27 -f- 3. 27 -f— 3 -4- f» 27 -f- 9 — 3 1» 27 -f- 9 — 3. 2.7 — | — 9 — f — 1 — 3» 37 -f- 9 •• 27 -j -9. 27 -f- 9 -f- I. 27 — f— 9 — f — 3 — *• 27— f — 5) — f — 3 , 2-7 -f- 9 -f~3 —f— I ♦ Eft hoc etiam iucundum cernere,utdao numeri integri im- mediate fc lequentes in naturali ordine numerorum.qufcuncp tandem lint duo illi numeri , reddat tot terminos progteflionis naturalisnumcrorum.quot ipft inter le multiplicati fecerint unitates.Vt (exempli gratia) 4.7. inter fe multiplicati faciunt xo unitates : itaqj 4 & f reddunt quemlibet numeru ab unitate pftpad uigenarium» I I Michablis Stife LI I Tam fl numerus 5 tc fit eledus,qui mihi fit occultus,quem tti dicas fcribi quatuor figuris, tunc ego recipio duos aliquos nu- meros immediatos,qui inter fe multiplicati faciant numerum qufncp figuris fcribendum (ut certus fim meu produdum fupe rare tuum eledum,qu5titate)ut funt hi duo numeri, 100, io i. quorum multiplicatio facit 10100. Peto igitur ut diuidas numeru i tceledum,per meum prio- rem,id eft,per i o o.dicasbp mihi quantum remaneat . Eum aut numerum qui remaner, multiplico per meum pofteriorem,& referuo produdum. Secundo peto,ut tuum numeru eledum diuidas denuo per meum pofterioremnumerum^d eft per i® r,dicasq? quantum remaneat.Eum autem numerum qui remanet» multiplico per quadratum mei prioris.ft: illi produdo addo id quod prius fue rat referuatum: &C aggregatum illud diuido, per numerum qui prouenitex multiplicatione duorum meoru numeror u primo receptorumCid eft,per io 100, cum receperim 100& ioi)tunc apparebit femp numerus i te eledus,inrcfiduo diuifiois meae* i 1 De cxtra&ionibus radicum* Cap. r* vemadmodvm (unt infinitae fpecics multiplis cat'onum numerorum in ie,ex quibus nafei uidi- mns numeros quadratos &fo!idos:ita infinitas ede oportet radicum fpecies,uidelicet iuxra foli* dorum appelIationes,nafcentium ex ipfis radici- bus.per multiplicationes uarias. Sedhaecomnia fignificat feu repraeientat naturalis numerorum progrefito ieruiens progrefc fiombus Geometrias ab unitate iucipientibus, ut o* f» a* J» 4' S* 7* r. z. 4* 8* 16» }z. 6 4. f z8« Primo, numeri fuperioris ordinis fignificat multiplicationum fpecies; fcilicec z fignificat multiplicationem quadratam fieri, dum Arithmeticae Liber i. jp dum radix bis ponitur,atque ita multiplicatur, ut 2. 2, facit 4. Sic 3 (igni fleat multiplicationem cubicam , qua radix ter poni tur,atqj ita multiplicatur ut producatur cubicus. Sic 4 repne- fentat multiplicationem zenfizenflcam, & y repraefentat fur« defolidam: 8C fic deinceps. Secundo (igniflcant(numcrifuperi ores) radicum fpecics.Vt 2 (ignifleat radicem quadrata, com- ponere quadratum numerum per multiplicationequadratam. Sic 3 (ignifleat radicem cubicam, componere cubicum nume* rum per multiplicationem cubicam;^ fle deinceps» Es r ergo radicis extradio,inuentio numeri ex numero pro polito, qui multiplicatione aliqua in Ce producat numeru propofltum. FPrimum quod in extractionibus radicum obferuandutn uenit,cft figurarum ffgnatio,in numero de quo extrahenda eft radix aliqua. In extradione radicisquadratae lignantur figurae in locis imparibus;figura: autem in locis paribus non flgnantur.Hinc fit ut alterna tim femper una figura obmittatur quae non figne tur,ut hic uides, ...... 687 1947673 6 In extradione cubica obmittuntur femper duae figurae quae non fignentur,ut hic uides, 6 S7I9476716 In extradione zenflzenfica obmittutur femper tres figurar, ot hic uides, • . • 68719476736 In extradione radicis furdefolidae obmittuntur femper qua tuor figurac,ut hic, ... 6 * 7 1 9 4 7 6 7 } 6 Et flcdeincepJin infinitum, Rcfpondct autem hae Agnationes medijs proportionalibus» - k ii) c. * . Michaelis Stifelii o. i. z. 3» 4* T* » . i. 4* 8, 1 6, 3i. 64. ut hic uidcs, inter quadratum & unitatem poni unum medium, inter cubum & unitatem duo poni media, inter zenfizenfum et unitatem tria media:& Gc deinceps. FSecundu,quod in extradiombus radicu obferuandu ucnit, eft cognitioqua fcias q figurae pertineat ad quodlibet pundu. Ad pundum ultimumCid eft,ad extremu i Gniftris)pertinet figura fub ipfo pundo polita cu reliquis figuris uerfus finiftrat & Gc de alijs pundis iudicabis, ut in illa fignatione iurdefolida uides exemplum; »or ai n»ow49 Ad ultimum itaq? pundum, pertinet hae figurae ,*ori «Se- quens pundum uerfus dextram habet has, u no .Primum ha* bet, 9+J+9. V Tertium, quod obferuandum eft in radicum extradioni* bus, pertinet ad pundu ultimum, & cfi ipGus pundi abiolutio» In extradione quadrata , fubtrahitur ab ultimo pundo qua dratus numerus maximus qui poteft iubtrahi. In extradione cubica, fubtrahitur cubicus maximus qui fub trahi poteft ab ultimo pundo. c In extradioe zenGzeGca , fubtrahit maximus zenfizenGc*. Et in furdefolida extradione fubtrahitur maximus furdefo lidus : & fiede alrjs in infinitum. Tabula pro radicibus cubicis* 1 1 4 *4 7 343 z 8 T 8 S • * 6 z 16 9 7z 9 omni extradione cubica) fubtrahitur ab ultimo pundo,& ra* dix (ubtradi cubi ponitar in quotientem ultra uirgulam curua ut fit in diuifione, Qi refiduum fubtradionis reputabitur pertfc nere ad iequens pandum uerfus dextram. Hoc autem quod iam dixi de abfolutione ultimi pundi.Gio modo Arithmeticae Liber i. 40 modo intelligi debet de quacurn alia extra dione.Facilior ucro eftmuentio quadratorum ex figuris fingulis , quim ut tabula aliqua opus fit.Ratio etiam eft3qua inferius intelliges, cur pro zenfizenfic is & zenficubids non pofucrim tabulas. Tabula furdciolidorum. 1 1 4 1024 7 16807 a r 3' lr 8 327^8 3 MI 6 777* 9 S9 °49 Tabula Bfurdefolidorum, l 1 4 16384 7 8235-43 x 128 S 78123- 8 209715-2 3 '»»87 6 *799 3 6 9 4782 969 r Quarto,ob(eruandum cft circa quamlibet fpedem extra- dionum,ut reliqua punda, ultimo expedito (eft autem ultimu pundum3in operatione primum) abfoluantur.ln qualibet aut fpecie extradionum,cft una propria regula3qua omnia fcquen da punda,poft ultimum expeditum, abfoluantur. V Quinto.obfcruandam eft,ut quselibet regula pro pundis fequencibus ulcimumjiabcat (uos numeros peculiares» Ext radio quadrata habet unum hunc, 20. Extradio cubica habet duos hos, 3 00. 3 0. Extradio ceiifirenfica habet tres hos, 4000. 600. 40. • • Extradio furdefolida habet quatuor hos, 5-0000 , 10000« f 000 4 50, Extradio zenficubfca habet qufncg . & fic de alijs, Refpondent itacg numeri numerorum huiufmodf,nunier/s figurarum obmifiarum in fignationibus.Vt dum fignantur fi* gura: numeri dequo extralicnda fit radix zenfizenfica,poft pri «nam figuram fignata,obmittcdx erunt quinq? figurac,& foeta flgnabicur(ut fuperius didum eft)fic hicquinqj numeri pecuU ares requiruntur3ut /am indicauf.Qua ucro ratione aut § tan- dem modo fint inucniendi numeri illi regularum peculiares^a fis clare indicabo inferius per quandam tabulam. Michablis Stife lh F Sexto , obfcrua modum depingendi regulas : hoc enim ©bferuato, facile poteris, abfcg libro, cuiuslibet ipeciei radice* extrahere. Extradionis quadratae regula, fic depingitur ex exemplo hoc, • « 676 x- --»0 6 ■ . . 3* Extradionis cubicae regula fle depingiturexnumero hoc; • • a 3 83x8 3 *■ d- 300- 3o- x 4 8 l?xtrad/onfs zenfizenficae regula fic depingitur, ex 1477^3 3 6 zt6- 3^“ d- -4000- - d 0. 0 - - 40- P •4 •8 Id Extradionis furdefolidae regula (7c depingitur ex exemplo, numeri huius, . . 9 1 61 3 x 8 3 z i*9d- zid- 3d- <- -joooO- -10000- - 1000- fO- ' * 4 8 Id 3 = Extradionis zenficubicae regula fic depingitur ex hoc nu* jncropro exemplo polito, . • fd8ooz3jy84 / tf* * 4* r, Arithmeticae Liber i. 7 776 600000 2 li?6 15*0000 . 4 21 6 — — 20000 8 3 6 15*00 1 16 6 60 3 2 <4 Sequitur pidura regulae extradionis bfurdefolidae ex hoc numero, • • 35*216 14606108, 1 4665-6 7000000 *— 7776 2100000 12 96 35*0000 216 35*000 36 2100 • • * 6 70 2 4 8 16 3* 64 128 Et fic de alrjs regulis aliarum fpecierum in infinitum, rExpofitio pidurarum,id eft.declaratio Q regularum, Voties expeditu fuerit pundum aliquod,tunc pro pun« do uerfusdextram fequete,fic operaberis,Depinge regulam. FPrimo.pone medios numeros, id eft,eos qui tuae operati* oni debentur tanquam peculiares. F Secundo, conftirue progreflionem tuam afcendcntem,id r eft.eamqux ponenda eft i finiftris, ea enim femperafcendit. Sic autem ponenda uenit. Ad infimum locum pone totum quod eft in quotiente,tancji radicem progreftionis,8f: fic afcende per quadratum & cubum &c.donec quilibet mediorum habeat fuum collateralem nume rum i parte finiftra.Hoc fado, parabis tibi diuiforem quo diui das pundum tuum, ut inuenias nouam figuram reponendam ad quotientem, Scilicet quemlibet mcdioiu multiplicabis per A ' ' _ t - y ’ V» :: Ii %* 1 'JV-- - I# •« iri ci 1 — r u Michaelis Stifelii (uum collateralem pofirum a finiftris.&produdailfa ad fcad* dita.dabunt tibi tuum diuifbrem. Nifi qliod non eft necelTe,uf lc.fe ' Ha. (empcrtotam^plcasmuk/plicarionc/cdfuff/citutduasmui tiphcatioesfa As ex iupremis,8(! fle addas,utd{uiTorc habeas. FTertio,coi3(titue progreffionem tuam defcendcntem.id eft,eam quae ponfnda eft i dextris , ea enim femper defeendet. Sic autem eam difponas. Ad fupremum locum pone figuram tuam nouam quot/en* tis,uidelicet quae inuenta eft uia diuifionis. Ea fiepofira, tanCfj radice tuae progreflionis,progredf re defeendendo per quadra tum &t cubicum ftc.donec progreffio tua, numero locorO,e xce dat eam quae i finiftris ponitur , in uno loco, quemadmodum pldurac regularum fatis indicant.His fadis, multiplica tres fu- premos inter Ce, deinde tres fequentes etiam inter fe : & fic de* incrps.Pewdis multiplicationibus illis.adde illa produda otn nia ad fe,fupe®dde etiam illum numerum, qui i parte dextra in infimo loorfblitarie ponitur . H«c igitur aggregato i tuo punefto fubtrado.abfolutum erit illud. Vides ut ex infinitis regulis, unam regulam compofuerim, ateg ita totum negotium hoc abfolucrim. Reflat igitur,ut ex» cmplis regulam declaremus. V Exemplum dc extradione qua dr a ta,flt numeras , ille prius politu^ h 2 * . . Primo, fub ultimo pundo fubtrahmur 4,tanquam maximus numerus quadratus ,qui ab eo(id eft,i 6 ) poftit fubtrahi. Poni turergo radftc.huius fubtradi quadrati (id eft 1 ) in quotiente, in rcfidpo manet 2 : &' fic expeditum eft pundum unum, paro iamdiuiforem ex figura quotientis multiplicata in xo, fifqj 40 dtuifd»,quo diuido pundum quodreftatdd eft 17 6 ,6$ inuenio 6 nouam figuram.Sic ergo ftat exempli regula. t xo - 6 3* X-"7 4’ ‘Zaokk dia*jo,cui addo 3 6, fiunt iy6i »** ye«di fviiSl -2-0 1 v * »>niv> t t ETICAB* PjLn» . - — " _ *»■.«, t- 7 boc fubtradum i pundo meo, nihil relinquit. In ucn ta eft ergo ^ rad/x i6 , quam fi quadrato mult/plicaueris redibit 6 76 . & ita probatur operatio. Si iam numerus exempli huius habuifler plura punda.tunc eflet regula illa repeteda.pro fingulis pundis.Vt fi radix qua-, drata quarreda fit de hoc numero fierioi .Xunc expeditis pun diis duobus ultimis.fic flabit exemplum,* . . P P 0-ffSftOt (26 0 o ■ 10 cun^yodCiurif cfXl+2t/te- Totum quod eft in quotiente multiplico in 20, facit y 20 diui* $*> StUC* (T &£otc& Multiplicatio facit y 100. addo 1 , facit y 20 1 , quod fubtraho ln2*fZt*xu*nx$ -za^ Jf” *^jUr Primo, (ub ultimo puncfto fubtraho 777^,qu/a no eft maior furdefolidus.qui poflit fubrrahi ab hoc pundo 9 1 e*. ^ ^t^W^~Reman«aul*m 1 3 8r,& 6 ponitur in quotientemian^i radix ' ‘ • furdefolida de 7776.atcg ita.abfolui puncfton/ultimum, m m J lurdeiolida de 7776.atcp ita aDioiui punctum uiununn. t k *■»!«. R«ftat pundtom, . j s » ) x «i » .Quaero nouam figuram in qua tuc~* 7.-.;tieni«mponcndamhocmodo: _rj.j I ^ |»S><5 j-oooo 10000 ** T • „ >0 * *.«.?»<«, u. e/ ?>c Multiplico duos fuperiores inter fe.uidelicet 1 iptf « 5-0000^ ne**.* Tt* £ <* facit 64800000 : hoc diuiiore inuenio in puncfto remanente 1 --t- ** — '****¥ f~#nouamflguram.Sic ergo ftabit regula» ?.7 e/ *'<• 6 j0ooo x , 1 . * . , 1 / zi6 10000 4 >• ' .A ^ ^ .* *r+-n*' m , iu»^- ' 3 ?4 looo- J-0- 8 /6 3» Harquatuor multiplicationes faciunt 1385-31800, quibusfu# peraddo 3 1, & tunc fubtraho £ puncfto remanente, tunc nihil relinquitur» Exemplum Arithmetica» Lieee, i. 41^^^^. . v FExempIum de extradionebfurdciblida, fit ft+£ ?/~- numcrus ille i r * i iecundus recipit iepte, tertius fex recipit cifras.quartus quinc$,quint9 quatuor, fextus tres/eptimus duas,& odauus unam : ut hic uides, . 900000000 360000000 l \.'J ; ■ . 84000000 ■* 11600000 1260000 1 84000 3600 9 o Vnde quando primus numerus (ut abfcp effris ponitur) eft par, tunc numerus numerorum eft impar. Ratio eft : quia ille numerus, qui in tabula eft ultimus tranfuerfaliter,no repetitur. Reliqui ucro omnes retrograde repetuntur,ut iam oftendi. Quando autem primus in tabula traniuerialiter fuerit im* par .tunc numerus numerorum eft par .Ratio eft: quia omnes repetuntur retrograde .utuidimus. • - Habes itacp totum negotium per haec ablolute traditum. Noucm (equentes numeri feraiunt zenfurde- foltcLc extradioni. m tj Michablu Stivilm \ 1000000009» 45-00000000 I 100000000 xi 0000000 15-100000 . aiooQoo . 110000 ■ ; $ > ; .0 45-000 \ loo , Sumpti funt autem numeri illi ex ordine illo tabplat tranfaerli lirer pofico,uideIicet 10. 45-. 110.1 10. 15-1. Sic ex ordine illo tranfuerfali, r 1. 5-5-. 1*5*. 330. 461, Sumuntur illi numeri, pro extradione radicum Cfurdeibli* darum, uidelicet 1 r ♦ 5-5-« 165-. 330.462.462.330, i'ti qui cum cifris fuis politi fic liabunt. 1 >0000000000 5-5-000000000 J (<$5-00000000 ^ ‘3300000000 462000000 46200000 r -> - * 3300000 , , ' 165-000 *. ss 00 no Et fic deinceps poterit fecundum haec, aliarum extradionum numeros educere. r De extradione radicum ex numeris fradis. Nulla radix rationalis poterit efie in Minutia , nif? eam fi* «nui habeat numerator &i denominator. Ex utrocp ergo rer« mino minuriarquarrenda eft eiuflcm appellationis radix : ut 7 cft radix quadrata de^ , Q( radix cubica de ^ , di radix zenfii senfica d? £7 , & radi* furdefolida de^, radix zcnffcubica deTXj.Etiicdcaltjs, Arithmetica! Liber i. De Proportionibus,# earum Algorithmo. Caput vr. a n d e m poli radicum extradiones,quaru ufum uidcbimus in Algorithmo proportionum, uidea mus de proportionibusnumerorum . Fit autem proportio numerorum, ex collatione numeri ad i i j numerum, ucl fub confideratione menfuraticol* a : mfnfurantcm>ucI menfurantis collati ad menfuratum. Atqp ita duo colliguntur proportionu gcnera.uidelicet Maio. fis inaequalitatis, Minoris inarqualitatis: & his duobus gene fibus opponitur proportio aequa litaris. PDe aequalitate. > PRoportio aequalitatis dicitur ea, qua numerus cofirrtur ad numerum libi aequalem, ut frequentiflimelit in Algcbricis operationibus, in quibus aequalitatis uis & efficacia mirifica inuenitur ellc latitudinis immeniir. • ^e.ncC autcm ProP°rtio aequalitatis quodammodo medium inter duo proportionum genera inacqualitatis.Nam proporti- ones maioris inarqualitatis,uidentur decrefcendo appropin- quare aequalitati: &' proportiones minoris inaequalitatis uiden tur ei appropinquare crcicendo . Hoc aurem mirum eft.quod abunaquaqj proportione maioris inaequalitatis, iit infinitus oefcenfus ad aequalitatem. Vt proportio dupla, ». j. hic d/uifa eft,2,).4.in (efquialteram & ieiquiiertiam i & leiquitertia hic • 6.7.8.diutTa cft induasalias,quarum qutrliberdiuifibilis fit in #duas alias . 8c fic defpceps in infinitum,ut nunqua fit deuenire ad aequalitatem. r Aliud uide experimentum. Quemadmodum dupla adJira ad iubJuplam,ladtaequalitatern: ficquaelibetproportiomaro ris inaequa litatis, addita ,p portioni minoris inaequaliraris,qu nutia,& tunc eft fpecies multiplex aut fubmultiplex : aut pro* uenit unitas cum minutia habente unitatem pro numeratore, & tunc eft fpecies fuper particularis aut fubfuperparticularis; aut prouenit unitas cum minutia habente numerum pro nume ratore , & tunc eft fpecies iuperpartiens aut fubfuperpartiens; aut prouenit numerus cura minutia habente unitatem pro nu meratore , & tunc eft fpecies multiplex fuperpartiailaris aut fubmultiplex fuperpartiailaris.* aut prouenit numerus aim mi siutia habente numerum pro numciarore,&.' tunc eft fpecies multiplex fuperpartiens.aut eft fubmultiplex fuperpaniens. Tales igitur funequotientum fignationes. V 'a* »?• if, . , Signationes quinqi fpecierum maioris inaequalitatis. 1» Sequuntur 1 * • MicHAEtir Stipelii i Sequuntur lignationes qufncg fpecierum minoris inaequalitatis, * i I x. - I- | j- x J. ) • x | j | r I r I 9 r Obferuabis autem quot/entes proportionum nonefle unita tum fradiones fed numerorum, ut x £ repraefentat 4 contineri fub hoc numero 1 1, bis cum tribus quartis quaternarij: atque ita repraeientat minor inaequalitas.Vel x\ repraeientat 1 1 con dnere 4>bis cum tribus quartis quaternarii: atcp ita reprzfenra tur maior inaequalitas. • Ex rjs quae iam dixi de utrocp genere proportionum, fuffici-r cnter intelligis, ut uno genere declarato per fpecies & fubfpe- cies fuas , alterum quocg genus (7mul fit fatis declaramm. Quantum autem ad appellatione attincr,minorinnrqualiras femper prarmit tit uocabulis fpecierum et fubfpecierum fuarum praepofitionemhancgramaticalcm svb, atque ca praepofitione omnino differunt appellationes proportionu minoris inaeqa* litatis ab appellationibus proportionu maioris inaequalitatis, Vc autem genera differant in modo referendi terminum ad ter minum , item ut differant diipofitionc terminorum, fatis indica tum cft.Itacp genus maioris inarqualitatis uolo per fuas fubfpc Cies monftrare,quantum fufficere puto,ne uerba fruftra multi* plicentur in re manifcfta. Sequuntur lignationes fpecierum Maioris inaequalitatis __ . cum appellationibus earum» fSignationes fubfpecierum fpeciei multiplicis I 1 1 : I [Tripla I Quadrupla! Pupia [Tripla [Quadrupla! Quintupla Sextupla V Signationes fubfpecierum fpeciei iuperparticularis» Arithmeticae Liber i. r» Sefquudten l k' 4' I Sefquitcrtii S 4 Sefquiqmrti Quotientes earum. 4 r Scfquiquinti »T« * 7* 4P 7 &C. Scfquifexti. p Vides ut in his, appellationes uarientur, fuxta denomina torum uariationes. V Signationes iubipecierum fpeciei (uperpartientis* Habet harc fpecies infinitas fubipecies aliarum fubfpecieru: & tamen proportiones fub tam infinitis infinitatibus fingulas occurrentes facile appellabis ex quotientis infpe&ione, quem facit diuifio maioris per minorem terminum. Variantur uero appellationes iuxra uariationem numeratorum & denomina- torum minutiarum in quotientibusinuentarumfut uidebis. Diligenter autem obleruabis in fuperpartientibus & multipli - dbus fuperpartienribus (in alijs no opuseft ifta obferuatione) ne appellationem fumas i quotiente,qui minutiam habeat,cu- ius termini ad inuicem fint compotiti. »3 ii&c* Superbiparties undecima. * 7i* 5* ; 3 Supcrbipirties tertus 7 9 U 5- 7 9 Superbipirdens Supcrbipirties SupcrbipsrUcns quintis (eptimis norns Quotientesearum. * 7* »7* Aliae fpecies fuperpartientes» 7 8 IO II 4 r 7 8 Supcrtripirti- Supcrtripirti’ Supertripirties Supertripirties pts quarta. ens quintis. feptimss , odium» »3 I o Supertripirties deams. •i- <7- Quotientesearum^ * 7» 1 Sequuntur aliae Agnationes fiiperpartientfutn» Q I |o* * II d IT s 7 9 II Superquarpdr. lient quintae. Superquarpar- tiens feptimae . Superquarpdr * tiens nonae. Superquarpdr. tiem undeamas MlCHABLlf STIFBII! »7 »3 Superquarpdr» dens tredeamm Quotknfes earum. if* »£• »$• »m* * V Et ira in infinitum protenduntur fubfpecierum fpecicshu» iuslpecieitcrriar: ut, • 5* * ■*« i j* ® Item, I 1 7f* * r»« rSignationes fubfpecierum fpeciei multi* plicis fuperparticularis. V. X a I Hptafefqm» altera. 7 3 Dupldfefqui' tertia. * M 4 r Dupldfefqui • Dupla fcfqui. quarta. quinta. Quo tientes earum. »3 a 6 &C. Dupla fefquio I exta. *?• 7 a io 1 13 1 16 ** %t 3 1 4 1 J 6 1 7 I 1 8 Qaotientes earum* 3r* 3?* 3f* 3ff* 3f* 3 i* Quadruplar iuperpartieulares. 4** 4t* 4?« 4r* 4?* Et fic de alrjs in infinitum. fSignationesiubfpecie^ fpeciei multiplicis fuper partientis. 8 3 Dupla fuprrii> 1 1 Duplafuperbi porticui tertiat, jpartiet quintat.\partieefeptimoilpartieni imas 1 6 7 Dupla juperbi 20 9 Dupla fupctbim *4 1 1 Dupld fupbipar nens undecimae Quo* Arithmeticae Liber t$ ?o Quotientesearum. , *j« *T* ^71* Vide* ut denominationes uarientur fecundum uaria tfonem Humeri integri & utriufcp termini minutiae. ii 4 II ) TripU fupnbi- portent terto, »r 4 Duplae »5 r upertripartientes 17 7 »9 8 »5 io Si c. Quotientes earum. * 1 1. Triplae fuperbfpartientes. 1 r* o» 17 r Tripla fuperbi- partient quinto M 7 *9 9 Tnplj/upWpsrlTnpfd /aperto- tiens fcptimo \psrtiens nonas Quotie ntes earum , 5 7» 3$» Triplae (upertripartientes. 3J- . 1 1 Sic. Tripla fupbipar a ens undcfimat 5 TT* I» f 3*. »4 7 53 «9 3< H&e* jfl* Quotientes eorum, . 3j* Et f?cde alrjs in infinitum, FVides fatis ut ubiqj appellationes feu denolationes pro- portioni! fumantur fecudum quotientes dfuifioniS.quibus ma< for terminus diuiditur per minorem, at facile fit inuenire deno mination? ^portionis inter quofcucp duos numeros ,ppofitos. Sub duobus generibus proportionfi inaequalitatis continen tur dece fpecies.quincp maioris inarqualitatis,& quincp mino- ris inaequalitatis. Ex illis decem fpeciebus,funt qua tuor fpecies 'quar u quaelibet fuO ordine unicG habet cotinentc fpecies infinf (as: & ex illis duae fpcdesfunt maioris inaequalitatis,uidelicet multiplex & fuperparticularis,& duae funt minoris inaequali» (is, uidelicet (ubmultiplcx et fubfupcrpaiticularis. o ij % Michablij Stipeui Deinde ex reliquis fune qua tuor fpecies aliquarum quae* libet infinitos ordines habet ,& fub quolibet ordine infinitas fpecies proportionum. Et ex illis funt duae maioris inaequali* tatis.uidelicet fuperparties et multiplex fuperparticularis:duae uero reliquae funt minoris inaequalitatis,uidelicet fubfuperpar Ciens St fubmul tiplex fuperpar ticularis. Demum reflant duae fpecies,quarum quaelibet infinitas ipe- cies complicat, ita ut quaelibet earum infinitos ordines harbear, & in quolibet ordine infinitasipecies proportionum . Harum una efl fub genere maioris inaequalitatis , uidelicet multiplex fuperpartiens: altera efl iub genere minoris inaequalitatis,ui* delicct fubmultipiex fuperpartiens. VDc inuentione duorum numerorum iub fpecie aliqua proportionum propofita quacuncp. Scribe quotientem fecundum denominationem (eu appelfa tionem quam audis i proponente, ut fi quis petat i te dari pro- portionem , duplam fupertripartientem feptimas , iuxta hanc denominationem.hunc feribito quotientem St cum ex quo Ciente ilfo unam minutiam feceris(ut ex i|,fit ferunt termini minutiae illius,termini proportionis quam quaeris,ut ^eft pro portio dupla fupertripartiens fcptimas,fada ex quotiente hoC 25. Pro inuenienda proportione iub fpecie multiplici,ut efl dm pia, aut tripla &c.nihil aliud facies , nifi ut numero appellat io#’ nis,unitatem fub(cribas,ut decupla fic flabit J °« FDe Proportionalicatibus, . PRoportionalitas nihil aliud efl quim proportionum aequa lfum per inaequales numeros difpofit/o. Quaedam propor tionalitatesfuntcontinuae,ut progreffiones Geometricae.de quibus didum efl quarto capite. Tot autem funt fpecies pn> portionalitatum continuarum, quot ipfae proportiones fpecie bus fubiacent.Quim uero infinitae fint fpecies proportionum» fatis dixi paulo fuperiuS . Et ut ex duobus numeris,cuiufcuncg fuerint proportionis, poffis proportionalitatem cotinuam de* ducere Arithmeticae Liber i. ducer e.pofui fuperius in parte quarta regula. Item cuiufcunc$ propor tionis quotientem potueris pro radice ,pgreffionis Geo metricae, erit dedudio illa progreflionis.proportionalitas con, tinua.denominata i proportione q fecerat illum quotiente , ut i. i?. 3 a* S n?. 7il.eftproportionalitasfcfquialteras proportonis. r De proportionali tate contigua. ,• /'""lOntigua fcu difeontinua proportionalitas,fub quatuor V^/foIummodo terminis utilis ede inuenitur, & ualde utilis. ; adeo ut fere nihil fit in mathematicis difciplinis, quod non ufii eius gaudea t.Sic autem eft natura eius.ur d aabus proportioni bus «qualibus, fub quatuor terminis conftitutis, fit contenta, nihil omnino curans qua proportione habeant termini medq’ dummodo proportio duorum pofteriorum teririinoru refpon deat proportioni terminorum duorum priorum . Prior autem proportio ponitur tanqua exemplar, Sifequitur pofterlor tan- quam exemplatu opus, ex aequalitate prioris fumptu . Et quia proportio inter duos medios terminos non curatur, contingit nonnunquam ut continua proportionalitas pro contigua fe afei ingerat .praeter negotq , quod geritur,iadura feudetrimetum* Exemplu Gcometricu, Quoties duae lineae di ufdunt quadrangulum reda ngulum orthogo* naliter.tuc qua tuor par tes diuifi quadranguli, erunt ad inuicem pro» portionales. Huiufmodi figuris ea oculis fubieda uides,q . Euclides de quatuor nu tmris proportionalibus proponit , ut 14. quinti | 1 s»*- ^ r*V ^ y*&t*M* > r*7 4* Michablij STfF H L II fic dicit: Si fuerint qua tuor qualitates proportionafes.fuerftfgt prima maior tertia, fecundam quarta efle maiorem necefle efh quod (i prima minor fuerit tertii, erit etiam fecunda minor quarta. Item G fuerint qua tuor quantitates proportionales, permu- tatfmquocp proportionales erunt: & eft 14 fcptimi,item 1 6 quinti . hoc eft, Gcut ea eft proportio primi ad fecundum, quae eft terti) ad quartum:Gcea eft proportio primi ad tertium,quae eft fecundi ad quartum. Item quae eft proportio primi ad fecundum, ea eft proportio primi & tertij ad fecundum dC quartum. Hoc uult Euclides j iept imi, item 18 quinti.ubi fic proponit: Si fuerint quantitates difiundim proportionales.coniundim quocp proportionales erunt. Sic quae eft proportio primiadtertiuni.eaeftpropors Cio primi & fecundi ad tertium & quartum. Quando tertius inter extremos fuerit medium arithmeticas le,tunc fecundus inter eofdcm extremos erit medium harmo* nicale , ut 6. 9. 1 x. 18. Quando unus ex eis fuerit quadratus, necefle eft ex multiplicatione trium reliquorum inter ie fieri quadrarum. Quando utertp extremoru fuerit cubicus. necefle cftquatuor illos proportionales, non contigue fcd continue efle proportionales. Ex multiplicatione duorum mediorum inter fe.&diuiflone produdi per primum,nccene eft produci quarrum. Et haec eft regula, quam DeTri uocant , id eft, regula de tribus numeris propofitis quibuicuncp, per quos inueniatur quartus, propor* tfonalis ad tres priores propofitos.Quidam uocant eam Mer- catorum regulam cd quod omnes calculationes earum medi* ante hac regula fiant. Alij uocanteam regulam auream,obex» ccllcntiam eius,& immenfam latitudinem eius, ut quae ferd in omnibus negotrjs & artibus homini! fe immifeeat & confulat. Siquidem & Algcbra ipia,quantacuncp laude iplendeat, nihil cflet abfty huius r egulae auxilio. Duo Arithmeticas Liber i. Quo extremi termini inter fe multiplicati.idem faciunt pro dutf u, quod duo medij inter fe multiplicati.Et harc eft oprfma probatio regulat De tri,& eft 2 o .feptimi Eudidif : qux in AU gebra etiam frequentatum habet ufum. Ex ea fequitur,quod ex multiplicatione quatuor terminoHS inter fe nccefle eft produci numerum quadrarom.Ex multipli* catione duorum mediorum inter fe,&: diuifione produdi pro- uenit primus.Et haec eft regula quam De tri inuerfam uocant quae & ipfa ufum habet in uarijs negotq s. Contingunt etiam calculationes, ut fuis locis uidebimus, in quibus mediorum alter inueniedus fit per reliquos. Vt tertius prouenit.fi produdum extremorum inter fe multiplicatorum diuidarur per fecundum: fic tatius diu/dens produdum extrc morum .producit fecundum. T Algorfthmus proportionum. 'didum eft iniuperiore loco.ltemde redudione propo donum in terminos fuos proprios.non opus eft aliqua alia re* §ula .quirn ea quam dedi in Algorithmo minutiarum, de re- udtone terminorum minutiarum in terminos minimos ; ex prima & fecud? feptimi Euclidis. Reflat nunc ut de additione « fubtradione.de multiplicatione & diuifione dicam. FRegula Additionis» Multfplica duces inter fc, & comites etia inter fe multiplica. Boetius ducis uocabulo notat terminum proportionis qui fuperne fcribitur.dum ipfa proportio ponitur ad regulam. Sic Comitis nomine fignat termini! alterum qui infer ne feribitur. Exemplum regulae. 9- 4* ■7 fac/t IX Demonftra tio regulae. V idc ut ex duobus ducibus.unus dux fia t : & ex duobus co. anicibus.unuscomes. Certe Michablis Stieflii . i » %< I I . 1 1 1 1 LL I I I I I l I r 1JJ. II I I I I I I I i I I I I I m Certe uides, ut linea longitudinis in minore quadrangulo fit 4 : di. linea longitudinis iq.fnaiore quadrangulo fit 9. Et ut 9 ad 4 faciat unam proportionem , Deinde linea latitudinis in minore quadrangu!o,uides efle 3 : & Iincaitf latitudinis in tna« iore quadrangulo uides efife 7. & ut 7 ad 3 faciat aliam propor f tionem. Tertio uides aream minoris quadranguli eiTe 1 2 : 8i' aream maioris quadranguli efie 63 . & ut 6 3 ad 1 2 faciat unam proportionem aggrega tam ex duabus proportionibus la ter u. Sic Euclides proponir j-.odauiiOmniumdnquitjnumerorum compofi torum proportio unius ad alterum,eft produda ex Isu terum fuorum proportionibus* Exemplum de genere minoris inaequalitatis . s* 4 3 facit •* w- * /m£ - rRc«ula C>btta«S*,nto. yCrLo t~l ^erm^nos proportionis (ubtrahendae t ranipone ( id eft,e* ^ ZZZ fcccomitem,& ex comite ducem) & tunc operare fecun* «K*****iluiii regulam additionis: ut | fubtrahenda de ?’,fic fiat ad f2tfacit'qj relirta proportio hoceft Item 5 fubtrahenda de fic fiat ad regulam, \ ~ i^facirtp 08 ja 0ci r ^ -rirfiTjcf^rfnju«a regulam additionis: ut | fubtrahenda de ?2, fic fiat ad — - — <- - - , - T * Cum autem additio proportioni! .fimilis fit multiplicationi *r‘Vr7>fdeft »iUk e/ fa^ pr^ minutiarum tJtffr StUsof} \ytJe3’ . **’ 0»ttJi’00r' l ib,*, tiri j, »io ,* - Arithmeticae Liber r. ff minutiarum, reftat ut iubtradio proportionum fimilis Htdiui fioni minutiarum* Quando ex fubtradione mutaf genus, hoc lignum eft, fub» trahendam proportipnem fuifle maiorem ea i qua fadaeft fubtradio. * VDc multiplicatione* Quemadmodum pannus aut lignum, non multiplicat ,(cd multi plicatur :fic proportio non multiplicat ied multiplicatur. Habet autem multiplicatio duas regulas,unam quae docet mul tiplicare proportiones per nutri eros integros : alteram quae do cet eas multiplicare per numeros frados feu per minutias. Regula muitiplicationisproportionum per 1 numeros integros. Pro numero multiplicante, pone proportioni multiplicans jiam, quoties ipfenur.iCrus multiplicans continet unitatem: deinde multiplica duces inter Omiliter comites multiplica inter ie.Vtuolo multiplicare l per 4, pono ergo i quater, hoC modo: i. facit fi* Regula multiplicationis proportionum per numeros frados. Primo, multiplica tuam proportionem per numeratorem, iuxta regulam iam fuperius politam . Secundo, ex produdo fa do, extrahe radicem , qualem denominator minutiae reprar# fentat. Exemplum. Volo multiplicare fi per primo multiplico iuxta numera forem, hoceft,ego triplo hanc proportionem propolitam fle, fi. ?i. fi* facit n ii^i* Deinde quaero radicem zenfizenficam ex utroqp termino,facitzi.Ideoautequaeroradicem zenlizen* (icam, quod denominator (id eft +) reprarien tat radicem zenli* zenlicam, quemadmodum z rcprcrfentat radicem quadratam, &C 3 repraelentat radicem cubicam : ut fatis docui fuperius in parte libri huius quinta, ex hac progreftione, 1 ia. 6 y* t — , '*> .^Michaelis Stipeli! n. i fDe diuifione proportionum. * * Quemadmodum numerus ulnarum diuiditur uel per nume rum ulnarum,uel per numerum abftradum: fic proportio d U Uiditur uel per numerum abftracftum.uel per proportionem. Quando proportio diuiditur per proportione, tunc in quo* tiente prouenit numerus Si nunquam proportio:quia inquiro quoties proportio diuidens inueniatur in proportione diuiden da, ideo neceflTe eft ut proueniat quotiens aduerbialis. Eodem modo diuiditur pannus per pannu:inquiro enim.quoties pars panni fumpta iuxta meniura ulnar .inueniatur in ipfo panno* Quando autem proportio diuiditur per numerum abftra* dum, tunc femper prouenit in quotiente proportio: quia tunc inquiro,an ipfa proportio pofltt diuidi in partes aliquot inter & xquales . Sic dum diuido Borenum per numeru abftra&utn, tunc prouenit quotiens nominalis & dcnominatus,3tc. THabet aut diuiflo^ppordonu tres regulas,ut iam uidebis. i Regula diuilionis proportionum per proportiones. Subtrahe proportionem diuidentem i proportione diuiden da, donec uel aequalitas occurrat, uel genus proportionum mu tetur.ColHgitur aut quotiens ex unitatibus illis,quibus fignan cur uices fubtradionum ; nam uice uniufcuiufqj fubtradionis ponenda eft unitas. Exemplum de occurrente aequalitate» Vtuolo diuidere per 1 ,id eft per feiquialtera proportione* Prima (ubtradio. ■7i9 facit ftu »43 64 191 3» Secunda fubtradio* facit 4‘? 3» 96 Tertia fubtradio» facit 161 — 1 6 48 feu fcu 81 16 »7 8 Quarta Arithmeticae Libes, r. Quarta fubtracfHo. facit (eu * 24 4 ?4 -»7 - 8 »• 3 ' Q*Unta liibtraftio. =4 ftc,t !I feu I a .*• 3- Sexta fubtraftio, •l ^ 6 Ecce aequalitas; Quando occurrit squalitas, lignum cft proportionem dlui dentem,numerarediuidendam proportionem prxcile :&e(Te diuidentem proportionem panem aliquotam proportionis diuidendx. Quia autem fatftae funt lex fubtradiones,ideo quotiens diul (Ionis huiuseft 6, Exemplum ubi squalitas non occurrit* Quando non occurrerit squalitas, ied genus tantum fuerit mutatum, fignum cft proportionem diuidentem cfle partem ali quanta diuidends proporrfoni$,& diuidendam np numerare. Prima (iibtractio. - 2 »37 facit 1 W6 V t uolo diuidet e 8 »7- 8- »7' Ii8 34 T* Secunda fubtrad/o. 8' facit i<5 41» Tertia fubtradio* =1 bdt » lea feu 8 1 1 6 3 s • t* * V (eu 4 9 Vides hic genus eflfemutarumiprouenit enim proportio m( norisinsqualitatis.Quare tertia fubtra&io non debuit Heri. Quia ergo dus fubtradliones fadls funt, ideo quotiens fa- dt » .Remanfit aut £ , & eft illa remanens proportio, tertia pars i ^ - i . v: o ij Michaelis Stifelii diuidentis proportionis.ideo totus quotiens facit xf,Eft igitur proportio dupla fefquitertia inter 1 J £ e & x a- - Regula diuifionis proportionum per na* meros integros. Pro abfolutione diuiforis, extrahe de utrotp termino pro- m tyax. portionis radicem illam quam diuiior reprariencauerit : ut, i diuifa per i, fecit x7. Item 7^diuiia per 3 .facit Item , diuifa per 6, facit Item xt’ diuifa per y, fecit i . Item 1 dfe 6V)r- i uifa per 4, fecit f. Item 1 diuifa per 7 .facit l . Si fic de altjs. Regula diuifionis proportionum per Permuta terminos minutiae diuidentis , & tunc operaberis »7 r r Itixta regulam multiplicationis fuperius datam ,uidelicet de 7 multiplicatione proportionum per numeros fracflos. • •* r^^t^-W^ExempIum. T” VoIo diuiderelg per | : fic ergo ftatexemplum ad. regulam. 7 igitur 4 hanc proportionis repe titione, ^^a.17, * Lt • ? • facit ’^o9j'« Deinde quaere radicem cubica de utroqp termino to scJ&> -tom*. jpportionisfadaeCpropter 3 repraefentante radicem cubicam) J ^fecit tff.itaqj^s diuifa per £ facit ®£. 'ToC^vK- V Sequitur de proportione minutiarum* £ P°^tis minuti js duabus, illa erit inter eas _proportio,quae fiie 7 __ ^5^ ^^T^Siitinuenta inter numeratores illarum, poftquam ad aequales J GT denominatores fuerint redudar. -v y Vt inter f Si | eft proportio fefquiodaua : nam redudae ad aquales denominatores fic ftant,~ . t£. PDe proportionibus progreffionum. n' ux Polito numeroru ordine quocunq?, proportio quae eft inter »ii!U. 'M/»^^'iaii»i Quilibet numerus ex inferioribus.delet aequalem (ibi ex fu# perioribus. Vnde fic ftabunt termini : t* « »4« manent *4 ff. X?.X3* ) FDe propor tionibus irrationalibus» * OMnis proportio rationaIi$,eft proportio integra: & om# nis proportio irrationalis,eft proportio frada,tanquam minutia alicuius proportionis integrae.Nam ficutex diuifione numeri denominati,per numerum abftradum/rcquenter ori- tur denominatus numerus fradus ; fic dum proportionem di- uidit numerus, oritur frequent proportio frada.i.irrationalis» Omnis proportio numeri rationalis ad numerum irrationa lem eft irrationalis. Sed non omnis proportio numeri irratio# nalis ad numerum irrationalera.eft irrationalis.Omnis autem proportio numeri rationalis ad numerum rationalem,rationa Us cft.De reliquis dicam inferius fuo loco» %De proportionalitate Harmonica, Contra# harmonica ,&alqs quibufdam ilmiii# bus. Caput vii. e geometricis proportionalitatibus conti# nuis dC contiguis arbitror me fatis dixifle, donec de ufu earum integer mihi liber ueniat feribedus. Ex multis autem audiui> progrefTtones & radicu extradiones efle fpeculationes inutiles, cum inte r/m Arithmeticam damma laude conarentur efterre.Sed aliud eft (cire ut progrcfliones progrediantur, & aliud eft ufum earfi cognofcere. Certe ars Gebri, quanta quanta fit, nihil aliud eft quim uius proportionalitatum . Eft autem duplex relatio nu# meri ad numerum : refertur enim nomerus ad numerum fub obicruatione exceftus,quo numerus differt i numero. Deinde o ii) Michaelis Stifelii Coirfyuntur numeri .tanquam menfura & mcnfurandum , (ub obiVRtioncquoticntis proucnientis ex numeratione (eu diui- fione maioris per minorem . Prior relatio facit proportionem Arithmericam,& inde habemus pportionalirates (eu progredi fiones Arithmeticas . Altera uero facit proporriones proprie fic didas. Et ex his habemus progreflioncs Geometricas. Conflat autem Harmonicas proportionafitates,& Contr» harmonicas,& alias huiufmodi.eflecompofitas ex Arithmeti* cisSi Geometricis propoufonalitatibus.edquddnonminus differentiae in illis confiderentur quim proportiones proprie didar . Et inde habemus Mediorum diflindiones.ut quardam Media dicantur Arithmetica , quardam Gcometrica,quardam Harmonica.quardam Contraharmonica &'c. circa quorum ex plica tionem dum Boetius elfet occupa rus,& tres terminos po* neret.nihd interim folicitus de proportionalitatum huiufmodi eontinuationibus.inuenti (lint poflea qui negarent huiufmodi proportionalitates pofle extendi nitra tres terminos continue. Vidit autem Boetius uim& efficaciam immenfameflein proportionibus proportional itar ibus: ideo (hidiofe obfcrua uit in illis uariarionum modos,ut uidebimus» Et quia neceffe eft duos terminos efTc in una proportione, di in proportione differentiarum oportet concurrere rresnu* merosCid cft,racdium Qt duo extrema ) ideo uoluit Boerus de proportionalitatibus trium terminorum lingularem tra datio nem habere , non curans interim de continuatione earum pe? terminos plures. V Prima uariatio proportionalitatum. Geometrica proportionalitas. Geometrica. i V^N, 9 x 7 i • • 4 . f Harmo* ****}&>«£& ^ s f^?r Arithmeticas Liber i, ct \A •*• r* <*»-•/& ■ • Harmonica. / i. va ^ , •-*■?. 3 Ii (tonZ >2» ttoi&L£i T 10 if- 8 „ w~r^re Primo.ea eft proportio 6 ad i 8,quae eft 3 ad 9. id cft.minorM y^^Ue"^^ vx*u- extremi ad medium . Hinc fit,ut multiplicatio prioris extremi >£l in medium tantum faciat, quantum multiplicatio pofterioris^^j^T- "* differentiae in extremum minus. ^ Secudo,ea eft proportio 6 ad 1 8, quae eft 9 ad ijAd cft.medij yusbx. oxh*>~~- ad extremum maius . Hinc fit ut differentia prior multiplica taJ*' & truZU? ye** -tj* In extremum maius tantum faciat, quantum differentia pofte ^ 7 rior in medium. Tertio, ea eft proportio 3 ad 1 i.quae eft y ad lo.id eft,mino f *^/ CA~ r is extremi ad maius extremum . Hinc eft ut differentia prior f*****^4, *fU^lc 9 multiplicatainextremum maius tantum faciat, quantum facitf?-- differentiapofteriorinextremumminus. . C LE-- r De proportionalitate Harmonica. ^ PRoportionalitas Harmonica eft difpofitio trium numerc^^*^ £*** 9 v nim fecundum proportionafitatem contiguam, qua pro portio priorisdifferentiae ad differentiam pofteriorem eadem < eft cum proportione minoris extremi ad maius extremum:»^ «£«7* Ut , '4 V awc. Sig igitur uidit Boetius fecundum Geometricam proportio3^" nalitatem fuifte quaerendam Harmonicam. ** Quamuis autem Harmonica proportionalifas non iecund5k*w*®* 4* Arithmeticam proportionalitatem , fed fecundum ^ cam,(lt inuenta: tamen ipfa non ex Geometrica , (ed ex Arith-p^r" eoAi» >u^e. metica inuenta eft. Mirisuero modis inter Geometricam pro ‘L — * portionalitatem 8C Arithmeticam uerfatur & uariarur Har* r'’ monica proportionaIitas,ut obhanccaufamexiftime illi appellationis uocabulum effe inditu. Modo enim ab Arithme f-cr tica difcedit ad Gcometrica;modo ab hac ad illa turfus accedit^**^^*'»*: k . • IV Michablis Stipblii' modo utricp indiflolubiliter coniun&a uider : modo ab utraqj difcedit. Atqj his modis difiimilitudo quae eft inter Arithmeti# cam & Geometricam proportionalitatcm.abHarmonica iu- cunda uariationcmoderatur.Nonemuideo.quid Harmonica babeat,quodad concentus Muficos pertineat,quod Arirhme# Cicanon habeat aequali commoditate. FInuentio proportionalitatis Ha‘rmonicae trium terminorum/ecundum proportionem quam uolueris diuiiam efle per mediu Harmonico. Pone duos numeros (ecundum proportionem quam uolu? risciTediuifam per medium Harmonicum, & coniiitue inter eos medium Arithmeticale (id eft, adde eos,8( aggregati diml dium recipe), Conftituta uero hoc modo progrelhone Arith* metica, multiplicatione terminorum eius procreabis fic: Multi plica primum in fecundum,deinde primum in tertium,et derou fecundum in tertium.Hac breui faciliqj regula ex qualibet pro grefltone Arithmetica trium terminorum, producitur progreG fio Harmonica trium termino^. Vt ex hac Arithmetica 1.2.3. fit hacc Harmonica 2. 3 ,6. Item ex hac Arithmetica 3.4.5-. fit harc Harmonica 12.15-. 20. Item ex hac Arithmetica progrefir fione 2. 5-. 8. fit harc Harmonica 10. 1 6. 40. 8C fic de altjs. Pi&ura regular de inuentione Arithmeticae cx Harmonica proportionalitate. • I ' I % 5- -8 10 16 4» Eodem autem modo,quo ex Arithmetica progreflione fit Harmonica.fit rurium ex Harmonica progreiftone, Arithme» tica. V t ex hac Harmonica 2.3 .fit haec Arithmetica 6, 1 2. 1 8f & fic de altjs* Inuentio Harmonicae ex Arithmetica* Arithmeticae Liber u T7 I S '■ 8- T 20 40 I OO l6o Cum uero medium Geometricum In fe multiplicatum tantS faciat, quantum extrema inter le multiplicata , facit medium Arithmeticum plus,& tanto plus facit,quacum fit ex multipli- catlone differentiarum inter fe : medium uero Harmonicam, tanto minus facit in fe multiplicatum,quim extrema inter fe, quantum facit ipia differentiarum multiplicatio inter fe . Sic Geometrica pulchra ratione uidetur medium quoddam efle inter Arithmeticam & Harmonicam. Arithmetica» i i m .10 Harmonica. IX 8 20 Habet autem Arithmetica progreflio differentias inter fe srqualesj& proportiones terminorum inter fe inarquales.Geo* metrica uero habet differentias inter fe inarquales,& proportio, nes terminor u inter fe aequales. Harmonica aute neq? aequales habet diff-ren rias.neqg aequales proportiones terminorum. rVide autem miram trium proportionalitatum coniun* dlionem. Quoties Geometrica proportionalitas quatuor termfnorG, receperit numerum intermcdium,qai fueritmedium Arithme ticale inter extrcmos.neccfle erit reliquum Intermediorum efle medium Harmonicum intereofdcm extrcmos.Sic.ufce uerfa, fi recipiat medium Harmonicum,ncccflariorecipietetiam me dium Arithmeticum. Talis autem proportionalitas Geome* trica necefiario erit contigua: exemplum, 6, 3. 9. 1 x, T V trum progreflio Harmouica poffit extendi ultra tres terminos. Certum eft hanc progreflionem , z . 3 . 6 . bC alias infinitas progrefliones Harmonicas trium terminorum *non poffe ulte > Michahlij Stifelii rfus extendi. Nihilominus tamen certum eft hanc Harmonidl 3 . 4. 6 . & alias infinitas, poflfe extendi ultra tres terminos. Et pofftbilitatis huius poterat, eos qui hoc negant, admonere fal* tem cubi confideratio: qui cum habeat fex fuperflcies,&o•*«*♦•*«'£* at- r * Michablis Stifblii Haec autem non funt intelligenda de numeris integris fol/s, fcd (ut Beti folct in proportionum & proportionalita tum tra- datione)etiam de numeris fratfhs feu minutiis. FSequitur alia uariatio medij comprehendentis tres fpecies proportionalitatum.quarum \ nomina & exempla hic uides« Contraharmonica. di HHI inter terminos minores .In prima uero uariatione ponebantur minores differentiae inter minores terminos. Primo, ea eft proportio 5 ad 1 , quae eft 6 ad z ♦ id eft,maio# rte extremi ad minus extremum. Secundo,ea eft proportio zad 1, quae eft 4 ad a. id eft, medii ad minus extremum. Tertiora eft proportio 3 ad z, quae eft 6 ad 4* ideft}maions extremi ad medium. FDe proportionalitate Contraharmonica. PRoportionalitas Contraharmonica , eft difpofitio trium numerorum fecundum proportionalitate contiguam,qua proportio prioris differentiae ad differendam pofteriorem,ea- dem eft cum proportione maioris extremi ad minus extremo; ' r • F I nuent io proportionalita tis Contraharmon icar. Contraharmonica proportionalitas fit ex Harmonica pro# portionalitace trium terminorom.Nam commutatis differen* tqs in ^portionalitate Harmonica, ftatim uidebis medij muta tionem inter priora exuema; ut ex 1. z. fit z. r. 6 Similis Geometricae prior. Similis Geometricae pofterior. 3» 4» I 3» p Arithmeticae Libe* i, Sic rurfum cx Cotraharmonica,fit Harmonica, codcni modo, uidclicet commutatione differentiaram. Sic aute fignantur arquationes,quae fiunt ex multiplicatione terminorum di differentiarum. Inter quofcucp duos numeros facite inuenitur medium Con traharmonicum rationaIc,integrum uel fradum,qucmadmo- dum inter quofcuncp duos numeros inueniturctiammedium Harmonicum rationale integrum uel fraeffum . Et inter quof- cunqp duos numeros inuenitur medium Arithmeticum ratio* nale integrum ( ut dum numeri fuerint ambo pares uel ambo impares)ucl fradum.Sed non inuenitur medium Geometricu rationale inter quofcuncg numeros duos. Progrefliones Geometricae , Arithmeticae, 8i Harmonica, U fuerint continuae proportionales fecundum fpeciem fuam fuerint^ duo termini primi rationales, impoflibile erit ut nu* v merus irra tionalis alicui earum continuetur. At in Contrahar monicacotinuatur irrationalis numerus duobus rationalibus immediate pof?tis,ut hic j. 6. 14-^3 . imo irrationalis nu* merus continuatur Cotraharmonicae tribus rationalibusim» mediare pof?tis,ut hic '2. f. 6. 14-f- 3. In progreflionibus Arithmeticis,Geometricis,& Harmoni cis trium terminorum, (i inter medium di extrema utrinqj po- nantur duo media alia fecundum fpeciem illius proportionali tatis.tunc fiunt quincg termini continue proportionales fecun dum fpeciem ^portionalitatis illius. Sed in proport/onalirate Contraharmonica diuerfum inuenimus, ut in hac Contrahar* monica,4. 10.11. Si inter mediu di extrema ffatuas duo media Cottahaimonica,fic ftabunc numeri quinq^.s}. 1 o. 1 1 -i, , 10 * if rDiffimilitud/nes, P «i V WlCHAELlS STIFELir - Et tres numeri priores,uide1icet 4, 8 7. lo.funt Contraharmo rice ,pportionaIes.Item tres pofteriores.uidclicet 10. 1 177. 1 i» quemadmodum tres illi locorum imparium,4. 10. 1 z. Sed tres medii non funt proportionales Contraharmonice,uideliccc 8|. 10. 1 1 77. Quare difpolicio illa quincp numerorum n5 fadt progreflionem Harmonicam continuam» Quando aute ponuntur quincp termini Contraharmonice proportionales continue, tunc termini locorum imparium non erunt adinuicem proportionales Contraharmonice : ut hic» 1 1 o 6144. zz 0.144. 164. 11304-4- 1 3 z.tres priores termini funtContraharmonici,& tres medrj tres ultimi* Ergo habes hic Contraharmonicam quincp terminorum con- tinue proportionalem : di tamen primus , tertius, di quintus» non faciunt ad inuicem proportionalitatem Contraharmoni- cam,quod ualde miror, in fuperioribus enim proportionali» tibus res aliter habet. Regula inueniendi extremum maiusexminore extremo & medio. Polito medio di extremo minore,multip1icadifteretiam eo* rum in extremum minus,& hoc produtfhim adde ad quadratQ medij dimidiati : di radici quadratae illius aggrega ti.adde me- dium dimidiatum. Vt uolo inucnire extremum maius ad illos duos numeros 14.34 , ita ut fiat proportionalitas Contrahar* monica : medium eft 34 , eius dimidium eft 1 7, huius quadratu facit z8?.Ad hoc quadratu addo 140: tantum enim fit ex diffe- rentia 1 o in minus extremum i4.Eft igitur aggregatum 7 z p* Huius radix eft 13. ad hanc addo t7(id eft,dimidiumedqfea numeri 34) fiunt 40. Quare ficftat proportionalitas Contra* harmonica inuenta,i4. 34.40. Regula inueniendi extremum minus per medium Si extremum maius» Polito medio di extremo maiore,multip!ica diffcretiam eo* rum in extremu maius,ft hoc producum fubtrahe i quadrato medtj Arithmeticas Liber i. do medijdimidiati,& radici quadratae illius relidi, adde medium dimidiatum,tunc habebis extremum minus, Harc regula requirit magnos numeros cum paruis differenr djs,ut tuipfe facile fenties in operationibus tuis. fDe proportionalita te priore fimili Geometrica:, PRoportionalitas fimilis Geometricae prior , eft difpofit/o trium terminorum,in qua proportio prioris differentiae ad pofteriore, aequat ^portioni medij ad extremu minus,ut x Vr* Regula inuentionis proportionalitatis huius. v Duobus numeris pofftis quibufcuncp , multiplica maiorem hocct in fe,& produdo huic adde quod fit ex differentia in minore, & hoc aggregatum diuide per maiorem,tunc habebis extremumf ^ «naius ad priores duos numeros pofftos.Vt ex his duobus 200^.-, -j j8o ,flt ille tertius7if : item ex his duobus 5-80. 7 zy, fit illc^^.*C»r c Jyo Aequationes autem quas faciunt termini cum fuis differen»"**'*"^ • tijs multiplica tf.fic fignantur. 00- 290 145* ritf 1 00 r // / / *****~<^ {/!• / / / tjcc, e/Ztjf 290 y8o 72 j- 841 941, JT‘ y» ^ Hoc eft, quantum faciunt 290 in 290, tantum faciunt 145- in i ^ j8o: & tantum etiam faciunt 1 1 6 in 72 j-,& etiam ibo in 84 1 . ^ Quemadmodum autem medium Geometricu non fe m p er* eft rationale inter rationalia extrema : ffc medium proportio*^ nalitatishuius,nonfempereftrationale,dumextrema fberint^ .>«6^5 rationalia.VtinterduosillosnumerosS fk 14, mediat ille irra*» rJr - tionalis A 9o-f-3 fecundum proportionalitatem hanc. Regula inucniendi medium inter extrema data. Pofftis cxtrcmis,adde ad quadratum dimidiata diffbentiac^^yP eorum*0 1: «« f/oo - cui addo (id eft, dimidium differentiae extremorum) fiunt ‘jr »cuiaaao^uaeir,aimiaiumainerenuici.-j Sic ergo ftat exemplum, io. j-. [ 4St ,0* *°* 1 ^^dReguIa inueniendi extremum minus ^ _ _ - X extremo & medio. - ^ivcgula inueniendi extremum minus ex maipre t 7 -£ extremo & medio. & Pone numeros tuos,& hoc quod fit ex differentia eorum in ^ . g norem, fubtrahe i quadrato quod fit ex dimidio minoris in 15 Y ' **, radicem quadratam illius relidi adde ad dimidium mino# vv*^fis,tunc habebis extremum minus ad duos pofitos priores : ut 3CSS/§^ & 1 J zo.Item ex •N f "z^^^FDc proportionalitate pofteriore fimili ’ f i Geometricae. ^Py^Qj. ti^aiJ^^m ,'i/s Geometricae pofterior, eft difpofi- trium terminorum, in qua proportio prioris differentiae ad 7*Spoft«rforem,jrquatur proportioni maioris extremi ad mediu; siXlsi-~z^gut, 3* ». -~+ 4.0' 1/**- 1« 4* <£• ’ ^'^Regula inueniendi extremum minus ex duobus ~ «^.numeris datis. cSx*T”'~ /if^. « #a-* 'Recipe duos numeros, qaorom differentia non fit maior ipfo minoreimultiplica minorem in fe,& ab hocprodudo fubtrahe quod fit ex multiplicarione differentiae in maiorem ,6t rclidum hoc diuidc per minorem.tunc habebis extremum minus.Vt ex 35-io&: 3s>6o,flt 3o2j-.Sicex 30ij-& 3J’*o,fit 2449. Et ficex 2449 di 3023-, fitadhuc alius. Sic autem fignantur aequationes, quas faciunt termini cum differentijs fuis multiplicati. "11 ] 6l ll i Arithmeticae Liber u f7* 4 9T 44° \ \ \ »44? 3°*f 3 T*o 3960. Qy cadmodum prior progrediens per terminos rationales, nuriquam recipit !rrat!onalem,fed regredlens recipit tales; fle haec poflerlor proportionalitas nunquam recipit irrationalem numerum regrediendo/ed progrediendo recipit.ut hic, 1.4.6, */^ x 1— f— 3 . Regula progrcdlend/.hoc ei^imieniendi extremum malus ad duos tftnvnos praecedentes*. Pone tuos numeros, & hoc quod fit ex differentia eorum in maiorem, adde ad quadratum dimidij ipflus maioris,&: ad radi cem quadratam illiusaggregati, adde dimidia ipflus maioris, tunc habebis extremum maius: utex y j- & 64,facles 7*. Sed quemadmodum prior proportionafltas inter duos nu* meros rationales nonnuncjj recipit irrationalem(quemadmo# dum Geometrica etiam fo!et)Ita et haec,ut hic 4 1 09 — 3 . 1 0, Regula inueniendi medium inter extrema proportionalitatis huius. Pone numeros tuos >& quadratum dimidiatae differentiae eorum.adde quadrato maioris, & i radice aggregati huiusfubf^. 'flgL ■ rl /msrlsum i *■*» ♦imriim nnm^mriim * llf ir\tPY C + /J- —m bv/iuuijawui. vjiiauiaiu uiaiuiia| va PDe proportionalitate.Gmfli Contraharmo- nicae.poftcriorc. Proportionalitas fimilis Contraharmonicae pofterior , cft di fpofitio trium numerorum, habentium differentias inaequa* les,quar ambae ad pofteriorem differetiam relatae, faciunt eam proportionem, quam facit extremum maius ad extremum mi- nusiuthic, 4* 4. j »tf. 4. IT» 19 • *T» | T* *l» *T» Quemadmodum ex Harmonica trium terminorum,fit pro portionalitas Contraharmonica trium terminorum,& rurfum ex Contraharmonica fit Harmonica, fola uidelicet commuta* tione differentiarum inter fe : Sic ibla commutatione differen* tiarum, commutant iua exempla inuicem.hae duae proportio* nalitates,quae funt fimilesContraharmonicae.Sicenim uides duo illa exepla paulo iuperius polita, eflfe tranflumpta ex prae- cedentis fpeciei exemplis,&c.Nihilorainus tamen proprias rc gulas pro proportionalitate hac ponam. Regula inueniendi medium. r Pone numeros,quorum differentia non coinddat cum nu- mero minore, A quadrato maioris fubtrahe quod fit exdiffe* rentia multiplicata in minorem, & relidum diuide per maiore, tunc habebis medium. Regula inueniendiextremum maius. Pone duos numeros^ fubtrahe quadratu minoris numeri, i quadrato dimidiatae luminar amborum,& radicem relidi liu » 4* & . 7. | 4* io» i ?. Inuentio extremi maioris regula principalis. Pone duos numeros,quorum differentia non cofacidat cum numero minore. Minorem multiplica in ie.di huic produdo adde quod fit ex multiplicationedifferentiae in maiorem, &ag gregatum diuide per minorem,tunc habebis extremfi maius. Quando igitur uis ut exemplum tuum ponat minorem dif- ferentiam inter minores terminos, tunc recipe duos numeros, quorum differentia fit maior numero minore : nam fi differen* tia fit minor numero minore, tunc uidebis in exemplo poni ma forem differentiam inter terminos minores. Sed Arithmeticas Liber i. 6$ Sed in illa ^porrionaliute qua; hanc immediate praeced/r, aliud eft: uidelicer,quando uis habere excpla,quae ponant diffe rentiam minorem inter minores terminos, tunc tuorum duoru numerorum differentia, erit minor quim fit numerus receptui minor : di fi differentia fit maior, tunc uidebisctiam maiorem differentiam poni inter terminos minores. Regula inueniendi medium. Pone duos numeros, & differentiam eorum moltiplicatt) minorem, & produdum adde ad quadratum d/midtj minoris, di huius aggregati radicem quadratam adde ad dimidium mi noris,tunc habebis medium. Regula inueniendi extremum minus. Pone duos numeros,adde illos ad fe , di i quadrato dfmfdrj illius aggregati fubtrahe quadratum minoris, di radicem qua dratam illius relidi,(ubtrahe i dimidio illius aggregati quod fit ex additione amborum numerorum pofitorum: ut ex 4 z 8C 43 fit 3 6, deinde ex 3 6 di 41 fit i*.Et fic oritur haec proportio- nalitas,24» 3 6, 41. 43. FDe proportional/tate pofteriore quae eft fimilia fimili Geometricae priori. faciunt eam proportionem quam facit ^diumadatremMm^^^^^*^^^1 f minus;uthic, f**’*’" i. a. *• 3« y* Regula extremi maioris,ex minore extremo ^ & medio inuento, Pofitis duobus numeris, quorum differentia non coincidat^^f^f^66^^ '■!;££* cum numero minore, adde eos,tunc habebis extremum mams^ 3 i*«4 +** { (O c-ic CZ r*ri**f fc***+- i""— r Michaelis Stifelii Regula extremi minoris ex maiore extremo & medio inuento. Poficis duobus numeris quorum differentia non coinddat cum numero mi nore.fub trahe minorem i maiore, tunc habebit extremum minus. Regula medrj ex extremo maiore & mi* nore inuento. Politis duobus numeris quorum differentia non coinddat cum numero minore,fubtrahe minorem i maiore» tunc habe- bis medium. Regula continuandi omnes proportionalitatct huius fpedei in infinitum. Polita proportionalitatealiqua huius fpedd , adde femper duos terminos maiores ad ie, ateg ad eum modum progredere uthicuides» ir. i, u. 13, 25-. l* 1 a. i). 3®* Haec eft omnium ultima fpedes proportionalitatu quas Arith metid ponunt, facilem (ut uides ) habens egrediendi modum in infinitum , quemadmodum Arithmeticae progreffiones dC Geometricae fic refpondent ultima primis. F Videtur autem fufficientia requirere adhuc duas fpedes proportionalitatum. Vnam uidelicet,quae ambarum differentiaru proportionem ad differentiam priorem,aequet, proportioni maiorisextremi, ad medium . Sed talem diipolitionem trium numerorum non inuenies ex tota uniuerfitate numerorujopor teret enim ut duo numeri priores haberent differentiam aequalem maiori eorum, quod eft impoffibile* Vnde fi cifr5 pro numero primo reputes, rcfpondebut poftea proportiona litati illi quilibet numeri duo, ut ex his fatis ftnties exemplis. i* f* I a. 1. f 2. 4, o» l* a, | o. 2« 3« I o« a» £« Pcinde alteram Ipedem proportionalitatum uidetur requb rere * *• . Arithmeticae Liber r. rerc fuffidentia proport/onalftatu.eam uidelicet, qu* propor- tionem ambarum differetiarum Gmul fumptarum.ad differen- tiam pofteriorem, aequet proportioni maioris extremi ad me. dium. Sed talem etiam uidemus negled^imo refedaro i Boe- tio & alijs :di merito . Malo enim illa fe continent intra fines fuos/ed altjs fe immifeet fperiebus.ut ex iftis exemplis di Qmig libusuidemus» 3. 6. j. io 9» 18, |y# 10, 30. Cum enim fint Harmonicae , nihilominus tamen reipondent^^3^?- proportionalitatf quam iam dcfcripfl. * ^f***~* r uis iam «iis uixi,cx in tuperforibus etiam l progrefliones^nter quas maxime miror has duas. *>» *?• 3?* 4?» r-fi* 'i* i xi * IX» ,21 3 itf» 4 fi* ' ~ J Iff* txo* Tll* «c. Hae ne^ funt Arithmeticae nec* Geometricx &c. & tamen ui«^v*~ f*T'lWZ des eas progredi iuxta Arithmeticarum progreilionum uiam.****** *‘ ti ojfrt , •*4*****5 L*r(u.rm . « o vgw.n| i«i^ifluuuirt:uuiTi dligUUiinconi ^ ® tinentia.quae latus recipiant tertium figuram orthogonii clau densfub rationali numero. Item (ignan, i» unSa7p,< proportionum multiscium fuperparticularium nullam inue. niri proportionem ffub qua poflit Heri hoc quod fuperius dixj./^^Jw’- Item lignanr in uniuerfa fpecie proportionum fuperparticula.^r^ rium.unam folummodo inueniri proportione qux hoc noflit * .Item fignaniunam folummodo pro^ rtionemTnue^itauni^C^X^ propojrtionu multiplicium fuperpartientiO,qoae hoc Doffint fid ctA*\l* v? w ™ ««mnas «pporriones inueniri lub fpecie proportionu multiplicium fuperpartientifi,qaae hoc poffntdd . , ~ * dixi .Et quod illae proportiones certoordine inueniantur eSe ”"**** «kiWv* usa Kpon«;fellcetinduplafUEpartlemerunt, • ' aut hic, --- • Hor. ' Min. r. f. f. v u 1. it v b s N Arithmeticae Liber r. 6$ tunc multiplicatio & diuifio in illo loco primo, non aliam de- nominationis notam agnofcunt.quim o. Sicut in iecundo nui lam aliam agnofeunt notam quim unitatis , ut paulo inferius per exempla oftendam* Itacp primus locus progreflionis Aftronomicae unitatem habet.Secunduslocushabet minutum unum, hoc eft, fragmen unitatis diuifac in partes fexaginta inter ieaequalest&uocatur haec fragio prima. Vndefracftiones fub hac denominatione Min.uocantur minuta prima.Deinde quae fub hac denomina» tione x fuerint inuenta,uocantur minuta fecunda : funtenim fecundariae diuiftonis firagmeta, uidelicet qua unum minutum primum denuodiuiiiim cfleinuenitur in fexaginta alias parti culas. Et in hunc modum reliquas diuifiones intellige,ex qui» bus habemus minuta tertia.quarta, quinta, &c.Sed iolemus mi nuta prima (impliciter uocare Minuta, & fecunda minuta fole mus umplidteruocare Secunda, &c. ficenim magiscxplicate & iimplicius loquimur Si intelligimur. * Facile autem uides, ut numerus ille 60. id eft fexagena rius, limes fit totius negotrj huiufmodi fradionum, queadmodum i o.td eft denariusjlimes eft calculationum uulgarium.Hinc iit ut quaelibet denominatio denominans minutias Phyficales, quemlibet numerum ab unitate ufe^ ad fexagenarium poftit recipere : iicut in fequenti repraefenta tione uides poni non uni tates fed numeros. Hor. Min. T. f, fiic, 6» ao. 40. yp» Atcp ita per haec habemus modum plenum Si perfedum reprae fentandi minutias Phyiicas. Quemadmodum uero termini in Aftronomica ,pgreflione, modo iimpliciori repraefentantur fi C pronundantur quim ter- mini progreflionis illius Geometricae, quae refpondet Aftrono micae in ualore terminorum : ita facilfbrem multiplicationem & diuifione habent terminiAftronomicae progreflFonis,quim t ,1 Michaelis 8tipex.ii .* termini illius Geometrica? progreflionis.Item faciliorem com modiorem'q$ modu additionis & fubrradlionis habent hae prae illisit hoc quod eft in Aftronomica in Geometrica eft {* ,,.,»7o.Aobot^-oor..cun»', 10 * faciat J ,8i0cdeali)sope rationum fpeciebus. Vide autem ut non folum commoditatis gratia Sed etiam neceflitatis caufa,commutata fit Geometrica in AftronomicS reprsrfentationem.QuidenimfadluruseiTet tabularum Aftro nomicarG fabricator ( ut caetera tranfeam) fi conaretur ponere terminos iuxta Geometricae progreflionis repraefentationem. Vide autem quim faciles fintfpecies operationum fecun- dum repraefentationem Aftronomicae progreflionis,. V Algorithmus Minutiarum Phyficalium fimplicium, Minutias Phyficales eas uoco (docendi gratia) firopliccs, quxfolae ponuntur (iibuno fimplicc denomina tore, ut *“repr»fentat mihi duo tertia. Sed ufu hoc non fit,ut denomi* nator aliquis ponatur abfque praecedentium denominatorum politione: fcilicet ufu duo tertia fic repraefentantur, Hor.o. Min.o. o. 3“. x. uclfic, Gra.o. Min.o. £\o. 3“. i. uel fic. o. o. X .0, r. x. f. i o. o. ». Et hoc modo pulchre fit additio, iiibtra -»* ct m.*"'11 •#»1* Sic radix zenfizenfica extrahitur iub denomina tore diuii bili per per craaix zenuzenuca exrrantrur iuDaenoroinaioreaiunis/«*4w»etj*^j< ■ •er 4 : di radix furdeiolid3 fub denominatote diuifibili**-^e**^»e Dies Hor, Mm, j7* Sic autem ftat exemplum ad regulam De tr /. Grad. Min. jTt f, Hor. o. x . i7. yo f pfuifor fadt tertia 8870 ,QC diufdendus facit tertia 77760000: proueniunt ergo ex diuifione illa horae 8766. HtreOduum di- uifionis eft 3-580, hocrefiduum refolutum per 6o,fadt produ* dum,quod diuiditur per priorem diuiforem; QC fic proueniunt ^7*ninut.&c. Sic uero flat exemplum pro numero tabulae. Grad. Min. r. I Hor, I Grad. o. a. zS. j 1 I 360 piuiiorfacitiecunda 148 , diufdendus facit fecunda 1 196000'* proueniunt ergo ex diuifione illa horae 8756.I10C eft, dies 3 64. hor, zo. Remanferunraurm ex diuifione horae 1 1 z,quae refo* lutae in minura,atcp ita (i diuidantur per priorem dfuiforem,ui delicct » 48,fa ciun t min. 4 5. 8ic. . Itacp annus bifextilis potius fumitur iuxta numerum opera« jionis meae,quim iuxta numerum tabulae. Deinde uides,ut numerus operationis meae plus tribuat an no,qu!m bifextilis annus reportet : reportat enim bifextilis pro quolibet anno 6 horas praedfe. At motus fecundum opera tionemmeam praedidamuni anno tribuit, D/es.Hor.Min, T. 3-. 4-. f. 6~. ?. 8". 9\ t 365. 6. 37» 44»4z*4f« 3*. *• 38.13. 10.53. z6. 18. 48» rr-r 14". 15”. 17“ . 18", ijT. zo*". &C. 77. T«. *3. 36. 47. 53. 30* Videmus etiam hoc loco quid fecerit Nicolaus de Cufa prQ v Michablis Stifblii \A ' corredioe Calendarij.Cum era uidiflet motui huic Ubius horae Grad. Minut. x. f. o x »7* J"o* addendum aliquid,&! additionem unius rertij excedere menfu ram.ed quod diuifor adaudus uno tertio integro, plus adimat anno quam par fit.inuenit fubtrahendas efle partes unius ter* tij 70 S9 denominatas fub hoc numero 43 8 19 :hoccft,?yfg} unius terrij fubtrahendas eiTe inuenit ab uno tertio^: relidum huius fubtradionis,hoceft £f|ri unius tertij.cenfuitefleaddeii dum ad motum quo una hora perficit Grad. Minut. z". f* o, a. »7* fo» Sic enim calculationis ratio perfuadet mihi hoc de fado eiui diuinare.qui libros eius diu non uiderim * Adimit autem tan- tillum momenti illud.de anno omnes illas fradiones quas paif Io fuperius pofui.cu quinta parte unius horae. Hinc fit ut anno folari remaneant praedic Dies Hor. Minut. 3 6s» ?: 48. Et hunc numerumfe/o Nicolaum de Cufa poiuifle. * Satis nunc uides ex rjs quae pofui.ut non folum exempla ex* ercicr) pro Algorithmo minutianitnPhyficalium fumere pof* fis infinita,fed etiam uides qua ratione experientias Aftrono- micas facere poiTis innumerabiles. Habet etiam regula DeTri inueria fuum ufum in Aftrono* micis huiuimodi calculat ionibus.id quod exeplo aliquo opor* tebi.t me hoc loco fignifleare. Ponamus.exempli caufa,feftum natiuitatis Chrifti ab Apo ftolis fiiifle inftirutum.idcg fadum efle mox eo anno quo CbrJ ftus paflus eft,uidelicct anno domini 34. Ponamus etiam fol* ftitium hyemale incepiflfe efle in die Natiuitatis domini, hoc eft zy die Decembris: anno autem domini 1474(0! ftitium hye male incepifle efle 1 3 die Decembris >td eft in felio Ludar* Arithmeticae' Uber r. 70 H/s ira pofitis,uoIo inurere quanta fellat bifextiiis nofter.’ Sic ftabit exemplum ad regulam DeTri /nuerfam. • An. Hor. Annus ^ Min. y An. 4* 120, 12. Sic a titintelligendumeft exemplum. Horae 6 corrigunt anno», 4 , Qua ntum ergo temporis corrigit annos 120' Sic uero cor rigunt 6 horae annos 4,quod fex horae quolibet anno deperiret de ilippuratione Aftronomorum.nifi bifextilis hoc tempus re=» pararer.Faciut igitur 6 horae in quatuor annis diem unum,qui quarto anno femper inrercalatur,ut notum eft.Dcberent au te recipi fex horte, minus aliquantulo temporis. Quaero ergo, quantum fit illud modicum quod debuerat i fex horis efle fub- fraclum c' Hic ego iam pofui Solftitium hyemale receflifle per dies 1 2 integros intra annos 1440 ( i die enim 13 Decembris iifeg ad 2j- Decembris iunt dies i*,8iabann0 34ufcp ad anna I474 fant anni 1440). Sic ergo colligo primo p regula de Tri, Dies An. Dies .. . Annos ^ 12 1440 1 ”clt 1x0 t Deinde fic colligo per regulam DeTri inuerfam: An. Hoi*. An. _ Min. * 4 6 ixo fadt it Deberent ergo fubtrada efle 1 2 minuta de 4 horis illis, ita ut 5- horae & minuta 48 fupputarenrur ultra dies 3 6$: id quod pul« dire fieret, fi femper in anno centefimo uigefimo intermitteret unus bifextilfs,ut ficut annus quartas femper eft bifextilis, ita trigefimus bifextilis,nilnquam eflet bifextilis. Dc Muficu progredionibus , Cap. ix. i* v n c demum de Muticis progreiTionibus dicam, hoc eft, de difpofitione numerorum iuxta fcalas Muficales politorum, Ponunt aute Mutici primo fcalam Muticae uerar; deinde ponunt fcalam Mu* « *J MlCHAELlS SriEBLII flcse fKftat.Videbimus ergo de utriufcp fcalae difpofition*. VDc progreflGone numerorum iuxta fcalam Muficse uerae. /^v V/ uoluerit difponere progreflioneni ItjXta fcalam Mas r V /fica uerar .Incipiat i proportione duplatHaec autem pro jL * /4Mf4/^porxio omnium proportionum prima eft , fi ortum caram e* I / / i- C.v «nim pDiateflaron* - C 12^ j* t6 ^^Diateflaron* a f.j Michablis Stifelii *■ ' Iam i numero impari,remitte diapente , tunc inuenitur nu« merus B rotundi (quod non ponitur in fcala,nifi enim defcen- fus flat ultra r.non eft in ufu) numerus autem B rotundi inuen tus facit x7»Vnde fic flabit amodo clauiura difpoflUo, G 16 F' C Bfa r Tonus. iateflaron* tonus* ort ii t, v Oportet iam ut i r intendas diapente , tunc inuenies D has bere numerum hunc 6 4, ut uides hic. f *■ Semiditonus* 9 A numera Tonus. Arithmeticae Liber * i, 7* A numero indento, remitte diateffaron ( remittendo enim diapente nihil ageres &c») tunc inuenies numerum danis il> Uus A,qui eft 256, ut uides in fequenti difpofitione* G 144 ..... F >. 1 6x Semiditonus* ut D 191 <" / Tonus* C xi 6 ^ 'z1 Tonus* > Bfa 243 Semitonium minus A xj 6 C r 288 / Tonus. A numero inuenro, feu i claue A, intende diapente ( nihil enim faceres intendendo diateftaron, quia incideres in dauetn D,quz prius eft inuenta) tunc inuenies numerum dauis E, qui eft s 1 2, ut habet fequens difpofitio. G *>Tonus. 4»< SemitonitS mai?. Scnd. minj. Sic intelligc. De bb ad b eft diapafon ,de bb ad t) eft femidia pa fon,de aa ad b eft ditonus cum diapente, de aa ad q cfi femiii# conus cum diapente. Et ficdealijs. I. Arithmeticae Liber i, 74 FDe progreflione quae flt iuxta fcalam Muticae fidae. T)RogreiTio quae fit iuxta fcalam Muticae fidae.cadem pror* Jj fus habet q (uperior illa Muflcar uerae (cala : icilicet .Scala Muticae uerae, progreditur iuxta progreftionem tetrachorda r 3 in clauichordio,ubi femper duos integros tonos fequitur femi tonium minus, & ne tritonus obdet, inuenitur tonus fuo loco diuifus in femitonium minus & iemitonium maius , ut fatis cft fignificatum,atcp illa eft progreflio Mutica proprie. Habet igituj ,pgrcffto Mutica .iuxta fcalam fiedam, ea (dem proportiones omnino,(ed ita ut fubiaceant ulteriori diuitioni: itaq? uidelicet ut nullus tonus remanear, qui non diuidatur in iemitonium minus di femitonium maius.ficut uides fadum in fequentihacdiapafon diuitione. 1 Semitonium maius. , ’ Semitonium minus.] Semitonium minus. 5 ■ Semitonium maius. Semitonium minas, •Semitonium maius. • Scmitoniumminus. >a • Semitonium minus, • Semitonium maius. 3 •Semitonium minus, •Semitonium maius. • Semitonium minus. Poteris iam ex his excellentibus fcu geminantisclauibus, ieu clauium numeris, totam Scalam facile compIere,uideIicee (ingulos numeros duplando, ut fuperius indicatum eft. Harc autem diuitio huius diapaion fada eft ut fuperior,uide!i- cet per diapente & dia tedaron. Et ex illa fuperiori eft fanr<\ t aa. »949 » * g* 3 149*3 3 3 »77 6 Michaelis Stifelii ut ab impari incipias :ubicp autem habebis unum imparem folum.Icem hoc lemper fi r deinceps, uc diateflaron intendatur & nunquam remittatur : diapente uero remiftatur.&nunquS intenda tur.His igitur regulis ufus,non poteris errare. Vides hic etiam qua ratione Mufici p a canant.fubclauibus, quarum diciones fa non continent. Item qua ratione mi non admittatur in fingulis clauibus.queadmodum fa admittit dic. Item uides qua ratione Mufica flda.dicatur fida. Ncq» em ita intelligi debet, quafi opponatur Muficae uerac , tanq^ nd/o rei, quae non extet: fed quod fida Mufica,ultra fcalamcommu nem, aliam requiratdiuifionem diapaion, atq? aliam Ccalsr di£« poficioncm.l taq? fi fyllabas feu uoces clauium refpicias, fidio efife uidetur ; at fi rationem numerorum fpedcssres cft&ars, quaeMuficis regulis nequaquam aduerfatur , tanquara edet fidio rei non exidentis. Vides etiam ex ratione numerorum, tonum non ede tono duriorem aut molliorem.necg ullum aliud interuallum alq in# teruallo : quod numerorum ratio iudicat fibi ede arquale,nif! forte duritiem uel mollitiem iudices penes attenuatione uods. Ratio uero harc numerorum, graue QC acutum iudicat • Sicut autem alia ratione numerorum,iudicamus inter uoces longas & breues : ira alia ratione numerorum iudicamus inter uocem grandem & attenuatam, &nihilhorumed quod non habeat rationem diam ex numeris. Satisautemcondat graciliores chordas cytharar,nedum acutiores grofiioribus reddere ionos, fed etiam magis tenues. Huius autem digreilionis occafionem prardirit mihi Muficorum diuifio iJIa.qua fex uoces Muficale* diuidun t in tres dia tedaron, hoc modo, * h I) dur. lol . natur. Bt 7 bmof. mi fcjdur, re natur, n( bmoJ. Arithmeticae Liber i. 74- Vocant autem femicontj minoris uocem acutiorem, mollem: grauioremucro uocem eius, uocant duram. Et quia nulla cla- uis didio,quac ia haber,admitrit uocem fa aut ur, cum tamc ad mittat uocem mi.ltem nulla dieflio quar uocem ut habet,admit tit uocem mi aut Ia, cum tame admittat fa.Hac ratione cenfue runtla efle uocem duram, eo quod uideaturquandam cognati onem habere cum uoce mi.quemadmodum uox ut uidetur cfle cognata uoci fa.Sicfol & re.na turales uoces uocant: hac enim necp q duralium necp bmollium amicitiam uitant, quanqua fol ^ magis inclinet fe ad bmoIles.Licet enim nunquam commifcca tur uoci mi.commifcetur tamen uoci Ia : fic rc nunquam com- mifcetur uoci fa,a t uoci ut comiicetur. V ides cerre ut hac fpecu latio Muficorum non uerierur circa rationes numerorum, fcd circa fyllabas dicionum ipfius icalar,&c. Alia progreflio. ideft,alia diuifio diapa Ion in commata & femitonia minora* • gg. 42467328 *■' . 43046721 43-349632 47773-744 te. 3-0331648 5-1018336 J-374771» dd, 56623104 . 5739*628 60466176 ce. 63700992 67108864 68024448 bb. 71663616 aa. 7549747» 76527504. 8062 1568 g. 84934656 Comma. Semitonium minus* Semitonium minus. Semitonium minus* Comma. Semitonium minus* Semitonium minus* Comma. Semitonium minus* Semitonium minus. Semitonium minus* Comma. Semitonium minas* Semitonium minus* Comma. Semitonium minus. Semitonium minus* t tif MlCHAELtS STIFELII Potes etiam & hanc progrelTtonem commatum 8t Cernito* niorum minorum excendere,ufqj ad rur,pcr duplationem (in* gulorum numerorum. Eft aurem Comma differentia qua (cmitonium maius fupe rat femitonium minus. Polles iam etiam facere progreflionctn Reciforum di Com matum. Sunt autem triplicia recifa: quaedam funt prima quae- dam funt iecunda,& quxdam tertia.HH autem reciium prirnu ' differentia femitonij minoris fupra comma, ut 134x177*8. 1x91401 63. Et recifum fecundum eH differentia.qua reciium primum fupe ratcomma.ut 189994x885-7969*8. • 8j’X997966^3 1S4I* Recifum ter tium,eft different ia, qua recifum fecundum fuperat comma,ut 996 1 i7*JT7<>8699787xrf4. 98475-909 * 3 8479**1 x88 ». Ex his patet.quod adhuc alias ,pgrcffiones Muficas pollent poni,uidelicet commatum di femitoniorum: item commatum di reciforum primorum : item commatum di reciforutn fecun* dorum : item commatum di reciforum tertiorum. Et habent hx omnes unum di eundem modum inuentionis, fcilicet progrelfio commatam di femitonioru recipitur i pro- grellione femitonioru minorum di maiora, di fumitur prine i# pium i numero impari,& remittitur diapente,ut facile uides. DiapenteaCt nun^ intcnditur.nifidumprogrelTfotonorum di ffmitonibru inquiritur, i.dum Icala Muficat uerx conftruif. Sic diatefifaron nunqua rcmittitur,nif? dum illa tonoru di femi toniorum progrelfio inquiritur.Item i numero pari nunquam fit inchoatlo,nifiinillaprima progreflione tonorum &femi« toniorum. Item facileuidebisubicp,quando remittendum fit dC quando intendendum, ut nihil fit ulterius quod in huiufmodi operationibuspofiit defiderar/. Exercitium Arithmeticae Liber *r 76 FExercitium pulcherrimum ex (cala Muficali&AIgorithmo proportionum hac (equenri pidura fignificatur. | — bb.n^—, ■aa. 1304- -g* • 1 > 1 1 1 11 1 1 IMI IHI I I I I I t I I »« r 1 1 1 m T I I I 1 “f. x 916- -e. 307*- "d. 345 6 | "c. 3888 fcj. 4096' _b. 4374 1 1 1 r 1 . N 1 1 1 | 1 'JJ 1 1 i 1 1 1.^ LTTl 1 1 I 1 1 I 1 1 I I 1 II II - Volo iam finire tradationem numerorum rationaliu abfolu torum,hac iucunda/nuentione.propofitionum talium.quibus quidam libros fecer utiquoru exemplo fi ludere uellcm, multo* libros faciliter feribere poflfem. Occafionem huius mihi dedit collatio termino* progreflionis Aftronomicjr,et terminorum illius Gcomctr/car, ex qua prodqt^grefiio Afironomica,ficut Superius oucndi.Nam quanta facilitate, modus operandi^per minuta Aftronomica,fuperat modu operandi per Algorithmu comunem.tanta facilitatefuperat modus operand/.que dabo, modum operadi illum quem fuperius ded/.uidelicet cum qui fit per Algorithmum proportionum. Pro repraefentatione aut huius me/ Algorithmi, fdto me to num fic fignare, 1 uidelicet unitatis notula ; quare ditonu fic fig nabis » »,& tritonu triu unitatu notulis fic 1 1 i.Sem/tonifl uero minus fic quare femiditon* fic fignabit ' dia reflaro fic Ii & diapente fic diapafon fic 1 Commaaurem cifra notulaiq habebit; quare iemitonium maius(quodconftac/cmi tonio minore & commate) fic fignabitur z. Qii/a uero Muficietiam loquuntur de proportionibus qui, turdam irrationalib.ut de fchifmate & diafchifmate,&: nonul- lis ahjs.Voloetia illarum repientationc indicareXfchifmartjd Michailis Stifblii uocanc commatis dimidium)fic figno v: diafchifina uero fic Eft autem diafchifma iemitonij minoris dimidium, Quare di- midium toni fic fignabitur u : eft enim dimidiatus tonus,pro- portio irrationalis,coftans ex ichifmate di femitonio minore. Sic dimidium femitonij maioris ita fignandum uenit 2 : con- ftat enim dimidium femitonrj maioris ex fchifmate & d iafchif* mate.Et dimidium unius diapafon fic erit fignandum = ,con ftituitur enim ex diateftaron di tono dimidiato. & fic de alrjs, TDe Additione. DE additione proportionum ,extant Iordani di aliorum quoqj uirorum dodorum hominum, propofitiones plu* rcs.uti eft haec Iordani propofitio. Compertum eft confonantiam ipfius diateftaron continere quinqjdiefcs & duo commata. Vocatur 'autem diefis, (emito* nium minus. Quincp femitonia minora fic diiponuntur. 256. 256. 256. 256. 256. 243. 243. 243. 243'. 243. Duo uero commata fic diiponuntur. 53 *44 *• 53 »44»« 524288. 5-24288. Et iuxta, Algorithmi proportionu,regu!am,quae de additione datur .laboriofa multiplicatione.hanc tandem diateiTaron pro portionem efticies.uidelicet 3 «0534559388245484896256. 232900919541184113672192. • Iamuide quanta facilitate quanto'<$ compendioex quincp femitonrjs minoribus duobuscp commatibus fiat diateftaron. Semitonia enim quincg cum duobus commatibus fic ftgnanda tradidi = : duo autem iemitonia minora cum uno commate, faciunt v 0 unum tonu.Vnde facile uides ex == fieri —,&uicc perfa&c. Alfa I Arithmeticae Liber l • 77 ’ Alia Iordani propofit/o. Duplae /ntCruallum, ex duabus maximis proportionibus fuperparticularibus9coniungitur. Hoceft, inceruallumipfius diapafon,conftat ex interuallo feiquialtero & feiquitertio ; ut CX LL& LLf flt * === 1 . * Iam uide , quim facile (It ponere propofleiones huiufmodi innumerabiles : ut» * Diateflaron condat ex tonis duobus, & femitonio minore, ut J_i. - Diapente confiatex dia teftaron & tono.flue ex tribus toni* & uno femitonio minore ,ut JLL». Diapafon condat ex tonis quincp & (emitonijs minoribu* duobus,flue ex femitonijsininoribus duodecim,etcommatibu* quincg, ' 1 Schifma additCI ad femfdfapente, facit dimidium unius dia# pafort * ut M ad 4^ facit fetflcdcalijs infinitis. u ’ ’ PDe SubradWone. Extant etiam ppofltiones Iordani de iubtradhbrte,utefl: illa J Sefquirertium interuallum, demptum i fefqu/altcro, relinquit fefqtiiodauum interuallum,ut JJL ablL' facit r. Item illa : Subrra&ionc fada confonantiai unius diapente» i confonantia unius diapafon , relinquitur conionantia ipfius diateflaron: ut 'J_iab 'IL*' facitJ_I, Eft St hic facile lordanu imitari.atcg ita proponere.Sclquf# odlauum interuallum .fubtra dum ab interuallo fcfquitertio, relinquit iemiditoni interuallum: ut i ab U. facit-. Item flc:Tonus fubtradhis i femiditono.relinquit femitoniQ minus : ut i ab - facit — • Item fle: Semitonium minus fl fubtrahatur i tono, relinquit (emitonfum maius: ut — ab o facito, ♦ Item flc:Semitoniu minus fubtradum i femitonio maiore, relinquit comma: ut — ab « relinquit o* Michailu SriFBLir Item fictDfmidiumtoni unius,fubtratiumi dimidio Unios diapafon.relinquit dlatcflaron; ut j abi= facit 11« In his omnibus confentiunt fcalar Muficalrs.AIgorithmo proportionum.a tque huic meo Algorithrao» fucando certe & admirando confcnfu. Item :Tertia pars toni^ubtrada i fuma duaru tertia j» unius femitontj minoris, & unius diafchifmatis,atcfe tertia parte dia* fchifmatisA unius fchifmatiscum parte tertia unius fchifma- tis, relinquit toni partem tertiam» Et Gc de alijs infinitis pul- chris^ exemplis. TDe Multiplicatione propofitiones. Prima. Scmfditonus cum fchifmatc & diafchifmate>multi* plicata per 4,faciunt bisdiapente. , Multiplicanda fic fignanf =% Multiplica quodiibet horum feorfum per 4 , tunc fiunt nuBC £= Qc -rm & ww^fcilicet quatuor iemitonia minora cum qua- tuor ichifmatibus.facifit duos tonos.qui fumpti cum quatuor tonis,& quatuor diafchtfmatibus.i.duobus femitonqs minori bus, faciunt bisdiapente,ut habet propofitio. Secunda. Semitonium minus cum fchifmatc , multiplicata per ^faciunt triconum. Multiplicanda fic fignantur 5. Tertia. Semidiapente cum fchifinate,multiplicata per 4, fi» fiunt bisdtapafon. , , Multiplicanda fic fignantur ir. Et fic de aliis. rDeD/uifione, I . Si diuidatur bisdiapente per 4, tunc prouenft femidito- niis cum fchifmate di. diafchiimate : atcp ita probatur ,ppofitio Hia prima.qm* paulo fuperius data cft de multiplicatione. Diuidenda fic fignantur ’ '• Tocddfcbtruindiuifipcr4.ficiunt 1 i ton.hocefti. Deinde : ~ a fimi» Arithmeticas Liber t. 78 t fentf,min.diuifa per 4, faciunt 4 femi.mfn. hoceft-i, 2. Si tritonus diuidatur per 6, tunc producitur lemftonium minus cum fchifmate. hoceft 4 ton. facit v. Si bisdiapafon diuidatur per 4 , runc prouenir femfdia# fxntf cum fchifmate. Primo, deccrp torj/ per 4 diuiO, facinr 24 con. hoccft—. Deinde reliquum, i.4 femi.min.diuifa per 4,fa* dunt — ,hoc elt iemitonfuro minus. Summa omnium facit ==. Et fic de aliji Omilibus. " rMultipl/catiopermfnutias. Si firmldlapente multiplicatur per tunc producitur femidi tonus cum femi. minore, (chifmate 8t diafchifmate, hoc eft =. Multiplicanda fic lignantur =. M Primo, x ton. multiplica per numeratorem mlnutlar.I.per )• fecit 6 ton.qul dlulfi po denomina torcm, Id cft per 4, faciunt 1 4 ton. hoc cft i 4 Secundo, i Icmiton.mfno. multiplica per numeratorem# produdu diuide per denominator?, facit 1 4 fcmi.mi. hoc cft % Proba multiplicatione produdi.pe r Primo, multiplicatio produdi ( hoc cft per 4, facit 4 to. & 8 femi.min.fi^diafchifmata.fitquatuor^fchffmata : Harc omnia fimul addita, faciunt 6 tonos & 6 fem ironia minora* Harc igitur diuila per 3, faciunt 1 tonos Qi, x femitonia minora, hoc e{t==i feu femidiaprnte. Ex his patet duas tertias unius femitontj minoris.cum uno diafchifmare,at<$ una parte tertia onius diafcbifmatis, fit uno rchifmate, atcp tertia parte unius (chifmatis , conftituerc duas partes tertias unius toni • Patet ftc : 4 toni diuifi per 3 , item 9 femitonia min. diuila per 3 , item 4 diafchifmata diuila per 3, item 4 fchifma ta diuifa per 3 . faciunt ( ut paulo fuperius pro« t>a^i ; — . Si autem i quotcntibus iftis fu b trahas «{ton.cum duobus femi. mi.relinquuntur 3- femlr.roin.8t f diafcbifmatis, & f Ichifmatis.Et harc ora aequantur a terrijs unius toni.Patet* _ V ^ u n Michabus Stifbxii' Si enim | toni addantur ad 1} toni, tunc integrantur*! ton/, qui cum duobus femitonrjs minoribus faciant femidiapentc. Vel ita probabis calculando. Recipe numeratores quotientugi pro integrisjiaxta uniufcuiufcp minutiae denominationem uul garem : fcilicet recipe 1 femitonia minora, & 4 diafchifmata, cum 4 fchifmatibus.Haec (imul addita faciunt * tonos, & illos iam diuide per 3. hoc eft.per denomina tore quotientum com* munem. Atcp ita proueniunt^ toni,exquotietibuspracdidis ad fe additis* TDiuiffo per minutias» Proportio diapafon cum diapente diuifa per 1} ,facitdiapa . fon minus una o&aua parte femitonij m inoris. Hic diuidendi funt 8 toni & 3 femi.min.per f . feuCqd* idem . cft) 8 toni& 3 femi.min.multiplicandafuntper facit opera tio haec s tonos 6i —femi.min. Vides hic fatis ut defit jfemit* min.3 perfedione unius diapafon . Illis igitur modis,propor* tiones, irrationalium terminorum, irrationales^, per rationa les numeros pulchra ratione iiipputantur. PDe quaeftione,an tonus poiTit dimidiari. ILII qui contendunt, tonum, & fimilium modorum propor* tiones (uidelicet diateflaron, diapente, diapafon, &Cc.) non poiTe dimidiari,dudi authoritate Iordani & aliorum quorun- dam hominum eruditorurn.conliderenteofdemuirosquorum authoritate nitunt, no fruftra ponere fchifma atq$ dia fchifma. Qui aut ponit fchifma,hoc eft, commatis dimidium, ille certe, eo ipfo fado, ponit etiam tonidimidium,cum fchifma fumptiS cum femitonio minore uere fit toni dimidium.Pater.Nam duo fchifmata faciunt unum comma : comma uero fumptum cum duobus femitonijs minoribus, complet tonum integrum.Vt? faciunt i.hoccft, tonum. Sic autem ponitur dimidiatio comatis & pofitio fchifmatfi» 5^78|C|,([n,a“ si 1441 >Sdufma* 11 v<«- Arithmeticae ^Liber. i» 79 Et toni dimidiatio praccife ponitur fic: •’ ; 8 ■— ^Semitonium minus cum fchifmatc ? 9 ^Semitonium minus cum fchifmate 7 Probabis autem dimidiationem hanc efle praccifam,per dupla donem partium : cum necefic iit utrancg partium» duplatione fui,reddere tonum prarcife» Sic proportio^ i duplata, facit yi feu £ item proportio duplata, facit g* feu Sic etiam qui toni ponit dimidium,neceiTario admittit dia# pafon dimidiationem, cnm diapafon conftet ex duobus femi- tonrjs minoribus & quinq; tonis.ut 1 ~ 1 . Sic autem ponitur dimidiatio ipfius diapafon» 1 ^Semidiapente cum fchifmate. = x ^"Semidapente cum fchifmate, • u s Deinde qui ponit diafchifma ( hoc eft,iemitontf minoris di* midium) is certe conutnc/tur admittere dimidiationem ipfius diateiraron.Sicautcmfumitur dimidiatio femitonij minoris, pofitis diafchifmatibus, M ) “7 Diafchifma,-i J%6xu>Z<^_ x t 6 — ^D/aichiima. n Et diateflTaron dimidiatio ponitur (ic : \ "~^Tonus cum diafchifmate, i, 4 — — ^Tonus cum diafchifmate. \ Sic fimiliter fequitur dimidiatio ipfius diapente, politionem fchifmatis & diafchifma tis. Item dimidiatio femitonij maioris eandem poGtioncm fequitur, u iij V* r MlCHAUlf STlPELrr Sic autem ponitur dimidiatio femitonrj maioris: > * ® 4 8 ”^?Schifmacumdiaichifmate.7 •/^4789 7 * 1 9 7 — -SchiTmacumd/afchifmatc,^ Et diapente dimidia tio ponitur (ic; * ^^Sctniditonus cum fchiiinate & diafchifmate ^ 3 ^^Semiditonuscumfchiimate & diafchifmate^. Singula hacc probantur additione partium ad ie, ieu ( quod' Idem eft) duplatione partis alterius. Sunt autem dimidiatioes ilIarcertiores,quim ut aliquiseas pofltt negare.Nec lordanus, aut Stapufenfis,uel ullus hominS doCorum.aliquid aliud circa hanc quatftionrm negauit,quim qudd tonus in duo arqualia diuidi poflTi r, certo et conft itu to(ut Ipfl Ioquuntur)numero,hoc eft numero rationali. Non autem negant tonum pofie diuidi per numeriS incertum, & qui nulla unitatum aggregatione fit conftitutus.id eft, per numcru irra* tionalcm.Et quia quaelibet pars dimidiationum praedicaram conftat ex termino certo feu rationali,# ex termino incerto 6t incognito,ieu irrationali : ideo partesetiamillae Gngufce,funt proportiones incertae # incognitae feu irrationales.Sedde nu* (neris irrationalibus # proportionibusirrationalibusfuo loco plura docebo, ut de Muficis rebus haecdiCa fufte/ant. Oc numeris uulgaritcr denominatis, # df t praxilulica. Cap.x, v m b R 1 uulgaritcr denomina t/,funt numeri con traCi ad res naturales u el artificiales, recipientes fuas denominationes i rebus fua: contraCionis, j quar quide denominationes nulla lege proportio naIifibiinuicccolKeret;ut(8 fl.j hgna.4 toni#c V itiraa autem particula deferiptipnis huius, polita eft propter numero? Arithmeticas Lieer i# g0 numeros CofTicos,&minnta Phy fica I/a. Horum em denomi* nationes certa lege proportionali fibijnu/cem funt colligar*: ideo inter numeros uulgariter denominatos non recenlentur numeri Codici & minuta PhyOcalia. Additione 8C Subtractione numerorum uulgariter denominatorum. O Vr!r°dUm mJi?Ut,ac abfoIut* < denominationibus VJLuuIganljus non addentur ad fe,nec fubtrahutur ad inui- cem,nifi aequales habeant denom/natores. ita numeri uulgartf denomina ti, non adduntur ad fesneq, /obtrahuntur ab inuic? mfi pr/us hrennt reducti ad eandem denotationem . Si autem numeri habeat eafde denom/nationes,tunc(ad fimflitudinead. ditionum minutiara abfolurarG)colligunt numeri in unius nu meri fumma ,& illi fumm* adijdtur denolario comunis ficuti notum eft omnibus hominibusjut io arbores QCi 6 arbores tacunt a 6 arbores* * . percdwSlone denominationum. SI numeri uulgaritn denomiaj ti hjbta nt denotationes «4» dbllMJut ,00 groffi Mardi.* 40» groCSaxonici (quorQdana aut immo»0 detwminariones funt equi aut afini) recipe de quolibet nomro urlltil!? cum denominatione fui numeri f ut , groCMar.* , ei Sjx 1 & uide quae fit proportio uaioris inter utrunen ( ut quia *i grof March.uak, 8 denariolis A ^.Sax.udeTti % eiufdem u,k£ ris,l(fco eft inter utruna groffim proportio idquialtera) Pro* portionem qi inuen.a,* , 1 Vmerusuulgariter denominatus,no poteft multiplicari JL N per alium numerum uulgariter denominatum ^ nif? alter eornmiuam denolationem deponat,©*! fiatabftradus.Abftra dus autem numerusyquemlibet denominatum numerum mul tiplicarepoteft :ut:izflor.per 10 multiplicati, faciunt lio flo. Et fic femper recipit fummaprodu(fh,denominarioncm,mul# tiplicati uel multiplicantis. Sed 12 flo. per 10 fl.non multipli# cantur.nec per 1 o groC&c. quia multiplicatio requirit ,ut tota in totum multiplicetur, ita uidelicct ut noniolum numerus in* numerum, fed etiam denominatio in denominationem multi# plicetur.ut patet in numeris Cofliciset minutrjs quibufcuncp, Denominationesautemuulgares nonflbi inuicem cohrtrcne fub proportionalitatis alicuius Iege,(7cut cofltcar denominatio nes : ideo inter fenonpoflunt multiplicari,fiau coflicar deno# minationes inter ie multiplicatur. Quiduero fiat per regulam De Tri/uo loco dicam paulo inferius. FDe diuifione numerorum uulgar/tcr denominatorum. . T Icet numerus uulgariter denominatus non poflit multipli Jocare alium numerum uulgariter denominatu ( flue ambo habeam Arithmeticae Liber r. 8t habeant diuerfas denominatione*, fiue habeant eandem) alter - tamen per alterum diuidi poteft .modo ambo eandem habeant denomina tionem. Quando autem diuerfas habent denomina tiones,tunc,anre diuifionem, debet fieri redudio ; ut fint diui* dendi 46* gro.Saxon.per 4 flor.Rhcnenfes. Reducendi funt, uef 4 flo.ut fiant $4 gro, uel 4 6 2 gr.reduced i iunt ut fiant ** fl, Siue autem 46 2 gro, diuidantur per 84 grof, fiue 1 1 flor.diai- danrur per 4 flor, producitur quotiens ille sk • filKcei numerus abfolutus feu abftradus producitur . Quando enim numerus denominatus uulgan(ter,diuiditarper numerum uulgariter de nominatum, tunc altera denominatio alteram tollit, tanquam aequalis aequalem : dC fic necefle eft,ut quotiens quocp .pueniaf fine denominatione illa . Quando autem numerus uulgariter denominatus,diuiditur per numerum abftradum.tunc necefle eft ut quotiens (eruet denominationem numeri diuifl ; quando enim numerus uulgariter denominatus diuiditurpernumerd abftra dum, tunc numerus diuidendus diuiditur in tot partifUs las inter (e aequales, quot diuifor habuerit unitates.Et fic quae* yitur, quanta fitquarlibet pars rei fic diuiiar. Vnde necefle cft,ut quatlibet pars feruet denotationem rei fuae integrat. At quado numerum uulgariter denominatum, diuidit alius numerus uul gariter denominatus, tunc quarritur, quotiens numerus ille diu uidens habeatur in diuidendo? unde ad quaeftione illam cadit refponfio aduerbialis; ut 9 gro.inuenio contineri fub 36 grofl qua ter .quam refponfionc exprimo per numerum quotientis*. Habes igitur iam aliam rationem, quare hoc cafu producatur quotiens abfty denominatione numeri diuidedi. Adde tertiam rationem. Cum multiplicatio probet diuifionem,ncceflc eft at aut diuifor ( quado diuiditur numerus uulgar If -denominatus) aut quotiens,fit numerus abftratfhis , ut poflit fieri multiplica# gio quotiemis in diaiiorem. Qaando ergo diuifor denominat uulgar if, tunc quoties neceflariocric abfolutus (eu abflrados, Hoc loco ifidr, ut omnia quae dida funt de denominatis nunc * i i ?’ 'rMtCHAB LIS 8 TlFB LU * ris, habeant etiam locum in minutiis abfolutis feu abftradis s propter denominatores earum : fed fufficiat hate monuifle. 1 IN umerus denoiatus uulgarif nuncjj diuidit numera abftradu. • rDeMinutrjs uulgariter denominatis. ; Minutia uulgariter denominata, oritur ex diuifione nu# ^ meri uulgariter denominati,per numerum abftradum, . ipfumcp diuidendum nonnumerantem.Vtdum dinido ' per 8,quia 8 non numerat iy,ideo ex diuifione illa oritur mi*i nutia’ & quia diuifor abfolutus diuidit denominatum, necefle eft minutiam prouenientem efle denominatam,fdIicet ex diui fione ij-f^per S.nafcitur i ^flor.Excauia igitur iamdida fit, . ut denominator minutiae uulgariter denominatae iemper habe . atur pro numero abftrado,atcB ita denominatio uulgarisper > tineat ad numeratorem folummodo. ^De Algorithmo minutiarum uulgariter , denominatarum. i Lgorithmus minutiarum uulgariter denominataru con# . ftat ex regulis Algorithmi minutiarum abftradarum,&; Algorithmi integrorum uulgariter denominatorum : ut nihil, noui ueniat hoc loco docendum,fed tantum «templis quibuf* damregukeilbeueniantrememorandae.. .. . FExemplum additionis primum, . f flor, ad £ flor, facit i fr floren. < I Exemplum additionis fecundum. ^ March.ad \ Saxon.grp . facit i \ Marchio.grof, uel facit jiSaxon.grof. ■ ' •' Primo fiat redudio denominationu uulgarium antequam fiat redudio denominatorum minutiarum , quado occurrerint exempla requirentia duplicem illam redudionem : ut in fe* quenti exemplo, f March.ad | Saxon . facit i g March.gtof. uel facit i Saxon.grof. ' ' , , Probatur : Reduc i ^ Saxori.ad March. tunc uidebis fum- mam additionis fub denominatione MarduOnfc* moneta* A *. I T H MU 1 1 CA H X-L.B E i. $% v- Vel reduc i ~ March. tunc uidebis fummam additionis, fub denominatione Saxonicx monetae. Obferua etia m,ut rcdudio illa denominationum uulgariu. nitatur regula de Tri : :ut. • * > ~ 'Mar, : Sax, . March. Saxon. • ; k X X •;t facit, y / Item; . ; ^ ' Saxo. Mar. < Saxon. March, X 3 i facit | ; •i ^ FExemplum fubtradionis, yMar.ab i7^Saxon,relinquunt|Sax.uel March. grof. Aliud* * . , % Saxo, ab iyf March. relinquunt j March.uel $ Sax.grof. Etilcdefimilibus, . , V Exemplum multiplicationis. lyfSaxon.groC per i £. fadt i # Saxon, grof. Exemplam aliud. I Marchion. per y . facit iy| March;grof. . FExemplum dimfionis primum. ^ t f flor, per \ gyo. faciunt 9, Reduco primo^ ftad^f-gr.atcpita diuido ^-ff grof. per$ grof , uel diuido rS P" rs ft - - . Exemplum diuiffonis fecundum. * * rs grof. per y . faciunt 1 ff grqjf. ■- F De ufu numerorum uulgarirer denominatorum fub regula De Tri. DE regula De Tri uidere poteris ea.qiue fuperius dixicap. fexto. Hoc autem hic uolo docere fol Gmodo .quod ^aulo fuperius promift;uideIicet,ut denominationes numeroru mul f /plicandorum ic non impediant fub regula de Tri^repetamfcp, iit ex tfibus numeris denominatis producatur quattus. Primo igitur ponatur numerus quacftionis £ parte dextra, ptfitin ordine tertius , Eft autem numerus quaeftioni» ille, x ij / v Mictuum Stitbiii qnnnpronunriattoneexempll.fequtair huiufmodi 'aliquod uocabulor 3, quanti, quanwm,quot,quories .qua mdiu Oii. Secondo ponitur numenudimdens 4 parte finiftra,utfitin oidine primus . Eft aurem numerus doridens eandem denominationem habuerit cum numero quarftionisjuel u eandem non habucritomnino,tamen takm habebit quae redu- catur ad eandem. . Tertio poniturruimerus reliquus In medio.ttt taordme ea cum fit fecundus. .... Intelligitur aOt numerus dfuidens.diuiuerc numerum qu** ft tonis: & cum eadem fit denominatio uulgaris in utroq;, n t ut denominatio unius tollat denominationem alterius,pcr legem diuifionii.fitcp per hunc modum, ut proueniat quotiens abltra fzdt 40 - Diuido^pcr 1 1, fiunt Deinde tollit feprenartus unus fe* * ptenarium alterum, ed quod unus fit denominator multipk* : candar minutiar,&: alter fit tanquam numerator multiplicatis; atqj ita remanet quartus terminusjuidelicct 40 f£. > ..... FPraxisItalica, Jp^Raxis illa quam ab Italis ad nos deuoluta effc arbitra* j kyMmur,eft ingeniofa quaedam intictio,quarti tei mini re- ^^gulteDe Tri.ex tribuS termfnis,mediantediftradHone juaria earundem terminorum ,diftradarum'q; particularum L pfoportftfnattoile.atq? dcnominitfonu uulgariu translatione. Verfaturitacy praxishaec poriflimum in his tribus, uidelicet indiftracffione terminorum reguke dcTri^n diftradoru pro* poriionatione, & in denominationum uulgarium traslatione: • win exemplis fcquentibus clare uidebimus. ' ' I . Ratio diftrartionis fiimitur iuxta Euclidis propofitio* npmprfmam.libri fecundi ;quardocet,ut 4 multiplicatain4, k • * • i 4 I. * * l6 . 3* ’ 4? # i . . . 4 8 Ii T- . J dc Arithmeticae Lieer* i. $ 4 &in 8,&in t z Cepa ratim , faciant, quantum 4 multiplicata in-. Tummam factam cx 4 & 8 di. 1 z, hoc eft in 24 . & fimilia. ‘ 2 , Proportionatio autem particularu diftractionis factae*' fit per inuentione aequationis inter particulam unam illius dif*. tractionis,& numerum aliquem, ucl minutiam aliquam,alte- rius denominationis uuIgaris.V t ( exepli gratiajdum inuenio 7 groiTos aequari huic minutiae jfi; dCc. ,J . 3* Translatio denominationum facilime fit. Nam deno* minatio tertij termini regulae De Tri, femper intelligitur efle deleta per primi termini denominationem : imo ambae ie mu* tuo interimunt, ut facile (it transferre denominationem fecudi termini,iuper terminum tertiunp^c. 1 Sed uideamus haec ex fequentibus exemplis. F Exemplum primum de moneta Principum Sa> xoniae3uno floreno faciente z 1 gro.& uno grolTo faciente 1 z denariolos. VLna una uenditur pro 1 y grollis & 1 o denariolis & uno obulo, quanti uenduntur 48 ulnae de panno eodem C * ulna 1 • ’ gro. den. 0 . »5- 1 0 x ulnae :i 48 • 7 d locus diftradaru 7 ' 3 particularum. ■’ 1 ii • r- * • . t - . 16 16 • * » d . locus productorum» ; . . .1 i ’• • . ! . : 1» : _ , . i ■■ ^ ■. : l ■ • . • . i facit ?6tf 6grof. .. Summa productorum. * Primo diftraho Quindecim groflos in 7 & 7 & 1 grofToi. > ‘ Ratio 4H ^ 441» JJ >1.. RflCHAEtlS SflFELM £atfo fiuius diftradf io nis cft harct quod i florenus facit * i grd4 unde fit ut 7 gto.arquentur uni terti* parti florenf unius,atqi Ita ftatim teneo caput prdpOrtfonat/onfs In hoc ex?p!o requl rendae &c.Quia 7 grol. arquantut j f( , Ideo loco 7 groflbrum recipio { .translatabj denominatione florenorum fupra ter* tertium' ( Id eft.fupra nutnerd 48} multiplico 48 get :{ * jnniuin uiuvuii v ..hm.v.w 7v/ — t- h r '^.facit 1 6 flf. Et tantum facit etiam fecundus feptenarius diftra ^ CUoriis.Et 1 (quareft tertia particula diftracftionis, cum fit fe- ptlma pars feprenartj ) facit pruductoirt, quod fit leptlma par* ^ Sequitur diftracfliodenarlolorum, \ JusjforrLt^ J Denarlolos 10 i diftraxi In »*£ ul(imam particulam dlftractoruttt groflorum , Id cft ad upum groflum, cUlus dimidium facit ddenarf os ,&dfmldtfidc^ dena i, rtjs facit 3 §,,&hplus dimidium fadtil^.Atcp ira fit ut reliqua t<^y- T** ~ operatio huius exempli compleatur continuis dimidiationi^* <9*-/ ^ fcilicet, dimidium de * flor. & 6 gtof. facit ift&j grof* hulua d/midiumCcum ip’8l3grof.faciantz4gro.)6cgro(riw, T n culus dimidium facit 6 grofi Tandem fit additio productorum, fcilicet groflt 6, j, 1 * • $* tAu^L^ fiLrt feniu.cransiaraiupcrcumutrijuiitiiwiuii*. *• . *•* afficiunt 1 fr, faris cx priore difpofitione eiusfcg declaratione dir T°^* fi fccre potes, cur 48 grof.diftraxcrim in 1 1 n ,& 3 t&C 3 grof* * f3 X 1 grof, recipio 1 flor.eumq; multiplico per ij-.ndc f r fv* i c0fiTr f/fiheu ergo particula diftratftionis tertia, id eft 3 gro. leptimatn partem de ij-ft(cum j fit feptima pars de a O hoc eft, r flore* oflbs.&c, ' ‘ " “ - * Jriipx. t Arithmeticae Liber r. * ulna R gro. & ulnae 1 O •T lo 4 48 21 0 » ai t ’■> ,• j * jfvr.f f 5 •J" •r X 3 * * I t- JJ fr | X % facit 6 grof. fequunt t o* den.multiplicandi per 48.Transfer denominatio nem den.ad 48,& fiunt 4 gro.Transfer rurfum denomina tio* nem grof.ad 1 o &t faciunt 1 o i gro.hoceft i flor, qui multipli catus per 4,facit 2 foutdelicct ultimum producum* FTertiadiipofitio primiexempli. ulna f? •gro. & ulnae 1 0 •r IO* 4« - 10 6 14* , * r 3 ‘ 6 • i 20 -10 f • "*-■ i * • IO 6 * • > ■ • • r 3 j 1 0 0 i IO 6 9 36 ft dgro. o& Michablij Srirsi.ii Primo diftraxi tertium terminum in 41 & 6. Nam denomi natione gro (Torum translata fupra 4i,fiunt z Jf : qui multipli cati in 10 faciunt zoft,&in y faciunt 10 ft. Deinde 6 dena, faciunt i gro.qui multiplicatus per 41 facit 1 ft.Ergo 3 den.in 4» faciunUf|Mdeft 10 gro ,&6$:8C 1 i facit y gr.& 3 dcn. & fle expedita iunt 4*.Reftat ut 6 etiam multiplicentur in fin» gulas particulas diftra «flionis fecundi termini. Faciunt autem 10 gr.6 den. i flo.qui multiplicatus per 6, facit j t ergo y gr. 3 $ multiplicati per 6,faciunt 1 flo. 10 gro.<5 Reflat multipli catio 6 in 1 4 dena, facit 9 & . Ex bis fatis uides cur ftcundum terminum ficdiftraxerim.uidelicet in 10 8iygro,&d, 3,1*^. "EciT ulna grof. & ulnae 1 0 •f 10& 48 7 6 4» 7 X 6 f ik «4 »4 * • i 4 a • -/ — — f \ a % « s 6 4 l 4 I o a o 6 9 3 ^7 Vides hic terminfi fecundum diftradum in feptem termino* continue proportfonaIes.MuItipIicanturaat4i,hoc eft 1 flo. in finguIos.Deinde etiam 6 in Ongulos multiplicantur.&c. y n 1 ,/ Michablis Stifbu i Minima particula diftra&ionis eft i \ dena .Transfer deno TOinationeden.ad48,fiunt4gro.quosmultiplica per ii, fiunt *. v 9 3 facit loTW \ » • ■ 1 ' i» — " v Primo dtftraxi j- florenosin a* a, r floren. Secundo diftraxf aafolid.in 14.7* 1 (olidos: faciunt enim 14. (olidi k flor.Vndc pro 14 folid/s,multiplicatur i ff in 3 6, facit 1 8 ff’ : ergo 7 (olidi ■faciunt p florenos . item 1 folid. in 36 , facit 3 6 (olidos.Tertio diftraxt f denarios in 3 . 1 £. £ dena. Quia enim 3 dena. faciunt £ (oli. facile eft uidere ut ex multiplicatione £ iol. in 3 6, produ - cantur 18 (olidi. Deinde 1 £ eft dimidiam ex 3 :ergo 1 2 den» facit p f olidos, dC i facit 3 (olidos, eft enim £ tertia parsex 1 £♦ Secunda 1 • \ V V < Arithmeticas LiEeiI FSecunda difpoOt/o fecundi exemp & ' f * r ** J U ili. I' 88 'T 1 a 5 - 3* \ 28 7 $ «8o 22 S H , 22 , 5o - facit 209 10 Diflradio terti) termini fblummodo refpicit illos zzfolid, gui intra terminum fecundum huius exempli inucniuntur. r r r*Ur den°minati° iolidorumde 22 ad 36 junde 29 rohdi fadunt 1 fcqui multiplicatus per 22 facit 12 Quare? folxdi faciunt partem quarta ilIiusprodu % 0 1 ♦ 3 . k • fecit Primo in diftrahendis 209 flor, reipexi ad diuiforrm : unde diuifi per 3 d, faciunt a fi;, hoc eft 7folid.Ergo 18 faciunt 14 fo!i.& 3,. VNa libra piperis uenditur pro 20 albis & j denariolis» Quanti uenduntur s 2 librae t IS 1 r Exempli prima difpofltio* R >lb. 9« I 0 . 20 • r tt . sr, 1} 4 ■v 6% 1 4 . <- 4 | 26 »3 1 »■ 'r, 1 t 1 *. 0 64 1 - ,» * - ; . 1 * 1 ) H •* ' \ facit. 4»ft *alb. . 4den. ■4— — — - • *« • z n Michailis StiFBIII' Albi 1 3 faciunt 4 flor, qui multiplicatus per y *, facit x6 flo*. Ergo dimidium de 1 3 ,ideft 6 i, facit 1 3 flor.Item k alb.multi* plicatus per y 1, facit x6 albos,td eft 1 . Similiter 4 den. (cum faciant 4 alb.) multiplicati per y ^faciunt 1 : ergo 1 deniadc huius produdi partem quartam,hoc eft 6 alb, 4 rAlia difpoOtio huius tertij exempli. . IS * IS 1 0 1" T r* • 4 26 '• f . io • 16 1 0 d * 4 "facit 4«ft *alb- Denominatio alborum transfertur fuper tertium termino, ut x6 albi faciant 1 flor, qui multiplicatus in 20, facit 20 & c. Item4dcna.faciunt4alb.qui multiplicatus per y i*fadt 1 flo. Ergo 1 dena.fadt 4 flor.uidelicet 6 alb.4 dena, TTertia difpofitio huius tertij exempli. !6 '1 0 alb. 9. I 8 *o • f 1 y* t |6 * 4 > • 4* 4 ideft/fdena. 1 * 4 id eft, 1 dena. Arithmeticas Liber j. 9* 3* 8 4 * i o 6 facit .±18. 6 alb. 4». Totus terminus fecundus Jdeft 20 albi &ydena.diftradi fumm terminos odo continuar proportionalitatis ; ergo oro* ducfla fub eadem proportionalitate ftabunt.Transfertur aute denominatio alborum fupra terminum tertium fient ex rz libris, j- z albi, id eft z multiplic5di in fingulas particulas dif. tracftionis &c. Minutiar pertinet ad T &,ut facile uideri poteft rExemplum probans hoc tertiurttexemplum. alb. ■ * f fc AI ^ 4 I r J-* facit »3 y* y* *3 <5 I 0 zoalb. 3*$. 4* 0 1 DiftraflfO ubiq* fatfa eft intuitu diuiforis, fcilicet z 6 tfdi. Iftujber y z faciunt 5 foid eft 1 3 albos : ergo 13 faciunt 1 flo. JdefU alb.&4*.Sic,zalbifaciunt 1 alE.&ylVSt ,a. Duo floreni translati funt refolutiq* in f z albos,& 6 albi faci- entes 48 dena.collckfti funt ad 4 dcna.facitq? aggregatum illud tt r* . MiCHABIIS STIFBLII • • fAUa difpofltfo exempli probantis hoc tertium exemplum» alb. & 6 4 R 4» 15 i i6 io 4 i io alb. j'9'* Denominatio alborum transfertur fupra terminfl tertium, di fic 1 6 albi (facientes i florenum)diuifi per y i,faciunt k alb, qui multiplicatus per 4 i,frcit io albos & 4$ . Deinde 6 albi et 4 denarii qui flant in fecundo termino, additi ad fe, faciunt y 1 den.diuidendi per.y i,uidelicet per diuiforcm,& inde uenit 1 9* TExemplum quartum de wofteta Argentinenfium, qu* 1 floreno facit ioblaphardos,&uno blaphardo fadt 6 dena. TRes cadi uinl uenduntur pro 1 1 f( dC y blaphar. & i dena. Quanti uenduntur 347? cadif num>turic fle ftabft exemplum, cadus I R * “ap. * I "d‘r 1 1 * 1 r 1 -l—l 'jj— rJDeindc rccipc lenjj iermininufncr4iurcm,««ui«^iu ucw minatore, 8C fic multiplicat eft tertius terminus per 1 1 .Opor teter^o ut fecundum terminum diuidasper n,ne uidelicet mutetur fumma multiplicationis debita. Hoc fado, fic flabit exemplum cadus i ft blap. & 1 cadi 1 18 4 1 rVnde io difpofitioe praxis Italicae fic flabit cxeplum hoc. cadus 7 Arithmbticab Liber j# 92 l 'j** • Michablis Stifblii ' Sunt & hic tres dimidiationes in diftradione flor.Parricute uero illae i z 6.6^ i b t? L non referunt Z43 , fed deficiunt 6±f(. Et illitraslatifuntad bIaphardos,fadentes cu izblap. 147 blaphard. Ex quibus z 1 blap. ulterius refoluuntur in 1 x6 denar.quos fub denominatione denariolorum poni uides. TPuto autem per harc pradWcam Italicam fatis efie explica- tam : nam qui mea harc exempla inteliigit, facile poterit ex fe* ipfo fibi formare alia exempla quotquot libuerit. De regulis illis, quae ad regulam De Tri reducuntur, dicam (Deo uolente) in mea Algebra.Et plura alia de regula DcTd dicam in pluribus locis librorum duorum iequentium. LlfiRI PRIMI DE NVMERIS , rationalibus finis. . " .. itiiunira <•: APRENDIX DE REGVLA 91 ■ FALSI. i n • : 3 • • . ‘AD MOICEMATEM SVVM D. ADOL» phum i Glauburck Fra neo ford/en fem 1 patricium, MichaelStifelius. S. vm nuper Petrefus Typographus Norimbergen. totam meam Arithmetfcamrecepiflet,mox*po* ftea per literas periit i me, regulat Falf? explicatio nem,ea occaftone, qudd liber ille titulum ferret’ integrae Arithmeticar/Erant mihi liter* ili* ad- modum gratae .propter u iri diligentiam , artes tantopere pro* mouere ftudentis, ut qui aegreferat titulos librorum magnifi- cos, quibus minusrefpondeant rescontentaeatqp tradat* in efi dem. Et ego te,mi Adolphe,eo quocg nomine uehementer' ueneror St amo, qudd fucos odias, negotia uero candide fada lyncere colas. Oportebat igitur,ut fic admonitus.de titulo libri rationem redderem.metuens ne & tibi fortaflis efle uideretur fiiperbior quim deceat, Itaqj titulus ille (quem tamen noego libro dedi, fed dodor Milichius) non promittit talem Arith* meticam,in qua omnia inueniasqaaede numeris dida dodacrf fint, aut quae de eis inueniri poflint ab altjs.Talem Arithmeti- cam dabit nemo.Sed ideo datus eft libro titulas ille, qudd nu- meros rationales St irrationales tradar, qudd rradat numeros abfolutos fli relatos, qudd tradat numeros abftrados&con- trados,q> tradat numeros denominatos proporrionalirer & improportionaliter , qudd docet algorithmos Arithmeticos. Geometricos.Muficos, Aftronomicos.Si Cofltcos : qudd do- cet Algebrae rationem perfediflimam. Qudd fi harc non fuffi- ciunr,ut commode dici pofllt Arithmetica integra.hoc uiderit dodor Milichius, qui tanto titulo extulit meum hunc librum. Verum fieri potuir,ut artifex aliquis libris quindecim,aut plu» * Michaelis Stifblm ribus.de Arithmeticae Fer iptis, non docuerit tanta, quanta ega •in libris tribus illis partialibus. • ■ Vt autem ad Petrerj poftulata ueniara , puto ego regulam Falfi,(eu falfaium pofitionurn,tnuentam foifle,pcr paruos nu* meros, fnquarftionibus facilimis,& cognitis.Sic enim ego ali- quando folebam inuenire uarias regulas , uariabp numerorum theoremata: de qua rc plura poflem dare exempla ,fcd fuffidat unum atep alterum. Vt primum hoc, 2 & 3 faciunt r.&tantS facit differentia quadrati de 3 fupra quadratum de 2 : nondum autem habeo theorema quod ponam,redpio ergo 2 Qi. 4, quo- rum additio facit 6, at quadratum de 4 non excedit quadratum de 2 fenario.fcdcxcedit illud duodenario, id eft, tanto quantum faciunt 2 Qc 4, multiplicata per differentiam eorum. Et quia eodem modo refpondent duo numeri prius recepti,ideo fufpi Cor iam me inuemfte theorema .Sed ut certus fim de eo.recipio duos alios numeros, uidelicet x&y «Et quia in cis hoc idem 4nuenio .concludo & dico : Quorumcunqj duorum numeror 9 differentia fuerit multiplicata in aggregatum eoru, producit fpfa differentiam quae eft inter quadratum eorum. Aliud ex- emplum,ut 2. 3. 4. faciunt progrcfllonem Arithmeticam. Facit autem multiplicatio medi) in fe, quantum facit multiplicatio extremorum inter (e, cum additione unius ex differentiis nu* - merorum illorum rrium,id eft,unitatis.Hic nihil adhuc-habeo. Pergo ergo recipiens, 2. 4. 6, Hic inuenio multiplicationem medij in fe, facere quantum multiplicatio extremorum inter fe fadr,cum additione ambarum differentiarum. Cum igitur ui« deam additionem no refpondere, refpicio ad multiplicatione, i. rpfnnndprp . R?r inin ioinn aliam nrnarrffion? a ^tdiipofltis,fcidt multiplicatio medij in fe, quantu multiplicatio erU*\f , ■. petremoru inter fp.cum multiplicatione differeriaruMnCerfe. [ *** 1£s*^*V/*X*J}f*x* E^cde alrjs huiufmodi inuention ibus. Vt jjtMh****- •• «]>. •• «ji» •• ««i Appbkdix regvlae fa lst. 94 Slmfli modo (ut ad fnft ituram reuertar tra dationem) puto inuentam eiTe regulam Falft i primo eius autore.Huiu* inucn tionis audiuelhiftoriam uel fabulam. lnuenturus author regula Fal(i,diifimulabat fe (cire nume- mm illum.i quo z fubtrada relinquerent 3 . Recepit ergo pri* ' mo 4 loco numeri illius : quem cum examinaret fubtrahenda »,uidit( loco 3 ) relinqui folummodo ». Itaqj deficere uidit uni tatem.fli hunc numeru,cum defedu illo>(eparatim annorauit. Deinde recepit 6, quem numerum cum exanimaret iubtra- hendo z,uidit ( loco 3 ) relinqui 4. Itaqj fuper fluere uidit uni- tatem : & fic fenarium cum (uperfluente unita te etiam iepara* • tim annotauit.Et fle pofteaexplorauit,qua ratione ex adnota cis numeris produceretur quinarius , qui uidelicer fubtradis I e ** rc^,ncluerct )• Facile autem uidere fuit, qua ratione hoc nerer/cilicet ex aggregatione numerorum receptorum (id eft ex 4 fle <^) fiebant 1 o^Et ex aggregatione falft ratum (id efl.ex 1 « 1 ) nebant a . Itaqj ex diuiuonc 10 per z,proueniebant f id e Innumerus qui quaerebatur. Figura politionum pncdidarumr IO 1 4 6 ■ Minus r 1 1 1 X * . Poflea recepit 4 8C y , &. per eos (Imili modo tentauit inue* nire quinarium. Et cum uideret figuram huius inuentionis (?c fiare (i7t (equitur) fatis uidebaqqudd fimplex aggregatio non . A r\ refpon MiCHAELIS Stipelii -5,' Minus Plue t efponderet utrobicp.inuetioni priori.Tcntau/t igitur onm es inucniendi modos poflibiles»donecinueniretaggregationera mediante multiplicatione in cruce refpondere; idl/cet bi*4& femel 7 ( id eft,8 QC 7) faciunt 17 , quae dinifa per j ,fadunt jv Figura inuentionis prardidar. •w: l Minus iy ,9 Plus U Poftea.ut poflet concludere, tentauit eiufdem numeri(.i.f%) inuentionem per 4& 100 : & exibat figura inuentionis,prardi ^ fteru?4m4 J . *9T 48 190 Minus, Primo } 'cs . Michaelij Stifblii r Pr fano examino primum numerum receptum, id cft,*4* w ■us dimidia eft i s,de quo pars tertia eft 4, & pars quarta eft 3« Eas partes aggregatas ( id eft, 7 ) fubtraho de 1 *, remanent f y qua deberent e (Te (iuxta pronunciationem exempli) 3oo,Fal fit ergo numerus receptus per 15» j-,& eft minus. m • t Secundo examino alterum receptum numerum, id ettyfS* Huius dimidium eft 14. Dimidij illius partes tertia & quarta, faciunt 14, qua iubtra&ar de i4,relinquuni 10, qua deberent c(k 3 oo.Itacp numerus ille receptus,fallit per 290,6*: eft etiam minus.Quare fubtraho 190 de 2 9 s .relinquuntur y.i. diuifor. Deinde multiplico in cruce,uidelicet 290 in 24, & fiunt 696 0} & 2 9 y multiplico in 48,fiunt'cp 14 1 60 . Subtraho igitur ^960 de 14 1 6o,& remanent 7200 dfuidenda per y.Iracp 1440 eft nu merus uerus quem quarebam.Nam eius dimidium facit 720, cuius partes tertia & quarta fimul faciunt 420, qua ambade 720 fubrrada,relinquunt 3 oo.Et fle ueritas prouenit,& nulla (allitas, hoc loco. Secundum exemplum* - v rQuserantur tres numeri, quorum primus additus ad 73, , faciat duplum duorum reliquorum. Secundus.cum 7) > triplum duorum reliquorum .Tertius fumptuscum73 , cadat quadruplum duorum reliquorum.] 1 V / 3 ,0? vSs Plus '3? ... a- Satis hic uides, ur 18 unicus diuifor communis : aut j-^atep 365,fint duo numeri multiplica nres communes,cum fint dua ftilicates.Gum autem amba follita tes lint plus , fitut o.v.1 ' diuifor I APPENDIX EISVIAB EA LSI. $7 diuifor communis, nafcatur ex fubtracftione unius ab altera. ' Primo autem multiplicatur i per ,8C nihil mutatur de multiplicante, ut notum eft . Multiplicantur etiamj per 5-4 1, 6( fiunt » 64^. Subtraho igitur 3 6Fde 1 remanent 1 17 Relid um hoc diuiditur per diuiforem communem, tunc pro- ^ < -*■ »7feasH ducitur numerus primus exempli huius, qui eft 7. *■ Secundo multiplicantur 1 o£ per 3 6£,fiuht'cg 3 74 £ . Et 1 1* , . multiplicantur per 3-4 5, &C fiunt 684-f . Subtraho igitur 374-5 ^ de 684 ,& remanent 3 1 0*. Relidum hoc diuiditur per diui« (orem communem, id eft, per 184, tunc producitur numerus exempli fecundus, qui eft 17. • Tertio multiplicantur a 6 £ per 3 ffuntfcg $16 1 . Et xj k T*Z3t TsZJl *f+- faciat cum 7 3 (quem numeru exprimit pronunciatio exempli) ^ cm-+ l+ JL rum parem,cuius iubduplus lit numerus integcr.Quancpr— ~ roui*fi 1 numerum enim frada non pofttnt ubicp uitari,tamcn uito eas,iibi1ine \z<* boreeasuitare polium, Dicit atuem pronunciatio exem pii ,q>^ • ® 5 +/£**■* ex h ,f 3- 7* ■v*~****Stf\_ 1* " i!) r- /' Michab-ui primus numerus debeat cum 74 facere, duplum duorum refc fluorum Jtac$ cum 73 & j faciant 74, facient (iuxta haec) duo reliqui 3 7, id eft, dimidium de 74. Itaqp (iuxta pronunciationem exempli) oportet ut diuidanr tur 37 in duas partes, quarum prior (umpta cum 73, faciat tri- plum partis alterius, iumpeae cum unitate. Et fic exemplum noftrum ia m pnrfupponit aliud exemplum partiale, cutusam bat politiones fic ponuntur. Minus Diuidendus 41(10* Diuidendus 107 (z6^ X ir 7 • Diuifor 4 Minus 4 Recepi autem primo z,ed q> z addita ad 73, faciant numerum numerabilem i ternario: & eadem ratione pofiea recepi j- &c. De fecunda politione exempli tota1is,quat habet hos tres numeros: 3. iz£, zy£. r Quo confilio autem receperim 3 , fatis patet ex declaratione S rimat pofitionis,quat habuit hos numeros 1 .105. z 6\. lecepi inquam primo 3, quae addita ad 73 , faciunt 7 6. cuius pars dimidia facit 38,fummam duorum reliquorum , iuxta pronunciationem eiuidem exempli totalis, Itacp, iuxta pronunciationem eiufdem exempli total is, opor tebit ut diuidantur 38 induas partes, quarum prior fumpta cum 73 , faciat triplum alterius partis, iumptat cum ternario, I3t hoc eft iam fecundum exemplum partiale, quod exemplum totale pnefupponir,cuius ambat politioes fic figurari poliunt. ' ‘ o Diui« r.* APPENDIX RlGVtAB' IA:4SI, Minus Diutdendus 3x0, (iz£ Diuidendus 714, (15* ,) 5 Plus v, ofitionens atis patent Inuenti quotientes ii±& zy£, reponuntur ad p fecundam exempli totalis fuperius poflti . Caetera fai exfuperioribus. 1 Sequuntur exempla locupletatae regulae Falli ^ 1 per Gemmam Frifium : &cft inuentum ualde egregium. QVaerantur duo numeri fub proportione (efquialtera, qua- rum multiplicatio inter fe faciat 364.] Prima pars regulae locupletatae eft,ui quaeras falfitates iuxr Minus 1 4 » . ) 6 8x3 * t 0 00 c-t • + 18 \ I -? — Minus 3x8, &c.. A Secunda pars regutae eft, ut (propter multiplicationem nu- merorum inter fe fartam) pro receptis numeris, ponantur re- ceptorum numerorum quadrata, manentibus falfitatibus prio ribuSjCucn dipiforc cx cis farto, iuxta priorem partem regulae: B ij QC K* 'farffn ** r>uix**Z7i>J *»«****& % V* • i C? tt 1-^x * ' nt* rn-VK-f c*S wliijJ* C«xa-K. +~*tsyj*. C* x>-c^c^t- m~ /Z^)A/ '*LL tt a£. J I"* • 1* • fZjtZi*- 30 *» SriPELii ftx.CiJ^*' s'i-£ ,v~% r*XtrL<*- *r*-4ur-L-L*^ ~»i*# ni- <*~p ^ : ~ fe/ ***«- Ai, -I . ^u« »• £* -^‘'V \ -k~~ *~t**?b \oA .jVfUct "J^uijj s* P/ j 10368 (5-76 l *33*8 (1196 l/ ,s ? > ^ 5' 8r8 ^ 840 18 Minus .* / ° **_ ^^r^Tertia igitur pars regula? eft, ut inuentis quotientibus, ex* 7,c/*- TJ a***.*™»' V ,ow p-«a UK«« »..», Ui >uuvmW ijuwiu.uwuuj, 1 ~ jZcL». Jz tranas radicerri^e! quadratum ( ut hic, ubi multiplicatio inter /• /1 . f» rl. In... r.1 !1 I _ C. \ » 1 ! ..»_• • - > ^ /z^ct+ii. ^Cc duorum numerorum iolummodo fit) uel cubicam, ubi multi 9 s f ^^-.>^6iS (T phcatio trium numerorum fitinterie&c.Vnde cum quotien- T':. ^72^7" — ^#twjhoc loco,fint $76 Qi 1 1$6, erunt numeri exempli 24 Qd 36. j5>r°t,a tur* Nam ex horum multiplicatione inter fe,flui £ ^UuT*^»^oJuxta exempli pronuntiationem. Aliud exemplum. , fiunt 864*, %r/>~" ff1 1 Quarrantur tres numeri fub proportione dupla, qui inter >#~v*c ^-^^multiplicati-feciant 1744*] SX ,c ? * * 'rPr~z CA*£c<4>— ^ V, flf' — j/ — T*£°*. *~'C T ‘ .«* y*>/VT <* x. ? / e2*> «4>.ay s ^5 f i/^ fbzzzr ‘y-cz?cf d Minus Y**tT 1 £ ^ *■ t/«- x » io 4 xo • 8 40 z68o fij-6 793^ Plus ^oj >♦*»« ( -y 6^* — - I. - l v e< /~P bfterior uero exempli figura fic (lac, » .i,, — \ — _ C * *^r v>t, y ^ 7^** -5- c •'f r ■ufe- ^ •>*****? £?“*" 2. 7- ^ ^ /»<• 40' APPENDIX HEGVLAE FALSI, 99 Minus Vides ut hic pro receptis numeris ad pofit/oncs,recip/antur cubi eorum . Deinde ex quotientibus /nuentis extrahuntur radices cubicar.Et harc fle fiunt, quod numeri tres inter le mul« tiplicantur, iuxta exempli pronunciationem . Numeri funt, 7« 14* *8» Aliud exemplum. Y Quaerantur qua tuor numeri, quorum duo minores flne fub proportione fefquirertiat&duo maiores flntfubjjportionc fefquialtera, Duoueromedtj flnt fub proportione dupla. Et illi quatuor numeri inter fc multiplicati,faciant ujtJ} Hic pro numeris receptis ad politiones, uidebis recipi eorfi zenflzenfos. Et de quotientibus inuentis,extrabcntur radices zenflzenflcar* Sequitor figura exempli prior. 6 9 8 It ,, • • 1 6 H > - j *4 17180 14400 Plus 2880 — ' —• - « , > Sequitur figura exempli pofterior, B iij ■u MrcHABtis SrifBur Plus Plus 1! iV'i Numeri exempli fune , 3. 4. 8. iz. Aliud exemplum locupletatae regulae Falff. > r Quaerantur quincg numeri fub proportione dupla, quorft multiplicatio inter fe faciat, 148 8 31.] , It \ z .i. z. 4 1 V 4 8 *'{ L ' ' lV»t i 8 16 16 3*- ' Minus Z47808 z 16064 4> . . ■ 3*744 Minus 'I ii Sequitur figura exempli pofterior* •M. ' Numeri exempli fant, 3 .6. 1 z. 14,48. Vides autem ut Jnhoc exemplo recipiantur, furdefolida nume ' • rorum Appbhdix uegvlab alliga, ioo -rorum, in priore figura receptor u.Et radicer furdefolidac quo* •tientum inuentorum.dant numeros exempli praefentis. > Et fic de alijs exemplis in infinitum,quemadmodum infini- tas regulas clle intelligimos,ea ratione, qua Chnftophorus pofuit quatuor regulas Algebrar : fecundum quas Frifiusille nobis fua mirifica hac adaudione, regulam Falfi dilatauit ( ut uides) in immenfum. Haec modo, pro inftituto compendio, de regula Falfi, dida, ad Pecreij rcquili tionem,fufficianr,donec alia dederou ^ * * « * De regula Alligationis. POil regulam Falfi /n precio eft regula Alligationis, cuius ufus folummodo circa numeros corrados uerfatur. Quae qualis fit,paucis exemplis abunde fatis poteft o (lendi. V idea* mus igitur unum aut alterum de ea regula exemplum. Primam exemplum de regula Alligationis, i FHabeo uina duplicisualoris. Vna menfura uilioris uini -ualet 6 dena. Alterius uero uini menfura unaualet 13 denari- olis.Volo aut habere menfuramunam commixtam ex utroqp uino ualentem 8 denariolis. i Quceftio iam eft. * v Quantum eft recipiendum de utrot^uino? Regula eft, ut primo ponas numeros alligados, uno ordine. Deinde ponasiIlum,ad que fit allegatio,feorfum.,ut hic uides. .6. 1 3. Numeri alligandi. 8. Numerus ad quem fit alligatio. Numeris autem difpofitis modo hoc , differentiae, inter illum ad quem fit alligationi numeros alligandos,recipiuntur,Si coi locantur pcrmurarim.ut hic uides, Operatiotalisuocatur alligatio. 6 , -j 13 Numeri alligandi. 8 | Numerus ad quem fit Sic, Z... f 1 | 1 Differentiae, ~ " t Michablis Stifblii Et reliqua perficiuntur per regulam De tri , eo modo quo • (ocie tat es & diuifiones pecuniarum inter focios : fcilicet ex ag gregatione differentiarum fit diuifor communis,& ex ipfis differentijs feparatim pofids,flunt termini fecundi, feu multi. plicantes &c. ficut hic uides. <1 7 * t facit X y Hoc eft,7 menfurac de utrocp uino comixtac.rcripiunr j* roen. furas de uino uiliori.Ergo una menfura de utroqp uino com. mixta,recipit 5 unius meniurar de uino uiliori. Item 7 menfurac commixtae ex utrocp uino.recipiuntduas menfuras de uino preciofiori. Ergo 1 menfura de utro® uino fic commixta,continet V unius menfurac de uino preciofiori. Probo fic, Vna menfura de uiliori uino, facit 6 Ergo | menfurac de eodem uino.faciunt 4^. Item 1 menfura de uino preciofiori facit 1 3 : ergo f menf. de eodem uino faciunt 3 £ Faciunt autem (ut probationem uideas) 4 j&dC 3 f 9\>denarioIos 8* Exemplum de triplici uino. jrDe triplici uino.uolo commifcere 1 menfuram ualentem 7 Primi uini ualet una menfura 4 &. Secundi uini menfura i ualet 6 &.Tertij uini 1 menf.ualet 9 &. Sic fiat exemplum ad alligationem. 4. 6- 1 | 9. Numeri alligandi. ITI ~ * ~l ( 1 3 Numerus ad quem 3fc. "Differentiae. Sic fiat ad regulam De tri, t x 1 facit 4 f ? i t 1 APPENDIX XZ6T. COMBINAT, IO) Sic ftit ad probationem, 4 i # i 6 4 facit 15^ 9 £ 4£& ■ Et fic de alijs regulae Alligationis operationibus & excm- plis.ex rjs quae iam fum dida, facile iud/cabis. De alijs regulis (uidelicet Aequalitatis, Augmenti, Decrementi dCc.) uidebiS memionem fieri in Algebra mea, , De regufa quadam Hieronymi Cardanf, ♦ • POnit Hieron.Cardanus regulam qoandam, de combina* tionum modis,rerum quarumcunq? politarum, guae mihi admodum uideturelle iucunda : eam'qj uideo eHe utilem pro rjs regulis, quas libro primo docui, deinuentione partium ali* quotarum.quorumcunqr numerorum. Volo igitur de ea re ex* cmplum ponere pro regula illa. rpolitis numeris his quatuor, i. 3 . j-. 7, uolo breuiflimo compendio inuenire numerum numerorum producendorum- ex multiplicatione eorum inter fe. Hoceft, quoties pofltt fieri multiplicatio, nouum numerum producens.] Regula» Poneprogreflionem Geometricam duplae proportionalita tis, incipientem ab unitate , habentem terminos quatuor ( ed quod exemplum politum habeat terminos quatuor) fltquot unitates fecerint termini progrelfionis illius, redadi in unam fummam, demptis unitatibus quatuor (ed q> progrefTio illa ha beat terminos quatuor) tot numeri produci poliunt ex multi* Slicatione numerorum horum, z. 3. y, 7. inter fe omnibus mo* is multiplicatorum, ut funt 6, 1 o. 14. 1 y . 1 1 . 3 5-. 3 o . 41 . 70. 105-. 2 1 o.Ethi numeri (inguli.numerantmaximum eorum.id ell,z 1 o.tanquam partes eius aliquotar, Vndc ita poteft exem lumuariari. C ) MiCHABLrs STIfcEUt fPofitishis numeris quatuor.z. 3. j- . 7 > fpducftobp maximo numero ^pueniente ex multiplicatioe eoru inter (e(qui eft z 10) uolo compcndiofe inucnire numeru partium eius aliquotaje.] Regula. Quot unitates progreffio habet geometrica haec 1. z. 4,8« tot habet numerus ifte z 10, partes aliquotas, Habet autem progreffio haec, 1. z.4,8, quindecim unitates. Vnde tot partes aliquotas etiam habet numerus ifte z 1 o,uide* licet I.Z.3.J-. 7. 6.10.14.15-, zi^y^o^z^o.ioy. Sic numerus ifte, z 3 1 o.compofitus ex incompofitis nume* risiftis z. 3. 5.7. 11. habet partes aliquotas triginta unam,ficu,t progreffio haec 1 .z,4. 8. 1 6. habet triginta unam unitates. Et ficdealijs. Et ut finiam tandem appendicem hunc , dico efle impoffibile, ut Arithmetica talis feribi poffit ab homine, quae omnes >> huiufmodi regulas & fpeculationes contineat, ita ut nihil amplius arti illi aliquid egre* r . gij fuperaddi pofsit. , ♦ l , v • \ . . , ! ^ - fiNif. i 102 DOCTISSIMO ET HVMANISSIMO 'J uiro domino Iacobo Milichio Medicina: do- dori,fuo patrono obfernando, Michael Stifclius falutem dicit. Redo te credere, uir huma niffime.quod ne* minimortaliu magis gratificari ftaduerim meo hoc labore, quim tibi. Satis hoc teftatur liber magnus ille, qui occafioncm praebuit, ut ifta mea Arithmetica tandem aederetur. Illum enim tui gratia fcripfcram, te necg iu* bente necp rogante,fed fponte mea, quate* nus tibi diligentiam meam teftatam facerem: qua ex paucis Arithmeticae praeceptis,quae i te acceperam, tantam potuerim (Deo fic dante) copiam exprimere. Videre enim potes,quata copia illam unicam regu’am tuam deinuentione digitorum, fub extractione radicum cubicarum, adauxerim in lib. primo, cum praeter eam nihil haberem, qno iuuari pofTcm ad inuenien das radicum (iirdeiblidarum&bfurdefolidarumextradiones. Videbam quidem Apianum ifta fcire,fed ille prorfus nihil do cebat de ea re,nifi q> punda fignanda fignficabat . Quid qero nunc promouerim hoc libro fecundo, tuo iudicio committo decernendum . Cum autem feriptus fuiftet liber ille, cuius iam paulo fuperius memini,8i nihil interim minusrogitare,qu$m ut huiufmodi ftudia mea aliquando proditura eftent in lucem, accidit forte, ut dominus dodor Iuftus lonasad mc quadam node declinaret in hoipitium,u(r uidelicet,cuius ego comitate & facilitatem erga inferiores ie,fatis mirari nequeam ,& ego ef (cum hilaris efiem foper tanto hofpire) proderem illum libru» promifit fe operam daturum quatenus typis excufus arderetur quod uideret eum efle refertum tam uarijs Algorithmis, bona copia exemploru probatis.Id quod ipfe poftea prarftitit egre- gia fedulitate ac fide.Vnde ficot caufampraccipuam 8i prima,. ^ C i). quod MlCHABLJJ STIFEU* . /t. p. 465- • » t • • 7 IOO z 9S 5>J p. Poftea uidens fucceflum ie hab affle talem i dextris, aertit (er ut idem experiretur etiam i finiftf is.Recepit ergo 3 & 4»id eft, numeros quos icicba t allaturos e fle falfltates deflcietes utrinqj. Per eos itaqj quacfiuit quinarium produccrc>ficut prius;& in* genit hanc figuraro. Minus Minus Sdlicet 1 de z liibtracta, relinquit diuiforem 1 : 6i z in 4 multi- plicata,producunt 8: &I in 3,manent 3;Itaqj 3 de 8,relinquQt f diuidenda per diuiforem 1 .Et fic de alrjs, Poft tantos fucceflus in quatftionibus ludicris pracdict is, cae pit autor negotium illarum operationum transferre ad obfcu ras quaeftiones, numerorum abftractorum & contractor oro. Sentiens igitur immenfam latitudine negocij il!ias,magnifice ketabatur «reputans fe reperifle thefaurum artis incomparabi lcm,Eas igitur operationes redegit ad regulam, ut fequitur. Textus regulae Falfi, REcipe duos numeros ad placitum, paruos uel magnos,& utrunqp eorum examina, iuxta exempli propofiti pronun dationem, ut uideas quanto uterqj eorum fallat, quo minus hoc V» * Appendix regvlab * FAlIfi. $€ hoc exeat quod qaarr/tur.Obieruab/s aut femper &C ubicp,urrfl differentia fallens/eu falfitas,plus fit,uel minus eo quod inquf «' r/tur.Nam fi utrobicg prouenerfc aut minus, aut plus, tunc fit fubtradio,& nulla addi tio.St autem ex uno numero prouenit ** ^ plus, 8t ex aj tero numero prouenit minus , tunc fit nulla fit fubtradio . Fit autem additio prima ( aut fubtradio) Inter falfitates : fcilicet aut una additur alteri,aut una lubtrahf tur ab a’tera. Deinde fic multiplicatio in cruce, multiplicante * una falfitatum,numeru pofitum alterius falfitatis* Quo fado, fequitur additio fecunda C aut fubtradio ) uidel/cet produftS unum additur ad alterum, aut fubtrahltar ab altero produdo, iuxta praecedentia rcgulx uerba. Et fic tandem fit diuifio.qua uel aggregatum produdorum, uelrclidum eorum» diuiditur, ueLpcr aggregatum/alfitatum,uel per relidum earum* Sequuntur nunc regula: illius exempla aliqua, Primum. T Quaeratur numerus, i cuius dimidio,fubtra qui numerus ideo mihi feoc loco placet* quod dimidium eius habet partes in pronunciatione nomina- tas.ideftjtertiam&quartam partes, fine fradione aliqua. La- boriofior atep magis rardiofa eft: operatio per frada, quim per integra, ideo frada deuito ubi deuitari po fiunt. Secundo recipio duplum prioris numeri, id eft 48 , fic enim expeditius operor : unde figura exempli huius fic flabit. Minus* Primo c* 'Michaelij Stifelii Primo examino primum numerum recepfum,/d eft, 24. ciy iusdimidiueft 1 1, de quo pars tertia eft 4, 6i pars quarta eft 3. Eas partes aggregatas ( id eft, 7) fubtraho de 1 2, remanent jy ouac deberent efte (iuxta pronunciationem exempli) 3 oo.Fal Iit ergo numerus receptus per 29 j*,& eft minus* ; Secundo examino alterum receptum numerum, id eft, 48* Huius dimidium eft 24. Dimidij illius partes tertia & quarta, faciunt i4,quarfubtrax »*5 \ i6* ^ ^ %S ^ Plus 3^5 >:x Plus '3* Satis hic uides,ut i8^ftt unicus diu/for communis ut T4f atcp 3ffunt'q, , 74 i . Ht . multiplicantur per 74 fiunt 684!. Subtraho Igitur 374 ~ M de 684 remanent 3 io|. Relidumhocdiuiditurper diui* ^a****^*»^?.*. ca- lorem communem, id eft, per 1 8 i , tunc producitur numerus — ? •s‘f~ exempli iecundus,qui eft 1 7* ^ itfiJkf******9^ rjn • • * - . v n • 3 97f 1 • Et z sk multiplicanturper 5-4^, fiontee Subtraho igitur 97 6\ ** »3 9^5 .tunc remanet 4 i^.Kelitftum hocdiuiditurpercom mn n«_ .A _ ■ . * 1 *1“' */*• Primus numerus exempli Secundus numerus exempli Tertius numerus exempli zj. De politionibus exempli duabus fuperioribus. et* munem diuiiorem,id eft, per 183, tunc producitur numerus ^f&f****4 exempli tertias, qui eft Z7. 7# ^ t*» 17+ c*aj 40 ujr r\ n. \ * * -w | Upus eit quam maxime, ut rationem politionum duarum £j.\ - p exempli prarfentis.luperius politarum, reddam. Habet autem quodlibet exemplum regula: Falf? duas politioes regulariter ^fr*-*0* ut fatis uides ex ipfo textu reguli,atcp ex operationibus exemr--’ “~ J- piorum. Operationes autem qu* fiuntperunampofitionem,i'~ magis fiunt per regulam De trf ( formatis arte diulfore & mu! 7 7' tiphcante)quim per regulam falfi.Sed uideamus politiones. i ro priore politione , placuit primo ponere unita rem, co q> 7-/^ ^ faciat cum 7 3 (quem numeru exprimit pronunciatio exemolft *t4.*a,r/0 numerum paiem,euius fubduplus fit numerus Integer.Quan® ‘ Z. enim fracta non pofttnt ubiep uitari,tamen uito eas,ubi (inela^*^- *• DOf££a£ f lirare nnlliim ^ . # 5 . . « ■rJZ ,CV reius/f *" ♦ . ^"^**»“»‘-"^uu4ri,ianienuiroeas,ubilinela^,'“‘w ‘- ci** fxjreeas unare polium, Dicit amem pronunciat io exempli,^ g " C/} t«“ j ^/luAI tx 4» 2 <*— J»**.**4 K A- /' • Michabks Stibexii" * 1 primus numerus debeat cum 7-3 facere, duplum duorum refr cjuorum.Itacp cum 73 & J faciant 74» facient (iuxta haec) duo reliqui 37,ideft,dimidiumde74. Itaqj (iuxta pronuntiationem exempli) oportet ut diuidanr 'fur 37 induas partes, quarum prior (umpta cum 73 , factat tri- plum partis alterius, (umprac cum unitate, Et fic exemplum tioftrum iam pnrfupponic aliud exemplum partiale, cuiusam bat pofittones fle ponuntur. r* Minus Piuidendus4i (107 Diuidendu» 107 (167 IS n 3* Diuifor 4 ..i Minus Recepi autem primo x, eo q> z addita ad 73 , faciant numerum numerabilem i ternario: & eadem ratione poftea recepi s Deiccunda poflrione exempli tota1is,quae habet n bos tres numeros: 3« iz£, zy4. _ .... *" Quo confllio autem receperim 3 ,fa tis patet ex declaratione primae pofltionis, quae habuit hos numeros 1.107. z 6\. 'Recepi inquam primo 3, quae addita ad 73 , faciunt 7 6. cuius pars dimidia facit 38,fummam duorum reliquorum , iuxta pronunciationcm eiufdem exempli totalis, Itacp, iuxta pronunciationem eiufdem exempli totalis,opor tebit ut diuidantur 38 induas partes, quarum prior fumpta 'cum 73 , faciat triplum alterius partis,iumptaecum ternario, *Et hoc eft iam fecundum exemplum partiale, quod exemplum totale praefupponir, cuius ambae politi des fle figurari poliunt. Diuf* 1 U. APPENDIX R"E G V LAB ' F A I $ I. Minus Diuidendus 3ro. (ix* Diuidendus 714. (zyi X- \ * v. 1 i 3« ^ V *' • l \ * ' 14 " b. »4 Diulior x8. > % Plus * 'ir fecundam exempli totalis fuperius pofiti . Cartera fatis patent exfuperioribus, 1 Sequuntur exempla locupletarae regulat Falli,, per Gemmam Frifium : & cft inuentum ualde egregium. QVaerantur duo numeri fub proportione (efquialtera, quo- rum multiplicatio inter fe faciat 864.] Prima pars regular locupletatae cft, ut quarras falfitates iuxr Minus X 4 3 6 8j-8 840 • c 1 • * 18 > Minus Scilicet x in 3 faciunt rf^quar deberent efte s 64 ; deficiunt ergo' 8j8,Sic.. ' . , « . U Secunda pars regulae eft, ut (propter multiplicationem nu- merorum inter fe facftam) pro receptis numeris, ponantur re- ceptorum numerorum quadrata, manentibus falutatibus pr/o «bustum diu (fore cx cis facio, iuxta priorem partem regube: B i) SL * +h t>u^**Z«J . ,,; _ ;JL^ ^ v^u. — pgv-~a 1^4 atn »u*4**t«-2oj * J / ^ <~* ~~ 'l'" <^ v r~ 1^-3*' ±<>u ~4 ■ *- ~\r- — 'y .^^MlCHABLIS ST1FELI! *£&* ^& tuncS»bunt numeri ad regulam Falli fic difpofiti, - • ^ $<**+ ,0j68~ (y7^ 9lUe*^1/ tt ab*- j^VPt &** t |4— MF"^*y •r/ry v — ~ io *c/tf&yZp» - • »*« 5* 7^U«T y(. ! e/j^- . f • ■ t&£ ■ y jG-ci 7 1- «*“5$** 7 ?--? ^-r« 7'_\.9 lJL' v , .' i ( _,#/>** ^**-c -y • t/ •« " x. * * «.St c* &** *£v: -A»?i*rS-2 S i '•«'Z* <3^*0 ^ \^Qt^s * * \J> 1 10 4 xo • 8 40 1680 j-xj-d 7936 Plus 6* * C-I,cf 1 ’ 7 > ___J 7fe*$oRcxiox uero exempli figura fic ftat, . *C . •> <—» . — \ • r» /n «<*f V>t-J r^0z&'Lf 'K (~ tsX. *»/Llo l£o~JC£- j, t«c«i j 7'-*^<* ■£ . * „4. -« ~Z- f- ^/V»x C^-w^- *<* AOA^y^J: cj i *-y< »*• nf. Xjat^t^y- t*cctsi>t»J 1A~-'l*,**jJ • t-f- - ^ 7*“' •> *** ffcz?+., '7%?' £~S ° C«.nH»aM J.IK- -r» ^C- • 4° APPBN.DIX REGVIAE PA1SI. 99 Minus Vides ut hic pro receptis numeris ad pofitioncs,recip/antur cubi eorum . Deinde ex quotientfbus inuentis extrahuntur radices cubicar.Et harc fic fiunt, quod numeri tres inter ie mul* t/plicantur, iuxta exempli pronunciationem . Numeri funt, 7. »4* Aliud exemplum* rQuacrantur qua tuor numeri, quorum duo minores fint (ub proportione (eiquitertia: & duo maiores fint fub^pportione fefquialtera. Duo ucro medij fint fub proportione dupla «Et illi quatuor numeri inter fe multiplicati,fadant i ij-sJ Hic pro numeris receptis ad politiones, uidebis recipi eorS zenfizenfos. Et de quotientibus inuentis^xtrahentur radices zcnfizenficac. Sequitur figura exempli prior. ■ r 1 Plus 6 9 8 IX t6 »4 *4 3^ 17*8® 14400 x88o Plus Sequitur figura exempli pofterior. B irj Mfcitabiis Stiibuf Plus 40 96 *rn*.t „ ^ 331776 -7' . 17*80 65-61 1 10736 -33«776 t 6796 l 6 14400 28 80 Plus Numeri exempli funt , 3. 4. 8, 12. ■ .* Aliud exemplum locupletatae regulae Falff. > rQuaerantur quincp numeri fub proportione dupla, quorft multiplicatio inter fe faciat,24883 2.] 1 Et fic de altjs exemplis in infinitum,quemadmodum infini- tas regulas cfle inielligimas , ea ratione , qua Chriftophorus pofuit quatuor regulas Algebrae : fecundum quas Frifiusille nobis fua mirifica hac adaudione, regulam Falfi dilatauit ( ut uides) in immenfum. Haec modo, pro inftituto compendio, de regula Falfi,dida, Ad Petreij requifitionem,fufticianr, donec alia dedero* -> De regula Alligationis. 'T)Oft regulam Falfi /n precio eft regula Alligationis, cuius < JL ufus folummodo circa numeros cotra dos uerfatur. Quae qualis fit, paucis exemplis abunde fatis poteft oftendi. Videas mus igitur unum aut alterum de ea regula exemplum* Primam exemplum de regula Alligationis* 1 FHabeo uina duplicisualoris. Vna menfura uilioris uinJ ualet 6 dena. Alterius uero uini menfura unaualet r 3 denari- olis.VoIo aut habere menfuramunara commixtam ex utroqt uino ualentem 8 denariolis, • Qiincftio iam eft. v Quantum eft recipiendum de utrotyuino? Regula eft , ut primo ponas numeros alligados, uno ordine* Deinde ponasillum,ad que fit allegatio,feor(uir>,ut hic uides* -6. 13. Numeri alligandi. 8. Numerus ad quem fit alligatio* Numeris autem diipofitis modo hoc , differentiae, inter illum ad quem fit alligatio^; numeros alligandos>recipiuntur,& coi locantur pcrmuratim.ut hic uides. ^ Operatio talis uocatur alligatio. 6 | 1 13 Numeri alligandi* ■Sii J_l Numerus ad quem fit &c* Differentiae. (■ OJ Michaelis Stifelii Et reliqua perficiuntur per regulam De tri, eo modo quo (ocietates & diuifiones pecuniarum Inter (ocios : (edicet ex ag gregatione differentiarum fit diuifor communis, & ex ipfis differenttjs (eparatim pofitis.fiunt termini fecundi, feu multi* plicantes&c. ficut hicuides. r : i ™ facit i V Hoc eft,7 menftrraede utrocp uino comixtae, recipiunt r roen* • furas de uino uiliori.Ergo una menfura de utro<$ uino coma mixta, recipit | unius menlurae de uino uiliori. Item 7 menfurar commixtae ex utrocp uino, recipiunt duas menfurasdeuinopreciofiori.Ergo i menfura de utro» uino fic commixta, continet ? unius menfurae de uino preciofiori. Probo fic, Vna menfura de udiori nino, facit 6 Ergo j menfurae de eodem uino,faciunt 4 ? Item 1 menfura de uino preciofiori facit 1 3 9s : ergo f menf. de eodem uino faciunt 3 7 $. Faciunt autem (ut probationem uideas) 47 3 f &,denarioIos8. Exemplum de triplici uino. r*De triplici uino.uolocommiicere 1 menfuram ualentem 7 $ .Primi uini ualet una menfura 4 Secundi uini menfura 1 ualet 6 ^.Tertij uini 1 menf.ualet 9 &. Sic fiat exemplum ad alligationem. 4 6-| | 9 Numeri alligandi. J 7 | Numerus ad quem 3tc, x x f 1 » Differentiae. Sic fiat ad regulam De tri, x x 1 facit 4 f i Sic APPENDIX &E6T. COMBINAT, 10] Sic ftat ad probationem. 4 k * »* • 6 4 facit r£& 9 g * Et fic de alijs regulae Alligationis operationibus & exe m- pl is, ex tjs quae iam funt dfda, facile iudicabis. De alijs regulis (uidelicet Aequalitatis, Augmenti, Decrementi dCc,) uidebiS mentionem fieri in Algcbra mea, , De regura quadam Hieronymi Cardani. »♦ POnit Hicron.Cardanus regulam qoandam, de combina* tionum modis,rerum quarumcunq* pofirarum, quae mihi admodum uidetureile iucunda : eam'qj uideo ciTe utilem pro rjs regulis ,quas libro primo docui,deinuentione partium ali* quotarum.quorumcuncp numero tum. Volo igitur dc care ex* emplum ponere pro regula illa. FPofitis numeris his quatuor, 2. 3 . f, 7, uolo breu/flimo compendio inuenire numerum numerorum producendorum ex multiplicatione eorum inter Ce. Hoceft, quoties poffit fieri multiplicatio, nouum numerum producens.] Regula, Pone progreffionem Geometricam duplar proport/onalifa tis, incipientem ab unitate , habentem terminos quatuor ( ed quod exemplum pofitum habeat terminos quatuor )& quot unitatesfecerfnttermini progreflkmis illius, redatfi in unam (ummam,demptisuniratibusquatuor (ed q> progreiTio illa ha beat terminos quatuor) tot numeri produci poflunr ex multi* Slfcatione numerorum horum,2. 3, j-. 7. inter Ce omnibus mo* is multiplicatorum, ut funt 6. 10.14. ij. 21.3 f« 30.42.70« ioj*. 2 10. Et hi numeri finguli.numeranr maximum eorum, Id eft,2 1 o.tanquam partes eius aliquotar. Vnde ka poteft exem lumuariari. C f ) Michabu s Stibeui TPofitishis numeris quatuor.i. 3. 3% 7>,pdu punda fignanda (ignficabat . Quid qero nunc promouerim hoc libro fecundo, tuo iudicio committo decernendum . Cum autem feriptus fuiftet liber ille, cuius iam paulo fuperius memini,&nihil interim minusrogitare,quim ut huiufmodi ftudia mea aliquando proditura elTent in lucem, accidit forte , ut dominus dodor Iuftua Ionasad me quadam node declinaret in hofpitium,uir uidelicer,cuius ego comitate facilitatem erga inferiores (e,fatis mirari nequeam ,& ego el (cum hilariseilem fuper tanto hofpire) proderem illum hbru, promifit fe operam daturum quatenus typis excufus arderctur, quod uidereteumefte refertum tam uarijs Algorithmis, bon* copia exemploru probatis.Id quod ipfe poftea praeftitit egre* gia (edulitate ac fide.Vnde ficat caufam praecipuam &C prima, ^ C i] qudd qudd fcrfpta fit Arithmetica haec i me>in te rerjeio: ita caufant quod typis fit ardita,reijcio in praefatum dominum Do&orem, qui tunc erat epifeopus meus. Et cum poftea opus i Typogra phis differretur, adeo, ut &fgo nihil ampliusiliud curarem, contentus quod i Bibliopola quodam,pecuniam mihi pro Ia» bore meo promiflam recepiflem : accidit uxorem meam ad» uerfa ualetudinc confiidari adeo miferrut ad fletum pleruncp commoueret uicinas, quae eam compaflionis (ludio frequenta bant. Quam cum ope fuaChriflus perpharmaca Sdconfilia tua re(lituifiet,&ego debita facere pararen^refiftebas^iTeue» rans exiguum officiam temihipracflitiflc.Cumautem non pcrfuaderer,ut exiguum ducerem,curafTc uxorem como da m, fidelem ,& in aduerfis conflantia probatam,coepidenuome conferre ad priorem ratione gratificandi tibi per Arithmetic2* Illis igitur,quf necp eam nolebant , necp uolebant excudere, promifi me locupletaturum, ut uel fic detentam tamdiu,dc ma ntbus eorum eriperem, quatenus per hanc occafionem alij cui- dam Typographo exhiberetur, qui huiufmodi artium ftudia diligentius curaret.Tandem ita fucceflit.ut pro uoto talem in» ueniremus, qui de peregrinis cha radier ibus nihil (ut alij) con» quereretur, fed par negotio, & uellet &,’poflet . Et fic librum iecundum tandem confidenter adauxi, decimo ■ t- Euclidis, ut nonfruflriadme,&$mead Pctreium,redieritexemplar i capti piutc fua. Vale feliciter* MICH AEL l'§ STIFELII ARITHMETICAE UBER SECVNDVS, DE N V» s meris irrationalibus ♦ * v* •» .4. ' 'A t • • . A' * De efTentia numerorum irrationalium» Caput i» e r i r o difputaturdenumerisirration»libus,an ueri fint numeri,an fidi. Quia enim in Geometri cis figuris probandis , ubi nos rationales numeri deftituunt, irrationales fuccedSt,probant'c$ prae* c iie ea, quae rarionales numeri probare non pote* rant, certe exdemonftrationibus quas nobis cxhibcnt:moue* mur 8t cogimur fateri, eos uere efle,uidelicet ex effc&ibus eo- rum .quos ientimus e fle reales, certos, a tep confla ntes. At alia mouent nos ad diuerfamaflertionemyutuidelfcet cogamur negare,numeros irrationales efle numeros. Scilicet, ubi eos tenta ucrimus numerationi fubijcere,atcp numeris ratio nalibus proportionari.inuenimus eos fugere perpetuo, ita ut nullus eorum in feipfo praecife apprehendi poflit : id quod in refoluci5ibus eoru fentimus,ut inferius fortefuo loco oltenda. Non aute poteft dici numerus uerus,qui talis eft ut prarcifione careat,& ad numeros uerosnullam cognitam habeat propor* tionem.Sicut igiturinffnitus numerus.no eft numerus: ficirra tionalis numerus non eft uerus numerus.q» lateat fub quadam Infinitatis nebula. Sit'q? non minus incerta proportio numeri Irrationalis ad rationalem numerum.quam infiniti ad finitum» Deinde, fi numeri irrationales eflent numeri ueri, tunc aut edent integri,aut eflent fra di.Fradps autem numeros(ut flet diftindio debita) uoco eos. qui conflant numeratore & deno- 1 • C itj minatore K. O r:: Michablis Stifelii minatore,ita ut inter duos aliquos numeros integros Sffmnrtk diatos cadant ; ut 8f feu ^ cadit inter 8 & 9. Necp enim ^ aut inter frados numeros recipiojed inter integros &c. Quod autem numeri irrationales non fint numeri integri, facile oftenditur. Quilibet enim numerus irrationalis, cadit Inter duos aliquos numeros immcdiaros.V t 6 cadit inter x & 3 & 1 II 1 z. 1 3 . A 1 4- A » cadunt inter 3 & 4, Et fic de alijs. Satis autem confiat, ut inter duos numeros inte- gros immediatos.nullus cadat numerus integer, id quod ratio uocabuli manifefte tradit. Ergo nullus numerus irrationalis potefi efle numerus integer.cu (inguli cadant inter imetftaros. Item nullus numerus irrationalis potefi efle numerus fra- dus.Impoflibile enim eft,ut ex multiplicatione numeri fradi, jnfe,fiat numerus integer. Sed numeri irrationales multiplica tione fui in ie,faciunt numeros integros : ut y* 6 in ie quadrate facit 6,& y^ 6 in fe cubice facit &&o.Ergo numeri irratiomu les non funt numeri fradi. Antecedens patet.Si enim denomi- nator non numerat numeratorem, multo minus quadratum denominatoris numcrabitquadratunumcratoris.Item multo minuscubusdenominatoris numerabit cubum numeratori*, ot fiat numerus integer &c.Vndeficut nullus numerus inte- ger multiplicatione fui in fe potefi producerenumerumfra- dum.fic nullus numerus fradusmultiplicatioe fui in fe potefi producere numerum integrum, r Item quilibet numerus fradus, certam habet cognitam'cp proportionem ad quemlibet numeru integrum ;fed nullus nip merus irrationalis habet certam cognitam'qg proportionem ad ullum numeru uel integrum ucl fradum, ut paulo fuperiiis dixi.Ergo numerus irrationalis, ficut no potefi efie numeru* , integer,(ic etiam non potefi efle numerus fradus. } Item licet infiniti numeri fradi cadant inter quoslibet duos •numeros immediatos, quemadmodum etiam infiniti numejri irrationales cadunt inter quoslibet duos numeros integros im mediato» Arithmeticae Liber ir. 104 . ifiediatos.Exofdfnibus tamen utrorum cp facile Hfuidere.ua nullus eorum ex fua ordine in alterum pollit tranfmigrare.; N ihil igitur eft, fi cogites numer u aliquem irrationalem pofle coinciderc cum aliqao numero fratflo propter infinitatem fan (ftor um.Sed uideamus ordines quorum mentionem feci. Ordo fra dorum inter 2 & 3« 2^, 2 y, iy, 2?» Et fic dein- ceps in infinitum. Ordo medialium cadentium inter 2 8i 3. 8.*/rt p.Jct 10. Jct 1 !,»/(* 12 ./c« 13. 14. iy.yct i^.yct i7.y* is.y^ i^.yct 20. yct 2 »* y^c. 2i«yre 23. y^e 24, yct 23-. yce. 26. y^i7»yi% «y^ »?. y%& 20. y^% 2 i,y^ 2 2. y$% 23, y^ 24. y$& 26. Et fic deinceps in infinitum. Non temoueat in ordinibus illis, quod nulla (eruatur ue] proportionalitatum uel progreflionum lex . Res ordines fic poftulant. Quid Euclides fenferit de numeris irra* xionalibus, Cap. jj. • | L a n e negat Euclides , propofit/one quinta iu£ decimi .numeros irrationales eflfe numeros. < &mninm, inquit, buarum quantitatum com* munitantium eff proportio ranqun numeri ab numerum. Sequitur certe, proportione duarum quantitatum no communicantium.non efie tanquam numeri ad numerum. V t ficut proportio y% 24 ad 6 , eft proportio tanquam numeriad numerum , uidclicet tanquam 4 ad 2 : fic proportio y% 24 ad 8 , eft proportio.tanquam non numeri ad numerum , uidelicet tanquam y% 1 2 ad 2 . Sic y* 8 ad 24 eft proportio tanquam numeri ad non numerum, uidelicet tan ' i quam JWJCHAELIJ STlPELir cniam iad^i a.Satis igitur patet,Euclidem negare numeros . irrationales efle numeros. Hinc Campanu^qui Euclidem iiw tellexit,afleruit propofitionem undecimam fecundi libri EucU dis,non poffe probari per numeros, Dodior autem fuit Cam- panos.quim ut /gnorauerit undecima illam polle probari per numeros irrationales: fed negauit hoc quod Euclides negat,ui delicct quod numeri irrationales fint numeri* Nec tamen Euclides uoluit eos omnino efle nihil, cum eis pulchre ufus fit, tanquam numerorum imaginibus, pratiertim in fuo decimo,ubi eos fub duplici cofideratione tradauir,uide licet in ,ppofirionibus prionbus.tradauir cos tancp abftrados, nomine quantitati! : & in reliquis propofitionibus libri illius, tradauir eos tanquam conrrados, redo uidelicet & pulchro ordine. Qu6d eninvEuclides uocabu»o quantitatis noluerit Ii neas.fuperficiies.atque corpora generaliter, hoc loco rradare, led potius abftrados numeros irrationales,quos pofica trada tet contrados,uidetur ipfe fatis indicarr Sc primo /n definitio nibus. Aliter enim loquitur de commenfurabilitate & imcom mcnfurabilit a te quantitatum, ateg aliter de comenfurabclirate & incommenfurabilitate linearum, ut ftudiofe fignificalTe uide atur, lineas non comprehendi fub quatitatis uocabaio,eo loco. Si autem lineas no uult comprehendi fub eo nomine, quid tum uotetfNumcopora Qi fuperficies < At corporum nullam facit mentionem per totum librum decimum . Et ne quidem iiipefi» fides curat in decimo tradare,nifi quantum ratio dicendorum de lineis ipftim cogir.In cuius rei fignum fpecies fuperficierum irrationalium,data opera,difTimulat,ac negligit aded.ut ne ii* las quidem nominare uoluerir. Sic em propofitione txv.dicit: Si dux fuperfides coniungantur, quarum altera fit rationalis,, altera uero medialis &c.Dicere autem poterar,Si fuerit fuper- fides binomialis &c. Et propofitione fequenti,cum dicere po- tuiflet,Si fuerit fuperficies binomialis terriar aut fextar fpecici, fic dixit: Cum coniundae fuerint duae iiiperficics mediales Arithmeticae Liber ii. j o? (hat folummodo.id eft.mediales , ex irrationalibus nominat) fncommenfurabiles dic. Sic propofitionc 103 fimili diffimula Itone noluit nominare refiduales fuperflcies prim* di quartse fpede/.Ec fequenti propofitiortenoluit nomftiare fuperficieii refidnales fecundae oi quintae fpeciei.cum tame de his fpccfcbus ageret. Et fimiiiter propofitionc 105- noluit nominare faperfl* cies refiduales tertiae & Textae fpeciei , ut certo Teias eum de iii* perffeiebus nihil agere uoluifife in decimooufi quantum linea* ram irratfonalifi expofitio hoc exegifler.Setfdc his etiam alibi dicam in Tods iuis. Dc definitionibus decimi libri Eucttdif r Caput in, d integram tractationem numerorum irr a* t/onalium. pertinet liber decimus elementorum Geometri* Euclidis . Ideo uolo illum huc ad me recipere, fufpectamty illius difficultatem ( Deo uoIente),pfligare,& i definitionibus eius incipe. In definitionibus aute phrafim propofftionum Tuarum pau« cis fubindica^eas^nihdominus uice argumenti pofuilie ui« detur, quod ordine meminerit quantitatum, linearum/uperfi* cierum'cg>& i Tuperfidebus ad lineas pofiea reuerfus (it. TPrimo meminitquantitatS,dicens:(koantttate8 quique fuerit pna quantitas eae numerans» comenfurabtlee Mcun- tur.Vt numerat »4 &c. (kuibueuero non fuerit t>na quantitae communis eae numerane. bicun* turincomm Ct M Arithmeticae Liber ii* i oS faciet quadratum lineae a b :& quadratum lineae b d faa ciet y%ip44.Etfcies tam quantitatem 6 ede menfuram com munem utriufcp quantitatis. Scies etiam */% 5-4 (id eft, triplam ad 6) numerare utranqj. Atqjifto modo facile dabis quot# quotuolueris exempla quantitatum commenfurabilium. Haec ideo dixi, ut intelligas quim comodum fiteonfiderare numeros, modo ut funt abftradi , modo ut funt contratfri . Et quamuis res haec algorithmum requiraqquem inferius ponam capite fexto, nihilominus tamen pergaro,ut definitiones red* dam perfpicuas. Sic autem iudicabis quantitates eflecommenfurabiIesai.it uidebimu» circa propofitionem tertiam decimi, r Sccfido meminit Iincarum.dicens: [iinee potentia coiit* mciifurabilca bicuntur > quarum quabrata nunterar x>nna communio fuperftcice. Vt lineae fuperioris figurar, a b6C Bc,itent b D&BC.Iropoftibileau tem eft,ut duae lineae potentia incommenlurabiles, pofiint e fle longitudine commenfurabiles ; ficut nccefle eft,ut duae Iinex longi» Arithmeticas Libbr it. 107 longitudine comenfurabiles.fint etia poteria comen furabileS. Omnes trero lineae tredecim fpecierum irrarionaI/um,quas ponit Euclides,funt poteria incQmmenfurabiles,ad quamlibet lineam rationalem : ficutiomnes Jineae potentia tantum ratio* nales.funt potentia tantum commenfurabiles, ad lineas ratio- nales longitudine. Vnde iequitur in Euclide : Que cum ita fint, manifeflwn eff >quob cuilibet linee poftte.multe alie linee funt incommen furabiles,que&ani in longitubine tantum, quebam in longi* tubine et potentia* Lineam politam uocat eam, qua (ut mox dicet) ratiocinar mur.Ea non eft alia,qu*m rationalis longitudine. Omnes aflt linear,quaead lineam aliquam iongitudinerationalem,func commenfurabiles potentia tantum(utfunt omnes lineae poten Cia tantum rationales ,f?cut paulo fuperius dixi ) funt ad eam incomenfurabiles longitudine tantu,ut faris patet , Et omnes lineae, quae ad Uncam aliquam longitudine rationalem diintpo tentia incommenfurabiles ( utfunt omnes lineae tredecim fpe cicrum,Gcut paulo fuperius dixi ) funt etiam ad eandem longi tudine incommenfurabiles. Scilicet polita linea, fuperioris fi- gurae,eft a B,ad hanc eft incommeniurabilis longitudineiinea a d,& linea b d f,& linea b d f g,8>C linea bdfg B.Et ad eandem pofttam,eft incommeniurabilis in longitudine & potentia, li- nea b c,& linea b c h, & linea b c h if£dinca b c h i b,& linea cbn; item etiam linei c b i,&c. ' Sequitur: Omnis autem linea poftta , a qua tatiocirtamur,Docetur rationalis, iLineefcg ei commenrurabiles.bicnrur rationales* A£ibem autem incommenfurabiles.bicuntur irrationales. Lineam politam uocat eam, i qua incipimus ratiocinatio- nem,qua oportet cfle rationalem in longitudine, jncipitmim srariocinatioifenftbiliternoto.NulIus autem ienlus percipit Jinca cfle irrationalem; ied irra tionalis,ex ratiocin atione fa da D iij i ratior Michaelis Stifelit I ratfonali, apprehenditur eflfe talis . Sunt autem ualde uarte ratiocinationes,* lineis 6i fuperficiebus rationahbus.ad irrati onales lineas & fuperffcies , quarum unam exempli caufa uolo ponere, fecudum figuram priorem. Sit linea polita a b, figurae fuperioris:quaecumdiuifafitintres partes inter fe aequales^ ab ea ad dia metrum,(ic ratiocinor. Lineam a sdiuiditharepar ticula n o, fecundum hunc quotientem 4,& eadem particula n o.diuidit diametrum b m fecundum hunc quotientem i 8* Ergo licut pro linea A B ponitur numerus 3 : fle pro linea b m, feu b d (eaedem enim funt)poniturquantitasy&iS.Et non po terit linea b d , aliam quantitatem recipere, nifl mutetur diui (io lineae a b , Nec linea b c (ad quam poftea ulterius pergo) poteft aliam recipere quantitate.ab hac Jw 16 i,dCc. At fi mu- tetur diuilio lineae politae , id eft, a b> tunc omnia uidebuntuf mutari. Vt fi A B diuida tur in partes 8, tunc B o habebit hanc quantitatem 1 18 : & quadratum eius habebit 1 *8. Linea uero BC habebit hanc quantitatem J %% 8 19 1 :8i quadratum eius habebit 8 191. & eandem quantitatem habebit etiam (uperficies contenta lub ABdiBG, Atcp ita omnia dependene i diuifione lineae politae. Vbi Euclides pofiea dicit, quod lineae comtnenfurabilesieu- communicantesdincae politae, Qi quae(caula fundamenti)dica tur rationalis (cum uidelicet talis fit & longitudine & potetia) dicantur rationales: eidem autem incommenfurabi!es,leu non communicantes.dicantur irrationales, cgotfecundum ea quae dixi liiperius cap. x.) fic arguo. Linea B D.fuperioris figurae, eft incommenfurabilis lineae politae a B(quia nullam habent men furam communem eas numerantem) ut 1 8 uere eft incom# menfurabilis huic numero 3 . Ergo b d non dicitur rationalis, fed irrationa!is,& contraria huic,quae fuperius dida iunt(uide licet quod huiufmodi quantitatum lineae dicantur rationales) (unt falfa. Dicit enim Euclides hic,quod lineae incommenlura# biles lineae pofitae,jd eft, rationali in Iongitudinc,dicantur irra ‘ , tionalea Arithmeticae Liber -/ii, fo 8 ttonalcs.Rcfpondco (fecundum ea quae fuperius dixi cap.i.) licet linea b d incommenlurabilis fit longitudine.ipfi lineae po fitar B D, non tamen eft ei incommenfurabilis potentia!iter,& hoc fufficitut ipfa linea b d dicatur rationalis. Illae aute lineae, quae neqp longitudine, necp potentia commenfurabiles funt, lineae politae ( ficut funt b c >& m p ) dicuntor folummodo irra tionales, apud Euclidem. FTcrtio meminit Euclides fuperficierum non alia ratione, qu£m quod illis utatur ad ufum.pro Iineis,commodum,a tq* ex eis rati ocinctur ad lineas.ut iam dicam. Dicit itacp : [Omnia quabrata fuperfkiea,a qua per bypotbeftm ratiocinamur.bi bicuntur irrationalia.] Propofitione decima quinta fui decimi. Inchoat Euclides curium ratiocinationis fuae principa!em,i fuperfide rationali, contenta fub I neis rationalibus in longitudine,ut fuo loco ui* debimus.Scilicet (ut Si hoc loco etiam hanc irem parum tanga mus ) ficut lineam quadrati abn m, fu per toris figurae, quam Collam uocant, cogitur uocarc rationalem : ficlinea quadrati B D F G etiam uocat rationalem, cum utraqj linearum fit colla quadrati rationalis.Licet autem quadrata iHa duo , (pede non differant, cum unum aeque fit rationale ut alterum,Iineae tame quadratorum illorum inueniuntur differre fpede. Atque ita ex (uperfidebus duabus rationalibus quadratis,ratiocinatur, Qi colligit tandem duas fpecies luas rationalium Iineapt. Deinde ficut lineam B d uocat rationalem,* quadrato fuo rationali ,cu lus eil colla, fic lineam b c uocat medialem,£ quadrato luo me* diali,cuius ell colla. Atcp ita ex talibus lineis quadratorum^ delicet medialium.formatfibi Euclides fpeciem irrationalium Jinearum primam. Reliqua in defiaitionibus faciliora funt, quam ut expofitioe egeant MlCHAEUS STIFELIT egeant : fdlicet quadratum lineae a b,praefupponittir tali rado cinationi, quali Euclides omnia inuenir,quae propofuit. i pro- pofitione fui dedmi quintadecima ufep in finem libri illius 5Cc tBt fbperftciee, inquit.que illi funt commenftirabilce ( ut cft quadratum lineae b d )bicuwtur rationaleo.JStbcni autero non commcnfurabiles Cuteft quadratum lineaebc,item qua* dra tum lineae m p uel p f, conflans ex duobus quadratis ratio* nalibus.figurae noftrae,& fuperficie q duplicata ) bicuntur irra tionalco.iatera vero (- fic redirifugficiebus ad lineas,utoften dat (e omnia quae de fuperficiebus dicit, dicere propter lineas) que in ilfoerquabratae fuperffcieejpofiiint (ut eft linea a b , ite linea m p) bicuntur irrationalia. Quia funt,ut oportet, longi-- cudine& potentia irrationalia. De fpccicbu» numerorum irrationalium^ Caput mir r avtim nihil negligam eorum, quae ad HatUK tam i me tradationem pertinent , uolo (anteit propofitiones Euclidis ad manus recipiam) dc* fpcciebus numerorum irrationaliumabftrado- nim agere. Sunt autem quaedam fpeciesprind* pales.quaedani minus principales. De principalibus prius di- cam,pofltea dicam de alijs fpeciebus. De ipeciebus principalibus numerorum irratio*’ nalium abftradorutoi. V Quinqj autem fimt (pedes irratio nalium numerorum abftradorum« PRima fpeciesuocatur Simplicium,^ haec continet Media les.Sunt autem mediales numeri, quaedam radices furdae, numerorum rationalium, & iubdiuiduntur in fpecies infinitas* Prima medialium (pedes continet quadrate mediales, quo* tum Arithmeticae Liber, ii. iop rum fignum eft Hoc enim fignum, fi prarponatur numero «nonali , radicem quadratam non habent/, continuo ex ratio- nali fit medialis quadrate. Secunda medialium fpec/escotfnet cubice med/ales,horum fignum eft At. Quod fi prarponatur numero rationali, radice cubicam no habenti,fft ex rationali medialis cubice.utyrt. 1 6. Quado autem praeponitur numero ratlonali.habcntiradicem cubicam, tunc manet numerus rationalis, ut vte$4,6cft4.Sic quando fignum medialium quadrate,praeponiturnumero ra« tionali quadrato , tunc manet numerus aliquis rationalis . ut facit 4. Tertia fpecles med/aI(um,uocatur zenfizenficc medialium: horum fignum eft Si hoc fignum prarponatur numero no habenti radicem zenfizenficam, nem zenficam,feu quadrata, tunc efficitur numerus medialis zenuzenfice.ut 24.S1 autl prarponatur numero non habenti radicem zenfizenficam,ha* benti uero radicem quadrata,tunc efficitur medialis quadrate, ut Al *4,facit A 8. Si uero prarponatur numero rationa!i,ha« benti radicem zenfizenficam, tunc manet numerus aliquis r a* tional/s. ut «/%% 1 2cx$,facit 6 . Quarta fpccies medialium,eft furdeiolide medialium: horff fignum eft . Quod fl numero rationali fuerit prarpofitum, qui non fit furdefolidus , conftituitur medialis furdeiolide . ut y/? i z • At jji ) 2 , facit 2, &c. Quinta fpeciesdicitur medialium zenficubice:horum fignil eft y%c*.ut 1 2. At y^c* 3 6»facft ^ 6:& y*rt 2 1 tf.facit A 61 & y 01466? 6, fecit 6, Sextar fpeciei exemplum, eft Sbfiu : eft enim mediali» bfurdefolidar. Septimar fpeciei exemplum JWd 1 1 : eft enim numerus me« dialis zenfizenzenfice, • Otf auar fpeciei excplum Jcct 1 2 : eft em cubicubice mediaP. Nonae fpeciei exemplum 1 2; eft emzenfurdefolide med. £ Decimat MlCHAEliS STIFELM Decimae fpeciei excplum, Jcfi 1 1 : eft em cfurdefolidae m ed. Vndecimae fpeciei exemplum^/fcfctf: i z. Duodecimae fpeciei exemplum,*/d/5. Et fiede alrjs. Ex rjs lpeciebus poteris iudicare de alqs.Horum autem ligno- rum inuentionem docebo in mea Algebra. Licet aute hae fpecies dicantur Simp1ices,tamen figna earfi inueniuntur eflfe compofita faepiflime.Vt liare figna funt com pofita : Jw . tf. 7%%% . . Jtf . Jifttf . J%bp. Jtf.fl . Jmft» J^ctf.&c. Sed haec fcquentia figna funt fimplicia : v/% . Jtf. Jfc Jbfi. Jcfi.Jdfi. & c.Satis autem intell/gis,utuox figni}8c figura figni fc muto pona nt. Exiftimo ego ( ut de ratione uocabul/ difputem) Mediales dici.propter media proportionalia.qua? per mediales numeros inueniuntur.Poteris enim (medialium bencficio)inrcr quosli- bet duos numeros,media proportionalia c5fti tuere, quotquot libuerit. Sed de hac inuentionc infri dicam fuo loco. Numeri etiam rationales,redudf ad figna medialia (de qua redudione in Algorithmo medialiu dicam) ufus fuos habent* Nam quoties medialium aliquisuenerit multiplicandus.aut diuidendus,per numerum rationalem,tunc rationalis ille redu citur ad fignum illius medialis. Sed haec ad Algorithmum per tinent. Item numeri rationales fubfignis medialium redudi. pulcherrime probant regulas Algorithmorum quafcuncp.de numeris irrationalibus dabilesiquoties uidelicer pro exemplo regulae probandae aflumuntur &c.Sed &i haec ad Algorith* mos pertinent* f Secunda fpecies numeroru irrationalium,uocatur Come politorum : Qi habet duas fubfpecies. Prima uocatur bimedialium,& fit ex additione medialis nu meri ad medialem, ciufdem fpeciei medialiu. Vt J$ i * -f-A 8, item Jtf i z-f-y(*6,item J}& 1 8-f-Ja6MeJj?i8 -f—Jfi i z 6(c* Secunda fpecies compofitorura, uocatur binomialium : & fit ex additione medialis numeri ad rationalem, uel ad media# 1(0, Arithmeticae Ltber 'ii. iro fem, alterius tame fpeciei mcdialiu. Exemplu primi 6-f-Jy n, item Jy 1 2 -f- 2 . Exemplum fecundi Jy 1 2 -f- Jrt. i x , itent De Ggnis illis duobus -f- & — . Quando addenda funt duo incommenfurabilia, uelduoaTf qua.quorum proportio ignoratur ( ut in cofltcis numeris ferd ' ubicp fit) tunc interponimus fignum hoc -f- ipfis addendis, d/cimuscg ita completam e fle addicionem.Et hac ratione uo* eatur fignum additorum. Simili ratione uocamus fignum hoc — .fignum fubtrado- rum : dum em fubtrahere uolumus a!iquid,ab alio fibi income menfurabili , aut ab eo , cuius proportio ad fubtrahendum cft ignota.tunc utimur illo (igno.ut in exemplis tanquam compo litorum uidebis paulo inferius. fTertia fpecies irrationalium numerorum, uocatur radi- caliumcompofitorum.Sunrenhn numeri irrationafes fpeciei illius, radices quadratae compotitorum numerorum. Vt Jy, Jy 1 1 Jy 8. Item Jy. 6-\-Jy i x.&c. F Quarta fpecies irrationalium numerorum uocatur,tancfj compotitorum. Quanquaenim (ut rationem uocabuli redda) numeri fpeciei huius,non fiant per additione ficut compotiti, fed per fubrradionem : tamen funt per omnia fimiles compos litis, ut Euclides prolixe probat • Subdiuiditur ergo etiam flhr fpccies.in duas fubfpedes* Prima uocatur refidualiu bimedialium : & fit ex fubtradio ne medialis i mediali,eiufde fpeciei medialiu, V tJy 12 — Jy 6,. item Jct 14 — Jct 1 8. Et fic de alijs. Secunda fpecies numerorum irrationalium tanquam com- pofitorum,uocatur refiduaIiumbinomiaIium:&fit cx fubtra- dione. Primo, medialis numeri i rationali;ut ii — Jy 140. Secundo.rationalis 2 mediali: ut%/% 200 — 1 x.Tertio , media* lis 2 mediali.alterius fpeciei : ut*/}* 1 1 — Jct tfo.itetn Jtf. 1 2 — Jw 8» item Jyi 1— Jyy 8 0, Et Gc de alijs. E ij Quinta* Michaelis Stifelii FQuinta fpecies irrationalium numerorum .uocatur radi- alium tanquam compofitorura. Sunt enim numeri fpcciei il- lius, radices quadratae numerorum tanquam compotitorum. utSiVin — item s/%.6 — »/%/%6t Exemplum de refidualibus quadrimedialiter* Jtfs zo — 17 — — y^z. Exemplum de refidualibus trinomialiter* y^zo — y^zo — yy? zo. Exemplum de refidualibus quadrinomialiter* — -y%i8 — y/?7 — FTertio, quidam eorum fiunt additione & fubtradione, quorum fpecies numerabit nemo. Exempla Arithmeticae Liber i i# m Exempla huius generis funt — 8« Item io— y%i4 — i» Et fle de alrjs Innumerabilibus exemplis. fQuarto,quidam eorum fiunt extradlonc alicuius radic/s de numero allquo.fupri pofitorum generum. Exempla huius gencrlsiunt harc,& fimil/a. J t$-,Jfyio— j— 4~ f~ d. //?s. . 8-j-Vct io — /fc ioo. r Qulcquld lam reflat numerorum irrat/onal/um.compre* hendltur fub aliquo quatuor generum prardidorum. Vt ( exempli cauta ) hoc, . 6- f- /fc io — *. comprehenditur fub primo genere. Et hoc exemplum /fft . Jtf-f- , M 8 -f- i a. comprehenditur fub fecundo genere. Et hoc exemplum, 6 -f- io -j- 1 1, — ,/* 8, compre hendltur fub tertio genere. Et hoc exeplum Jcl. io — 1 o. -j- * — J $z. comprehenditur fub quarto genere. Et f?c de alijs omnibus. Nihil autem poteft cfle reliqui, quin fub aliquo genere prae* dido comprehendatur. Quid Euclides collegerit ex praedi&is fpecie* bus,& ut coi ledorum illorum ufus fit. Caput v. j! I B R v m Euclidis decimum ( quem multi, alrjs i' elementorum fuorum libris, longe difficiliorem !; efle exiftlmanfjficut Illis alijs multo eft prolixior) 1 ego breuiffrmum facilimumcp hoc capite redda,- 1 atqiintegrum,antequampropof?tioeslibri Illius aggrediar, ut dC hoc caput ulce alicuius argumenti prarmitrat. E ii) Primo MrCHAELlS STIFBtII Primo diuilit Euclides unlueifos numeros rationales, fii quadratos, & non quadratos. Atque ita ex duabus illis Ipecie- busfuis, contraxit numeros ad fupcrfides quadratas. Etlic mox inuenit fuas fpedes illas duas,linearum rationalium. V C 9 di 1 8 (figurae quam pofui cap. 3 )contra b/ media! es zenlizenlice interim diftimuIauit,ot itu feriusintelligcs, Secudo.exbinomialibus recepit aliquos, uide licet ilIos,quos uiditefle c5politos,ex uno numero rationali,et ex altero quadrate mediali . Reliquas uero fpedes binomialiS- omnes cotemplit,6i reiecit. Atcp ita ex omni genere copolitoju folumodo duas fpecies excerplitCut iam dixi)eascg Binomialcs uocari uoluit,etiam fi elTentbimediales quadrate. FBinomia illafua Euclides diuilit primo in duo genera. Ad primum genus reiecit omnia quae e flent quadrata (de qui bur Arithmeticae Liber i i, u* feus inferius proprium caput in Aituam) : quaeucro non e flent quadrata binomia, conftituitfubgenere fecundo binomiorff. Sub utrocp aut genere bino m iorum .confli tuit tres fpedes: Primam, qua? contineret binomia c6ftitnta,ex parte rationali fnaiore,& mediali parte minore.Secundam.qu* contineret ea qcx parte rationaIiminore,& ex parte medialimaioreelTent conftituta. T 'erria m,quae cotincret ea quae ex duabus partibus medialibus coftituta eflet.Et fic fadhc fint fex fpes binomioR:. I Binomialesautcnumerosprima; fpeciei, contraxit ad (uper ficies quadratas.uidifcg latera quadratorum illorum ,eflc binomiales Iineas,moddprimar,modd fecundae, modo tertiae, modo quartar,modo quintae, modo fextar fpeciei. ytex97-f-^23j-i,fir7-f-y%46, Etex 34-f-Vfci ij-a, nt/% 1 8-f-4. Et ex p8-f-y%9<5oo,fitV% j-o^f-^48. Et ex 7 -f-/# 48, fit *-f-«/%3. Et ex 3o-f-y%87^,flt A 1 1 -+- 3. Et ex 3 z -f- 768 , fit 24-f-*/% 8. Vt autem ifta fiant, infri fuo loco pulchre docebo. Et hae funt fex binomialium Iinearu fub(pecies,comprehen(ae (ub fecunda fpecie irrationaliumlinearum Euclidis. 2. Binomiales numeros fecundae fpeciei, contractos ad fuperficics quadra tas.uidit facere latera facientia numeros bi- mediales zenfizenffce. Er talcs( ut partes compofltionis) inter ie multiplicatae,(emper faciut numeru rationalem (impliciter. Vtex^is -f-4.flr^8-f-Aiz. Ex talibus igitur lineis, conftituit (pedem irrational/umlinea rum fuarum tertiam. $ . Binomiales numeros tertiae fpeciei,contra miorum quintorum. Vt ex 6— f— 2»fit 6 — Et tales lineas uocauit potentes rationale & mediale . Patete# fatis appellationis huius ratio, uel ex ipfa pidura numeri : fcili c et A. A 6-\- * in fe dudus quadrate,facity&6-f— 1 .Vides certe,ut potentia haec cotineat rationalem numeru i,Q( media lem numerum 6» Confticuit autem fpeciem linearum fuar& fex tam, ex huiufmodi numerorum lineis. 6» Binomiales numeros fextar fpeciei, cotrados ad fuper fleies quadratas.uidit habere latera .facientia radices binomia rum fextorum . Vtex«/%d-f-/sa,Et^y%d-t-yi{a. Et ex lineis,huiufmodi numeros ferentibus,conftiruit feptima fpeciem linearum fuarum irrationalium.Vocauitfc# lineas hu iufmodi , potentes duo medialia .Ratio appellationis fimiiis eft rationi appellationis linearum fuperioris fpeciei*. Et. Arithmeticae Liber ii# uj Et harc funt ferd omnia quae docet Euclides in fuo decimo, Ofqpad propofitiones de Refiduis . Quae autem docet in illis propofitionibus refiduor um, facllime intelliguntur ex prstcej dcntibus,atcp breuiifimis tradi poliunt, rRefidua d/cuntur.Tanquam compofita.Talia enim funr, qualia compoGta ; Rcuti Algorithmi , & propofitiones Eucli- dis iatis teftantur • Sic aute ea producere poteris, ex binomijs. Pro Rgno additorum,pone flgnum fubtradorum, manetibus numeris tuae lineae compofltar , tunc mutafti compofitam in tanquaro compofitam, Rmilis fpeciei. Sic ex 7-f-A4S» fit 7 — 6,facity^ifryz. Sic dum diuido f m* pery^% I X, tone proueniunt ^1296. hoceft,& lignum ipliimdeletur. Itacp extraho ra- licem iurdefolidam de / o z4,facit 4 , deletoq^ flgnoflgniflcate ad/cem furdefolidaro, manebit Jy 4.Et de altero,abqcio lignQ gnifteans radicem cubicam , extracta prius radice cubica* lance igitur Jy6t ficqj ftant reducti ambo ad idem lignum .F irj Aliud MtCHAEUS STlFELir Aliud exemplum de afiumptione figni radica!/?* Volo reducere i & . multiplico numerum priorir medialis /n fe,& addo lignum zenficae radicis. Sic ergo ftabut redudi Multiplicationes medialium,quadratar,cubicar,&c. V Medialis quadrate multiplicandus quadrate,de!eto ligno» relinquit produdum. ut Jb 6 in fe quadrate.fadt 6. Sic medialis cubice,muIc/pIicanduscubice,deleto ligno, re» linquit produdum. ut Jct6 in Ce cubice Jacit 6« Et fic de aliarfi (perferum medialibus . Sed A 6 in Ce cubice, facit */fcn6. Vnde radix cubica de y^ii6,facity%6,&c. Sic J&6 in Ce quadrate , facit Jrt 3 6, Vnde radix quadrata ex J&} 6, facit Jc*. 6, Sic Jb a 6 in fe quadrate,facit */rt6.Vnderadix quadrata ex Jbrt-6 Jacit Jrt-6, Et ficutv/£rt6 in fe cubice, facit Jb* \ fic radix cubica ex y^fcdt Jb&&* Et licutv/^6 in fe quadrate .facit ^<5 : fic radix quadrata ex Jb 6, facit Jbl 6. Et fic de altjs. Fluunt ifta omnia cx cognitione fupcriorfi,ideo nolui ledo rem hoc loco grauare pluribus regulis frufiri. De additione & lubtradione medialium. fln iiiperioribus fatis didumeft, ut incommenfurabilia, addantur per interpoficionem figni additorum, & alterum ab altero fubtrahatur, per interpofitionem figni fubtradorum. Vt/fci 2 ad y%6,fadt Jb 1 2 -f-Jb 6. Siccet 1 2 a J%) 2, relinquit Jb 12 — Mu. Et prarter haec fatis confiat regula de addendis aut fubtra» hendis medialibus inter fe aequalibus. Nam aequale fubtradu ab aequali, nihil relinquit.Et aequale additum aequali, coinddit cum duplato alterius ex eis. Vt Jb 6 dupla tum, fcu multiplica tum per 2,producit aggregatu exJb$ & Jb6jd cft/fc24. dfic. Rcfiat Arithmeticae Liieh ii. utf Reftat regula danda de additione dC fubtrartione medialia commenfurabiIium& inaequalium a d in uice m . Vt fun r /fc 1 8 & A 8. Quod enim fint commenfurabiles, paret ex diuifione unius per alteru. ut 1 8 per A 8,facit7* 2 i,hoceft, i^feu f. Vnde proportio y* 1 8 ad 8 , eft tanquam 3 ad a. Sicut ergo a88r<-8a*u ex 3 &C 1 (id eft y) ad unitatem (quae eft tertia pars ex 3 ,& dimidia pars exi) facit proportionem quintuplam : 2f necefte eft ut aggregatum ex y* 1 8 Q( y* 8,fit quincuplum ad dimidium ex 7% 8,ieu (qcf idem eft ) ad tertia partem ex 1 8. Vnde cum dimidium ex As fit^i,fatispatet ut ex multipli- catione/% iper j-,ideft,pery^ ij- proueniatneceftario>aggre - gatum «Ai 8 8 additis ; CeiUcet y* yo, facit quantum y/^ i 8 cv y ^ 8, Et eft fatis miranda res, calculationem fieri prar* citam, in ijs quar prardfam quantitatem in feipfis non habent. Sed addamus etiam Geometricam demonftrationem. Quadratum diametri a b, acuatur quadraris duobus duo rum (acerum, a f,& f b , ut habet-ftf primi. 3 * Sic quadratum diametri b c aequatur duobus quadratis duo rum laterum bg&g C. Vides autem,ut ex utraqj diametro, fa&a • T Michablis Stifblii fatfta fit una diameter a c,cuius quadratum aquabitur duobus quadratiSjduorumlaterumjUidcIicef AB& e C «Cum autem aiameter ab, faciat fiia longitudine 1 8 > 6C diameter B c fa- ciat 8,faciat'cg aggregatum ex eis j-o, iuxta ea quae fupe* rios tradidi : poteris iam uidere an figura refpondeat, id eft, at» diameter a c ex lateribus a e E c faciat A yo. ^ Ea etiam quar de iubtradlione commeniurabilium mcdialm dicenda ueniut.funr tjs quar iam ditfta funt fere fimilia : fcilicet 8 ab«/fc 1 S.relinquiWfcx. nam ,p portio eoru eft r.ut patuit. Iam fi fubtrahatur z i 3 > remanet unitas quar eft dimidiu ex x. Ergo dirtiidiu etiam ex/fc 8 relinquitur, dum %/% 8 iubtrahitut de 1 S.Refpicit enim x ad 8,tanquam minus ad minus.Ec 3 refpicit ad/fr »8,tanquam maius ad maius: fcilicet /fc x rel n quitur. Eft enim x dimidium ex 7% 8,dt tertia pars ex 7% »8« Vnde fi b Cjiuperioris figurar,abfcindatur de a B,tunc relinqui fur A idnferiorisfigUrar/acirt^ a i (ut fatis uides),/%x,Supima eft.Quatrc proportionem addendorum medialium aut uibtra hendoru.qua inuenta.ex infpctfioneterminoru eius fatis uidc bis,qd fictaciendd,fiue addendi fint medialcsjfiuc fubtrahedi* c . Potcft Arithjubtjcab Libbr It. ,,7 prob'a«. &c^ C’ S(C d* a,pIatl0ne P°‘«fa 4» *>“«& Itero (ut de diuifionis demonftrattone etiam dicam) t e hTJL v^V E‘ “ C 'ftPars dimidia ipfius^.'* B G &4G c. ” “ * C “mUm 6d»>« laiaibu» facit b r -V\/Vr* °>clu*ntu,n 3 fVel.quantum &8^X^ZS£ig££ &.y f Primum exemplum additionis. . Y.° ° a£^crje '/iSady^is. Primo quaero proportionem *wer 1II03 mediales .qua: eft Huius proportionis termino* addo, facit /. igitur tfc colligo; i facit r.ergo y* 8, facit y* yo« Vel fic pono atep probo; 3 facit s, ergo y* 1 8 facit y* jo. xrirt. f ExemJpum fubrradionis. Volo fubtrahere A 3 i /* ro. Proportio «ft 1 , Subtraho fef fur z 4 y .remaner 3 .Sic igitur pono numeros ad regula De tri i facit 3 . ergo y* 8 facit y*i«. * ' Vel ftc pono atep probo: j- facit 3 , ergo y*y o, facit A 1 8.' Secundum exemplum additionis* rvoloaddero^rtitfzadyrtzoxs . Proportio cft f. Addo G terminos , • MlCHAEtl? Stipblit terminos.facit i o. Sic ergo pono numeros ad regulam De-tri. .3 farit io.ergoVc£.i62,fadt»/c*booo, Velfic pono atcp probo: 7 facit i o« ergo 2 o f8, hckJct.6 ooo, v Exemlpum fubtradfonis. ' Volo fubtraherc Jct6ooo* Proportio eft ^,Vnde 3 1 1 b.remanenf 7»Sic ergo pono numeros ad regulam, • j fac/t7.crgo,/c* i6z,fadtA*xoj-3. , i Vel f?c pono. l o facit 7, ergo o o,fadt >/rt. ; o r 8, i Vel fic pono exemplum: ; Volo (ubtrahere ^205-8, i Vct 6000, Proportlo.eft^. Vnde 7 i 1 o .remanent 3 . Sic ergo ftabut numeri ad regulam,. . 7 fade 3 ♦ ergo 1 0 j- 8 , radt vte 1 6 2 . • vel depono & probo : ; ’ **• lo fecit 3. ergo/r£bcyoo,facityrt»62. Tertium exemplum additionis, rVolo addere 243 ad 3888 . Proportio eft f ♦ Boe terminos addo, facit 3 . Sic ergo ftabit exemplum, |fiicit3.ergoA%243,focity%%i?^83. Velficlbf. * , 3 • V» 3 8 8 8,/adt v/%% » 9 6 8 3 . Exemplum fubtradionis. Volo (ubtrahere /^243 ,i 1968 3. Proportio eft ^.Sub# traho 1 i 3,remanent 2.Vnde fic ft at exemplum. « I, *. «/%% »4 3 » facit %/%% 3 888, Velficftat. 3, ». ,faciry^ 3888. Vel fic muto exemplum. Volo fubtraherc 3888,1 1968 3. Proportio eft^.Sub (rabo 2(3 .remanet 1 .Vnde fic ftar exemplum, . *j* i, ^|%3888,6dt/«|a«f Vel w Arithmeticae Liber 'ir. n$ » • . Vel ficftat. . . r ' 3. 1. A*»?6 8 3, facit,/** 14 3. Et fic de additione & fubtra&ione medialium aliarum ipecierum fimilia facies» Dc ufu illorum metJialiumjquorum Euclide* nullam mentionem facit in fuo decimo: & de duplatione cubi. Cap. vn, tsi Eudidesin fuo decimo, duabus folumodb fpeciebus medialium numerorum utitur , tamen noeft putandum, mediales numeros aliarum fpe* cierum/rflc adeo fteriles,ut ufu careanr,& Arith meticis Geometricis^ fpeculationibus nihil con ferant. Quantum uero illis conferat, experimur tum maxime quando ea quarde rationalibus numerisdidicimus, transferre conamur etiam ad numeros irrationa!es,ut funt progrefiones Arithmeticar,Geometricar,Harmonicar,&C6traharmonica>. Item proportionum diuifiones,de quibus hoc loco exemplo» caufa aliqua uidebimus,ct primo de proportionQdiuifionibus. De proportionum diuifionibus. AD proportionum diuifiones pertinet ars ponendi med/a proportionalia, quotquot libuerit, inter numeros quof* cuncjj.Eam artem uolo iam paucisdocere. FPrimo. Si unum medium conftituendum fit inter duos numeros aliquos rationales,*uc recipiendi funt p rimar fpeciei «nediales,uidelicet mediales quadrate:ut funt z. Si autem duo media proportionalia fint conftituenda.erunt tibi necefTarij/ecundae fpeciei mediales,uidelic«t mediales cu* bice: ut funt M 1. Ja 3 . M 4. Jc*. y , &c. ' ' Si uero tria media proportionalia uelis conftituere , opus habebis medialibus tertiae fpeciei, uideltcet medialibus zenfi- zenfice. ut funt hi, ^2,^3, Sn s,Jw6, G q, Et Michaelis Stivblu Et fi quatuor media proportionalia fine conftituenda.utl oportebit quarta fpecie medialium: uidelicet mediales furdeio Ude recipiendi erunt . utfunthi%/j?2.*/j?j Jfa flic. r Et fic deinceps. T Secundo. Cognita ipecie medialium recipienda, cofhtue progreifionem Geometricam, cuius terminus primus fit uni- tas,&fecundusrerminus fit quotiens diuifionis numerorum. Inter quos conftituenda iunt media proportionalia, minore ui dei icet diuidente maiorem. Itaqj fecundum radicem illam pro« greffionis progredere, donec tot habeas media portionalia, quot fonftituenda fuerant. Notum uero eft,ut numerus terml norum femper excedat numerum mediorum , binario : nam ubi iunt media .oportet efle extrema . TTertio . Praepone cuilibet termino progreffionis fadar, fignum radicale.medialium illorum, quorum (pedes tibi uten# da eft,ut dixi fuperius ; nidclicet,fi unum medium fit conftitu- endum .recipiendum eft boc fignum . fi duo media fint con« ftituenda,recipiendum eft hoc fignum %/c?..Ec fic deinceps. r Quarto. Extra dis radicibus fignorum extrahendis, dele figna,quorum radices funt extractae. Vt ( exempli gratia ) fi uideris fignum radicale quadratorS praepofitum numero quadrato, tunc extra dam radicem illam pone abfque figno illo ,• Et fic de alijs fignis intellige fimilia effe facienda. r Quinto. Pro extremis progreffionis tuae fadar,pone tuos numeros,inter quos conftituenda funt media, & per minorem multiplica media fingula , Sed fingula haec te, exemplum quod iam ponam,docebit plenius, fuo ordine. Exemplum. Volo ftatuere quinq? media proportionalia inter 68i 1 8, Primo recipiofignumhocmedialiumquintae fpedei Mudqj reieruo in ufum quem uidebis. Secundo conftituo piogrefftonem inc/pientemabunttate, cuius Arithmeticae Liber ii, r jp cuius progreflionis radix fit quotiens d/uifionis i8 per 6.1. 3. Et quia quincp media requiro, ideo ponendi funt termini pro* greflionis feptem: uidelicet, r. 3. 9. 27. 81. 243. 72?« ; Tertio,finguIis terminis illis prarpono fignum radica^ ,qcf mihi primo referuaueram.tunc flabit progreflio f?c: %/fcc* 1 . SicZ). Jtf*. 9. 27. ,/fcrt. 8 1. 24 3 . Jy*. 7 29, Quarto, cxrradis radicibus tignorum delendorum , fic fla- bit progrefsio : 1. 3 . j • 3 .*/c*9.»/V*Z43. 3» Quinto, multiplica fingulos terminos illos per 6 (quieflmi nor numerus eorum inter quos conflituenda fun t media pro* portionalia) tunc habebis extremos tuos terminos,cum inter- pofitcs fuis medijs proportionalibus inuentis , ut * 13 9968.^648, ,/fcio8.«/c* 1944 1337408.18. Quod autem fit continua proportionalius, per illos termi- nos feptem, poteris probare fecundum ea quae dixi fibro 1 . de proportionali ta te Geometrica. Vi fi probare uelis hunc termi num 1 399^8.mediareproportionaliter,inter 6 multiplica ,/^648 per6(idefl,per«/ct2ftf)facit«/ce 139968, de quo extrahe radicem quadratam,facit%/$ce 1 39968. Et fle de alijs; De duplatione Cubi. VrT autem ufus ifle medialium numerorum, ab Eudidene glcdorum in fuo libro elementoru decimo, magis appa* reat efle illuflris , uolo & ego numeros mediales cubice, ad li« neas contrahere, & eorum beneficio, expedire quarftionem de duplationecubi , quam uideo i quibufdam anxie & Iaboriofe efle tracfla tam, magnis de ea re uoluminibus confcriptis. Sit igitur cubus duplandus altitudine fex pedum. Recipio primo lineam, ad roenfuram altitudinis cubi duplandi.Secudo recipio lineam, quae fic dupla ad altitudinem illam cubidu- .. -:.j G iij piandi c Michaelis Stifelii piandi ( & H cubus triplandus effiet, recipienda ellet linea ad altitudinem cabi trlplandi trip1a,& fle deinceps). Atqj ita in» ter duas illas lineas receptas,inuenio duas alias lineas, cj pro* portionaliter medient inter eas.Erit autem prior linea (lic pro portfpnaliter medians) menfura cubi flendi , qui fit duplus ad cubum datum atqj duplandum. Numeri ad lineas contrahendi fic dant; 6^ %/ct3^4. ix* Cubi harum radicum funt hi : xi 6. 43 x, 864, 17x8* Vides certe cubum fecundu ,efTe duplu ad cubum primS. Et clt 6 radix cubica primi cubi : atqj Jtt+y 1 eft radix cubica Ce» eundi cubi.Reftat ergo, ut ^43 1 fortia tur linea iufbe longiter dinis, ut q menfura fit cubi flendi,qui faciat fua ibliditate 43 u Sic autem lineas illas comraodiiTime inuen/es. Primo protrahe duas lineas obfcuras > interiecantes fefe.ad quatuor angulos recdos: ut lunt illae pertranfeutesLB & K C. ct fic lineam minoris extremitatis defigna, £ pundo interfe* dtioni* Arithmeticae Liber it« fio cfhonfe, deorfum, fuper obfcuram * ficut uides defignatam ede lineolam a b .Lineam autem maioris extremitatis,defigna>fii- per alteram lineam obfcuram , ab eodem pundo interfodio* nis,dextrorium,ficutuidesdefignatam lineam A C. Deinde ad menfuram A B,abfcindc a D,de A c, ita uidelicet, ut a d di. A B fint a? quales. Poftea diuide a d in duo aequalia, in pudo E« Diuide fecundo A e in duo arqualia,in pundo f. Tertio diuide F B in duo aequalia, in pundo i.Et tu c in pundo i pone pedem circini immobilem, & alterum pedem circini extende in pun« dum C , id eft,in finem lineae maiorisextremitaris : atqj ita de- fcribefomicirculum,utuides khlc deforibi fupra diame- trum K C. Atcp ita habes duo media proportionalia, uidclicet A,& l A.pofira inter extremitates duas, ba&ac, Id quod ex ipfa figura facile eft uidere in telligcn ti propofitionem Eucli dis nonam, libri elementorum foxti : fcilicet k a , eft medium proportionale inter a b & a L.Etea caufa (uidelicetcaufa pro Dationis ) defcripfi fomicirculum fupra lineam L B, uidclicet B K g L. Er eadem ratione, qua k a mediat proportionali* ter inter b a & a l, mediat etiam l a proportionaliter inter K A & A C * ' Vfdeo autem hic quandamdiiputationem,denumerisirra* tionalibus contradis ad lineas : fod illam uolo relinquere contentiofis. Caeterum quae dediuifione proportionum ulterius dicenda funt,uolo refer ua re ad caput fequens. De progreflione Geometrica medialium 8ic. VTiles etiamiunt mediales numeri ( quos Euclides in fuo decimo neglexit) ad ftaruendas uarias progreffiones, modo facilimo. Scilicet : Pofita progreffione Geometrica numerorum rationalium quacuncp , fi cuilibet termino prarpofueris idem fignum radi- cale,tunc ftatim fada e fi: progrefito medialium geomctrica.ut 6. ii, z4« 48« 96» facit . vteia. i/ctiq. /ce z. E t fignificat binarius duplam proportione. Signum aut radicale, fignificat parte tertia noiatar /pportionis. Vndepropofiris numerisrationalibus quibuscucp,fi utroq? termino ptarponatur Jignum jadicale quadratorum, mox erit proportio illa (quar erat inter duos illosnumeros rationales; diuifa in duo arqualia,altera'c$ pars diuifionis illius g numeros illos fic fignatos r eprarfenta ta . ut 3 ad z , facit fcfquialteram* - Sed%/fc3 ad/% z, facit dimidiam parte fefquialterar. Et fic fimi- lia intelligenda funt de fimilibus. ut»/c«.3 ad Jc*. z.facit tertiani partem fefquialterar proportiois. SicV4% 3 ad»/%$ 2 .facit quar tam parte fefquialterarproportionis.Sic/^3 ad //? 2, facit quin tam partem fefquialterar pportionis. Et fic deinceps , ut facik fit,darc proportionem irrationalem medialium, fub quacuncp petita denomina tione, ficut facile eft proportionem propofitg denominarent iam docui. Vt fi danda fit pars fexxa proportio nis triplar foper tripa rtientis quintas, tunc fecundum quotien# tem denominantem proportionem ipfam.uidelicet 3 f , inue- nio bos duos numeros 8 & ; ( ut libro primo de pportionibus docui)ijs ergo terminis inuentis .prarpono fignum medialium fextar fpeciei .ufdelicet J fcc* . ut/fcc£ 8 ad/fcet j-. eft fexta pari triplar fupertr ipartientis qui ntas,&c. De proportionibusmediafium fratftorum. fRcgula quar datur de proportionibus denomina ndis,nul Iam omnino exceptionem habet.Dum igitur ucnerint tibi me dialium fratiorum proportiones denominandar, diuide fratfu maiorem per minorem : uel, fi dubitas uter fratftorum fit ma- ior .reduc cos ad eunde denominatore,& reietftis denominato iribus, diuide numeratores, ut ea eft proportio intVfc j &' q eft inter */$ 8 dC 3 .uidclicet pportio fefquiocftauar dimidiatae, Dc Arithmeticas Liber ti. ut De proportionibus irronalium numero^ rationalibus. rProportiones rationales, irrationalium terminorum,ni«. hil differat i ,pporrionibus rationalibus,rationalin termino*. Scilicet eadem proportio cft omnino inter 68d 3,quxeft inter A *4 & A 6 , Dupla enim cft dupla „ qualitercuncg fignetur (eu reprarientetur, &c. De proportionibus denominandis i quot/ente habente tignum additorum autfubtrado*. rProportiones itiar.quarum terminus minor ( dum diuidit terminum maiorem ) facit quotientem habentem fignum-f- — , duplicem habenrdenomfnationem, ut proportio qu3 ftcit »o-f-y%7j-,ad s (cuiusquotiensdenomiftans ipfam,eft »-f- A 3 ) uocatur : uel, dupla plus dimidia triplae : uel uocat, dimidia duodecuphe : ut latis uides ex hac reprsefentatione, *+**,icilicet dupla addita ad dimidiam triplar.fecitdimidiam duodecuplar. uidclicet * ad Affecit A ; », Sic eti5 io— 75- ad j.duplicem denominationem habet,ut uides ex hacpropor lionis repracfentatione,1- A \fcilicet dimidia tripfce,fubtrada &dupla,relinquit dimidiam feiquitertiar,&c. De Algorithmo proportionum irrationalium. V Algorithmus proportionu irronalium ex eifdcm omnino reguliscoftat,ex quibusAIgorithraus rationalia proportionS conftat.ut hic nihil opus 1 it ulla aha regula . Sed forte exempla ledor aliquis requiret : harc nongrauabor apponere, prater ca,quac paulo luperius pofui. Exemplum additionis ad ,? facit 9 • * A* f Exemplum multiplicationis. ^'8 duplata facit^ Exemplum fubcra&ionis. ytab!“man“/x,8"I<4» Exemplum diuiiionis- 9 dimidiata facitA^uef^ 1 * *■ 1 X 1 Miohablis Stifblii De Algorithmo numerorum irrationalium compotitorum , & tanquam com* potitorum. Caput ix. X Algorithmo medialium , ateg ex Algorithmo fignorum additorum & fubtratforum.conficitur Algorithmus numerorum irrationalium compo litorum & tanquam compofitoru. Algorithmum autem medialium habuimus capite (exto.Reftat igitur.ut ctia m Algorithmum fignoa horum -f- . — .ponam» Dc repra? fentatione Qc enunciatione. FSignum hoc -f- Cquod additorum didtur)fignificat plus. Ut 6-f-V* 1 2,ficenunciatur,Sex plus radice zenfica de i x. Signum uero hoc — Cquod fubtrafiorum dicituOfignificat «ninus. ut i z — »/% 8, fic enunciatur, Radix zenfica dc i z mi nus radice zenfica de 8. Et fic de alijs. Regulae additionis Scfubtrad/onis. 1 . Eadem figna idem fignum ponunt, nifi dum in fubtra- cfiione numeri praepollere ponuntur. 2, Diucria figna commutant Ipecies , QC A ponit M, S uero ponite. Regulae multiplicationis 8C diuifionis. I , Eadem figna ponnnt fignum additorum. 2 * Diueria figna ponunt fignum fubtradorum. Dici uero fatis non poteti, quantam uim habeant haec duo figna -+- & — ,per regulas illas quatuor. Non enim feruiunc folummodo irrationalibus numeris, fed etiam Cofftcis , ut fuo loco copiofe dicam .Vix autem funt regulae in tota Arithme* tica aliae .quas magis uelim commendari memoriae , quim has qua tuor.Et ea caula illas ftudiofe fub breuita te tali coartaui,ut obfcuritatem etiam inuoluerer.Sed euoluenda cft illa obicuria eas expolitionibus & exemplis, quatenus breuitas prardirta permaneat commoda. Primo Arithmeticae Liber r i; uj PPrimo. Eadem figna idem ftgnu ponere dicuntur, quado iponitur lignum -f-,ex eodem figno bis poflto. Vt uides In ex- emplis duobus addJr!onfs,ex addito & addito, fleri additum : & in duobus alqs exeplis additionis uides ex fobtrado .& fub* trado, fieri fubrradum. Exempla additionis. Exemplum primum. 6 -f- y%»8 4-f- Exemplum fecundum* A *7 -f- A 8 A 1 x -f- a x io-t-y% j-o A7T-hAl8 Exemplum tertium. A> 6x — x J%x 00 — 3 Exemplum quartum. ^i&z43 — Sii*8 — A7zz — s j ^1875- — JlftizTo Dicuntur autem Addita, quae fequQtur lignum additorum. Sic fubtrada dicuntur illa, qua: fequuntur lignum — .Numeri enim qui iequuntur lignum -f-, aut lignum — , pertinent ad Jpfum lignum.Numeri uero, qui praecedunt lignum -f-, aut li- gnum — ,non pertinent ad lignum iplum. Sequuntur autem numeri.non lignati ligno-f-,aut ligno — , regulas numerorS lignato^ ligno-f-.ut uidebis ex quibufda exeplis lequentibus. Exempla fubtradionis. A%Z4J-W%%«61 Aro — r — x Si 18 — 3 Non puto efle neccfie,ut de medialium fubtradione aut ad* ditione te ulterius moneam . Necg necefle efle puto, utplures Ipecies medialium inducam pro exemp!is,cum fatis fcias,ea quae de his dico quae ponuntur, intelligenda efle flmiliterde ijs quae non ponuntur* H irj Secundo - / Michablis Stifelii* * f Secundo . Sequitur exceptio in exemplis fubtradfonisr Nifi ( inquit regula ) dum in fubtradione numeri praepollere ponuntur. Dicuntur autem numeri praepollere poni, quando in fubtradione maius ponitur fub minore,quau uidelicet ma- ius poiTit fubtrahi i minore . Hoccafu, eadem figna non po* nunt idem fignum, fed ponunt lignum diuerfum : fcilicet,ex -f- & -f- non fiet -f- , fed fiet minus . Sic ex — & — non flet — ,fcd fiet -f-. ut uides in exemplis fequentibus* Exempla de exceptione in lubtradione* A yo — z y*i8-f-4 4 > 00 1 H ,/%8-f-z De fola fubtradione poiTunt dari excpla exceptionis : nam in additione ponunt eadem figna,idem lignum, line aliqua ex* ceptione. Satis autem uides,ut numeri -f-z & -f- 4» item — z & — 4, ponantur praepollere tfcilicet maior.qui fuerat dibtra hendus.ponitur inferius ,fub minorc.Et ex illa praepollera po- litione, fit etiam praepollera operatio, uidelicet ut luperiorab inferiore fubtrahatur. Itacg-f— z ab-f— 4,fadt — » ;o i — z ab — 4, facit -f- z. Sequuntur alia exceptionis exempla» A72 — 4 30 — A 71 Primo addo-f-8 ad — 12 (ideft, fubtraho propter diuerfe Hia figna-f-& — ) facit — 4. Deinde fimiliter addo -f-Ax4* ad — A j-o (id eft, fubtraho) facit -f- A 7 2, Secundo, in fecundo exemplo, addo -f- 7% j-o ad — A »41»' (id eft, fubtraho) facit — A7*«Deinde-f- 24 ad -j- fa- cit -f- 30,, Exempla fubtradlionfs. A7* 4 30 A 7* 8 — Ar<> Aro-H* A 242 — 'lz 24 — Ah» Primo, fubtraho -f- 8 1 — 4 (ideft, addo propter diuerfe illa figna -f- & — ) facit — 1 2, Deinde fubtraho — A j-o; a -f-^% 7 2 ( id eft,addo ) fecit -f- A 242. Secundodn fecundo exemplo, fubtraho -f- A r° * — A 7* (id eft, addo) facit — A 24*« Deinde fubtraho -f- 6,4 -f- 30,- remanent -f- 24. Sicut autem fruftri ponitur cifraante figuram fignificatfe uam (ut hic 08) ita fruftra poneretur fignu-f— ante numeros initiales feu fundamf tales (ut fic-f— A 7 2 — 4 ) nihilominus tamen fubintelligitur tignum -f- prarponi cuilibet numero1 initiali feu fundametali.niti exprefle habeat fignu fubtradoje,. Cautela quardam utilis pro quibufdam fubtradionibus. fQuando in ordine fuperiori occurrerit locus uacuus,tu' pone in locum illum cifram femper lignatam, figno hoc -f-*- Et tunc operaberis fecundum regulas additionis 8C fubtrar dionis datas*. Exemplat I . is Arithmeticas Liber ii, u? tc-j ■- Exempla cautelae. « «/feO-f-ld y%i8o-f-o \/%J20 8 .i* 520 — 8 24 J$)20 8— y%2o Vides /n exemplo priore,ur(ubtraxerimv^ j 20 — 8 de 16, & ut yfco.f.nihfli Agnum, poiuerim in locum uacuO, cum ligno additorum fubintelligendo* _ Sic in pofteriore exemplo fubtraxi J%)zo — 8 1 1 8 o,po# (uit# o in locum uacuum,aim flgno-f- expreflo* V Vel pro cautela illa ,hac utere regula . Commuta lingula ligna illa -f-& — , in rjs quae debentTubtrahi ( id eft.ubi inue neris -f-,tu pone — »8t ubi inueneris-^- pone ru-f- ) fic'cg uno’ ordine omnia fcribe.uidel/cct poft illa i quibus fleri debet fub* cratfio : deinde reduc reducenda* Exemplum* ' Volo lubtraherey% 180 — 8 de /$3 20. Sic ftabunt particulae. . SZ}2o—Sii8o-j-S. • Redudar particulae (id eft,fubtrado iSo de vfyj *o)’ flcftabfcrelidum fubtradionis. 8- f-*/%20, vl . Aliud exemplum illius regulae V olo fubtrahere 8 ~ 1 1 de */* 7 1 — 4. - r- Sfcft^tordo, * Sic Itabit ordo redudus: 7.1-f-Vfc » 2 it . Ego loleo ipjiujufmodi numerorum exemplis omnia lic po' nere,ut merantutfomnia ad numetu fundamentalem feu initia ■ ‘ uariata enim relatione taIi,oporicreruariare etiamiirpe regulas aIiquas,quod nop uidetur efle confultum* . . De multiplicatione. • '■' }* T Regula multiplicationis^ d/uifionis prima, fle dicit? £adem figna, ponunt flgnum additorum ♦ Siue igitur multipli jj'., 1 CCS' 1 ' ' t iMjchasli*. Stifclu: .-.A tes plus in plus, fiue multiplices minus in minus , femper po< nendum eil fignum -fr- * V t 4-8 in •+ 6,facit 48«Sic — 8 in — tf.facit -f-48. ! - Secunda regula fic dicit : Diuerfa figna,ponunt fignum fubtradoruro « Vt G multi# plices -f-8in — 6,facies — 48. Sic — s in-f-7, facit — 35-, Sic* Exemplum multiplicationis. 6 — y%2 o * s— Ait ' ' 48-1-30 — %/%l28o — «/%»6 20 i Haec addita, (eu ad le reducia, faciunt 78— Vfcj -7807" Aliud exemplum. ^288— y%^48 , /&128 — Jtol6x ; A«9 2-f- 18^— y%288 — y%2 t6. Etlicdeains exemplis. Dediuifione. TDiuifio probat multipIicationem,ficut multiplicatiodiui fion^m, ut , 48 — Jtyj.20 — Ji*oV%.<54— Vides hic fummS multiplicationis ex primo exemplo pro# du&am,diuifam per multiplicandum,atqj in quotiente redrjfle multiplicanfem. Sic fumma multiplicationis fecudi exempli.diuiia per mul- tiplica ntem, producit multiplicandum, ut Jvtft-Jwz—Jwit- \-*8 (y^88-%S*48« $ed huiufmodi exempla, diditur exempla arte fafta feti paV rata : quae hoc loco etiam ideo ponere uolui, ut fatisfacereiri regulis, quas de multiplicatione & de diuifione pofuf.V idebis enim in Algcbra aliquando, ut profit cognitio talis lignorum. Oportet aute mcminifiTc regulat um C de diuifione medialium) pofiwruth H — 4 • • ARirHMBriC?Afi 'LlBBK f fi; 126 fjofitarum.V t dum quotfentem uelis quaerere in y% ip 2 per dfJ Biforem 1 28 ,ipfum diuidendum reducasad fimiie fignum Bi quod habet diuifor, fcilicet numerum figni multiplica inft quadrate:& fic recipiet producftum illud fignum zenfizenficff, fcilicet ex 19 1 fferv/^36864 ,& ex ^288 fictas 2944, & ex ^216. fiet J^66 s 6tQc ex » 8 fiet >/& 1 o4976.Qudd autem pofui mediales zenficepro medialibus zenfizenfice, feci bre- vitatisgratia,ut paucis multa fignificarem,& ut uno ordine to tus pollet compledi diuidendus cum quotiente. ' fct fi in exemplo polito nondii uides regulas illas per omnia quadrare ad diuifionera.lta fac. Exemplum illud iam politum jinuerte pauIifper,hoc modo: — A288 -f-*/%J92-f-i8— (/fc%288. - — «/^1^24-^128. At qp ita perge dluidendo ut prius, fcilicet diuidens r — 2944 .faciet quotientem-* /&&288,&c. Sic fimiie uidebisin altero exemplo quod pofoi,G illud fic inuerteris : ( 1 280-4-48-4-30— S%i6zo’ (f ■ ■ 20 -*•[■— 6 Sed tame regulariter nihil poteft efle diuifor, nffiqudd i (ignis -f- & — fit foIutum,ut eft rationalis aut medialis numerus, i : Vnde cum ubi occurrerit diuifor qui habeat lignum uel — , regula quadam mutandi erunt termini proportioni$,qu* fue- rit inter diuiforem & diuidendum, ita ut terminos diuidens fiat aut numerus rationalis.aut medialis. Regula iuxta x vi 1 i/eptimi Euclidis, y ^Diuiforem tuum feribito bfs. & ln ‘aiteroCdrum corii* muta fignum additorum, uel fubtradorum , in fignum di» uerfum , ( hoc eft, fi habuerit fignum 4- , facito pro eo — : fi autem habeat — .facito pro eo 4- ) & illam fummam fic mu- tatam in diuerfum fignum, multiplica in utruncp terminum tua? proportionis, hoc eft,in diuiforem tufi,8f in diuidendum. Ii) Sic Michablij Sttfblii ,A "Sic enim flet.ut exdiuifore compofiro, auttanqu? coirpof!t<\ fiat diuifor rationalis,aut medialis» & nihilominus tame mane bit proportio prior illacfa > ut non poftit nili debitus quotiens prouenire»ex ea diuilione fle parata. Sumpta eft haec regula ex decimaodaua propofltione fepti m i libri Euclidis.quaefic dicit: Si unus numerus ducatur io duos, tantus erit duorum inde productorum, alter ad alterum, quantusduorum multiplicatorum erat alter ad alterum. Exemplum diuiflonis primum. Volo diuidere, 66 — zooo ,per 8 — v'%45’» multiplico utrunq; (id eft.diuiforem & diuidendum)pcr 8 -{-7% 4j\Tunc fit ex diuiforc.i.ex 8 — v^j.ea multiplicatione, 19, nouus dis uiior.Etex diuidendo.1.66 — y%2ooo. ea multiplicatione, fit %z8-f-*/%7*2o>noiius uidelicet diuidendus. Prouenit autem exdinifione illa,ifte quotiens 1 z-f-Vfc zo. Proba. Hoc cft, multiplica » z-f- in 8 — ^45-, tunc prouenict 66 — »/% 2000. Exemplum diuiflonis fecundum. Volo diuidere 6 pcr»/fci 2-f-V% 6. Multiplico igitur utrunep per 6 , tunc ex J\ 1 2— f— %/% <5, fit 6 nouus diuifor : & ex 6 diuidendis»fity%43 2 — 1 6,nouus uidelicet diuidedus. Diuidc ergo, & inuenics/fci z — */% 6 . Probatur per multiplicationem quotientis io diuiforem: fci licet ^ 1 z — 6 in 1 6,fadt 6. Aliud exemplum. Volo diuidere J&i) 3 z8 — 103 68 per 6,facit diuiflo illa ^ 6» Et fic de alijs. tUc _ - , - - •, 1 • ) ' ' * • -1 Arithmeticae Liber -ii; 1x7 DcBfhomijs &Rcfiduis,atcpde eorum radicibus quadratis extrahendis» Caput x» . AD.ICVW extra&io ex b/nomrjs 8>C rcfidufs.res talis cft ac tanta,ut fola fufficiat ad expediendas omnes difficultates totius decimi Euclidis. Et fl uis.ut breui fent entia dicam.quid habeat ille decf mus, audi. Habet primo medialia quadrate,& eo rum radices. Habet fecundo binomia,& eorum radices.Habet tertio refidua,& eorum radices. Sic itacp habes totu decimum. Radices aut medialium quadrate, funt mediales zenfizefice. ut radix quadrata (de talibus enim folis hic agitur) exVj.d, eft , ut etiam fuperius in Algoritbmo medialium docui. Radices ex binomtjs primae fpeciei,funt binomia. V olo aut ‘amodo de fpeciebus numerorum irrationalium loqui, more Euclidis,uidelicetut fune contradi ad lineas. Radices ex binomrjs fecadae fpeciei & tertiaret bimediales,* * Sic radices ex refiduis primae fpeciei, funt refidua. Radices ex refiduis fecundae & tertiae fpeciei, funt refiduales bimedialiter. Itac^ficut numerorum rationalium quidam fant quadrati, quidam funt nonquadrati: (ic numerorum binomialium qui-* dam funt quadrati,quidam non quadrati . Item etiam quidam refidualium funt quadrati,quidam funt non quadrati. r Quadratos binomiales.ibinomialibus non quadratis i item refiduales quadratos, i refidualibusno quadra tis,fic certo cognofces. Si differentia quadratorum particularum habuerit proportionem >ad quadratum particulae maioris, tanquam nu meri quadrati ad numerum quadra tum, erit binomium(aut refiduum) huiufmodi particularum abfque dubio quadratum. Si nat talis proportio,non fit proportio tanc^ numeri quadrati * I tij ‘ ad ; ' Michaeli* STrPBt^i A. ad numerum quadratum, non erit binomium tale quadratum» nec refiduum tale quadra tum erit» Exemplum. - Volo fcire , utrum quadratum fit , hoc binomium Jtfs j- . Quadrata particularum funt7y&7»: horum diffe- rentia eft 3. Diuido ergo 7r per 3 ,& produco numerum qua* dratumij-.Itacp necclfc eft, ut prxdirtum binomium habeat radicem quadratam. Aliud exemplum» • Volo (cire de hoc refiduo, an fit quadratum^ 145-8 — 36, Quadrata particularum funt, 145-8, & 1 2 96: horum differentia eft 162. Diuido igitur 145-8 per ilr.&fadoquotientemqtHU dra tum , uidelicet 9 ♦ Ergo necefte eft , ut pofitum refiduum fit quadratum, habeat'q; radicem extrahendam» T Aliud exemplum. Volo fcire utrum 44-f-Vfc 1 1 s 2, habeat radicem. Quadrata, particalarufunt 1936,$ 1 15-2 : differentia eft 784. Quar dum diuidit 19 3 6, facit quotientem quadratum, uidelicet 2^. Ergo necefte eft,utpropofitumbinomifi habeat radice quadratam» Si binoinium,aut refiduum, fuerit fub prima fpecie,& diffe* rentia quadratorum fit numerus quadratus, tunc necefte eft bi* nomium illud, aut refiduum, habere radicem : ut patet in exem pio proxime poflto. Si autem binomium, aut reuduum , fuerit fub alia fpecie quim fub prima/ucritfcg differentia quadrato^, particularum, numerus quadratus, tunc impoftibile eft, ut bi# nomium propofitum,aut reftduum,(lt quadratum. V Radicum uero extradiones fle fiunt. Primo. Pro binomio aut refiduo tuo(de quo radix eft extra henda) pone dimidium cius. * Secundo.Recipe quadrata particularo dimidrj illius fic po* fiti,ea'cg quadrata fubtrahe ab inuice,& radice relidi illi* ferua» Tertio. Recipe maiorem particulam dimidtj(tui binomtj, aut refldui, primo pofiti loco fui integrOeamhp primo adde ad radicem ARlTMMETfCjAB J-IBER yu liS radicem prius feruatam,& radix quadrata, illiusaggregati, erit parricula prima radicisquam quaeris. Quarto.Eandem radicem relidi prius feruatam,fubrrahe i priore illa particula maiore (illius dimidii» quod primo pofue* ras,loco lui integri,dumdimidiares tuum binomium,aut refi* duum). Et radix quadrata illiusrelidi noui(7imi,erit particula (ccunda radicis quam quaeris. Duabus ergo particulis tuae radicis inuentae , interpone 17* gnum additorum uel fubtradorum. Nam (i fit radix binomij» interponendum eft lignum -f- ,S i autem fit radix refidui , tunc interponendum eft lignum — . Exemplum primum. <• -FSit radix extrah?da de hoc binomio primo, 3 8— f— Pono primo pro integrOjdimidiumeius hoc, »9-t-^7*. Secundo recipio quadrata particularum illius dimidij,uide jUcet 3 6 i,& 72, eaq; ab inuicem fubtraho , tunc relinquuntur 189 : huius relidi radicem quadratam extraho,atque referuo* quae eft 17« % ? Tertio recipio i*( hoc eft, particulam maiorem dimidtj W homij mei, primo politi loco lui integri ) & addo ad radicem relidi, prius ferua tam . Hoc eft , 19 addo ad 1 7, facit 3 6. Et ex hoc aggregaro extraho radicem quadratam , facit 6 , uidelicet priorem ieu maiorem particulam radicis inueniendar. Quarto. Minore particulam radicis inueniendar flcquarro* Radicem relidiprius ferua tam.id eft 17 , fubtraho 4 particula maiore dimidij illius, qcP priu-v fuerat politum loco fui integri: fcilicer 17 fubtraho 4 19, remanent 2. Radix iracp illius no* uilTimi relidi ( id eft , ) erit particula fecunda radicis meae inueniendar. Itacpduabus particulis radicismcaeinuentfs,uidclicet£& a » interpono lignum additorum, co qudd Ut radix binomij Vndeflcftabit radix inuenta: , • ; * Probatur Michaelis Stifeliv ^ ‘ Probatur operatio per multiplicationem' radicis in fe, ut 6- • u • 6- f-A* f-A7* Summa, 3 8 -f^7% 188, Secundum exemplum. FVolo extrahere radicem quadratam de hoc refiduo A 18 —4, fecundae fpeciei. I . Pro integro illo, pono dimidium eius hoc/ ^ — *; 2« Particularum quadrata, id e(l,* i * 3|&4, ab inuicem fub*. traho, remanent f . Et huius relidi radix quadrata facit A?» quam reieruo , uel A k* 3 . Recipio A H (id eft, particulam maiorem dimidij, b I0 nomij dimidiati ( addo'qj ad A£ ( id eft, ad radice relidi , prius refertiata)facit A A .i. A 8. Itacp Afc8 erit prior particula & in fe quadrate, ut «%8— A** ' A%8— A%* A 84- A 2 — 2— 2 Summa . A 1 8 — 4. Tertium exemplum. rSit extrahenda radix dc hoc binomio tertio, A** -f- A »4* Primo, ArITHMITICAB LlBBR. II. I2p Primo, pono dimidtom,facit8-{-y^z-i-y% excplis.pofui)cotradis adfupficies qdratas; Ut binomiu hoc 3 8— f— z8 8, fic cotrahit ad fupficie quadrati. z , . > ]( z u3 * ^ « * I /fcz -4- 6 K Certe Michablij SriFBur t Certe utdes, ut radix ejus z, mult/pl icat/one fui in fe.conftiruat fuperfideoi hanc,diftributa per luas pari iculas^ 2uaru duae (quae fune rationales)in numeroabftrado coeunt, iciuntcg particulam eius maiorem :& reliquae duae etiam co* cunr.faciuntcg particulam eius irrationalem. .> Medirans igitur regulam de extradione huiufmodi rad/cS, refpcxi ad particulas talis compofitionis, fciens eas elle opor- tere etiam reiolutionis particulas.eascp - . . : — — . polle fle proportionaliter poni.ur dimi j j , dium partis minoris,debinomio (aut l^7tl refiduo) femper fit medium proportipnafe, inter partes duas particulae maioris, de binomio, aut refiduo. Vidi igitur nihil efleopus,nifi regula tali, qua quilibet numerus rationalis aut media lis.po flet diuidi in duas partes,inter quas confiirui pof- fit numerus aliquis propofitus. Vt (exempli gratia) quaeftio fit talis.Numerus ifle 38 ,diuidendus eft in duas partes, quae in ter (e multiplicatar/aciam 71. Quaeritur ergo, quantae fint par tes illae < Quia autem admodum facile eft , huiufmodi regulas formare.per Algebram C quae fertililfima eft regularum for# ■nandarum) contuli me ad illam, atque illius ufu, compolui il« lam quadrimembrem regulam, quam hoc capitepofui , fecifcp hoc fecundum ea quae iam recitaui. Iam fi quis ftudiolorum meo exemplo uelit conftrucre regu lam de inuentione radicis cubicae,ex binomio cubico, aut re fi* duo cubico,recipiatbinomium aliquod cubicum. Vt eft hoc* -f-*/*z4zoo ; cuius radix cubica eft z, || i* (' fr Arithmeticae Liber, iit */% z -f- 6 Binomfum autem illud contra (Sum ad cubum, cernitur iub iftis particulis compofitionis. | y%3 I tx l^jis-px | tl6 j *_ ; 1 •* iA*r9* I «* Copofitur* /git regula de extra tfionib? cub Icis ex b/nomtjs & refiduis,refpiriat ad diftradione particula^ pofitam,& iciat efle ,pporrionalitate continua inter 4 (upremas parnculas.fci* licet inter y%8 8C 1 infanti 2 duo media ,pport/ona iia,fdatq$ particulas mediales ad fe additas, per ficereporrionc K ij binomij, Michaelis Stifelit *\ 'bfnomti cubfd minorem, ficut particulae rationales perficiat* portionem eius maiorem. Pofitis igitur particulis perfidentibus portionem cubid binomtj maiorem, hoc modo» icru- . tetur qua ratione aut regula diuidat I 0 1 1 ^ I ° 1 — 3*zJ 14100 C.i. minor portio bmomij j o / cubici ) in duas partes , ita ut tertia j 1 ^ j o f pars maiorispartis,fit medium pro* portionale inter 1 n & z j- x — 3 ^ : talis enim regula expediet totum ncgocium de extradidhe cubica binomiorum & refidut orum.&c . Zenfizenfus habet particulas fedecim . Surdefoli- dos habet triginta duas : ficut etiam lib. \ .oftendi,&c. X Arithmeticae Liber ii. iji «quadratam. Eius aut binomium efti/fci8-f- 4» V nde nihil difi* tert extrario radicis refidui, ab extractione radicisbinomtf, quantu attinet ad operationem illam quat fitiuxta regulam: nifi quod fignum — ponitur in refidqis.ubi fignu -f- ponitur in binomrjs. Qui autem intelligit multiplicationem quadrata, die etiam intelligit radicis cxtracflioncm. Sic autem habet multiplicatio. y*%8— a*x A%8 — JtfiX • >/%8-f^7fex — Z — a. •*' ’ . • Prima multiplicatione C id eft, Jtfi 8 in ✓%* 8 ) conftituitur fuperficies ABC d, quae facit 8. Secunda multiplicatfone,ul dclicet — in — Afc conftituitur fuperficies quadrata Tertia multiplicatione,uidelicet -f-Vfc%8 in — nt fuperficies Efubtrahenda i fuperfleiebus duabus prius.coq- ftirutis, uidelicet ab abcd x. Tollit itacp fuperficies B, fuperficiem a b. Sic fuperficies p.quae fit ex quarta multiplica fione,tollitetiamfibiaequalem,uteftAC.Sed A prius fublata fuit per fuperficiem E.Idcointelligatur fuperficies x in loeu A fucceffifle.cum Afint aequales. Itaqp fuperficies F. fubtrahit Et fic tandem manet fuperficies D fola.quae facit 1 8 — -4 « Et eft illa fuperficies de qua extrahitur radix, mediante iuper fide binomiali,*/# x e f A b c d. r“De tertio exemplo non eft opus dicare : eft enim per om* nia fimile primo exemplo. Nifi quod particulacin tertio exem* plo.omnesfunt irrationales. QC radix eft bimedialis. Si autem quaerat aliquis de radicibus trimedialium di trino# mialium dic. illi refpondeo per fignificationem huiusfequen- jlis figurat, Nemo enim omnia ipeciatim recenfcre poteft, # ;K Hj y * f * C: % MiCHAsiif S TrPEtrr i io ioo . ■.i /v s '» It 1 >iid;nr io» Multiplicatus eft(ut uides) numerus Ille 1 1 1 quadrate, qui habet tres figuras, tanquam tres radicis particulas,&c* De Algorithmo minutiarum irrationalium,, fit de probatione quadam huiufmodi Algori thmorum. Cap. xu peraTio illa fecundi exempli, /ncap/teprac- cedcnti,de extratflioe radicis ex rcfiduo,admonet me,ut non negligam ponere Algorithmu mfnu* ciarum irrationalium, co 9 illud exemplo progrei difltur per regulam illam exrradionis, fub minui tijs irr onahbus.Conftat aut Algorithmus ille cx regulis Algo lithmi ArtYhmbticab Liber ii. i$» ffthmi minutiarum comunium,& ex regulis integrorum irra* tionalium numerorum >ur uidebimus. Dereprxfentatione&pronundatfone, \, rQuando fignu radfcaie ponitur ad medium minutis,ttmc fignu m illud refertur ad utruncg terminum. At fi denominatio aliqua ponatur ad medium minutix, non refertur ad utruncy ter minum, fcd ad numeratorem folummodo. Exemplum u triufcp, f f^.facit y- Minutia reprxienrata fub integro aliquo numero, addito ad minutiam,pronunciarur fub fradura integrffacientis cum mi qutia illa unicam minutiam . Vt ijf? pronunciatur iuxta banc repraesentationem fic. Radix cubica de i^i.diui» ia per radicem cubicam ex r a j> Vel pronunciatur iuxta hanc repfentatione/^91 : fcilicet radix cubica ex 19 i,diuifa per jy Vel ,pnunciari poteft fub hac reprxfentari5eyct,+j|rooo Minutix irronales.qux non ftant in minimis fuis ter minis, • seducunt ad minimos,ca regula, qua minutix c5munes,quam uidelicet regula pofui lib. i ,cap. i.Vt^ct $ 2,ide funt, Ideetiaefi 'Sfrur patet ex redudione ad idem fignu radicale. De Additione & Subtrad/one. r Vt autem Algorithmus ifte minutiaru irrationalium con fiet ex algorithmo minutiarum c5munium, & ex algorithmo . integrorum numerorum irrationalium, pulchre pacet ex iftis duabus minutijs addendis aoc fubtrabendis, yo-f-Vct 3 I JcZ 8 *■_ : ! > • — Primo reducuntur ad xquales denominatores, per multipli cationem in cruce, iuxta algorithmu minutiarum comuniumj; non th omnino abfcp regulis Algorithmi medialiu,ut fatis pa tet ex numeratoribus prxdidis,& ex algorithmis fuperiorib. Sic autem ftant redudae ad eundem denominatoreou »/frzpo-f-,/rtz4 i J%ioo io io Michablis Stifelii '4 Iam poteris addere aut fubtrabete* Additio facit Subtractio facit t/$8oo j- 184 Jcl 15-3 6 IO In additionibus & fubtradionibus huiufmodi , referuantur denomina tores, donec numeratores fuerint expediti>&tunc denominator rurfum fupponitur;id quod exempla pofitk fatis probant atcp declarant# De Multiplicatione* ^Numeratores ( inquit regula comunis Algorithmi) mul/ tipliccn tur inter fe,& denominatores inter fe multiplicentur i fed fic tamen, ut flgna radicalia flnt reduda ad idem lignum ra* dicale, ut dicit regula integrorum numerorum irrationalium* Aequalitas autem denominatorum,quae in additione requiri Cur, in multiplicatione non requiritur* , Exemplum* Volo inter fe multiplicate ^§00^.^5-184 I -36 1 o I »o . . . Primo reducuntur numeri ad aequalia figna,antequam inter fle multiplicentur* Sic autem fiat exemplum redudionis* $00 5-184 15-3$ Facit fiaecredud/o /je^5>rsoooooo-f--y^a^87385-^>fli oooooo funt ) facit y% ct 1 1079595$ u Deinde v^r&1-ir91 9? De Diuifione. rDiuifio requirit reductionem utranqj./.redurt/onemad eofdem denominatores. Et redurtionem ad eadem (igna radi- calia.Dum uero redurtio ad eofdem denominatores farta fue rit,rerjduntur denominatores , dC fit diuifio per numera tores,- Vtuolo diuiderey^cgy >zoooooo-f- J%ct 16873 856 per Sirttjs?*?**- lO Refertis igitur denominatoribus,diuido y^j-iaoooooo-f-yjcti68758j^pery%rtz3fp2otf,. Facit diuifio 1 177!“*” 1 x, 1 De probatione regularum numerorum irrationalium,- OMnes regulas Algorithmorum irrationalium numero^ integrorum &C frartorum, irtuenies efle probas.per ratio- nales numeros, pofitos fub fignis radicalibus, quemadmodum exemplo ifto oftcnditur.&c. A_49“f~yrt-8 | y ce 1 2 j- — y*p Hac minutiae redurtac ad aequales denominatores, • , > fic flabunt j* JV96^-J*.64 15625 — y%zzj- IO ' IO L. Michablis SriPELfi f Adduntur autem numeratores ad (e, & aggregato luppo Olcur denominator communis • ut (/{t stety^zy — 4389 — 10 r Sic In (ubtradione fubtrahuntur numeratores ab inuicE* relido iupponitur denominator communis, ut Ve*. 64-4-«/$ 196 ^ceiy^zy — ^841 —Jrt-916* io FVolo nunc illos numeros (quos ad (e addidi,& ab inuiefc fubtraxO etiam multiplicare.Reduco autem eos piimo ad ea* dem figna radicalia. Rcdudio ad idem Agnum radicale. 10 Jy*. 144 1406 zy — S$ct 1 1 )po6if 10 Multiplicatio tantum &cit,quantum diuifio iiiperiorisper 4nfcriorcm ; utrobiq* eniminucnies 1 f. Arithmeticae Liber ii. 1 $4 De furdis radicibus binomiorum CC refiduorum, . SC de Algorithmo carum. Cap. xir* I c v T radices quadratae binomiorum & refiduo rum,proueniunt ex binomijs Qi refidiris fpcdd primae, fecundae ,& tertiae ; fic fordae radicesbino iniorum & refiduorum, proueniunt ex binomqs & refiduis,fpedeiquartar,quintae,& (exta:. Surdae radices binomiorum quartae fpcciei,uocantur maio res: ut A- 6- f— x. Surda radices refiduorum quartae fpecJci «uocantur mino- res:«A.6— y%ix. Surdae radices binomiorum quintae fpedei, uocantur po* •entes mediale & rationale : ut 6- f- x. Surdae radices refiduorum quintae (peciei,uocantur compote nentes mediale cum rationali : ut — x. Surdae radices binomiorum fextae (pedd , uocantur poteo» tes duo medialia: ut X4. Surdae radices refiduorum fextae fpedei , uocantur compo* nentes mediale cum mediali : ut De refolutionibus fordarum radicum. iLgorithmus radicum fordarum complebitur flngufa lriter (pedem operationum quandam,quam Refolutio Inem uocamus. Cui opponitur alia fpeciesoperationiL quae uocatur Compofltio. Ad reiblutionem pertinent propofl tiones,3s>.4o,4f. libri decimi. Adcompofitionemaure perci* nenthaetrespropofltiones,3}. 34. 35,.utfoolocouidebimu$. Item ad operationes illas refpiciunt propofitiones illae, quae ufi dentur e(Te omnium difficilimae, ut funt x7.x8.xp, item 7 1. 7 x. 73. item 77.78.79. ra Atet uero fub radice qualibet maiore, duae aliae radices, Kfel quae refpondeant propofitioni X7, decimi,in quas /pfa '' | radix maior refoluit.Refoluitur aut illa eadem regula, L i\ quam "Michaelis StifelIi a -quam fupcrius capite decimopofui, de extractionibus radicQ quadrata ru,ex binomijs & rcfiduis quadratis. Ideo illa regula hoi capite ucnict repetenda per fingula exempla refolutiorum Turdarum radicum. Vt iub hac radice maiore */%. 14-f— latent hae dua: radices 7%. 1 2 -f -Ji6,dC J%. 1 2 — /&6.Har,inqua, funt duae radices,potcntia incomenfurabiles (ut loquitur pro- poiitiouigefimaieprima) fuperficiemfcp medialem cotinentes, quarum quadrata pariter accepta, fint rationale. FEas autem radices ficinuenies,pcr regulam prsdidam. Primo recipe dimidiu quadrati radicis taac.facit 1 2 1 3 8. Secundo , quadrata particularum fubtrahe ab inuiccm, & relidi radicem quadratam ferpa.Vt 138 i 144 .remanent 6, huius radix quadrata eft %/fc6,quam referuo. Tertio,particulam maiorem dimidtj , quod primo politum fuit.i. 1 x.addo ad radicem referuata, facit 1 i-f -J%6. Et huius radix quadratajUidelicet^fc. 1 z -f- 6 eft maior radix^in qua refoluitur data radix. Quarto, eandem radicem prius feruatam (ideft,»/fcrf) fub- traho i priori particula maiore,fumpta de dimidio primo po< (ito (.(. i 11) facit 1 2 - — .J%6 : & huius relidi radix quadrata, uidclicet , 1 2 — , eft minor radix, in quam refoluitur A» *4-W$JT*. FVt autem illae duae radices 12-f 1 2 — (in quasreioluta eft radix illa maior, 24-4-»/% yy 2) reipon deantpropofitioni x X v 1 1. decimi, pulchre oftendit figura (cquens pofita : fcilicet partes refolutionis funt potentia ineo* menfurabiles . Eft enim 12 incommenfurabilis. huic 1 2 — : quia funt numeri irrationales diuerfarum fpecieru, ut nccefte fit eos ede incommenfurabilespotentia.Patet etiam ex diuilioncunius per alterum.Talis enim diuifio facit quott- ■entern irrationalem. £ Arithmeticae Liber .ii* i 2 — J%6 B Vfc.ix-f -Jtf* 9 Secundo,duae illae partes refolutioniscotinent iiiperficietn medialem Cuc requirit propofitio illa uigefimaieptima). Vides enim ut iupetficies harcyfcijS contineatur fub A B (faciente i x — J%6) & B C, faciente,/*, i x -j-A 6. Tertio ,uides ut quadrata accepta pariter (ut loquitur propo fitio) id eft,ad ie addita,faciant rationalem fuperficiem.fcilicet 1 1 — additum ad i x-f-y^,facit 14. De compofitionc partium refolutarum.id eft, de additione* T uero partes illae fic refolutae .iterum componatur .feti ad fe addantur.ac illa compofitione feu additione refti* L iij tuant Michaclis Stifelii • tuant prforcmradiccm J,y%. 24-}— 2 < etiam pulchre fa* dicat illa eadem figura . Scilicet ( ut breuiffime dicam ) adde particulas quadrati ad fe, facit 14-f-/* j-j-i. unde 24-4- Jfos i tantum facit,quantumy$. 1 1-4 1 2 — Et ut rem hanc plenius cognoicas . Multiplica hoc aggre* gatumCtanquam radicem quadrati poffti) in fe quadrate. Si produrto praepone lignum radica le qaadratorcf , uidelicet hoc y& , tuncuere addidifli illud quod in fe ita multiplicaucras.Eft enim regula(cuius rationem ex figura pofita facile poliis per- fpicere,& quam uanjs quocp exemplis probare poliis) additis duobus numerisquibufcuncp,fi aggregatum ex eis compofitS multiplicetur quadrate, erit radix quadrata produ&i, aequalis aggregato priori. Melius autem tradi non poteft additio hu* iufmodi numerorum, quim mediante multiplicatione. Sic uero flat exemplum ad multiplicationem, y%« 1 2 -j- 1/%6. -4- ,y^, 1 2— ’j\6 y&. 1 2 -f— 1 2 - -j\6 6 -f- 12 — y% $ ~ y% «144 — • • 44 — d Particulae autem hae, multiplicationis huius, faciunt 24-4- S 2: unde y*. 24-f~y%r s * «H aggregatum additionis huius radicis y%. 1 ad hanc y$, 1 2 — Haec de additione fufficiunr* De Multiplicatione, Es" Arnen multiplicatio forte eget pleniore explicatione; ii? ^Pro 0* qul minus iunt exercita ti, quim ut exemplum po «fc^afitum intelligant. Volo igitur ijs exemplum multiplica tionis datum, exponere per lingulas particulas,ut ex illis de rc* liquis iudicare pofsint. Notum uero eft, ut ad multiplicationem quadratam, numc rus multiplicandus bis icribatur; ut y%. 1 2 -f- y%tf.-f-* y%. 1 2 — y% d y^. 1 2 -f- ,y^, 1 2 — - y^d * ' t Primo Arithmeticas Liber ii* Primo igitur multiplico i in fe,hoceft,lny&. i » — f-v/fc6,fac»t i i-f- */% 6. Quia lignum folummodo deletur.tunc continuo fit quadratum. Sic etiam multipIicoVfc. i z — J%6 in _ fe.i.deleto ligno.facio hoc produAum i » — J%6. Harc aut duo producfta quadra ta,uidclicet i z — » z — J%6, addita ad fe,faciat z^-.ut fatis patet ex algorithmo horum lig. -f-& — » Deinde fequif multiplicatio in cruce, hoc cft, i z -f- J%6 multiplicatur iW*. i z — A 6. Hic certe non eft multiplicatio quadrata ; non em funt arquales numeri inter (e multiplicandi, y% . i z-f— 6 y%.iz — j%6 DiiTimula interim lignum primum radicale,quod in utrafcp particulas uim fuam extendit.boc eft, multiplica quadrata in- terfe,proradidb.fcil:cet izin 1 1, facit 144. Deinde in — 4n-f— »/%6, facit t — 6.Vnde 6 fubtra&a 2 144, relinquunt 13*. Itaqj multiplicatio harc tora facit 1 3 8. Nam » z in -f ' facit quidem -f-y$864»fed izin — y*6farit — y% 864. Et fle alterum tollit altera, quia diuerfa ligna c5mutant fpedem,&c* Atqp ita nihil remanet ex illa multiplicatione»/^ . 1 z-f— in ,/*. 1 z — y%. 144 — <5.hoc eft,y^ 13 8. Non enim negli# gendum eft fignu radicale,quod primo fuerat diflunulatum. Deinde iterum multiplicatur yfc. 1 z-f -V* 6 in y%. 1 z — (ut perficiatur multiplicatio in cruce ) facit itera 138 .unde y*.,8 duplari debet,facit j-yz. Harc ex figura patent. T Ex ifto,inquara>exeplo expolito, cartera facile iudicabfc* Volo th nihilominus aliud ponere exempla multiplicationis; llidelicet radix harc . 1 z -f- y% 6 lit multiplicanda per 6* Sic ftat exemplum. »/%.i2-f-y%$ y%3^ y%%»29^ ^•4JZ-f-y%7776. Cum enim primu lignum radicale lit commune lignum ad tttranqg particulam multiplica nd i, fit ut 1 z multiplicet tanqua medialis quadrate, et multiplicet tancp mediatfzcnfizefice. «W . V Michaelis Stifelii . Probatur hxc operatio per numeros rationales, A»*3-hA*44' , < a *<> ^.4<58~f-y% 186614 Hic multiplicantur y per 6 , facit 3 o. Vide ergo an fumma' multiplicationisfaciat 3o.SciIiccty^i8^6z4,facit43 i:&4j a. ad 468,fadunt A 900; id ed, 3 o. Aliud exemplum* Volo multiplicare 1 z -f- A 6 per A 1 z -f- J%6 . Reduco* multiplicantem ut det (ub forma radicis furdar.uidelicet ut det: fub fuo quadrato (ic A- 1 8 -f- A z 8 8 . Vnde fle dabitexemplum ad multiplicationem* %/% ♦ 1 x. -f -J%6 A* 18-f- Az88' A» Zl6-f-y^l7^8-f-y^4i472-|-y^ic?^4 \ Didimulato enim flgno communi, multiplicatur quadrata unius in quadratum alterius, & reponitur podea flgnum radii calecommune,ad produdam fummam. DeDiuifione. X rjs quae dida funt fuperius capite nono, de diuiflone; . : & ex rjs quaeiam funtde multiplicatione dida , facile' ) ed iudicare de diuifioneAlgorithmihuias.Id quod ex* emplis paucis fudiciat admonere. Exemplum diuifionis*- Volo diuidere A.43 i-f-v/%7776 per 6, Sic dat exemplum*> A-MM -Aiiif* ( A* 1 *-f-A 6*' Ax& A\x?9<* Aliud exemplum pulchrum*- Volo diuidere A* t2B-\-A 34848 per A> tx-f-A S* Primo.multiplico diuiiorem per/%..|z — V%S (fecundum regula m datam de diuiflone cap.9 .) facit 1 3 6 diui fore nouu» Secundo* multiplico etiam diuidendum pctA ♦ 1* — A*+ facite Arithmeticae Liber vfr. 137 facit noiiu diuidendum numer u hunc, . 6 j- 2 8 -f- 3 2 9 z 8 . Diuidoergo v/%. rfjzS per ,/fci 3 - . * Probo ftc. f Quotientem illum ^.48 -f-V% 1 8 multiplico per diuiibrenr fllum y%. 1 2 8,tunc ,puenit mihi ifta radix furda, J%.s 88 -f-y% 34848 : Scilla foic primo fufccpta, ut diuideretur per ~y%8. De Subtradione, flf dereliquo negotio capitis huius, ' H [rabitur foriican aliquis,cur praeter, morem pmniunr Algorithmos fer ibentium .inter pofuerim multiplicati- onem flC diuiiioneadditioni fle fubtradioni.Sed ut hoc facerem, fuit in caufa.quod additio non potuit abfcp multiplica fione doceri.Quia ergo additio SC multiplicatio concurrebant, flC illa? operationum ipecies ambar.quadrabant ad figuram illa, qua ego 17 decimi uoluiefle claram, effert*} res eo perduda* ut diuifio nihil egerer niii paucis exemplis,quar protrada in alium locum, eguifTct repetitione multarum regularum,uoIui eam (obmifla interim (ubtradione)multiplicationi cotinuare. Itacp breuitatis gratia,flc ut Algorithmus ille integer atefa to- tus in uno loco haberetur,hunc ordinem obferuaui, Defubtradione aurem,& de additione, radicum fordarum illarum, quae font ad inuicem commenfurabiIes,ideft, qua ha- bent ad inuicem proportionem rationalem, utenda eft regula quam dedi capite 6. de additione flC fubtradione medialium, Vt,y%. i fubtrada i vW%48 6 — 162, relinquit A* 96 — A 3 z . Cum enim fint fub proportione tripla, fic fiant ad regula m De trf, 1. z. — Az, facit — 43 2. ‘ Vel fic pono flC probo. -i »/fc4S6 — 16 2, facit v/fc. — V^3 2, > M Vel Michaelis Stieelh Vel proba per additionem fic. i « j . y$. — y% i,fac/t y*. y^s 6 — y% i $*« Item ; y%j z,fodty%.y%48d — y%id*. Et ficdealijs. jE fubrradione autem fordarum radicum, ut ad prop* • (itionem Euclidis 7 1 decimi pertinet, item ad 77, utere ^multiplicatione, fecundum regulam hanc. Subtrado numero aliquo quocunq;,ab a!io,fi relidum mul tiplicetur quadrate, erit radix quadrata produdi aequalis rtli* do priori. y$. ifc-f— j/i 6* Arithmeticae Liber ii. rj$ Vt fft fubtrahenda haec radix Turda, »/&. i 2 — J%6 ab hac fa# dice v/%6 ( funt enim potentialiter incommenfurabi* lcs,continentes'cg mediale, quadrataqr earum pariter accepta faciunt rationale,utuultpropofftio 71 )fubtrahe eam primo perinterpofitionemflgni fubtradorum, hoc modo : » I a 1 1-“»/% 6* Atque ita hocrelidum totum multiplica quadrate: uidelfcef, 1 1— , «/%. 1 1 — 6 */%• i i-f— • i a — iz — — ^138 — ^138. Hae particulae additae, feu in unum numerum redutftae, faciunt 24 — j-yz.Tanta uidelicet eft fuperficies D.cuius radix qua drata eft 24 — %/fcj- y 2. E t dicit radix fuper ffeiei talis,Linea minor, ut docet propofitio 7 » .©idnquit.ltnea be linea betra- batur (ut e F, id eft, 1 2 — J\6 detrahitur de F H .i.de % 1 2 -f- 6 ) fuciin tqr potentialiter incommcnfurabtl<8(utcum E F fit linea minor,di F H fit linea maior, fintfcp per haec diuerfa rum fpecierura Iinear.necefte eft easeffe incommcnfurabiles, non folum Iongitudine,fed etiam potentia) ccntincntcotg mebialeCut in figura uides fuperficie K contineri fub e f 8C e i, qeft fuperficies medialis)quabrata'cp earnm ambo pariter accepta fecerint rationale(ut quadratum lineae E F > id eft» 1 2 — J^6, dC quadratum lineae F H,id eft , fuperficies ABCD, quae facit ix-f-Ji <5, pariter accepta, faciunt 24) relicta linea erit irrationa(i8>x>ocabitui'cp linea minor*ut linea g H,faciens 24 — z.Sed de ijs latius in propofitionibus dicam* De radicibus potentibus rationale & mediale. 4Nter illas radices furdas, de quibus iamdixi ,&illasde ‘quibus reflat ut dicam .pulchra eft differ et ia. Illae enim lradices,de quibus fuperius dixi in hoc capite (id eft,ra» dicesquae ueniunti binomqs fiCrefiduis quartae fpcciei )non habet aliquas fubfpecies alias.Hae uero radices.de quibus tam, dicam, fingulae fuas habet fubfpecies*ut dica in $ politionibus. .• M qr Sed. f ;; ’ .MiCHAEtIS STIFELII * Sed de refolutione potentium mediale & rationale dicende eft,quanquam modus huiufmodi refolutionum, nihil uarietj regula data capite io.de extractionibus radicum quadratarum cx binomrjs di refiduis quadratis. Vt fit refoluenda hiec radix potens , mediale 6>C rationale, y* . *o8 -f- 8. f ♦ Dimidiuquadratiradic/s rcfolaendac/ac/ty^rz-f-^ 2 . Qjadrata particularum ab inuice fu b tracta, rcl/nquqt : fciiicet 1 6 i y z,rclinquit 3 6. cuiusradicem (.i, 6) reieruo. Addo%/*yi ad 6 (id eft, ad radicem feruatam) facie N f *-f - 6: dc huius radix quadrata,idefty*« £eft pars \ refolutionis maior. 4* Sub* Arithmeticae Liber ii» „ 4. Subtraho radicem feruatam i s x , facit s * — <*♦ , Huius radix quadrata, quae eft %/% ♦ yx — cft pars relblu- tionis minor, * VHx uero partes rcfolotionis,refpondent propofitioni x8. ut uides ex figura. Sunt enim potentiahterincommenfurabi* les.quia differunt fpecie: di continent fupeoffeiem rationalem, quia multiplicatione fua inter fe,faciunt 4 . Et ambo quadrata carum pariter acccpta,funt mediale : nara»/fc yx~f —6 ad,/fc yx — 6 addira,faciuntv/fc j-x. Com politae uero partes hae,reftituunt radicem priorem, ui- delicet /fc . »/%xo 8 -j- 8 . Scilicet multipl/candaeinter fe,fic ftant . Ar x -f-6. -f- , A r 1 — yx— ,«/%, J&cu mihi B c. M irj ‘ IVIrcHABtis SriPHtrr Probo per fubtradionem hoc modo* j-i — — 6 — 6 — 4 — 4» Harc multiplicata ad fc addita}faciunt«/% 108 — 8;cuius radix «ft A-. — 3, De v mm mmm Arithmeticae Liber ii; 140 De radicibus potentibus duo medialia. Ibsi TaN refoltitionibus radicu, uenientium i binomtjs (betae ^^Pcc,ci (quae uocaorur potentes duo medialia)confide4 I^Jfei randa uenir propofitio 29 decimi. Illi enim ,ppofitionl refponderc debent partes reiblutionis.Vt (it refoluenda h«ec radix potens duo medialia 1 2 8 -\—J% 9 * : erunt partes refolutionis illius hae : 3 2 -j- 3 ,& %/% V% 32 — 3, Sunt autem hae partes iuxta propoHtione 29 primo incom «nenfurabiles potentia.quia funt irrationales fpeciedifferetes. Secundo, continent iuperficiem medialem hanc , 2 3 ♦ ut irides in hac figura. I •t * w w •e f— — ■ • — .• ' 1 * x • * | • * w • • * -TOlCHAfiLIS STl*»Lir ^ Tertio, quadrata earum ad Te addita , faciunt hoc mediale, A i lS.Et funt medialia illa duo,i ncommenfurabilia .ffcut opdr tet.ut necefle fit etiam A9 i (id eft,duplu huius A* 3) & A 1 18 ad inuicem efle incommenfurabilia medialia.Sic enim propo* (itio 29 dicit : Duas lineas inucnire^otentia incommenfura- bilcs/uperficiemfcp medialem continentes , quarum quadrata pariter accepta, fint mediale, incommeniiirabile duplo fupei- ficici,unius lineae in alteram. r Modus autem reiolutionis nihil uariat i regula farpius iam repetita : fcilicet. Dimidium quadrati ipfius radicis, quam pro exemplo po* fui,facitA3*’trA*3« • Item quadrata particularum ab itiuicem fubtrada relin- quunt 9. cuius radix eft 3 . Deinde addo 3 ad A 3 2 , facit A 3 s-f- 3'. Cuius radix facit A . A 3 *-f- 3. & eft pars maior rcfolutionis. Demum fubtraho''} i A 3 ^.relinquitur A 3 * — 3 .cuiusra* dix eft A • A 3 * — 3 >& eft pars minor reiolutionis. Probatur per additionem fic. A*A3*“t-3»-t“« A* A 3* — 3» A« A 3 *~t~ 3--f~* A- A 3 2 — 3» A 3 * -f- 3 -+- A 3 * ■ — 3 -+- A »> 3 i- A * 3 « Hae particulae additae ad ie, faciunt A * A 9 * « Cuius ra- dix quadrata facit A. A 1 * 8 -f- A 9 *• Aliud exemplum reiolutionis.. . T In hoc exemplo fequenti, refoluta eft radix haec potens- duo medialia, A ♦ A 9 6~f- A 4<>« Arithmeticae’ Libhr ii. 4 t ' j ' . » | ^ r * ^ y~'^ , ,- ' . . ’. • ^ A 14 — y%f4*- Ax4-Vii4 \ I c * # *"*•■ v ^ 1 y*i* A IO • * i. ' w ... Y.» "S ' 4*4 -f- A >4’ " * 1 r *' . . • i \ Sequitur aliud exemplum. In qoo refolutam uides radicem hanc potenfem,med/aIe di rationale. J%J%s6-\-6,ir\ porentem duo med/alia, & /n com- monentem mediale cum mediali,. H i . MlCHAEllJ STiVBLIT — A j-* A^i4-f-Ar* IU. £\..*\. of a> t 6- & •? 4 »*» 9 \ A 14— Jv 1 v.l. : 1 • * 1 * # • - 1 • i s > -!* ' ‘ 1 < i * - ! 1 • ' ! !• § 1 i I3c radicibus componentibus mediale cum mediali. I Andem omnium nouifllma (ardarum radicum (pedes (inter eas quas Euclides tradat) fuo iam ordine uenit I tradanda: ea uocatur fpecies Componentium mediale cUm mediali.Cuius appellationis ratiofatis patet ex fuperio- ribus , ea eft nouiffima fpecies irrationalium linearum apud, Euclidem. Fjunt autc lineae illius fpedei.ex fubtradfone radi cis furdae,i radice furda, quibus conueniunt omnia illa qua ha bet propofitio 19, bC propofitio 73 ,uidelicetut (intincommen Curabiles potentia.quod fuperficiem medialem contineant, bi ? quadrata earum ad feaddita,faciant fuperficiem medialem. income Arithmeticae Liber ii; 14* * ■ . T . • ' , • ’ ’ # A* Ai * — 3 • B 2> /&v/fcra8-Vfc9* C incommcnfurabilem ei.quam continent ipfac radices,(icuf foc figura illa omnia per exemplum clare habet « Exemplum aute figura infcriptum,eft de hae radice componente mediale cun» mediali, A . A r i 8 — ./* 9 z.Harc fit,fi ,/%. %/%3 1 — 3 iubtraha fur ab hac A- A 3 * -f— 3 • ut in figura uides fubtrahi a b de b c,, atqg ea fubtradione relinqui d C» < * *^v - » .. *. Repericndar uero funt fiuxta propofitionem 79) lineae a b & b c,per lineam D C. Regula ea eft , quam iarpiilime repetit* nudes per exempla capitis huius,.& capitis decimi. ' N q, A)*— 3 z A*3 Ax* m Ait—* - MichablIs Stipelii 1 » Dimidium quadrati, radicis, pro exemplo potiti, eft A3i— Am. ; ' ' 2. Quadrata particularum ab inuicemiubtra/%3 » 4 3 i- A3 i — 3 — ^i*3— ^l3 Aliud exemplum de hac fpecie. \ f»vv Arithmeticae Liber it, 141 In fuperior/ exemplo (uberabitur haec radix componens me •diale cum mediali, 14 — */%»4,ab hac radice potente duo medialia, 14, & relinquitur haec radix coith ponens mediale cum mediali,^,^ 96 — ^40. , Sequiturexemplum,inquocomponensmediale cum mediali,(ubrrahitur i potente duo medialia, di relinquitur coponens mediale cum rationali. i{> A* 14— Air. V*. **d. N -v Af* — d De his plenius uidebimus in propofitionibus. ut MiCHAfiirj S t i f e l r r Depropofitionibus Eudidis,quibus ipfe nu* meros irrationales abftrade confidera* ros tratftaflfe uidccur. Cap.xm, RDINBM propofitionum Euclidis, ut ipfe eas pofuit, exemplaribus etiam graccis uariantibujr nemo iam amplius C ut puto) fatisoftendere pd- teft . Quanquam enim ego fim ignarus Linguae fflJ graecar, tamen hoc ita eflTe didid,ab honeftiftimitf & egregie do dis hominibus magiftro Dionyfio Ronero Efle* lingenfe,& magiftro Ioan.Heinrico May er Bernenie, atque domino Adolpho i Glauburgk Francofordien(e,qui mepro fua eruditionepulchre iuuerunt.Cum enim illi uoces intellige rent graecas propofitionum decimiA ego rem ipiam, fadum cft ut iucundiftimaconueriatione & communicatione nos mu tuo iuuaremus. Itacg totum mihi de^mumEucIidis interprc tati funt,oftenderunt'q} pulchris rationibus, demonftratione*. propofitionum, quas graecus habet codex , non efte Euclidis, red Theonis» Id quod ego etiam ex ipia tradatione propofi# tionum uerum efte multipliciter fcnfi , quemadmodum pluria bus oftendam » ( Depropofitiofie prima» !Ede & pulchre incepit Euclides I praxi quadam,qoa (fignificare uoluit minimum in ftumero irrationali, non -elTc dabile . Sicut enim in fuo Icptimo, tradaturus nu- meros rationales, incipit 3 minimo quodeft in numero ratio* nali,id eft,abunitate,dicens:Vnitaseft,qua unaquaecg res una dicitur, QCc . Ita hoc loco etiam incipit de minimo proponere, quod eft in quantitate feti numero irrationali. Quod autem quantitatum appellationeuoluerit numeros irrationales figni ucar i^oftendi in lupcrioribus.atqj oftendam etiam in fcqucnti bus r \ Arithmeticae Liber ir. 1 44 bus,non obftantibus Theonis demon Arationibus, qui ea qiue Euclides propofuit de numeris irrationalibus , tranftulit ad quantitates continuas. . Sic autem proponit Euclides: rpofttie buabue quantiratibue inequalibus, fi a maiore auferatur maius, quam ftt btniibium ipftue maioris ,eta relicto iterum fufarabaturmaiusquam fttbimibiumeiufi bem rclicti.ibqj femper ita ftat.reltnquctur tanbcm quattras que ftt mtnor quantitatepofita.] Hic infero fic.Ergo data quantitate quacuncg,quantGcuncp fit parua,dabilis eft alia quae fit minor ea, ut impoftibile fit dari aliquam,qua minor no pofiit dari , Quod igitur alij dicunt de continua quantitate,uideliceteam diuidi in femper diuifibilia, boc Euclides proprie de numeris irrationalibus uult intclligi, ut plenius uidebimus ex propoiitione fecunda . Obferuemus & hoc,qudd in hac propofitione prima dicit de partibus dimi* dio maioribus,potius quam de ipfis dimidijs.cum tamen ex div midijs.fecundum ea qua: proponit, idem iequatur , Certe fatis manifefteoftendit Euclides,ie non loqui de lineis,aut de fuper» ficicbus hoc loco, fcd proprie de numeris irrationalibus . De numeris enim irrrationalibus non femper poteft recipi dimf* dium.neqg de partibus cius flic. cum ratio Theoricae cis abftra Ais non magis admittat minutias, qua*m numeris rationalia bus abftrartis. De lineis autem, & de partibuseius,femper po teft recipi dimidium, per 10 primi. Sic igitur Euclides ftarim i principio uoluit Iedorcm efTe admonitum , ne fe loquentem de numeris irrationaIibus,intel* ligeret loqui de lineis 8C fuperficiebus 8ic. Optime enim uidir, ut decens fuerir,fi ornaret abftrartos nonnullis propofitioni- bus^quos canto libro Audebat nobilitare contracfios. j Michaelis Stifelit Dc fecunda propofitione, (D primam propofitionem pulchre fequitur fecunda,, jed quod primam optime confirmet harc fequens,egre- [gja manududione, per calculationem , quar adualiter tendat in infinitum, per continuam diuifionem feu fubtradio- ncm partis i parte . Cum autem quantitas continua ultra ato- mos non recipiatadualemdiuifione, fatis patet etiam ex hac fecunda propofitione,Euclidem uoluifie Ioqui,in his propof?» tionibus prioribus,proprie de numeris irronahbus abfiradis. Sic autem dicit: V ©i fuerint bue quantitates inequales C ar qualis enim aequalem mox tolleret ) et fiat fubtractio continua vnius a rcliqua>et relicti unius a relicto alterius »etm tali fubtractioe nunquam occurrat relictum quob numeret precebcne reli- ctum .incontmenfurabiles erunt ille quantitates.] Ex fexta propofi tione uidebimus, ut Euclides hac fecunda propofitioneprincipalifiimeuolueritindicare infinitam conti nuationemfubtradionum,quaIem per exemplum conuenit oftendere. Vt fint quantitates duae pofitae,y^6,& 8. Subtraho primo de relinquitur»/fc8 — 6, Itacp: uides */%8 eile diuifam in */%8 — Secundo, fubtraho de relinquitur — y%s. Tertio, fubtraho 8 — 6 de 24 — 8 , & remanet Quarto.fubtraho iterum 8 — de7%j4 — 3 2,relin quituri 9 6 — Quinto, fubtraho */%8 — J%6 de 72, & relinqui-- tur»/%ij-o — %/%i 28. Sexto,fubtrahoy%8 —J\6 de^fcij-o — J%\ 28, & relinquis tury% 21 6 — y%2oo. Septimo.ilibtraho 7% 8 — J%6 de J%.x 1 6 — ^.200, & reline qpitury^^.— y%>88- Odauo) Arithmetica» Liber ii. 149 Odauo .fubtraho 7% 194 — 288 dc^8 — reline Ruitur 3 9 2 — »/%3 84. NonOjfubtraho */% 294 — ,/fc 2 8 8 de 7*3 9 2 — 7*3 84, & re* linquitur 7*135-2; — 7* 1 3 5-0* Et lic deinceps in infinitum. Semper en/m.exclufb eo,£ quo fada efl fubtradio,recipiun Cur duo numeri reliqui,& fubtrahitur minor i maiore, r In prard/da continuatione uidimus 7* 8 — J\6 contineri fexies in 7* 6, 3 . 4 . 5* • in quibus mox uideo unitatem eiTe maximam menfuramilngulos numerantem . Eft autem unitas,pars ter* tia primi,& pars quarta fecundi.SC pars quinta terti]. Sic tertia pars minimae ex tribus propofitis quantitatibus, erit maxima quantitas numerans fingulas trium: & haec etiam erit quarta pars fecundae quantitatis,& pars quinta tertiae quantitatis. S iue igitur /fc 1 j- 5- ridiuidat per 3 ( feuper/%9) fiue/fci7 648 diuidatur per 4 ( feu per/%i6)fiue/fc43zoodiuidatur per s» (emper proueniet menfura earum maxima. '• Eft igitur quarititas maxima, numerans duas, tres, aut plu- re s quantitates,tanquam unitas quaedam introdutfta, qua nu- meri irrationales commenfurabiles reducantur ad numeratio nem praeite. Vt uel hac fola ratione,decuerit Euclidem irrari onales numeros abftracfte confideratos non negligere* Pertinet autem ad numeratione numerans,qui faciat quod entem, probatu ratione Theoricae.id eft, qui fit rationalis atqp Integer numerus, Ratio autem Thcoricac (exempli gratia) no probat Arithmbticab Libbr i u I4^: probat quot/entem proucnientem ex diuifione J^6 per y%8: necp probat eum qui proucnic ex 1 8 per 8 ♦ Sufficit uero ad commenfurationem quotiens rationalis,fiue ille fit integer fiue fradus . D r propofitione quinta ,& eius oppofita. Vperius far pe foda eft mentio huius propofitionij quinrar.ut quae apcrtifllme neget numeros irrationales elTe numeros* Sic autem dicit: T Omnium huarum quantitatum commenfurabifium» eft proportio tanquam numeri ah numerum.] Vtproportioy%)8oadyfc8o,eft proportio tanqua jad a* Sunt igitur proportionum quardam,numeri ad numerum ,ut $ ’ ad z : quaedam, tancp numeri ad numerum, ut 1 80 ad 80: quaedam uero numeri ad non numerum, uel non numeri ad nu merumjut 1 zady%48,uel«^i z ad i . Et quia proportio 1 z ad y%48 iuxta Eudidem,non eft proportio numeri ad numerum, necg eft proportio tanquam numeri ad numerum.igitur fecun dum ipfam «/^48 non eft numerus, &c. Hoc etiam habet oppoGca quintae, quam Theon focit Eucli dis feptimam. Ea fic dicit .* V &mnium huarunt quantitatu incommenfurabifium» non eft proportio tanquam numeri ah numerum.] VtproportWfcz4ad%/% 8, eft tanquam iz ad^48 jueleft tanquam 1 z ad z,id eft, tanquam numeri adnon numerum; uel tanquam non numeri ad numerum, ut dixi paulo fuperius» Ergo 1 x non eft n umerus, fed eft numerus irrationaIis;ficuc homo pidus non eft homo. fed eft homo pidus. De propofitione fexta,& eius oppofita. Ropofftio fexta Euclidis eft conuerfa quinfx, ftcur 0p* pofira fexrae eft conuerfa oppofita* ipfius qufntx.Et op politam fextac, focit Theon odauam Euclidis. O q Sic Michaelij Stifelii - Sic autem dicit fexta ; 0tfucrtrttduequantttatee,quarum proportio vmusafr ««Iterant , fit tanquam numeri ad numerum* eae duae co m* meufurabileeej]e neceffe eff.] V t.quia proportio 1 80 ad«/%8o , eft tanquam numeri ad numerum ( id eft, quia eft rationalis proportio ) ideo neceffe cff at termini illi untcommenfur.abdcs.Sic etiam, quia propor tio y$i4 ad y%8 ,non eff proportio tanquam numeri ad numepc (id eft,quia eff irrationalis ) ideo neceffe cff , ut termini illi fine incommcnfurabiles. Sicut dicit fequens propofitfo oppoffta fextar: ^0i fuerint due quantitatee}quarumproportioxmioe ad altcram.non fit tanquam numeri ad numerum, eae duae incomnienfurabtled effe neceffe eff. ] ' Hic obferuabis,ut hi duar propofftiones, uidelicct fexta Qt eius oppoffta,non folum conuertantur ad quintam &C eius op* pofftam,fed pertingant ulterias ufep ad fecudam ; ffilicet cum fecunda d/cat,nunquam occurrat.in fubtratfionum continua* tione, relictum quod numerer prarcedens reli(ftu, tunc tandem poflim fcire de propofitis quantitatibus duabus, anfint incom menfurabiles.cogor cogitare me nunquam pofle hoc fcire, pro pter infinicamiliamcontinuarione.Athicmihiiuccurritpro* pofftio fexta cum fua oppoffta, Si docent hocproprie,quod fc eunda uidebatur docere. Vr,quia 180 ad y^So, habet propor tfonem quam habet 3 ad z,ideo necelfecffeas effe commeniii rabiles.Quia uero%/% z4ad%/% 8,non facit proportionem ratio nalem (cu y& 14 diuifa per 8,facia t 3 ) ideo neceffe eff eas effe incommenfurabiles,& continuationem illam fubtradio* im(de qua propqfitio fecunda loquitur )progredi in inffnitu. De prqpowionequam Campanus facitieptimam. ;Lla propofiiio.quam Campanus fadt iepr/ma, Theon ifacit nonam. Intempeft/ua amem cff appellatio fuper* I Acierum, quam Campanus habet, dc linearum, quam Theon nu Arithmeticae Liber iu 147 'Theon habet . Sed appellationes dias pofu/t forfltan Euclides ipfe,ut negaret hoc Idem obftinate } quod in propofitionibus praecedentibus negauerat,uidelicet numeros Irrationales nega uerat efle numeros,quos nunc uehemetius negare uidetur elu: numeros,ita ut eos potius dici uelit fugficies, aut aliquid aliud huiufmodi : forte quod uiderit eos praecifam fai quantitatem non habere,necp habere menfuram omnibus irrationalibus nu meris communem (qualiseft in rationalibusunitas)quae talia funt, ut numeris maxime conueniant.uideritq; ipfos commen furabiles numeros irrationales habere, hoc quod fuperfiefebus coueniet maxime, uidelicet latera ad inuicem proportionalia* Suemadmodum propofltione 24 odlaui , rationales numeros mdes,uocat fuperflciales, di. propofltione 1 6 odaul , talium numeroru radices quadratas, uocat latera (eu lineas; uel forte uoluit Euclides hanc ( cum fibi flmilibus ) efle elcmcntarcm, quales habet caput fequens. Sic autem habet propofitio* V Omnium buarum quantitatum>quarum latera ( id efr, radices quadratae) longttubine funt comenfurabilia» cfl pro- portio ontuo ab alteram , tanquam numeri quabrati ab nu< merum quabratum.] Vtquia/^24) ady%*48,efttanquam 3 ad z tergo Jli ad yi48,eft tanquam quadratus numerus ad quadratum, uidc* licet 9 ad 4.Sic enim propofltio haec cotinuatur ad propofltio* nes praecedentes. Loquuntur enim propofitiones praecedente* de proportionibus flmplieibus numeroru irrationalium . Haec autem loquitar de proportionibus eorum copofitis,8i de pari* tibus compoflt ionis earum, quae funt radices earum ad inuice commenfurabiles.fimulq? totum inuoluit Algorithmum pro* portionum compendiofiflime. Nam fi radices quantitatum duarum commenfurabites.bis ponantur , pofitaeip proportio- nes ad fe adda ntur , compofira producitur proportio, quae eft (tanquam numerus quadratus ad numerum quadratum. MlCHAELIS STlFELir Vc A%*43 A%4* ad A%*43 Atu* facit A*43' A 48« l[*“ Xli de Ani ficit Ai*4h A 3E2 a4s '8Z4) dimidiata/acit'^2"** v%48 * »/^48 De propofitione oppofita propofitioni praecedenti* JjLCJM On fruftra etiam oppofita praecedentis propofitionis ponitur : fed quemadmodu praecedens propofirio com plicat Algorithmum proportionu rationalium, haben- tium terminos irrationales , ita haec complicat Algorithmum proportionum irrationalium. Sic autem habet: r<5mnium buarum quantitatum» quarum latera longi* tubtne funt incommenfurabilia» non eft proportio vniue ab' alteram, tanquam numeri quabrati ab numeru quabratnm* V t quia */i%i8 adStf 8 non habet proportionem,quam ha bet numerus ad numerum,ideo A • 8 ad A 8 , non habet pro* portionem, quam habet quadratusnumerus ad numerumquz aratum. Vt autem Algorithmum irrationaliumproportionu inuoluat ifta propofitio.uidere poteris ex fimilitudine eorum quae dicfla iunt circa propofitionem praecedentem* Et AHi Scilicet^18 AW ad Jtti8 Al* facit Item Ai* Ttem * X A>& A 8 facit ¥^*'8 ac. * i f Sic quia utracp quantitatum harum 7 1 Si /%98,huic ttti tix funt commcnfurabiles , necefle eft»ut etiam inter fe flnt commenfurabilcs. Item huic. •? T 0i fuerint bue quantitatce,q naram vna elicui tertiet comnienfurabilie.altcra eibem tertie inc6menfurabilt>erttnt buc quam ita te e illeiucommenfura^ilea* • Similiscfthacc: Si fuerint duo numeri,quorum unus contra aliquem alium fit compofitus,& alter contra eundem fit incompofitus erunt illi duo numeri contra (cincompofiti. V t quia ex his duobus numeris , 9 & 8 , alter contra 4 eft compotitus, reliquus uero eft incompofitus contra eundem necefle eft ut duo numeri pofiti fint contra ie incompoflti. * _Sic quia pofterior quantitas ex his duabus x & 4,erf comenfurabilis huic tertiae V& 24, Si eidem prior fit incomenfif rabilis,necefle eft ut potitae duae fint ad inuice incomcfurabiks. Item haec. J T 0i fuerint fcucq uatmtctee commenfurabilea, alterat» earum fuerit incommenfura6i!ie alicui ali) quantitati, tunc reliqua cibent incommenfurabilie erit. Similis eft haec; . Si fuerint duo numeri contra fe compoffti , & alter eorum fi t contra aliquem alium incompofitus,necefTe eft ut etiam re- liquus contraillum fit incompofitus. Vt quia illi duo numeri 6 Si 8. funt contra ie compotiri, & al ter eorum fic contra 5- incompofitus, necefle eft ut etiam relic quus fit contra eundem incompofitus. Sic quia hac duae quantitates S* 7 x Si ,/% 58 funt commenfo* rabiles,Sf altera earum eft incommenfurabilis ad ^2 4, necefle cft,ut etiam reliqua incommenfurabilis fit ad eandem. ‘De Arithheticae Liber n, tfo j DepropoGtionequam Campanus facit nonam, ?Dbanc propofinone quam Campanus nonam facit? 1 fliTheon 1 6,iequunt etiam fimilia ex Euclidis feptimo. Nam qudd haec dicit: ^0i fuerint bue quantitate© commenfurabiIe8}totum quoque ep ei© conf*ctum,vtriq? earum comenfuraSilecrit. Simile eft huic: Si fuerint duo numeri compofiti contra fe, totum quoca « tis confertum contra utruncp erit compofitum. Vt fi$8 & 1 1 ad feaddantur.ficnt i i^.Et quia 98 & a i /imt contra (e compofici,erit 1 ip contra utrunqp compofitus. Sic quia Vi 7 i , & /% i 6 z. funt commenfurabiles , erit etiam /%4j-o ad utruncp commenfurabilis.ed quod (it aggregata ex Item huic oppofitae priori: , T 0i fuerint bue quantitate© incommenfurabile©,erit ag gregatum earum »otricg mcommenfurabilc. Similis eft» Si fuerint duo numeri contra fe incompofiti, qui ex ambo- bus coacerUatur,ad utrunq; eorum erit fncompofttus. Vtiodi 11 faciunt 17, quia ergo 1 o & 1 7 funt contra fe imi Compofiti, necefle eft ut 17 iit contra utruncp incompoiirus. , . qui* 8 & 1 z funt incomracniurabiIes,necefte eft ut » *-f- A 8 contra utruncg fit incommcnfurabilis. Item haec quar eft conuerfa nonae apud Campanum. * V ’©< fattint bue quatitate©,fuerit'c$ aggregatum ep et©; rtricp partium illarii commenfurabile , erunt etiam pacte» inter fecommcnfurabile©. * j' Similiseft huic. ; Sinumerusexduobuscoaceruatuscontra utrunq? iiteom# pofitus,ncccfte eft, ut duo illi numeri cx quibus farta eft coai ccruatio.fintcqntrafe^ompofiti. ,, ^ P fi Vt MlCHAEtlS STlFEtrr* * Vt quia 1 1 9 aggregatus eft ex 98 & 2. 1 , dt contra utruncp eorum eft compoutus,neceflfc efl: uc 98 contra zi (it c5pofitus. Sic quia eft aggregata ex s/%71 & fy 1 6 z, dC eft com* menfurabilis ad utrancg , ideo necefle eft ut 7^7 1 ad »/% 1 6 1 (?t commenfurabilis . ' ■ * , • . I tem harc oppofi ta immediate praecedentis. ^0t fuerint buequantitatee,fuertt'cg aggregatum ejrde vtricp pattiuni illarum tncotumeiifurabtle, erunt etiam par tce ille inter fe tncommenfurabiUd. Similis eft huic. Si numerus ex duobus coaceruatus, contra utruncp (it inco- pofitus, necefle eft ut duo Illi numeri , ex quibus farta eft coa« ceruatio,(int contra Ce incompoflti* Vtquia 27 coaceruatus eft ex 1 o & 1 7 ,& contra utruncp eft incompofitus, necefle eft ut 1 7 contra 1 o fit etiam incopofitus. Sic quia 1 x -f- eft incommenftirabilis his fuis parti- kus y%8 ,ideo partes illae etiam ad inulcera funt incora menfurabiles. De propofitione qua apud Camp anum eft decima. IX ea propofirione quam Campanus decimam facit,6i ■ Theon undecimam , habemus pulchrum exercitium J mulriplicandi ateg diuidendi per numeros irrationales quofcunqp: quemadmodum ex fuperiore propofitione, quam Campanus nonam facit, cum adiunrtis (ibi, habemus exerd* Cium addendi Qc (ubtrahendi per eofdem,ut fic duae propofi tio- nes illae, cum (ibi adiunrtis,integrum Algorithmum omnium numerorum irrationalium referant. Sic autem dicit: r<3mniumquatuorquaimtatu proportionalium,ft fue- rit prima commenfurabtlie fecunbe,erit et tertia commensi rabtlie quarte. • * * • fxeplum huius uidere poteris ex his 4 terminis regulae Dctri» V%9$ Jit8t • • /$ix, i Si Arithmetica* Liber 'n, ifi ; T0i ©ero prima tncomcrifurabilia fuerit fecunde, tertia qaoque iiicomnKnfurabtlie erit quarte* Vt hic : */fcl*. /*l8. */fc*7* Videamus nunc.exercitrj gratia, ut ea quae feptimo libro Eu elides docuit de numeris rationalibus,conueniant cum nume r is irrationalibus>de quibus boc loco docuit. Si fuerint qua tuor numeri ^portionales (inquit xo ieptimi) quod ex dudu primi in ultimum producitur, aequa eft ei quod producitur ex audu fecundi in tercium.Et fi quod ex primo in toltimum producitur, aequum luerit ei quod ex fecundo in ter * tfinn,il(i quatuor numeri iunt proportionales. Si fuerint qua tuor numeri ^portionales (inquit 14 ieptimi) permutatim quocp proportionales erunt. Si fuerint quatuor numeri proportioales (iuxta 1 1 feptimi) nciet diuiffo fecundi per primum, quantum diuiffo quarriper tertium. Et (i iecadus dfuifus per primum, fecerit id quod quar tus diuifus per tertiu.erut qaatuor numeri illi proportionales. Si fuerint quatuor numeri, quorum fecundus primum to* t ies contineat, quoties quartus tertium, continebit ( iuxta 9 QC 10 feptimi) tertius primum, quoties quartus fecundum. Si fuerint quatuor numeri, quorum /ecundus toties conti* neat primum, quoties quartus tertium,continebunt(iuxta j- & 6 ieptimi) fecundus & quartus pariter accepti, primum & ter* Cium pariter acceptos,quoties fecundus continetprimum dtc, Euclides etiam hoc figno teftari uoIuir,fe hic loqui de irratio nalibus numeris proprie, fleut in feptimo de rationalibus,^» utrobiqr coeperit 4 propofitionibus fimilibus , Sic enim prima leptimi,RmiIima eft fecundae dedmi : & fecunda feptimi, Omi« lima eft tertiae decimi; di tertia feptimi, Rmiliina eft quartae decimi, P irj Dt »71 iiMkhaeilis Stifelii -A i,. Depropofitionibos quibus Euclides utitur tanfp elementis quibufdam ad compofitionem fua ? rum tredccim fpecierum, Cap.xun. T Idit Campanus uir e ruditus, propofitiones quafc dam decimi Euclidis cfle dementares , fi ad tc\h quas comparentur : ideo eas, pulcherrimo ordine obferuatOjCoIlocauit inter decimam ordinis foi, & quintamdccima,tanquam interfiirium quod* dam, quo didinguerentur propofitiones irrationalium numc# rorum abftraftorum ( ut ego uideo) i propofitiombus irratio# nalium linearum, id eft, irrationaliu numerorum contra dojfc. Hac uero ratione ego eas uoco elementa res propofitiones, <$ fecundum eas producantur lineae indifterenterutilesatcpin- Utiles ad propofitiones rerum prindpalium.quar in decimo tra dlantur, adeo uidelicet informes funt,ut ad nullam ufum certd Uideantur ede regulatae.nifl redrirtionibus certis corrigantur, ita ut eliminatis inutilibus lineis, folummodo utiles proferant. |3oc,{nquam,uidtt Campanus, etfi non uocarit eas elementa# tesvid quod ego ex ordine eius uideo. De prima propofitione dementari, i Lementar is propofitio prima, problema eft,& modum inuentionis rcquirir,qui quadrangulis redangulis afc^ i folu itur, quibus figuris folis utitur Euclides in fuo dei Cimo, nifi qudd eas alicubi dimidiatas recipit per diagonales) id eft, triangulares orthogonalirer. Sic autemdicit; «'> Fpropoftta quacunque linea rectu, bnas ettnconimcnfa* rabilea inuenire, tnam in longtto&tne, alteram in longitn* frne et potentia . Propofi ta linea quaconq?, conditae ad meniuram eius qua* dra tum,tunc diameter eius neceiTario erit incommenfiirabtHt longitudine tantum, ad linea propofitam. Medium uero pro- portionale inter codam & diametro quadrati, erit eidem linese propofitac incommcniurabilis longitudine QC potentia. ARlT«HffTrcXr:LlBBtt. If» 5 Vt pofitalinea A B ,erit d incommeniurabilis longitudine. Unca a Efcu bc. Et eidem lineae A B, erit incommeniurabilie longi tudihe& potentia, linea b d. Exempla, a 'j5 i ' Vtl? A b fecerit d,fec/et B C & B D faciet erit B c incomeniurabilis longi tudinefantum,adA b:& b e erit incommenTurabilis longitu# dine & potentia ad a b, Vtl? ab faciat d^cietBD^di BCfadec,/*ii7,& BEfa* det^^n u ftemfi A B fecerit Al 3», faciet bd/jji 6x : & BCfadef ^338:&BEfadety^.o4. Item fl a B fecerit 7% 3 z, faciet b d * : & B C faciet ,/* 1 04* & B£fadetA*33*8. Itera fi A b fecerit 4-4-/% 1 a, tunc radet B d -f- xi i & B C fadet y a -+V* 3 p : & B B fadet tibi %/**8 3 x -f- */i&4$ 8« Etficdealijs. rSed fiint ^portiones a liquar, quas nffi caueria, decipiet te# In uniuerfo autem genere proportionum multiplicium, item In uniuerfo genere moltiplidum fuperparticularium propor* donum, nui Ia eft quae te decipere poftit.Et in uniuerfo genete fuperparticularium proportionum ,una folummodo eft pro- portio quam cauere debeas,uidelicet fefquitertia. Nam fl b O faciat ad a b proportionem fefquitertfam,erit b cad a B cora menfurabflis poteria & longitudine, &be erit ad A B comen (iirabilispotentia tantu.Vt fi faciat ab, 6-f~y%i7, faciet B X> S -4- y?(48,& BC faciet 10 -f-y%7y,& BBfaciet«/%6o,4-quabrato alicuius linee incommcn jurabilis ftbi in longitubine, erit quoque tertia potentioc quarta , quabrato alicuius linee incommenfurabilis jibi in longitubinc. Exenu K4 A D Quia trianguli orthogonij a b d,& d b c,fimt fimiles inter fe,ideo neceiTe eft ut habeantlatera proportionalia, ut A D ponit DB, ergo DC ponit cb. Item a D ponit a b, ergo d c ponit D B. Hoc eft.Vfcr* ponit 4 lineam fibi longitudine incomenfura- bilem.ergo 17 ponit 6 fibi in longitudine comenfurabile. Recepta eft autem figura odauae fext/,loco figur* propofi- tionis decimae fext/.caufa rei dilatandae. Dcmonftratiouerofimilitudinis anguloru geometrica eft, fed quia paucis expediri poteft, uolo eam rentare. Angulus a communis eft triangulo totali a d C.& partiali a B D : ergo necefte eftuit angulus C fit aequalis angulo a D B. Ergo etiam necefle eft, ut angulus b d C, aequalis fit angulo D A B ,&C. Sic hac figura facile demonftratur proportionalitas 1/nearu geometrice ex fimilitudine triangulorum, Eft enim angulus b trianguli totaIis,communis triangulo partiali e d B.ltem an* gulus a trianguli totalis, eft communis triangulo partiali ABC, Ergo &'c. Arithmeticae Liber ii. Exemplum. Q ii De Michaelij Stifelii De tertia propofitfone dementari ,& eius conuerfa. PReui fumma explicantur fimul qua tuor propofitionc* dementares fequentes „ fatis uerbofe pofitae.. Scilicet» fuperficies diuidensiineam longiorem, uocetur E (ut in figura uidebis inferius ) Qt quadratum complens longiorem lineam uocetur F.Linea longior uocetur a b ,& breuiot uoce* tur A d.Ec linea excciTus uocetur b d. Partes diuiise longio- ris lineae uocentur a C 8C c b. His praemiffis , iic habet fumma omnium propofitionum elementarium quae xcftant. Summa breuis. Si fuperficies E fuerit quarta pars quadrati breuioris lineae, fit'<$ fuperficies F quadrata, unum conftituens quadrangulum cum e,8C c b fit commenfurabilis ipfi AC.necefleeftutetfam D b fit commenfurabilis ipfi a B : ut habet dementaris tertia* Et uiciflim(ut habet eius conuerfa) fi d b fuerit commenfura* bilis ipfi a B,necefle eft ut etiam c b fit comenfurabilis ipfi a c0 Et econtrarioCut habet elementar is quarta, quae eft tertiae op- pofita ) fi c b fuerit incommenfurabilis ipfi a c, necefle eft ut etiam d B fit incommeniurabilisipfi A B.Et uidfTim(ut habet eius conuerfa) fi D b fuerit incommenfurabilis ipfi a b, necefle eft ut etianl c b fit incommenfurabilis ipfi A C. Sic autem dicit tertia dementaris» V 0i fuerint bue linee inequalee, quarum longiorem bw uibat fuperficiee ftbi applicata in buae partte commenfura* bileejfitq; fuperficiee illa cqualie parti quarte quabrati linee brcuiorie>cut fuperficiei befit fuperficiee quabrata.vt no com pleat totam lineam longiorem.neceffe eft ipfant lineam lon* giorem tanto attipliue pofleqnim poffit linea breuior,quan tum eft quabratum alicuiue linee commenfurabilie cibem longiori in longitubine. Conuerfa cflis# F 0i fuerint bue linee inequalce»quarii longior fit potert* lior breuiore augmento.quabrati linee commenfurafiilie (on giori 1 Arithmeticae Liber ii, i ^ giori in longitudine, adiungatur'qj longiori fuperftcies equa It s parti quarte quadrati 0reuiorie linee , cui fuperfiaci defit quadrata fuperficie8,vt non compleat totam lineam longio rem,necefic efl fuperftciemfibiadiunctam diuidere lineam Jongtorem, in duae portiones incommenf urabtlce. Exemplum. Longior linea eft a B,feciens fua longitudine y^ioS.Qpam diuidit iaperficies 45, in AC&cB.EteftcB latus quadrati faciens fua longitudine /fc 1 3 .Linea uero longior fuperficiei 45 •f« A Ciacit 7% 1 1 7.1pia uero iuperficies l£,fua area facit 39. Lineaexepli breuior(.i. a d) facit fua longitudine^ 1 j-tf* unde area dus facit jj6. cuius quarta pars aequat ibgftdei 45* Linea exceflus,id eft, d b facit j- 2: Si eft 5-2 commen* lora bilis ipl? longiori.id eft, 2 o 8 in longitudine : fecit enim longior ad ipfam lineam exceflus, proportionem duplam . Sic c b commenfurabilis in longitudineeft ad A C, facit enim a c ad c b proportionem triplam, Q. irj Quod ; i /Michaelis Stipelit Qudd autem d b fit linea exceflfus/atis patet ex penultima primi : fcilicct,y z eft differentia inter zo8 & i s&* Circa hanc propofitionem obferuandae funt proportiones numerorum quadra to^- ad numeros quadratos,atqp cauendae. Si enim C B ad A C talem aliquam proportionem habuerit, rc- fpondebunt quidem lineae propofitioni huic tertiat atque eius conuerfae : fed lineae illae inutiles erunt pro decimo Euclidis, cum fint omnes merae rationa!es.Et ego quidem ex hac propo (itione & figurisexcmploru eius,ob(cruaui proportiones illas quas circa propofitionem elementa rem primam po(ui,& qua- rum mentionem etiam feci hb. i.cap.z. De propolitione ultima elementa ri,& eius conuerfa. I Ltima propofitio elementaris ,eft oppofita tertiae ele- j' mentari , dC conuerfa eius eft oppofita conucriae ipfius I tertiae. Requirunt aut, haec ultima dC couerfa eius, linea rationalem aut medialem, pro linea exempli longiore : aliis enim lineae exemplorum ipfarO,nihil facerent ad ufum decimi* Itacp rationalis linea aut medialis , (umpta pro linea longiore exempli, diuidenda erit in partes duasincommenfurabiles,per fuperficiem (g.Quod ut fiat mox dicam, politis prius propo- (itionibus ipfis* Elementaris ultima. f P0i fuerint bue linee inequales, quarum longiorem biui batinbuas partes incommenfurafoles.fupcrffcies equulis quarte parti quabrati breuiorie linee, ita cp befit ab eius cotn plctionefupecficiesquabrata,critlongior potentior breuiorc augmento quabratilinee incommensurabilis ipft longiori iulongitubiue. Conuerfa ultimae huius. V 0i fuerint bue linee inequalcs , quarum longior fit po- tentior breuiorc augmento quabrati linee incommeufurabi lisipfi longioriin longicubine,abiungarur'q*ei fuperficiea cqualis parti quarte quabrati breuioris linee, bcfuerifq; fu» ‘ rfi(' ’ perficies Arithmeticae Liber ii* perficies quafcrata.necefie «fi vtipfa fapcrficiee dbtaticta ab eanbe linea longiore biuibat in buao portionee incomcnfur. Exemplum* Linea ab, 12. Ac,rf-f-v* cb,6— /fci». DB,y%48. CE,y%24. ' Exempla harum propofitionum fic formatur feu figurant • Primo omnium pone quadratum cuius cofta fit refiduum binomiale aut refiduum bimcdialc,tunc latus longius fuperfl- ciei l£xrit linea binomialis,aut bimedialis ( in fuperioru pro** politionum exemplis erit commoda cofta quadrati fvationa Iis aut medialis , ad quam latus fuperflciei l£ longius habeat proportionem numeri ad numerum,dummodo numeri illi n5 fint quadrati) & cum ex utrac$ fuperficie itz&S una fiat fuper fldes.deicribeiupercamiemicirculum, ut commode poliis gnare lineam breuiorcm exempli, a tcj$ lineam excelfus : utram libet autem primo poteris lignare. Si lineam exempli breuiorem primo uolueris lignare, tunc recipe lineam quae dupla fit ad mediu proportionale inter cofta quadrati^ & latus longius fuperficiei }£, erit enim linea talis menfura linea: breuioris tui exempli.Patet.Nam medium tale Michaelis Stifblii . . « proportionale eft larus tetragonfcum area l£, iuxta ultimant fecundi.Et cum quadratum linea fignandz,fit ad aream illam quadrupla,ut propofitiones dicunt, neceiTe eft ut linea habeat proportionem duplam, iuxta ro odau i,&c. Signata aut linea exempli breuiore ( ut uidcs (ignaram A d) patebit fpacium fi- gnandz linea exceflus,abfcg maiore aliqua opera qua fi tum. Si uero lineam exceftus feu augmenti, uelis primo (ignare, tunc abfcinde coftam quadrati $ de latere longiore (uperflciei lg,d( remanebit tibi men(ura,hnea exceftus (eu augmenti fi# gnanda.Vnde necefle eft,ut C B exiftcnte commenfurabili ipfl a c,comenfurabilisetiam fit D b ipfi a B.Cum enim commen* furabile (obtrahitur i (ibi commen(urabil(,necefte eft ut relido remaneat commenfurabile toti,& fingulis partibus totius ipfl toti commenfurabilibus.iuxta odauam decimi.Sic etiam D b exiftcnte commenfurabili ipfi a b, necefle eft ut c B commen* furabilis fit ipfi c a , ut didum eft fuperiuscirca dementarem tertiam . Sic ex eadem ratione, fi C b fit incomenfurabilis ipfi A c (quod ad propofitiones has duas pofteriores perrineOne# cefie eft ut D B fit etiam inedmeniurabilis ad a b. Et uicifltm, fi d B fit incommenfurabilis ad a b, necefle eft ut c b (it iaconr meniurabilisad ac. Deufujpropofitionum elementarium. ] Agnum ufum habent propofitioneselementares ad ea' iqua in decimo Euclidis tradant, quod paucis hoc loco' i libuit referre.. F Cum enim occurrant propofitiones no pauca, in quibus requiruntur linea longitudine incommenfurabiles fibi,ut funt ha decimi propofitiones , 17. 18. 24. zy,z 6, 30. 3 /. 3z.fi* inulta aliz.Irem non pauca occurrant, in quibus requiruntur linea (ibi longitudine & potentia incommenfurabiles , ut funt ha decimi, 27. 28. 19.3 3. 34. 37,81! alia nonulla.nonmiru eft q> prima clemetarisCut reliqua breuitatis gratia hoc loco tranfea) jpponitrequiredas lineas utroqi modo incomeniurabiles &c. Item Arithmeticae Liber ii, ritem (ut de fecunda elemerari etiam dicam) fatis pulchro eft uidere.ut ex binomrjs primis producant binomia fecunda & rurfum ex fecundis flant prima : ut hic uides. 8 ponit A 48,ergo «/$48 ponit 6% Item ^48. 6,8, y*48. Eodem modo fluntex binomijs quartis,binomfa quinta: & rurfum ex quintis flunt quarta. Eft etiam fecunda dementaris mire utilis ad inuenrionea linearum , quales requirunt propoflriones »4 . * y . 26 , ut fuo loco uidebimus. . ? FEx tertia dementari fiunt b/nom/a & refldua primi ordk nis peculiariter : reliqua fuis locis exponam. FEx quarta elcmentari,producit Campanus lineas, quales mihi ab initio C dum decimum Euclidismeditarer attentius) fuerant difFicilimae, antequam eas caepiflem cognofcere.H* funtpropofltionum 17. z8, zp.lineat.Dereliquisdieaminlo cis fuis ut inciderint. • . Dc proportionibus decimi Euclidis.quas de duplici fpecie rationalium linearum propofuit. Cap. xv. v A.B v s propofltionibus, Euclides, fpec/em ra« tfonalium linearum duplicem, illuftrare uoluit, jntequam ipecies irrationalium linearum aggre^ deretur. Atque ita ordiri uoluit principalem libri fuidei imi tractationem, ab illis propofltionibus duabus : quarum prior ordine Campanieft quintade*ima,or* dineuero Theonis eft uigcflma : altera aut earum, cum ordine Campani fit fextadecimajordine Theonis eft uigefima prima. R De Michaelts Stifelit r Depropofltioncpriore.quareft apud Camp.ty, "1 . Cee ut Euclides incipiat i fuperficiebus rationalibus, 1 contentis fublineis rationalibus prunae fpeciei,memor | uidelicet definitionu fuarum,qutbus fignificauit quali- bet ratiocinatione rerum irrationalium.oportere initiu capere | re aliqua rationali. Sic autem proponit: rCkueltbet fuperf)ciee rectaugula.quam continent bae linee, in longttubtne r / Scilicet quadrangula abco pertinet ad prior? propofitione. Quadrangula ucro ac f e, gttnct ad pofteriorc pr «cedentis. Arithmeticae Liber ft, Non aurem difcemit textus propofitionis altera parte len- iores fu perficies, 4 fugfiriebus quadratis, ut fignifteet urrafq? in fequentibus propofit Ionibus manifefie probat, in quibus de utrifc^expreffisuerbisdiflerit.Qudd fi ratione propofitionis huius peculiarem aliquis i me petat, illud reipondendum efie : cenfeo, q>exutrac$ fpecie quadrangulorum reda ngu larium proucniunt lineae rationales fecundae fpeciei (id efi,rarionales potentia tantu) per lineas rationalesprimae fpecfeiNam qua- libet fuperficies quadrata, cotenta fub lineis longitudine ratio ' nalibus, diametrum habet lineae rationalis fecundae fpeciei, id cft?rationa!is potentia tantum: & hoc nunq£ fall/r. At fi fuper* ficies quadrata rationalis, contineatur fub lineis rationalibus fecundae fpeciei ( id eft,fub lineis potecia tantum rationalibus) diameter modo linea primae fpeciei rarionalium,modb fecudse fpeciei etit.Nam fi cofia quadrati fecerit /%48,facfet diameter «ius %/%9<5.Sed fi cofia fecerit %/fc j-o, faciet diameter eius i o. Superficies uerorationa!is,contenta fub lineis rationalibus primae fpeciei (.ijongitudine rationalibus) inarqualibus.facit diametrum rationalem fecundae fpeciei,fi caueantur proportio nes Iaterum,quas pofui capite praecedenti, circa propofitione dementarem primam.Nam fub proportionibus illic pofitis/a - cient diametrum, feu diagonalem lineam, primae fpeciei,&:c, » De propofitione pofteriore,quae eft apud Camp. 1 6, ifta propofitione quae apud Campanumcft i 6,apud U0 EJ Theonem uero 1 1, magis placet textus Theonis quin* lyLijsCarnpanfcficut in fuperiori magis placuit textus Catr*'< pani quim Theonis . Hac enim ratione uident ambae ipecies rationalium linearum pulchra propofitae. Sic autem habet textus,Theonis fententia. r (Tum afciuncta fuerit linee rationali .fupcrficiee rationa Itercctangula.latue eiue fecunbuni erit rationale,lateri'qp primo commenfurabile. R q Campa MiCHABirs Sttfelii Campanus autem ponit (uam (exramdec(m5,(ta ut fit con- uerfa fuar quintacdccimac.qucadmodum Theon fuam z i.hanc ponit ut fit conuerfa fuar uigefimae. Sic autem habet Campani propofitio. rCum adiundz fuerit lineat rationali in longitudine fuper ficies rationalis recftangula, latus eius fecundum erit rationale in Iongitudine.Iaterfqp primo in longitudine comenfurabile. Sub hac ego diuerfitate (data ratione) medifi reneo, & Eu* clidem propofitiones po(ui(Tearbitror,ficur dixi.Ficrienim po tuit,ut Euclidis propofitiones, quat ad manus Theonis perue- ner ut poft aliquot (ecula,alicubi fuerint mutatar,quicquid tan- dem fit quod ae Campani exemplaribus opinamur. Facit QC. hoc me liberiorem iniudicando,quod propofitiones Euclidis, non funt euangelium Chrifti. Res fic habet. Duae lineat rationales commenfurabiles in longitudine, fiue longitudine fintrat poflintlin iuperficies rationales : fic lineae irrationales primae fpeciei linearum irrationalium.dicuntur mediales, eo quod poffintid fuperficies mediales. PofTe aut in fuperficiem aliquam, dicitur Iinea,cuius aream Ipfa reddit multiplicata in fe : ut linea quae fua longitudine fa» . cit 6, dicitur pofle 36 Ac. - Sunt igitur lineae mediales, lineae irrationales longirudine . & potentia.potentesfuperficie medialem.Vnde necp haec^d.. eft medialis,neqj haec ^^6,fed haec J&6 Ac* De I Arithmeticae Liber ii. t6o De propoftt/one prima medialium linearum, |Vnc tandem uidebis ufum proprium elementariYpri- I roar.ex propofitione prima de medialibus lineis polita, i quar eft de inuentione medialium linearum , ut merito fit in ilio ordine prima.Quaecum fitapud Campanum x i x, apud Theonem eft x x 1 1. Sic autem habet: ^ CDoelibet fuperf[cice,quam continent bne linee ratio na lea, potentia tantum commenfurabilee.efi irrationalid.tHci* torc^fuperficiea mcbiaIie.J£tufo latue tetragonicum^uoh In illafuperficte potefLefi irronale .bienureg Unca mebialie.J Quali dicat; Sternuentes linea medialem, (i coniungas duas lineas rationales potentia tantum commenfurabiles, dire de, ur huic 7**6, haec 24. Et quaedam ei neutro modo comcnfurabiles erunt, ut huic ,hae c 1 9» De propofitione quarta medialium linearum, quae Theoni eft 2 j-. ■s^nReui propofitione hac, mediale non excedit mediale. PgMrationalf parumper diflimu!ata,donec fuum alium Iocu _Jsainueniat)pro ea nunc illam uideamus,quam Theon fa* cit uigefimam quintam, T (Duelibet fuperficies quam continent buefince media* lce,commenfurabiUe in longitudine, mediali» eft» Exemplum. Michaelis St.ifelii Sed miram hic uide naturam linearum, ex collatione media fium & rationalium potentia tantum. Mediales lineae potentia tantum commenfurabiles , conti# nent aliquando fuperiicicm rationalem, ut habet propofitio Ce* Jjuens. At (i longitudine fint commenfurabilcs.nunquam pof- unt continere fuperficiem rationalem,' ut dicit ,ppofirio haec. Rationales uero lineae potentia tantum, fi potentia tantum fint commenfurabiles,non poiTunt continere fuperficiem ratio nalem. At fi longitudine fint commenfurabiles , iemper conti# nebunt fuperficiem rationalem. Iracp mediales lineae duae, quarum numeri , diuifione unios peralterum,faciunt numerum rationalem, nunquam facienc numerum rationalem, multiplicatione unius per altcrum,ui liabct propofitio ha c/c. Et mediales lineae duar.quaru numeri multiplicatione unius per alterum , faciunt numerum rationalem,diuifione unius per alterum, nunquam faciunt numerum ra tiona lem,ut habet pro pofiuo iequens. At dux lineae rationales potentia tantum, quarum numeri diuifione unios per alterum, faciunt numerum rationalem ,etia multiplicatione unius per alteru.faciunt numeru rationalem. Et dtiae lineae rationales potentia tantum , quarum numeri, multiplicatione unius per alterum, non faciunt numeru ratio# nalem, diuifione unius per alterum etiam non faciunt nume- rum rationalem. De propofitionc quinta medialium linearum. iNcipitEuclideshacpropofitione fequeti rcfpiccread Icompofitionem bimedialium linearum, ex lineis medi- jalibus. Et eo pertinent problemata duo illa , ex quibus Theon facit propofitionem 28 & 29, quibus loeu alium dabo. Sic autem dicit harc quinta. V CDucliSet fupcrficiee qua continent fcue linee mchialea, potentia tantu c$menfurabilee,aut ronalie e(f aut mchialie. » ; • " Exem# i ARrTHMBTICAE LlBBR. II; mediales Iincas,fi coni ungantur, a ut rcftduales bimedialiter, fi ab inuicem (uberabatur. Notum eft a ut, ut ex talium compofb Kone aut abfdGone,nihiI fiat aut remaneat nifi medialis linea. De propofltionibus Euclidis quas pofuitde fecunda fpecie irrationalium linearum fuarum,id eft, de binomialibus lineis. Cap. xvir, Afcuntur pr/moomn/um lineae potentia tantum rationales,de rationalibus longitudine ( id eft, iecunda fpecies nafeitur ex prima ) & fit hoc per primam elementarem. Scilicet fi fuerint duae Ii* neat longitudine rationales, diredar coniundar, & non fuerit inter eas proportio numeri quadrari ad numerfi quadratu, tunc mediu proportionale inter eas,erit linea ratior ,nalis fecundae fpecie/.i.potentia tantu rationalis erit linea illa. Naicuntur fecundo lineae mediales, id eft, lineae primae fpc- dei irrationa1ium,dc rarionalibus lineis binis, ex utraqj fpecie rationalium fumpris, uel ex iecunda rationalium fpecie , fi ad inuicem fuerint incommenfurabiles . Fit etiam hoc, modo iam dido.per primam uidelicet elementarem : fcilicet medium pro portionaleintcr lineas tales/emper erit medialis linea. Nafcuntur tertio lineae binomiales(ideft,Iineae fecundae (pe dei irrationaliumfinearum) de rationalibus lineis,uidelicet fi duae lineae rationales recipiantur ex utracp fpecie rationalium, uel duae incommenfurabilcsex fecunda fpecie rat(onal(um,con iungatufq; illae lineae direde(id cft,(?c,ut ex duabus redisuna reda flat ) (emper fler ex tali coniundione (eu compofitfone. linea una binomialis. Et hoc eft, quod dicit ptopofitio prima binomialium haec fequens, quae Campano eft ) o. f 0i budinec rntioitalce potcnrialirertanturo commu- S iij nicantce r‘ ♦ ' MtCHAtLTS STIPEXII ~ nicantee in longum btrectum'q? contungantur» tota finea ejr his compoftta,ctitirrationalis,i)iccmr'cp25inomium. Vtfiexcofta quadrati rationalis, & ex diametro eiuCdem quadra ti,flat una linea reda, erit illa neceflario binomialis. Vtflt a B,iz,erit a C, • z88 , Itacp fi ex A B & A C fiat una linea reda, co ponetur (»/fczS8 -f— i a) li- nea binomialis. Sic fi a b faciat z*8, faciet a c, z4.Itacpex a b di AC, erit binomialis Ii* nea z4-f-y%zS8. Sic fi a B faciat Z4, fa 3 ciet Acy%48.Itacpex ab di a C erit binomialis linea haec,y%48 -f-Vfca 4« Nafcuntur deinde ex binomialtbus lineis reliquarum ipecft rnm irrationalium lineat. Quod ut fiat, iuis locis fingulisexpli cabunt propofitiones ad hate pofitat ab Euclide. Et cum contrariorum eadem fit difciplina,pulchre opponi- tur refolutio compofitioni, per aliam propofitionem Euclidis (equentem,quae apud Campanum eft 3 6 . Ea fic dicit; r^mpoflTibtlceff btnomtumbtuibt inbuas aliae (ineas, linee (ibi in (ongtttsbine conimenfurabtlie. Prxmiftis duabus ppofitionibus quae de b/nomrjs Ioquutts tur generaliter, fequuntur nunc dux alix, qux de binomtjslo* quuntur fpecialiter. Harum prior eft,quam nunc tradamus» «a eft apud Campanum 17 Euclidis, at apud Theonem eft 3 o Euclidis.Proponit uero hxc inuentionem binomialium linea tum,primi ordinis feu primx fpcciei : quales rurfum fubdiuis duntur in tres fpecies alias.id eft,in binomia prima, in fecunda &in terna* Inuenrio autem illa quam proponit propofitio hxc,optime perficitur fecundum propofitionem dementarem tertiam fic* Regula inuentionis huius* Recipe duas Tineasrationales commenfurabiles , quarum proportio non fit tanquam numeri quadrati ad numerum qua dratum,& inter eas conftitue medium proportionale, 6C linea dupla illius medij,erit portio binomtj breuior . Linea uero ^opofita ex duabqs receptis lineis,erit portio binomij longior. Exem- Michaelis Stifelii jiA Exemplum* Sint receptae 8 # 6, erit medium proportionale intereas 48 .Vnde portio binomi)minor,erity%i9z : # 14 erit por* Cio eius maior.Itaq? binomium inuentu fic flabit, 14 -f- 19*« Huius ordinis binomia , uidelicet prima , fecunda,# tertia, funt quadrata. Et de illorum inuentione font problemata tria fcquentia • FBinomium primum inuenire. Recipe duas lineas longitudine rationa1es,quarum propor tio non fit tanquam numeri quadrati ad numerum quadratu, & operare iuxea regulam proximam fuperius pofitam. Vt fi receperis 6 # 1 8,refpondebit figura propofltionis ele< mentaris tertiarCquae fuperius data eft folio i j-y).Sci'Iicet a D fa ciety^43 i,erit'cp portio binomtj minor,# a b faciet »4.Vnde hoc erit binomium primum hoc modo inuecum,i4-t~«/$43i« fBinomiumiecunduminuenire. , • PBinomium tertium inuenire. . Recipe duas lineas potentia tantu rationales,quae finteom- menfurabi!es,ita tamen ut non habeant ad inuicem proporti- onem numeri quadrati ad numerum quadratum, # operare iuxta regulam iuperius pofita.Ec fi inter receptas duas incide* rit medium proportiona!e,quod fit longitudine rationale,tunc produces binomium fecundum . Si autem medium proportio nalc fuerit potentia tantum rationale , tunc produces bino-1 mium tertium. Exemplum primi. Recepta figura folrj ijt> recipe pro linea AC »/$14 3 ,#pro C B recipe 2. 7,tunc DC faciet j.Ergo A Dfacict 18, & A B faciet y%43 2. Vnde binomium fecundum fic ftabit in numeris, yi43z_l_i8;fcilicet ba d faciet nunc binomium fecundum. Exemplum fecundi. Recepta figura hic fupta indicata,recfpe pro linea a cVfcf 4» i Arithmeticas Ljbbr/ ff, &pro C B recipe tunc D c factet «/% 1 8 . Ergo A D fidet /%,7x: & AB fac/et A ?<*. Itacp b a D fidet modd binomium tertium hoc,,/% 7X, Sequitur propofltio quarta capitis huius, quae efl Campani 18. r^uaa lineae inuenire rationa(ee,potentia tantum cent menfurabdee.quarum longior plue peflit breuiore, qiwritS fidet X4 . Itac$ inuentum binomium fle itabit, x4-f-y^r 28. rBinomium quartum inuenire. Recepta figura propofitionis dementaris quart* (iuperius oftenfa folio 1 f& Theonis propofitioni locum faciat . Rede uero & commode meminit commenfurabilira tis, at non rede determi nat lineas oocabulo longitudinis.Siquidem qualibet linea ra • tionalis longit udine,commenfurabilis eft cuilibet line* ratio- R irj nali Arithmeticae* Liber rt. i 4 1 Michaelis Stifelii nali in longitudine: ut paulo fuper Jus Jndicau/. At fionquarll* bct linea rationalis potentia tantum,c6municat cuilibet lineat rationali potentia tantum;ut n communicat /%48. At non comunicat cum ^14. Et (ne dubites) comunlcarcfit comenfu rabilesefTe omnino idem importSt. Item impoflfibileeftJineS longitudine rationale comunicare lineae ronali potetia tantu. Dux aut lineae rationales incommenfurabiles, non poflunt cotinere fuper flciem rationalem. Vnde (i duae lineae rationales cx utracp fpecie rationa!ium,contincant fuperficiem quadran- gulam reAangulam . Linea quae illam fuper ficiem poteft , erit medialis ut habebit proxima propofitio,quam ponam ordine debito, tiec omnia mira breuitate complicat propofitioTheo nis, quorum confiderationc adducor, ut credam eam e fle EucU dis,& non eam quam Campanus hic ponit. ; Dc propoficionibusEuclidis,quas pofuitdc medialibus lineis,qux funt lineae primae fpeciei linearum fuarum irratio* nalium. Caput xvi, rraTionalivm linearum fpecfes prima» uocatur Medialium.Queadmodam autem lineae irrationales longitudine tantum,uocantur ratio- nales potentia tantum, eo q> poflintlin fuperficica rationales : fic line* irrationales primae fpeciei linearum irrationalium.dicuntur mediales, eo quod poflintid fuperficies mediales. Polle aut in fuperficiem aliquam, dicitur linea,cuius aream Ipfa reddit multiplicata in fe : ut linea quae fua longitudine fa* cit 6 i dicitur polle 3 6,&c. . Sunt igitur lineae mediales , linex irrationales longitudine , & potentia.potentesfuperflcie medialcm.Vnde necp hxcv^d.; cft medialis, necp haec Vw&fid haec ,&c. De Arithmeticae Liber.ii. §6o * ' De propofit/one prima medialium linearum, i Vnc tandem uidebis ufum proprium dementaris pri- I mar.cx propofitione prima de medialibus lineis polita, ' quar cft de inuentione medialium linearum , ut merito fit in ifto ordine prima. Quae cum fit apud Campanum X i X, apud Theonem cHxxu. Sic autem habet: V CDuelibet fuperficice.quam continent bne linee ratione lea, potentia tantum commenfurabiied,cft inrationaljid.bict* turq^Juperficied mcbiaIid.A£iufcp latue tetragonitum,quob in lUdfuperfkte potcff,eff irronalc.bictturc# linea mebtalie.J Quali dicat: Sicinuenies linea medialem.fi coniungas duas lineas rationales potentia tantum commenfurabilcs, dire de, (nam ad angulu redum coniundar/uperffcfem medialem con tinent) & per p fexti difponas mediu proportionale inter iplas coniunda$,tunc erit medium illud proportionale, linea media lis : eft enim medium illud.latus tetragonicum , quod in illam (uperficiem medialem potcft.Eft autem fuperficies mcdiajis apud Euclidem talis iolummodo, ad qualem cdtrahttur oumc tus medialis quadrate, id di,nu#icru* (igni huius H E V ides fi(c,tit iupficres a b C d fitmedialis cotenra fob a b 6i B C lineis ionaJibus,potetia tth comefwabilibus. f, a b facit ^48. & Mtchaelts SriFEtit & potcft 48 . & b c facit potcft 3 6. Eft autem medialis fii* per ficics, cum faciat/^ 1718 . Dcindeu/dcs.utfllar duae lineae a B & B C fint coni undae direde.conftituantcp FDC,& inter easeredum mediu proportionale B T), faciens fua longitudine Vfcfc 1 7 zS. Eft aut hoc fignuiWfcfc peculiare lineis medialibus* De propofitione fecunda medialium,quae apud Campanum eft XX, SiS3SVncuPauerat Propofitione praecedenti) partes in* e^^flftrumentales medialium linearu.uidclicet lineas ratio- nalcs , potentia tantum commenfurabiles : ideo nunc < propofitione hac ) oftendit modum redudionis medialium adhuiufmodi partes fnftrumentales,dicens: V (fu m abiuncta fuerit linee rationali in (ongftubine. fis* perficies equalie quabrato linee mebialie,latUA cius fecunbo potentialiter tantum rationale erit , latet i'<$ primo in (ongt- tubine incommenfurabile. Certe non curat Euclides hoc,ut ifta propofitio fit ronueria prioris, aliis lineae rarionalinon addidiiTetdeterminarionem hanc,in longitudine . Et confirmat hoc meam ienrenttam de duabus propofitionibuslinearum rationalium,paulo fuperios recita tam.Necg enim illae debuerunt efle ad inuicem conuerfae prarciie. Hoc autem carat & agit Euclides, ut hanc fpeciem ir* rationalium linearum (id eft.medialium) expediat propofitio nibus fimiIibus,iis,ppofirionibus,quas de fingulis alijs fpecie* bus erat pofiturus . Sic aute uidebis eum tradare fingulas fpe- desirrationalium linearum reliquas,ut(cum reliqiue fpectes omnes praeter hanc primam contineant lineas compofitas,auc tanquam compofitas ) poft tradationem partium compofitio niscarum.incip/at tradare partes earum inftrumentalcs, idq$ no aliter faciat quim hic, uidelicet ut una propofitionedoceac inuentionem uniufcuiufcp fpeciei, & alia fignificet redudione ad eafde partes inftrumentales.mediante linea rationali in Ion gitudinc,cui applicata (it fugficics quadrangula rcdagula t Eft Arithmeticab Liber ii, i^i Eft autem propofitio ift a facilis, maxime fi exemplum adhi* beas . Recipiamus itacp exemplum fuper/oris propofition/s. Scilicetfuperficies a b c d (quae aequalis eft quadrato edgh, eftcfc hoc quadratum lineae medialis hg) applicata eft linex rationali in longitudine B C. Ergo necefle eft, ut latus alterum fuperficiei ABC D,uidelicet a b fit potentia tantum rationale. & lateri b C incommenfurabile. Propofitio tertia medialium,quae Campano eft 2 r. — ] tHnie lineo comenfurobilte linee mebtali.mcbiofifi e. 1 Vt fi diimeter circuli fit linea medialis,necefle eft ut J; etiam femidiaroeter eiufdem circuli fit linea medialis. Et quamuis hoc generaliter uerum fit, nihilominus tamen uo- luit Euclides de qualibet fpeciefua ponere propofitfonera ipe cialcm,derc hac, forte utcommenfurabilium & incommeniii rabilium confiderationem faceret commendatiorem . Sed de his fuis locis dicam. Data itaqj linea mediali,quardammediales ei commeniura biles erunt in longitudine. Vt huic 7*%$, haec ^96. Et qua- dam potentia tantum,ut huic Al*> hac A% »4. Et quadam ei neutro modo comcnfurabiles erunt, ut huic *4%ie compoftta, erit irrationalis, biccturq? 2$momiuni. Vtfi excofta quadrati rationaiis,& ex diametro eiufdem quadrati, fiat una linea retfta, erit illa neceflario binomialis. Vtfit a b, iz, erit a C,- 288 . Itacp fi ex A B & A C fiat una linea reda, co ponetur (%/fci88 -+- 1 2) li- nea binomialis. Sic fi a B faciat 288» faciet a C, 24.1tacp ex a b QC AC, erit binomialisli* nea 24-^^288. Sic fi a b faciat Jy 24, fa det AC/*48.Itacgex ab & a C erit binomialis linea hacc,y%48 -f-y%24, Nafcuntur deinde ex binomialibus lineis reliquarum ipecie rnm irrationalium lineat. Quod ut fiat,fuis locis fingulisexpli cabunt propofitiones ad haec pofitat ab Euclide. Et cum contrariorum eadem fit difcip!ina,pulchre opponir tur refolutio coropofitioni, per aliam propofitionem Euclidis (equentem,quat apud Campanum eft 3 6 . Ea fic dicit; rjjmpoffibile «fi binomium biuibi inbuae aliae lineas, tr quibus co niuncta cfl et nominatfi »fub earum termino» Obieroa hic, ut de prima fpecie irrationalium (id eft , de me- dialibus lineis) nulla propofitio huiufmodi com politionis dC refolutionis pofita fit, nec^ poni potuerunt tales. Sed de fingu* lis reliquis fpeciebus,talesaliquas pofuit Euclides.Hac igitur ratione feparata eft fpecies medialium linearum, £ fpeciebus reliquis.tancj? fimplex i compofitisA i compofitaru fimihbus, ut in fugioribus capitibus de hac re plura me dixifte arbitror. Itacp binomialis linea refoluitur in duas lineas illas ex qui- bus eft compofita,quac uidclicetfunt rationales potentia tan« tum Arithmeticas Liber. 'ii# Exemplum. 1^2 ^>»104. /^14« J 18196* Primo y%% 96 di »/%%5’4 fune commcnfurabiles pofent/a tau tum,& continent iuperficiem medialem hanc /% 7 2. Secundo, A* T4 & Afc*4 j continent fuperficiem hanc 6 , & fune com- menfurabiles potentia tantum. Tertio, y%& 3-4 & 3 1 »04, continent 36, &c. Vnde medium proportionale, inter duas Tineas medialcspo tentia tantum commenfurabiles.aut eft linea medialis,ut dum ' lineae illae continent fuperficiem medialem : aut eft rationalis potentia tantum, ut dum mediales illae continent fuperficiem rationalem numeri non quadrati : aut eft rationalis in long/tu dine,ut dum mediales lineae illae, continent fuperficiem ratio# nalem numeri quadrati» De lineis medialibus duabus, longitudine & potentia incommenfurabilibus. j I fuerint duae lineae mediales incommenfurabiles longi tudine Qi potentia, continebunt illae lineae fuperficiem . — [irrationalem ab Euclide non receptam.Et quemadmo dum ille fuperficies tales non recipit, fic lineas qua: in illas fu* perficies poflunt,non admittit. Qudd fi receperislineampo* tentiae illius praedicftae.cum altero laterum fupcrfigei,coftirues aliam fpeciem fuperficierum irrationalium, atqj aliam fpecicm irrationalium linearum ex quadratione huiufmodi fuperficiem* di poterit continuatio talis progredi fine fine. Sequitur exemplum, • s 4 . I <*•> Arithmeticas Liber ii. tum commenfurabiles, Vt (exempli gratia ) i z 48 diuidi tur in 1 z & 48 : & impoffibile eft ut binomium illud diuida fur in duas alias lineas quxfint rationales potentia tanrum commenfurabiles. Sunt autem partes illxpofitx iz &Vfc48. ex quibus nominatum eft hoc binomium 1 z -\-J% 48 fub earfi partiu termino feu defcriptione,quaIem habet propofitio ptx* cedens, id eft, prima capitis huius propofitio. Poteft quidem 1 z 48 diuidi in 6 QC 6 -f- 48 . item in 1 z~j— A' z&y^iz.item & rf-f-,/* » z. Et fic de alijs . Sed ex talibus diuifionibus non fiunt dux linex rationa* les, potentia cantum commenfurabiles. Sequitur tertia huius capitispropofitio.quae apud Campanum eft 17« inuenirerationalefl^otentia wntumcom ttienfurabilee.quaru longior plue po(fie breuiore,quabiatq linee ftbt' in (ongitnbine eommenfurabilie. Prxmifiis duabus £>pofitionibus quar de binomrjs Ioquutfe fur generaliter, fequuntur nunc dux alix, qux de binomrjslo* quuntur fpecialiter. Harum prior cft,quam nunc tradamus» ea eft apud Campanum 17 Euclidis, at apud Theonem eft 3 o Euclidis.Proponitucro hxc inuentionem binomialium linea fum, primi ordinis ieu primx fpeciei : quales rurfum fubdiuis duntur in tres fpecies alias.id eft,fn binomia prima, in fecunda & in tern a. Inuentio autem illa quam proponit propofitio hxc .optime perficitur fecundum propofitionem elementa rem tertiam fic» Regula inuentionis huius» ; Recipe duas Tincas rationales commenfurabiles , quarum proportio non fit tanquam numeri quadrati ad numerum qua dratum,& inter eas conftitue medium proportionale, & linea dupla illius medij , erit portio binomtj breuior . Linea uero fopofita ex duabus receptis lineis, erit portio binomtj longior. Exem* r Michaelij Stipeui j:A Exemplum. Slot receptae 8 & ,erit medium proportionale intereas y%48.Vnde portio binomi)minor,erity% 191 : & ^eritpor* tio eius maior. Ita qi binomium inuentu fic ftabir, 14 ■+■ >9 z« Huius ordinis binomia . uidelicet prima . fecunda, & tertia, funt quadrata. Et de illorum inuentione font problemata uia fcquentia « fBinomiumprimum inuenire. Recipe duas lineas longitudine rationa1es,quarum propor tiononfittanquam numeri quadrati ad numerum quadratu, & operare iuxta regulam proximam fuperius politam. Vt fi receperis 6 & 1 8,refpondebit figura propolitionis ele* mentaris tertiatCquar fuperius data eft folio ij-jO.Scilicet a D fa det y* 4 3 z,erit'cg portio binomij minor ,& a b faciet 14. V nde hoc erit binomium primum hoc modo inuetum,»4-f~ */fc43 FBinomiumfecunduminuenire. . * FBinomium tertium inuenire. - Recipe duas lineaspotentia tantu ra tionales,quae finteom- menfurabileSjita tamen ut non habeant ad inuicem proporti- onem numeri quadrati ad numerum quadratum, & operare iuxta regulam iuperius pofita.Ec fi inter receptas duas incide* rit medium proportionale,quod fit longitudine rationale, tunc produces binomium fecundum . Si autem medium proportio nalc fuerit potentia tantum rationale , tunc produces bino- mium tertium. Exemplum primi. Recepta figura foli) lyr.recipe pro linea A C ^143 ,8ipro C B recipe A i7.tunc DC faciet 9. Ergo a Dfadct i8,& AB facter 3 z.Vnde binomium (econdum ficftabitin numeris, 1 8 ; fcilicet b a D fadet nunc binomium lecundum. Exemplum fecundi» Recepta figura hic fupti indicata,recipe pro linea a C Arithmeticae Libbr. ii. &pro C B recipe 6, tunc D C faciet ,/%i 8. Ergo A D fidet ✓%7i: & ab faciet A^.Itatp B a D fidet modd binomium cercium hoc,y% 9^-^quaruni longior plue peflit breuiore, qua rufi «I* qaabratum linee /ibi incommenfurabilie in longitubine. Proponit hxc inuentionem binomiorum ordinis fecundi,id eft,*binomiorum non quadratorum, uiddicec quartorum.quin* (orum ,Sc icxtorum.Et fumitur regula inuencionia huius iuxra • propoOtionem dementarem qua ream. Regula. Recipe lineam rationalem, quam diuide in duas lineaa inu tionales longitudine &: potentia incommenfurabiles , Qc inter eas conftitue medium proportionale^ erit linea dupla ad me dium iflud^reuior portio binomij inueniendl. Linea uero qua primo fuerat recepta, erirportio binomij eiufdem longior. Exemplum. Sit recepta linea, faciens 24, hanc d/uidoin »x-W%ia,& ix — 1 x .medio proportionale inter partes diuilionis illius facit 1 3 2. Ergo portio binomij breuior,faciet A r 18 : & lon gior portio eiufdem, faciet 24 , Itac$ inuentum binomium Gc flabit, 24-f-y%r 25. FBinomium quartum inuenire. Recepta figura propofitionis dementaris quartar (fiiperius oftenfa folio i;6) recipe pro a B lineam longitudine rationa Iero : ut 1? a B faciat 24)diuida ei in 1 48,& 1 2— idefl,in a c&cb: erit igitur medium proportionale inter par tes diuilionis huius hoc, Ajz8 .Erit igitur a d (ideft,breuior portio binomij inueniendl ; 2 1 1 x ; longior autem portio, erit a B, faciens 24/ . y T Bino- MiCHUfiu STirslrt v r Binomium quintum inuenire# FBinomiam fextum inuenire. - Recipe pro a b lineam potentia tantum rationalem. V t u A B faciat p6,diuide eam in 24-t 8 &C 14 v fc 8 »id eft.in aC& CB.Erit igitur medium proportionale inter par# tes diuifionis huius 4, Igitur linea a d faciet 8 ,& eft portio b< nomij minor. Faciet igitur b a d ( id eft , /* 96 -f- 8 ) bino- inium quintum. At fl medium proportionale fuerit linea potentia tantum tationalis.incommenfiirabilis lineat a B,tunc producetur bino miurn fex tum. Vt fi a b faciat ,/%48,fitf|? dtuifainA c ( faciente CB (faciente J%\ a— tunemediumpro portionale faciet «/% 7 ,& linea A D faciet 28 • Faciet iiaqj B AD(ideftV%48-+-Al8>binoro,'umfoctum*r , ^ _ f uero medium proportionale e fiet comroeniurabile lineae A B,tunc nullum binomium fieret ex B A D,fed fieret linea rati onalis potentia tantum. Vt fi A B faciat 96 , diuidatufqj in , 9 at y%x4— 1 8 .faciet medium proportionale 6t0i a D faciet A^.Itaq? b a D faciet ^2 i6,lineam.uideli cet potentia tantum rationalem* r Definitiones binom/orum, uocat Theon definitiones fe* eundas, propter primas illasquaei principio libri decimi po- nuntur.licet fortafiis iuae fint,& non Euclidis. Prima. 0t fuerit Siuomiuni , cuius longior portio potentiorftt breutorc, augmento quabrati, linee commenfurabilto eibetft longiori in longitubine»fucrit^eabemlongior,connwnfu* .rabiliein longitubine» alicui linee rationali iit longttubnWi fpfumoocabiturbinomiumprimum. _ . Hoc eft, binomium quadratum , cuius portio longior tuent linea rationalis in longitudine,uocabitur binomium primum# .* Secunda. - 0i fuerit binomium,cuiud longior portio potentiorftt * Sreuiorc Arithmeticae Liber h. 4>reuiore,augmento quadrari linee commenfurcbilia eibem longiori in longitubine,fuerit<$ brcuior portio conmicnfura Cilio in (ongitubine,alicui linee ronali in longitudine» ipfum vocabitur binomium fecundum. Hoc eft,binomium quadratum, cuius portio brcuior luerit linea rationalis in longirudine.uocabiiur binomium fecundu. Tertia* , ©i fuerit binomium.cuiua longior portio potentior fit breuiore augmento quadrati, linee commenfurabtlie eidem longiori in longitudine,fuerit<$ neutra portionum commert forabilia in longitudine alicui linee rationali in longitudine, ipfum oocaCitur binomium tertium» Hoc eft, binomium quadratum» cuius neutra portio fuerit longitudine rationalis.uocabitur binomium tertium. lllaitacpbinomia funt quadrata, in quibus linea exceflua commenfurabilis cft in longitud/ne,portioni longiori. Vndc fi linea excedas fuerit incommenfurabilis in longitudine por- tioni longiori,non erit binomium illud quadra tum,ut funt bf- nomia fequentium trium definitionum. Quarta definitio, ©i fuerit binomium, cuiue longior portio potentior ftt breuiore, augmlto quadrati linee incommenfurabilia eidem longiori in longitudine , fueriVcp eadem longior comnienfu* rabilieinlongitubinealicui linee rationali in longitudine, ipfum vocabitur binomium quartum» Hoc eft, binomium non quadratum , cuius portio Jongior fuerit rationalis in Iongitudine,uocabitur binomiunVquartu. Quinta, / ©i fuerit binomium,cuiue longior portio potentior fit breuiore augmento quadrati linee incommcfurabilia cibem longiori in longitudine,fuerit'qj breuior portio comenfurabf liain longitudine alicui linee rationali in longitudine.ipfum vocabitur Cinomium quintum* - . - T q Hoc Michaeeis SriPEirt Hoc eft,binomium non quadratum , cuius portio breuior fiiertt Unca rationalis in longitudine , ipfum uocabitur bino# mium quintum « Sexta. ©i fuerit binomium, cuioe longior portio potentforftt brcutore, augmento quabrattjinecincomcnfurabilie cibem longiori in longitudine,fucrit'q? neutra pottiouuni commen ffurabilie in longitubinc^licui linee rationali in longitudine, ipfam vocabitur Stnomium fertam. Hoc eft, binomium non quadratum , cuius neutra portioni) fuerit longitudine rationalis,uocabitur binomium fextum. flntra circulu unum fpedcsbinomiorfi omnes Red pe i I Arii* !Cab Liber 1^7 Recipe circulum diametri in longitudine rationalis, & pri« tnoconftitue medium proportionale inter quartam partem diametri, & partem cius reliquam , (ion uides CDponi inter AC&C B.Secundo conftiruc medium proportionale inter ter tiam partem diametri,& partem eius reliquam, ficut uides F E poni inter A F & F b, Tertio claude orthogonios,hoc eft, trahe lineas adbea redas. Binomium primum faciunt a d c, ' Binomium fecundum faciunt D B c. Binomium tertium faciunt D b e. Binomium quartum faciunt a B e. . > Binomium quintum faciunt E b F. Binomium lexturo faciunt a E F. Si ergo diameter circuli fecerit 1 r, faciet a D C,£-f- /fci 7* Et D B c faciet J%i 08 -f- 9, : Et DBEfacietAro8-f-»/%9tf. Et a B E faciet 1 p6, . •„ Et B B F faciet^ 96 -f-B* Et a E F faciet 48 *. : :1 Propofitio quinta capitis huius, &ea eft 48 Euclidis apud Campanum. V 0i fusrit fuperftcico binomio primo, lineafy in (ongitn bine rationali contcmadatua quot) in eam fupetficte poteff . binomium effle nedfje eff. Vt fu per fides a b c d eft fuper fides contenta (ub duabus lineis illis a B & B C . Faciat igitur a b , is>-f-V%7i(iclIicet ah, faciat i?,&hb faciat */$7z)fadatfy BC,?,tunc BBfa# cictAi6x-t) : fcilicct FK facit 3,6i K G fecit*/* 162. Eft aiit E B (eu f G,latus quod in fupertfdem a b C D poteft , hoc eft» B B fedt quadratum, cuius arca acqualisfit areae fuperfltiei a BCD, ficut uides quadratum E B G F eile aequale fuper fidei ABC D»fadt enim utra® earum 1 7 1 -f-*/* j-8 3 x, Quantumcm T iij fadt 1 i v*i, iMichaelij Stifelu . y A facit iuperfldes tantum facere debent fuperflde* 01 & t): & quantum facit £ tantum facere debent 2$ & <£♦ Debet autc area ipfius 21 facere 9& area V 16 area 2$ /% >4 * «»“ fundem facere debet etiam (E. : Cum autem a b linea fit binomialis prima , firqp BC linea longitudine rationalis,necefTe eft foperficicm t& £eflTe fuper- fidem binomialcm primam, ut deducitur ex ea propofitione, quse in hoc capite erit feptima feu ultima. ' Scntetia igitur propofitionis huius eftjiarc.Superfides qua drangula recftangula, contenta fub linea longitudinerarfonal/, binomfali prima,eft binomialis prima, & fi fuperfleies illa quadretur ,necefle eft lineam quadraturae iIIius,eiTe binomia* lem lineam . Et quia talis linea modd eft binomium primum, enodo binomium fecundum , modo tertium , modo quartum, modd quintum ,modd fextum , ideo in fine propofitionis non additur uocabulo [ Binomq ] aliqua determinatio. Vnde fi a B faciat , 9 B c faciat p^rit linea potes in fuperficicm i* ( id eft,Unca bb ) binomium quintum . Si autem b c fa- Amthmbticab Libhr. II* 1 63 dat 8 (a B fadente 1 9 -f-/% 71) erit linea B B binomium qua» tum.Siautem BC faciat 6,erit linea e b blnoraifi fextum dicf Sicexiiiperflcie97-f-^%M r^fit b(Q* trerragonicum.exirf ftens binomium primum: fadecenim 7-f- A48. Item ex fugflcie 34-t-Vfc 1 »5-1, fida tus tetragonico,exiftena b/nomiu fecudum: facit era radix qdrata arear illius J\ 1 8 -4-4« 2 Item ex 98 -f- y% 9600/acit radix quadtata binomium ter* tium uidel/cet J\ j-o 4- 8, dic. Eu igitur haecpropofitio talis,ut requirat. «xtradiones radi cum quadratarum de binomqs primis. i Sic illa quar hanc apud Campanam /equitur.uidelicet 4 9* fequirit extra Diones radicum ex binomqsfecundis.Et alia fe- quens ( id eft, Campani jo ) requirit extradiones radicum de binomqstertqs .Deinde Campani fi» requirit extradiones radicum de binomqs quartis, Et fi Campani, requirit extra- tftiones radicum de binomqs quintis. Et y j Campani, requirit txtradiones radicum de binomqs Cactis, Sed illae propofitio# nes in locis alqs tradtabuntur. De radicum extradionibus ex binomqs , habet caput Ukuf huius decimum. Propofitio lacta capitis huius ,quac eft apud Campanum 3*4» f 0t Unce in longitudine rationali, adjungatur rectangu Itjm.equalequadracofitnomij .latus eius fecundum eritbi* tvomtnm primum. Vt.flcutuides in figura iam data.redangulu ABC D(quoa aequale eft quadrato e f g b )adiungif linear B c in longitudine rationali. Eft afit e p g b quadratum huius lineae e B,quae eft bi nomtum.Iracp e F G b eft quadratum binomij.id eft. Ia tus eiua tetragonicum eft binomium. Erit igitur neceiTe ut alterum Ia tus redanguli a b c d ( id eft, latus a b) fit binomium primum. Et cfl haecppofitio fitc5uerfa prarcedentis,fuerit'cp illa praecc densae extradione radicis ex lugficiebus binomialib.prirnis, quales V, * . Michaelit Stjfelii \ quales radices oportet efle binomiales Uneas.idco hac prarfenti propofitione fignificatar.ex multiplicatioe.fcuex duflu lineae binomialis, in le produci quadratu quod Gt aequale fupcrflciei alicui binomial/ primae. Et tale quadratum, fi redigatur in fui perficiem redangulam alrera parte longiorem, cuius unum la- tus fit linea longitudine rationalis , nccdTc erit ( ut docet haec praeiens propofitio) alter fl latus illius fuperficiei quadrangulae altera parte Iongioris,eflTe lineam binomialcm primam, Binomium autem flue fit primum, flue fecundum , flue ter- tium, qua rtum , quintum, flue fextum , femper producit bino* mium primum, dum in fe fuerit multiplicatum. Sequuntur hanc propofitionem ( ordine Euclidis ) qufntf aliae propoflriones, quae alibi tranabuntur. Quarum prima requirit talem multiplicationem quadratam, quae producat U nomium fecundum. Secunda requirit multiplicationem qua- dratam producentem binomium tertium.Tertia requiritmul tiplicationem quadratam, nuar producat binomium quartum. Quarta requirit talem quadratam multip!icat(one,quae fadat binomium quintum.Quinta propofitio requirit multiplicatio nem quadratam, facientem binomium fextum- Sed hae propo- fitio nes in altjs locis fuis tradabuntur.ut dixi. Sequitur propofitio feptima feu ultima capitis huius, quam Campanus facit 60 in ordine. rOuefibet linea commenfurabilis alicui flinomionim»' fob cabcm fpectc binomium effe probatur. Hoc cft, linea commenfuiabilislincaebinomial/ primae, ne#" cellario di linea binomialis prima. Item linea commenfurabf* Iis lineae binomiali fecundae, eft binomialis fecunda. Sic bino- miali tertiae comenfurabtIis,cft binomialis tertia.& fic de altjs. Videlicet,commeofurabilis quartae ,quatta eft, Quintae com* mcnfurabilis.quinta cft. Sexta, fexta cft, Eft praeterea propofitio haec probatio quaedam fuperiorum duarum Arithmeticae Liber f r. \6$ Aiarutn.Nam fi fupcrficics fit, cuius alterum latus fit linea lorv gttudinerationaIis,&alterumfitlinea bino mia Iis prima, ne*- cefle eft fuperficiem illam ede binomialem primam. Quod em> propofitio hacc docet de lineis binomialibus , uerumeft etiam de fuperflciebus,& de numeris binomialibus.Commenfurabi lis autem eft numerus binomialis Iinea?,numero ,binomiaIi fu- per ficiei.cuius unu latus fuerit linea rationalis in longitudine. Ergo fi horum alterum fuerit binomium primum, erit & reli# quum binomium primum,&c. De proportionibus Euclidis, tranantibus bimcdialcs primas , id eft, (pedem irrationalium linearum tertiam*. Caput xvut B M i S s a eft capite dedmofexto proportio' quaedam medialium linearum,* qua caput hoc decimumortauumcouenit incipere. Quod cum fit de bimedialibus primis, fitqpbimedialispri* ma .nihil aliud quim compofitio duorum media14 Rum per additionem unius ad alterum fada, non tamen quo*’ rumcunq$,fed quae fint commenfurabilia potentia tantum, dd quorum multiplicatio inter fe, faciat rationale (impliciter,- merito quaeritur quid fiat ex compofitione duorum medialium potetia incomenfurabiliu, aut Iongitudinecomenfarabillam, Sic autem habet propofitio illa capitis huius prima, r(Duelibetbtfferentia,qua abmibatrticbiale i mcbiali,. irrationali* effe profiattir. Requirit harc propofitio collatione medialium inter (e qua- «timcuncp, quatenus fufficientiameius expofitam habeamus, * rt Mediale collatum ad medialc,fi fuerint ad inuicem lon* gftudine commenfurabilia, tunc differetia qua abundat maius V imi-4 MlCHAEilS Stieelii liminore , er medialis. Vt (i conferantur haec duo medialia, AH4 • quae cum fint commenfurabilia longitudine, erit differentia eorum neceflario medialis. Eft autem differen- tia eorum AH 44 irronalis uidelicct longitudine & potentia. » 2. Item mediale collatum ad mediale, fi fuerint ad inu/cecn potentia tantum commcnfurabiIia,tunc differentia qua abuns dat unum ab altero, erit irrationalislongitudine & potentia: ce it enim aut refiduum bimedialis primi, aut refidu um bimedi alis fecundi. Exemplum primi. Vt fi conferantur haec duo medialia, A% 7 a, Si Afc • 8,abun dabit maius fu pra minus, per hoc refiduum btmedialeprimu, JVii z — Ah 8* Exemplum fecundi. Vt fi conferantur hate duo medialia , /%%4j-o & Afc 1 8 , erit differcnria maioris ultra minus,in ifto refiduobimediali fecun do* Afc4 — A% 1 8 : & eft illa quocpdiffei entia irrationalis, utroqj modo,uidelicet longitudine & potentia, r $ . Item mediale collatum ad mediale, fi fuerint ad inuicem utroqj modo incoromenfurabilia , tunc differentia qua abun- dat unum ab altero,cft irrationalis utrocp modo, 8C intra fpe- ejes tredecim irrationalium lineatum non recipitur. Vt fi harc duo medialia conferantur^^ n 6 &A& 1 e, erit differentia eo tum harc.AH 1 6 — AfciS. , 1. lam fi componantur duar lineat mediales .quarum diffe- rentia eft medialis, non mutat compofitioilla fpcdem.Nam linea inde compofita manet medialis. ». Si uero componantur dux lineae mcdiales,quarum diffe rentia non recipiatur intra fpecies tredecim irrationalium li, ncarum; rctjcirur etiam compofitio talium linearum , ut intra fpecies tredecim illas.non recipiantur Jinear tales* „ j. At fi componantur duae lineae mediales, quarum diffe- rentia muter fpeciem,& intra rredecim fpecies recipiatur : recr pitur etiam compofitio talium linearum intra fpecies illas 1 5. Compofitar em lineae illae tales funt,dequibus.capucboc atque (Sequens ageqf. Pio- G . Sit a g linea binomialis,faciens*/% i z-f- 3 .Faciat aut a p 3 ; & F G faciat 7% 1 z.tunc medium proportionale inter illas por# tioncs ercrtum,uidelicet F b, faciet loS.Ad huius itacjj me dtj quantitatem recipio A B,ita ut a b (it aequalis ipfi F E.lracp a B linea, (eundum eam acceptione per circinum acccpra,con» iinuetur,donec ipfamabfdndatorthogonaliscrcda GC.-atqj ita faciet a c biraedialem primam,cuius partes compofitionis e, . m V fi fune Arithmeticae Li b er ii, »79 Propofi tio fecunda capitis huius, eft Theoni sT, V- a Campano autem obmiiTa eft, PTDuae lineae inuenire mcbialee>potentia tantum com* menfurabilce.que fupcrftctem rationalem contineant* Hoc eft.inuenire duas partes conftituentes lineam bimedia- lem primam. Vfjde harc propofitio continet particulas, quibus deferibun tur lineae bimediales primae* Facilis eft aut inuenrio huiufmodi partium. Recipitur enim binomialis linea a d placitum,& inter portiones eius duas,con flituitur medium proportionale, quod erit portio una bimedia lis lineae inueniendae ; altera portio inuenitur iuxta 1 0 fexti. Figura inuentionis huius eft ifta. t:i • MiChaelu S-tifelit funt ab&b c.Cum enim a f faciat a B,necefte eft ( per dcci* «nam fexti ) f g feu b d facere B c, v Lineae illae in numeris fic ftabunt ad regulam De tti, 3. v%%ios. y%iz. t . . Certe uides terminum fecundum, & quartum, conftituere bimediale primum. Cumenim qua t cor termini illi fint conti* nue proportionales , neceiTe eft ut multiplicatione fecundi io ?uartum, tantum flat, quantu flt ex multiplciatione tertij in fe. acit aute y% 1 2 in fe 1 2. ergo 1 08 in 1 $> 2, facit etia 1 2. id quod arguit portionesillasinuctasconftituerebimcdialcni primam. Mediales aut lineae quae concinent fuperfleiem ratio- nalcm(ut quarum numeriinter fe multiplicati.fadunt numero rationalem ) neceifario funtcommenfurabiles potentia tantu, ut ofecndi fuprl capite 16. Aliud exemplum* 6 « y$%777 6» V ides certe ut quartus terminus multiplicatus per fecundff» faciat 3 6, id efe,rationalcm numerum, cum tertius in fe tantum faciat , di quatuor illi termini fint continue proportionales* Cum igitur terminus fecundus&quartus,fint medialiu linea ^ numeri, oportet ut ipfae lineae compofltae faciant bimcdialem primam: id quod fequens propofitio docet, quae eft Tertia propofltio capitis huius.quae apud Camp.eft 3 1, Ea fle dicit: rBibuettiebialee potentia tantum commenfhrabifes, fuperfteiem'cg rationalem contineteo,birecte coniun^antur» tota linea ep bis compofita. erit irrationalis, biceturcp bime# ciale primum . Vides ut haec propofitio ufum oftendat /nuent/onis illius» quam praecedens propofltiorequirit. Vt fi ex a B ( faciente Sjft 1 08, inuenta'q* per A F & F G ) St nc b c (faciente 1 9 2,inuera'q* per a f,& a b,& f G,feu B D) pac una linea illa AC,eritipfa a cbimedialisprima, ut fetis di* dura r Arithmeticae Liber ii. 171 idumeft iuperius circa praecedentem propofitionem. Propofitio quarta capitis huius, quar apud Campanum eftxxxvi 1 ,fic dicit : F2$imebialt primo hitrifo in buae lineae mebialee Cfecun bum terminum fnum)impoflibtle efl ibem bimebialc btuibi in atiaebuae lineae mebialee fub earum termino. Hoc eft , bimcdialis prima huius naturaeeft, ut uno modo poflflc diuidi folummodo, ita ut partes diuilionis contineant Superficiem medialem. Vtfi a C( faciens y^io8-f-V%%i9i)reibIuatur in A B Si B c.continebunt portiones illae fupcrficiem rationalem C fi ad angulum redum apponantur) facientem 1 x. Et C praeter hanc unam diuifionem)impoflibileeft ut a c diuidatur induas alias partes quae appofitae ad angulum r edura , contineant fuper* fidem rationalem. Propofitio quinta capitis huius,quae eft apud Campanum 24, (ic dicit: FIDuae lineae inuenire mebialee potentia tantum coro* iwnfurabiUe, fupcrffcicm'<¥ rationalem continentee, quarfi . V iij longior \ MlCHAEUJ STIFELT! r longior (ttpotentior brcuiore quadr,atolinceconimenfurrtt*t Ita eidem longiori in longitudine. Iam diuidit Euclides fpeciem bi medialium primarum linea tum , in duas alias fpecies , quarum prior defcribitur per hanc propofitionem pracfcntem,&: pofterior defcribitur per propo* (Itionem fequentem. Sunt igitur lineat bimedialcs prfmae,fub priore fpecie tales, ut portiones eius illa?, quae rationalem continent fuperficiem, habea nt lineam exceflus quadratorum, quae (it commenfura- bilis in longitudine ipfi portioni longiori. Portiones autem tales inueniuntur iuxta propofitionem ele tnentarem fecundam . Si uidelicet receperis binomialem linea aliquam ordinis primi , hoc eft, quae fit uel binomialis prima,, ueloinomialis fecunda,uel binomialis tertia, & opereris iuxta modum inueniendi pofitum circa propofitione cap. huius z. Vt fi recipias binomium hoc fecundum, i z-f— 3, faciasfcp ex A f 3 ,& ex F g i z,tunc faciet a c bimedialem huius prio- ris fubfpeciei , uidelicet i $> z -f- 7%% 1 08. Potentia autem maioris portionis eft 1 9 z ,8i potentia minoris portionis eft 1 08. Excedit aut maior potcntia,porentiam minorem in hac differentia t z.Linea autem exceffus huius eft%/fc% n:8i harc linea exceflus eft c5men Curabilis ipfi portioni longiori. Patet, Nam 1 9 z diuifa per 1 z, facit quotientem hunc rationa* liem 4, Ergo eft ei commenfurabilis in longitudine dic, Propofitio fexta capitis huius,qu«e apud Campanum eft zf. * FIDuas lirreae tnuenire mediales potentia tantum com- menfurabtle8>fupcrftctem/CB rationalem conrtneruee, quarti longior jit potentior breuiore quadrato linee (ncommenfura bilie eidem longiori in longitudine. Hac propofitione deferibunf portionesbimcdialis primae, pofterioris fubfpeciei.Huius fubfpeciei lineat.diuidutur in por dones conunentesfuperficietn rationalem : fed linea exceflus earum ** • % Arithmeticae Liber iU 17* carum potentiaru eft potentia rantG commcfurabill? portioni longiori. Portiones aut ifbr inueniunt etiS iuxta elementa rc 2. Recipitur autem binomium ordinis fecundi, fciiicet aut bi- nomium quartum.aut binomium quintum,aut binomium fex tum recipirur.In illis enim linea exceflus eft longioriportioni incommcnfurabilis in longitudine . Ideo oportet ut linea ex« certus medialium, quae inucniuntur per portiones binomialiu talium, fint (iuxta elementarem fecundam) tales, quae habeant lineam exceftus , incommcnfurabilem longitudine, ipfi por* tiombimedialis longiori. Vt fi recipias binomium quartum ifiud, 6-f-Vfc 6 , faciasfcp ex A F J%6,& ex F G <5, tunc faciet F E, feu a e 7%% 1 1 6 , & BC faciet y%fc777 6 . iuxta modum illom quem pofui circa propofi- tionem fecundam capitis huius. Potentiarum differentia cft 5*400. Vnde linea exceflus huius facit 5*400 , Si harceft potentia tantum commenfurabilis portioni longiori,id cft» VW7776 : facit enim diuifio unfus per alteram ij 5ic, Propofitio capitis huius feptima,quae apud Campanum eft 49. r0i fuerit fuperficiee linea in longitubtne rationalt,btV nomiocp fecunbo contenta ,lattw ciue tetragonicum eritbi* mebiale primum. Hoceftjfi fuerit fuperfides quadrangula redangula bino- tnialis fecunda, erit radix cius quadrata jbimedial is prima. - Vtfi a B faciat y%z94-f- izCfaciente AHy%294,5i Hfifa-* dente 1 2 ) faciarqp B C 9, tunc /£ $ fuperfides erit binomialis fecunda : faciet enim 3 8 14 -f— toS.Huiusradixquadraca, (id eft, medium proportionale inter a B & B C , feu B K , quod cft B E ) hclet Jw 17496 -f-Jvs 48 6 : fciiicet F K lineola , fa» Ciet Jtft 486, &. linea K G faciet Jw 17496. Si autem multipli- cetur F K in K G . producit fuperfides (E, aut (quod idem eft ) fuperfides 3. Aequari autem debent ambar fuperfides .uidcli- cct(£& 3,fuperfidei f.Et hac ratione probabis operationem .MiCHAFUS Stifelit tuam. Cum autem fuperffdes $ faciat 108, necefle eft ut fuper fides (f faciat 5-4. Et (7c habemus lam alium modum producendi lineas bime diales primas, uiddicet per extradionem radidsquadratacx. binomiofecundo. . Pjropofitio capitis huius odaua,qua apud Campanum eft j-jv r"0i linee in (ongitubinc rationali abniqatur fupcrftcieo equalis quabrato bimebialie primidatue eius reliquum >bi- nomium fecunbum effit oporreSir. Hac propofitio eft conucrfa prxcedent/s, & dicit, q> linea Bimedialis prima, poftit fuperiicicm quadratam talem» qua fi redigatur in altera parte longiorem, cuius unum latus fit linea* in longitudine rationalis.oporteat latus reliquum efte lineam binomialem fecundam. Oportet enim ut talis fuperfides fit bi normalis fecunda . Cum autem alterum ex lateribus eius fuerit in logi cudine rationale, necefle eft ut numerus fup.erfidei illius* — ■* commenfui Arithmeticae Liber ir. f7$ Commenfura bilis fit numero lateris reliqui , eo quod numerus fuperficiei diuifus per numerom lateris illius reliqui.faciat nu* merum rationalem, illum uidelicet quem habet latus ipfum ra« tionale in longitudine. Vnde oportet (per propofit/onem ulri- mam praecedentiscapitis) latus illud alterum efle lineam bino- mialem fecundam, cum fuperficies fit binomialis fecunda. Vt fi E b ( ficut uides in figura iam primum data) fir linea fa ckns fua longitudine 1749* + ^48 6 , cum fit bimedialis prima, poteft fuperficiem quadraram binomialem fecundam, facientem numerum hunc, ^13 8 14-f— 108. Itacp fiquadratfl C, redigatur in fuperficiem $, ita ut b c faciat nu- merum rationalem C ut eft 9 ) oportebit a b efle binomialem fecundam, cum Ig £ fit fuper ffcies binomialis fecunda. Vnde fi diuiferis v/fci 3 8 14-f— 1 08 per 9,prouenietexdiutfioneiIla, A*94-f- »*• Summa eft. Sicut extra (ftio radicis de binomio fecundo facit bimediale primum, ut uulc propofitio praecedens :ira multiplicatio bime* dialis primi quadrata,producit binomium fecundum, quod fi recipiat latus unum longitudine rationale,eric reliquum bino- miale fecundum.Et fi unum fuerit binomiale fecfidum.necefle erit reliquum efle longitudine rationale. Propofitio capitis huius ultima,quae eft apud Campanum 61, ^C&odibet linea commenfurabtlie alterutri bimebialm, fub eadem fpecie Bimedialie effe conuincitnr. Vides ut propofitio baeepartim pertineat ad caput feques. Sententia enim eft,quod duabus Iineisbimedialibus propoff* tis,quae longitudine fint commenfurabiles, fi altera -earum fit bimedialis prima, necefle fit etiam reliquam efle bimedialera primam. Et fi altera earum fit bimedialis fecunda, necefle fit & reliquam efle bimedialem fecundam. Adde. Si altera earum fit fubpriore fpecie bimedialiumprimarS, erit & reliqua fub priore fpecie bimcdialium primarii . Si ucto X altera Michaelis * Stipelii 1 altera earu fit fub pofteriorc fpecie bimedialiu p rimar G,neccfle «ft & reliqua efife fub pofteriorc fpccie bimedialiu primarum* > Item fi altera carum fit fab priore fpecie bimedialium fecun darum,crit & reliqua fub priore fpecie bimedialium fecunda je« Si uero altera earum fit fub (pecie pofteriore bimedialium fe* eundarum» erit & reliqua fub pofteriore fpecie bimedialium^ fecundarum. Exempla ad ifta fingula facile formabis quot# quot libuerit. - De propofitionibus (radiantibus bimediales - fccuncias;confti tuentes fpeciem irratio» nalium linearum quartam» Caput xix» v m er. i portionum bimedialibus lineis adhf* i biti , optimum nobis iudicium faciunt de fpecie* bus fuis.Nam fua multiplicatione inter ^ratio- nalem numerum facientes, mox abfcp ulteriore difcuftione, produnt lineam compofitam ex por tionibus illis, quarum numeri ipfi funt,efte bimedialcm prima,' ut nihil opus (itdeicriptioni Jinearum fpeciei illius addere par riculam illam, quod portiones debeant efte potentia tantum commenfurabiles.cum impoilibile fit portiones lineae bi media lis continere fuperficiem rationalem >& eas non efte commcn- furabiles potentia tanturo.Sed de lineis bimedialibus ( de qui* bus erit caput prarfens ) iudicare debemus, non ex fala multi* plicacione numeroru (portionibus attributorum ) inter fe, fed etiam ex diuifione eorum inter fe. Nam fi proponantur duae* lineae mediales.cum aftignatione fuorum numeroru , quorum multiplicatiointerfefadat numerum medialem quadrate, id quod eft lineas ipfas continere fuperficiem mcdialem,non fta» tim ccrtus fum de propofiti* Uncis, quod fint portiones lineae* bimcdialis Arithmetica* Liber ii, 174 - bimedialis iecundae,eo quod mediales linear, medialem coni); i* tuentes lineam,etiam contineant fuperficiem medialem.Opor tcbitergo me rem ulterius explorare diuifione aniusperreli* quum,&.' fi fic etiam prouenerit quotiens medialis quadrate» • tunc tandem certus fum,mihi fuiflc propofitas lineas quae cop* ftituant bime dialem fecundam : ut l/ftx 1 6 & 84,multipli catione fua inter ie faciant y$x88. 6i diuifione maioris per mi norem.faciunr 17. Certus igitur iam ium numeros iftos con ftituerc bimedialeiecundum. Vnde in propofitionibus capi* tis huius non ftiper^bundat particula haec, potentia tantum commefurabilis, fed luperabundat in propofitionibus capitis praecedentis . Propofitio prima capitis huius, quae apud Theonem eft zp, i Campano autem neglecfta eft. ^Duae lineae imienire mebialee potentia tantum coni* menfurabilc8,que fu perficient contineant mebialcm» Hoc eft , inuenire portiones lineae bimedialis fecundae. De talibus uero lineis erit hoc caput, cum conftituant fpecicm irrationalium linearum quartam apud Euclidem.Satis autem paulo fuperiusdixi,ut haec particula propofitionis ( potentia tantum commenfurabilis) fuper fluat quidem in propofitioni • bu$ capitis faperioris ; in propofitionibus uero capitishuius * non fuperfluat. . . >r Pro inuentione aute linearum huiuimodi, obieruanda uenit haec medialium conditio^ v fSi fuerint quatuor lineae mediales ad inuiccm proportio* nales, fiierintcg duae mediales priores tales , ut conftituant b i» medialem primam:duae uero mediae mcdiales,talcs fint.ut coft ftituant bimedialem ab Euclide non recepta intra fuas fpecies, tieceftc eft ut duae mediales pofteriores , conftituant biroedia- ‘ lem fecundam. " * 1 ,, JfWta haec recipio dua3 portiones bimedialis primae, pro X ij duobus Michablis Stipe lif duobus terminis regulae De tri, & pro tertio termino recipio toedialem,quae ad fecondam fit incommenfurabilis utrocg mo do,id eftjA: potetia & longitudine,atcp ita per regulam De tri (id eft,per decimam fexti) quaero tcrminO quartum. Et erunt duo termini pofteriores lineae tales . quae conftituant bimedias lem fecundam. Figura inuentionis huius. '• i ’ j Vt fi pro a B recipias i o3,8( pro E f recipias Ai 19 pro ab recipias /&zitf,tunc pro BCueniet 9 * in longitudine &c, • , v . Propo * K Arithmeticae Liber- ii. 17^ Propofitio capitis huius quinta.quae apud u. •. Campanum cft a£« 1 . . > riDuaellineae tnuentrc potentia tantnm commenfurabi les.fupcificiemc^mebialem conttncmce,quaru longior bre* niore tanto ampl iue poffit, qua tum e(I quabraturttalicuuifr linee incommcnfurbilie ipfi longiori in longitubine. Et hoc cft inuenire lineam fubfpeciei pofterioris bimedia* lium fecundarum. Modus inueniendi fatis eft expolitus circa propoGrionem praecedentem . Oportet autem ut duae lineae medialesCper quas duae illae inueniuntur) fint tales, quae confti tuant bimedialem primam pofterioris Ipeciei : fle enim fiet,ut duae mediales i nucniendar, component bimedialem fecundam pofterioris fublpeciei. Vt fi pr® A E recipias Afc 5-4 pro E F feu pro b d rtcl* pia s7fc% 1944 tdC pro a b recipias /*%io8 : oportebit utpro BCuenfat recipienda 888. Cum igitur priores duae,ia eft Jtfi • 944 » contineant fuperficiem rationalem, uideli cet 1 S.necefte eft duas pofteriores(fcilicet 1 08 & 3 888) continere fuperficiem medialem, eo quod tertia, id eft 108» duabus prioribus incommeniurabilis fit utrocp modo. Item ne cefleeft.per dementarem fecundam, ut duae pofterioresfint po tentia tantum commenlurabiles,S poffit fiiperficiem aequalem fuperficiei abcd. Propofitio capitis huius ulrima,quae apud Campanum eft ?6. r (Eum abiuncta fuerit linee in longirubine rationali (aper fteiee rcctanqula.equalie quabrato bimebialio fecunbi datae eius (cenabam fiinomium tertiam effe neceffe eft. Haec eft conuerfa praeccdentis.Vnde ficut praecedens docet radicem N Arithmeticae Liber tu 1 77 radicem quadraram extrahendam de binomio tertio ,‘efle Ii* neam bimedialem fecundam: ita haec fignat multiplicatione bimedialis fecundi in fe, produci binomium tertium» Scilicet linea BEpoteftfuperflciem e f g b ,-compofiram ex 3 3 &!)<£. Cum igitur b e facit y**7i,kcit fupcr ficiei quadratae pars, 25 21 ,%/* j 84-f- 1 9 r , Qc pars eius jDCfacit7fc768-f- ^384. Et licet utra qp earum fitbinomia- lis fcxta, tamen ad fe additae,ita ut fub linea rationali in longi* tudine contineantur, tanquam fub latere uno, facient amb* partes fic compofitar.binomialem fuperffciem tcrtiam.Nam Ia tus alteru erit linea binomialis tertia, ut necefle fit fuperficiem illam etiam ede binomialem cerciam» De Y Michabus Stjfrlii De proportionibus Euclidis tra flantibus lineas * maiores, quae con (lituunt fpeciem irratio* nalium linearum fuarum quintam. Caput x x» vperior.es fpecies linearum compofitaru» tales fonr.ut partes compofirionis earum ,leu ma teriales, finr fimplices. Sequentium uero fpecies linearum compotitarum omnes, habent paites materiales com politas: (cilicet quarlibct linea con tenta fub fpecie aliqua fequentium,duas habet partes compo- fltionis.quarum una eft linea quadrati habentis additum,me- diante ligno additorum altera eft linea quadrati habentis (ubtraflum, mediante ligno fubtrartorum. ut uidebis in exem piis propofitionum fpederum illarum. Harum autem ipecierum prima , continet liib fe lineas quae uocantur maiores,& tales lineae poliunt fuperficiem binomia* km quartam,ut uidebirous. Propolitio capitis hufas prima, quae apud Campanum eft 27. Ittteaa muemre potentia irteommenfurabtled,fu* perficiente# mcbialmi continernee, quarti quadrata pariter accepta fine rationale. Hoceft,inuenire partes duas materiales, componentes 1 i» neam maiorem. Modu inuentionis huius deducit Campanus ex dementari quarta, hoc modo ; Ipie recipit duas lineas demetaris quartae, Cut figura folio fy 6 oftendit) longiorem 6C breuiorem, compo- nentes binomia lem ordinis iecundi^d cft,aut binomiale quar cani, aut quintam, aut fextam. Vc Arithmeticae Liber ii. 17 S Vt fi a B Iongtor fadat ti,& A Dbreuior faciat 9 6 . Sit autem a b diuifa In a c & C B ( Bidente a C 6- »,& c B Bidente 6 — */*ix)fic enim medium proportionale c e inter a C & C b faciet J\i 4, cuius dupla fit linea dementaris breuior ^96 A am fi fecerisduo quadrangula altera parte longiora, quoru maius contineatur uib a c at$ medio «pportionali c e. alterum uero quadrangulum contineatur fub eodem medio proportionali atqp fub C B,tunc ambae lineae diagonales duor 3 quadrangulorum illorum,componut lineam maiorem,funt'qj illae lineae, quae rcfpondeant propofitioni huic noftrae primae» Vnde haec erit figura exempli ^politionis huius,quae (equitur. Cum /gif a d fadat fadet c E a c i », & c b faciet 6 — A 1 i«Quare a e feciet^. 7» -f-A '7»3. Et E B faciet 7 2 — y* 1 7 28 .Ita^ a e & e b funt Ifneae inuenrac faxta propoficionem praefentem * Sunt enim potentia incoirt- mcnfurabiles, quemadmodum omnes lineaequae fub diuerffr Y i> (peciebus • - M ICHABLIf StiFELI! fpecfebus I/nearum irra tionalium tredec/m illarum (nuen/un- tur.Et cotinent fupcrflcicm medialem huius numeri*/^?*. Et quadrata pariter accepta , componunt fupcrficiem numeri huius >44.Quodeft quadratum GH i K, cuius radix quadrata eft A B,fcu H i.Ex quo (equitur quadratum lineae e b , aequari quadrangulo L K i M . Et quadratum lineae a E,aequari qua* drangulo GLMH. Sequitur ulterius , lineam a e efle medium proportionale inter gh&hm, Item lineam e b ede medium proportionale inter K i & i M. Item fi circuIo(diametrum habenti rationalem) inicribatur pentagonus arquiangulus, tunc latus unum pentagoni illius cum linea (ubtenfa uni angulorum rcipondebuntpropofitioni noltrar praefenti. Propoiicio Arithmeticas Liber ii, 17^ Propofitio capitis huius fecunda, qua: apud . . Campanum eft 33. T (Tum coniunctc fuerint bue linee poten ttaltrer incomem furabilee,fupeificiemq* bimebialcm continentes, quarum ambo quabrata pariter accepta fint rationale, tota tinea erit irraticnalid>bicctur'q; linea maior* Hoc eft quod fuperius dixi, partes, quales hic deferibuntur, componere lineam maiorem. Vt fi ex Ia tere pentagoni, a d & ex AC linea angulo pentagoni iubtenfa,fiat una linea, erit ipfa linea maior . Sic a e & e 0 figurae nunc politae , componunt lineam maiorem. Vc 1? A C faciat 3, &CB faciat 3, tunc faciet ce 6, &ae faciety%.9o-f-y%i6io,8CEB faciet 90 — y%i6io. Et (i ex ae &e b fiat una linea, tuncipfafaciety*.i8o-f-y% 25-910 . Modum additionishuius uide fuperius capite libri hu ius duodecimo, ‘Quaelibet igitur linea maior componiturcxlinea una ma- iore,& ex altera quae uocatur minor.De lineis autem minori* bus infra fuo loco dicam. Propofitio capitis huius tertia,quae apud Campanum eft 39. T iinca maior. ni(i in boas lineae tantum* ex quibus con ffat,fu$ earum termino biuibi non potefh Quemadmodum propofitio praecedes fuit de compofitfone lineae maioris, ex partibus compofitionis fuae materialibus: ita haec propofitio eft derefolutione lineae maioris, in partes compofitionis fuae. Quaelibet igitur linea maior, reioluirur in unam aliam linea maiore, & in alteram q uocetur linea minor, Vtfi ac&cb (ficut uides in figura proxime data) faciant y%24 -f- y% 1 x,& y%24 — y% 1 2,tunc c e faciet 1 x , & a e ht cietVfc.4 8 -f-V* 1 1 s e b faciet y%. 48 — 1 1 j- x. Si autem tx a e dC e b fiat una linea,tunc ipfa faciet 96- 4- J^6oZ. Y iij Non Michablis Stffixit ' Nonaotem diuidi potcft fcu rcfoluii/fc */&4equum quabrato linee maiorie.erit alterum latus eius binomiumqnarrum. , _ „ Hxc eft conuerfa praecedentis. Docet igitur ex ducflu lineae maioris, fieri fuperficiem quadratam, cuius numerus fit bino* mialis quartus ,ideo'cp reduci poflit in altera parte longiorem, cuius unum latus comenfurabile fit cum fuperficie ipfa : quod cum ita fit, nccefle erit alterum latus cfle in longitudine ratio- nale ♦ Hacc omnia facile uides ex figura fequenti. Ex Arithmeticae Liber ii# . /fc.ix — i x i8e > n—4e- *il3t ■ V j * I •• * # -> Ex hac ftgura etiam pulchre apparent.ea quardirtafutuin propolitionibus duabus primis huius capitis : uidelicet parti# culac.quibus defcribuntur Iinear componeres lineam maiorem macerialicer,pulchre hic depinguntur. Propofitio capitis huius ultima,quaeeftapud Campanum 6 1, rCDuclibet linea commenfurabilt* (mearmcicrt.ef! tt tpfauma maior* 1 Vt G diameter circuli alicuius flt linea maior, necefle eft (a* tu» hexagoni circulo flUinicribendi^flelincammaiorem &c. Signi* Michaeli* Stipelit tis huius defcr/pfit.Sedcomillatpartespraedicflacaicpdefcri- ptaeAcantur partes materiales, poliunt partes illarCde quibus uidetur hatcpratfenspropofitio docere ) uocari partes ipfl tod cotpmenfurabiles.Deinde etiam funt aliae partes eius, quae uo* cari pofltnt partes inftrumentales : ied illar partes non intrant compofitionem linearum , quarum partes uocantur, Sed haec pertinent ad propofitiones duas iuperiores. De propofitionibus Euclidis tranantibus lineas potentes mediale & rationale : Si hae lineae conftituunt fpeciem irrationalium linearum fextam, Cap.xxu ira poteft foperficiem hanc, 1 i-f— 6 . id eft, poteft rationale hoc i z,& mediale hoc %/%6.Hxcuero linea, n-f-*>pcr* tinet ad ca put hoc prxfens,uoca tur'qj potens rationale & me- diale,eo qudd poffit hanc iuperficiem i a-f- x, id eft, poteft rationale hoc 2,& mediale hoc 2. * Potcra t autem hoc diferimen fcruari.ut lineat prioris fpeciei uocarentur Potentes rationale& mediale: huius uero ipeciei lineat uocarentur Potentes mediale & rationale.Sed placere no bis debet ueterum autor/tas.qua fa Numeri reliquarum linearum. BG facit GEfacltA'8o— ^ B 1 fecity%4j*-f“ 3« l Afacitp — , V Propofitio capitis huius («unda, quat apud Campanum cft 34. V (Tum commicte fuerint buc linee potentia incomenfura bilce, fupcrficicnVqjjationalcm contiuentee «.quatum ambo quabrrttapariterttcceptttfintnifbiale.tota linea compcfita erit irrat^bnali8ib|ceritrfc^otcne rationale et mediale. Vt (]ex Bp & (i F,fuperiorls figurae proximae, feceris unam linea, erit ip(a potens ronale hoc >44, & mediale hoc ^25-9x0, cumcompofitio illa faciat lineam hanc, 144. Et quia linea illa di femper mediUm proportionale.inter a B D 6C a B,hoc cft,ipfa ed linea quadraturae fuperficiei binomialis quihtaTjCotcntae fub linea a b rationali in longitudine, & linea binomiali quinta compolita ex D B & B a , ideo per quartam capitis huius propofitionem oportet ut fit potens rationale & mediale. i Campam autem demonflrat/o ( falua reuerentia tanti uiri ) non efi .olida , id quod exemplis fatis patet quat dabo. Campa nus enim , dum docet inuenire lineam potentem rationale & mediale, recipit lineas iuxta dementarem quartam , tribuite# linent a c partes, quales requirit fua »f, quat cft fcxtacap.18. libri huius, &c. Arithmeticae Liber ti* t8f faoccfl.in potentem rationale^ mcd/ale,arqj in componerem mediale cum rationali.Et hae duae partes itint iub termino que habent fuperjfpres duae prppo fixiones, id eft,funt potetia incom meniurabi!esf& fuperfidem rationalem cotincnr,& quadrati esuum pariter accepta (unt mediale. Jtem y$8 64-j— »4,eft certe potes rationale & mediale* Hacc diuiditur in * 1 H-V%7 *,&VW** i6—Ai 1 .Hoc tx in potentem duo medialia,& in componentem mediale cum medialuNihilomious tamen panes har funt (lib termino, qua lem deferibunt propofitiones duae iuperipres capitis huius. Qiia in re confiderandum eft,ut fpecies haec potentium ra* (ionaie & mediale, fubdiuida tur in duas fpecies, quarum prior contineat lineas relolubiles induas partes (e componentes* quarum longior maneat iub (pede hac potentium xatianaledl mediale : uteft .^480-j- j£. Pofterior uero contineat Ii# neas relolubiles in duas partes ie componeres,quarum maior non maneat iub (pede hac,fed tranfea t in (pedem linearum po (entium duo medialia «de quibus erit caput fequencut eft. VW*8d4-j-M* Regulae* * V triufq* uero fpeciei numeri facile reperiuntur. Primae fpeciei numeri fic inueniunr . Recipe duos numeros quadratos,quiadditiadfefaciant numerum non quadratum, lilurn igitur numerum non quadrarum rccipc pro prima parti cula exempIi,prarpoflto illi figno radicali zcnfico, Pro fecunda particula redpe radicem quadratS alterius ex duobus reliquis rdratis:ut 3 6 & ^.faciunt 4 y & c. Itacp -f-3 . & J*. T — 3 .componunt potentem rationale 6C mediale prioris lpcdei,uidelicery*V% 180-4-1». Secundae fpeddnumeri licinueniuntur.Recipeduosnume ros,quorum alter fit quadratus, 6C reliquus fit non quadratus^ qui additi ad (e,faciant numerum non quadratum.illum igitur .^xsggtcgatione proucnicntem > recipe pro prima particula Z tq excmpU *»•.! MlCHAEilS STHrELtt 'l \ exempli, prxpoGto illi figno radicali senGco.Pro fecunda pani ticula recipe numerum non quadratum illum, qui prius ad qua dratum addebatur,cfc$ idem fignum prapone&c.Vt z34a Scilicet linea figura illius a BDeftbinomium quintum,» Ciens iz-f- A» 80. Si igitur ex a b& BOflat una linea reda, eilctt coniungatur ad angulum redum linea alia aqualis lineae* AB tunc fiet fuperflciesbinomialis quinta, faciens 7% zj-pio 144 .Huius igit radix quadrata facit hoc eft,potentem\ationale & mediale , ut eft linea compotita ex B H & G P, illius figura pradida. Itacto hac propoffrione docet Euclides optimum atc& certilli DUm modum inueniendi lineas potentes ronale& mediale, PropoGtio capitis huius quinta,qua apud 1 Campanum eft y 8, ' r0i Unee in longitubine ronoli abiongator quabrangnlff ! altera parte loqius, qtf fit equale quahrato linee potetis rona: le et mebiale,alteru latus eius binomin qaintu effle necefie efh’ Hac eft conuerfapracedentis, docens quadratum linea po- tentis rationale & mediale.pofle redigi in fuperficiem binom* alem quintatquod fit, dum ad ipfam linea quadrati illiusCid eft ad lineam potetem rationale & mediale)inueniunf dualinea* (tanqua ad medium proportionale) extrema , quarum una fi$ longitudine rationalis# altera fit binomialis quinta . . . ^ > Arithmeticae Libe*, ii. rSa VtfiAC fodat C b faciat J&9 — /^J,func C E faciet A b ( idcftjbreuior linea demetaris quartae) fac(et 3 z.Vnde a e fadet z -f- 4 : Qi e 0 faciet /%, /fc ji — 4. Et funt quidem ae&eb lineae jrefpondentes pro- poli rionf noftrae ateg fupcriori,quar requirit inuentionem hu- iufmodi linearum: fiunt'qj hoc modo multa, imo innumeta ex* empIa.Sed i fla inuentio non eft conflans 5i perpetua, ut iam oftendam iequenti exemplo. Recipiarurenimpro a c /fcfcs^^yfc^CrefpondentautS; particulae 4 & ^14 .ppofitioni Campani ij-.ideft.fextae capitis 1 8, aeque ut hae duae, r,quae funt particulae exempli proximi fuperioris &C . 5 & pro C b recipienda uepit Afcj-4 — y%%i4,atcpitapro A D C id eft, breuiore linea exem* pii elementaris quartae) proueniet cum pro c'i C id eft, ' medio proportionali inter a c6C c b >proueniat Itaqp a s faciet i»;&b J^x i 6 — t x fodet. Z rj Sed **■» Mkhauii Spiritu 8ed ufde, Duae illae lineae a c & e B.funt inuentae iuxta tradi tfonem Campani,peromnia,& tamen non componunt poten tem rationale dC mediale.fed componunt potentem duo medi alia(idefUAieS fequctis !peciei,ulddicet A- A864 Sequitur figura defcriptarum linearum. «c f' «*• et* - w, •* 1 4 Af*— * .. 1^. rt - " £ • *«_ • i .. Vi ■■ k- .. j u» ^ jy *Ci , i Sed flgora haec,atcp Gmiles , fatis declarantur iiiperius cap, i xt Propofitio capitis huius tertia,quae apud Campanum c(l4o. Tlinta potene rationale *t mcbiale.nifi in lineae buao tantum fub termino earum tioit biuibitur» Vt . A^So-f-irf.eft potens rationale )6,& mediale < A*49o,Ea diuiditur in 6*04-3 A. A 1 6*0—316. hoc Arithmeticae £,ibbr/0« 164 s Vt fi ad lineam compofiram ex b h-& f g( figurae primaf propofirionis capitis huius) inuenianturdux illx, prima A b, iccuda a b.d;ucI illa prima b c,& illa fecuda abd duplicata dic, Propofitio capitis huius ultima, quae eft apud Campanum 63. ^Gittliquafitted comeiifurabilta fuerit linee potett rottale jrt rmbtafc.ipfa comprobatur efle potene ronale et mediale. ; V t data linea potente rationale & medialc,erit etiam potes rationa !c di mediale, eius pars dimidia , pars tertia , quarta,' quinta &c. Item eius dupla , tripla , quadrupla.quintupla &c* Jtem partis eius tertiae, dupla, tripla dic, . '. 4 ' • • Docet igitur hxc propofitio ex una linea fpeciei huius dor#, mare infinitas lineas eiufdem fpeciei,uidelicet per multiplica# donem ucl per diuiiionem» - ‘ ^ i * ‘ . 1 • ■ v • • • ,i De propoficionibus tranantibus lineas irratio# J nales feptimsr fpeciei^quae funt potentes duo medialia,Cap.xxru N i T hxc fpecies linearum potentium duo me# dialia ,ipecics linearum compofitarum. Diuida# EH turqj fpecics hxc in duasfubfpccies,quemadmo* Icti ^um (^a fuPcr,or» de qua dixi in capite pcedenti, r Primo enim iimt quxdam linex potetes duo medialia,qux reioluuntur in partes compofitionis fux.itaut longior earum maneat fubbac fpecie, ut linea numeri huius . Aj »,refoIuit in 14-f-V^ 6 i 14— y%6; manet autem longior (id eft, f4-{-V%rf ) fub hac ipecie» id eft, etiam eft potens duo medialia, V Secundo funt quxdam linex potetes duo medialia , quae refo luuntur in partes compofitionis lux, quarum longior non sV ' ‘ . maneat MiCHAEITS ST!? ELI I maneat fubfpccic hac.fed tranfcat ad fpedem prarcedenri* ca* piris: ut J*J\6 8 -f- quae etiam refpondenc praedicflaepropcfitioni 26 Campani.faciet C b ,/Wa Jixa & c e faciet Ax4 (& a faciet^ a e J%J\x & e b faciet ^ parj^no rcfpondetpro pofitioni prafentf . N°n enim componunt potentem duo tne dialia,fed componunt potentem rationale & mediale ‘u/deli* cct hanc componunt,/* . ^864-^24. Itacp n0n eft conflans inuentio,quae docetur per elementarem quartam, dum recini - untur pr° a c lineae propofitionis,quar apud Campanfl eft x6t ' arI,l,s modus inuentionis huius ponendus, ejui nuncp fallat, ut ex iuperiori figura folio 181 patet* Recipe pro bc lineam aliquam medialem. Vt fi b c fidae vi%48,taciet B a y^768»edqudd a B fit dupla adBC; Qc faciet BDy^iiob.Itacp BH fodet yw**4°+y*48>a: G f,A. ^x4° ^ &48’ Et illae duae lineae funt, quales requirit propofi tio noflra prarfens.Rationemautem,cur figura illa non poifa falUre fi BC fit linea mediaIis,facflecolIigerepoterisex iis qu* didta lunt capite fuperiori.circa propofitionem4 capitis illius, Numeri reliquarum linearum. . BGfaciW*%48. GEfacit,/**»ioo— y**4s. * Hae duae lineae inter fe multiplicatae . faciunt quadra tum ipfius G F.id eltjbrciiioris inter eas,quaspropofitio noflra requirit. Vides antem a hic mox, ut produefla linea ponat longiorem quae poffit duo medialia nece flario . Longior autem illa etiam medium proportionale inter gb d& b C.Linea uero com pofita ex duabas imicntis,id eft.ex bh&' g F.eft medium pro pomonalc inter a b d & a B,utfuperius«ia figmficatum eft. i i. • aa Vc • • MlCHABLIf STIFBLtl fpec/ebus linearum irrationalium tredec/m /Harum inuenfun* tur. Et cotinent fuper flclem medialem huius numeri ^345- <5, Et quadrata par/ter accepta , componunt fupcrficiem numeri huius i44.Quodeft quadratum GH 1 K, cuius radix quadrata eft A 6,(eu H i.Ex quo fcquitur quadratum lineae e b, aequari quadrangulo L K 1 M . Et quadratum lineae a E,arquariqua« drangulo glmh. Sequitur ulterius , lineam a e efle medium proportionale inter G H & H M. Item lineam e b efle medium proportionale inter K 1 & 1 m. Item ficircuIo(diametrum habenti rationalem) inicribatur pcntagonus arquiangulus, tunc latus unum pentagoni illius cum linea iubtenfa uni angulorum reipondebuntpropofitioni noftrar praefen t/. Vt fl a b diameter faciat 24 , faciet latus a d %/fc . 3 60 — 25910 ; 8i linea a C faciet «/$. 360-4-^15910. Sunt igitur Ii« neae ca&a D,qualcs requiritpropofitio capitis huius prima* Propofit/o Arithmbticab Liber ii, 17^ Propofitio capitis huius fecunda, quae apud Campanum eft 33. V (Tum coniuncte fuerint bue linee potentialiter incomen* forabilee,fupertictem^ bimcbialcnt coiitinrntc0,quarum ambo quabrata pariter accepta fin t rationale, tota linea erit trraticnalid>bicetui 'qj linea maior* Hoc eft quod fupcrius dixi, par tes,quales hic defcribuntur, componere lineam maiorem. Vt fi ex latere pentagoni, a d& ex A C linea angulo pentagoni iubtenia,fiat una linea, erit ipfa linea maior . Sic a e & e b figurae nunc pofitae , componunt lineam maiorem. Vtfi A c faciat 7*4 j- -f- 3, &CB faciat 3 .tunc faciet ce 6, &ae facict*/%.9o-f~y%i^zo,flCE b faciet j\. 90 — /$1620. Etfiex a e dC e b fiat una linea, tunc ipfa faciet .180 — f- % 25-920. Modum additionishuius uidcfuperius capite libri hu ius duodecimo. Quaelibet igitur linea maior componitur ex linea una ma- iore^ ex altera quae uocarur minor.De lineis autem minori* bus infri fuo loco dicam. Propofitio capitis huius tertia, quae apud Campanum eft 3 9. T iinea maior.nifT in buao lineae tantum, er qnibue con fiat,(uG carum terntiuo biuibi non potefh Quemadmodum propofitio praecedes fuit de compofitione lineae maioris, ex partibus compofitionis fuae materialibus; ita haec propofitio eft de reiolutione lineae maioris, in partes compofitionis fuae. Quaelibet igitur linea maior, reioluirur in unam aliam linea maiore, & in alteram q uocetur linea minor. Vtfi a C& C B (ficutuidesin figura proxime data) faciant A** -f- A • 2,& A 24— y* 1 2, tunc c e faciet A 1 2 , & A e fa* ciet%/fc.48-t-y*i 1 5- 2,& e b faciet 48 — A> «f»* Siautem tx a e dC e b fiat una linea,tunc ipfa faciet,/*. 96- f- ^4608. Y iij Non MiCHABLIS STrFBXII ’ Non totem diuidi poteft feu rcfolui,/* ,96-f— /fc4rfo8in duas alias partes Tuas, quae fint potentia incommenfurabiles, contineant^ fuper fleiem mcdialcm,atque carum quadrata ad fe addita faciant fuperficiem rationalem , nifl tantum in duas illas, ^.48-+- Ai ijz,&yM8— i/ii ij-z, ex quibus conftat. Prxter has inquam partes duas.impoffibile erit alias duas in- uenire lineas aut partes,quibus conueniat praedidus terminus feu pdida defcriptio,in quas refolui poffit J\ . p6 -j-^460 8, aut ex quibus ipfa conflet. De refolutione autem huiufmodi linearum , confulc capita librihuius decimum & duodecimum* Propofitio capitis huius quarta,quae apud Campanum eft 5-1* rei linea rationali in longitubine 6inomio'c& quarto fu- perfkiee contineatur» linea que in eam poteff fuperflctem,pcr* tinet ad caput hoc pr*fcns,uocaturqj potens rationale & me- diale,eo qudd poffit hanc fupcrficiem i x -j- x , id eft, poteft rationale hoc mediale hoc \ x. Poterat autem hoc diferimen fcruari.ut lineae prioris fpeciei uocarentur Potentes rauonale& mediale: huius uero fpeciei line* uocarentur Potentes mediale rationale.Sed placere no bis debet ueterum autoritas.qua fadum eft,ut lineae fpeciei pri oris uocatnr fint lineae maiores,&; iam liberum Ot lineas huius alterius fpccieiuocareindifferenter Potentes mediale & ratio- nale,aut potentes rationale & mediale,. , I na haec fpecies,quam hoc capite tradabimus,. J dicitur fpecies linearum potentium rationale di j mediale :.cum tamen duae fint tales, uldelicet fpc- cies linearu maiorum, & haec fpedes qua nunc tra 1) dabo. Scilicet haec eft linea maior, %/fc. i x -f -J%6: Prima. Arithmeticae Lisbh if; f$t Prima propoBdo capitia hulus.eft apud Campanum 28, ft*c ira proponit: (tueas inucnire potentia mcommenfurabited>fu« perftciemq? rationalem cotinenteo, quarum ambo quabrata pariter accepta fint mebiafe ♦ H Hoceihinuenire partes mater/ales componentes lineas fpe cici huius fex tar., linearum irrationaIium}quas uocamus fpcc/a Hter Potentes rationale & mcdiale^cut paulo fuperius dixi. Rec/pc quadrangulum redangulum cotentum fub duabus lineis longitudine rationalibus , proportionem'^ duplam ad Inuicem habentibus Cut uides quadrangulum abco comem tum fub a b & B c ) lineam autem longiorem produc ad meo* M X . I % ARIT^MBTICAB tlBBR TL 18? faoc eft.in potentem rationale & mediale, a rqp in componerem mediale cum rationali.Et hac duae partes (unt iub termino que habent fuper/pres duae prppofitiones.id eft,funt potetia incom mcnfurabiles,& fuperficiem rationalem cotinenr,& quadrata •arum pariter accepta iunt mediale» Item,/*. ^864-}— »4,eft certe potes rationale & mediale* Haec diuiditur in 1 1 — /%72,Hoc « in potentem duomedialia,& in componentem mediale cum roedialuNiliilomiaus.tamenpartesjiarfunt iub termino, qua lem deferibunt propofltiones duae luper/p res capitis huius. Qua in re confiderandum eft,ut fpecies haec potentium ra# tionalc mediale, fubdiuida tur in duas fpecies, quarum prior contineat lineas reiolubiles induas partes ie componentes» quarum longior maneat fub ipecie hac potentium /atianalrSC mediale : ut eft */&.*/ $648 o-f- j 6. Pofterior ucro contineat li • neas reiolubiles in duas partes ie componetes,quarum maior non maneat iub ipecie hac,fed tranfeat in ipeciem linearum po tentiumduo medialia.de quibus erit caput fequens ; ut eft, V*,/* 8 64 -+-24. * Regulae. 8 V triuiq^ uero fpeciei numeri facile reperiuntur. Primae ipeciei numeri fic inucniunf , Recipe duos numerat quadraros,quiadditiadfefaciant numerum non quadratum. Illum igitur numerum non quadra tum recipe pro prima parti cula exempli.prar polito illi iigno radicali zeniico.Pro fecunda particula recipe radicem quadratS alterius ex duobus reliquis rdratis:ut *<£ &5>,faciunt4 j- &c. Itacp y% . , & «/*♦ j- — 3 .componunt potentem rationale & mediale prioris ipeciei,uideliccry%V% 1 80 -f- ix. Secundae fpecieinumeri licinueniuntur.Recipeduosnume ros,quorum alter fit quadratus, 6C reliquus iit non quadratus^ qui additi ad fe,faciant numerum non quadraturo.lllum igitur •C* aggregatione proucnientem > recipe pro prima particula 2 irj cxempU • t i * MlCHABilS STITBLn exempli, praepofito illi figrro radicali zen fico. Pro fecunda pani ticula recipe numerum non quadratum illum,qui prius ad qua dratum addebatur, dfy idem fignum praepone QCc.Vt 744 .faciunt j 78 .Itacp A 3 78 -f-V* 1 3 4» & A- A 3 78 — A x 34, componunt potente rationale & mediale pofterioris fpc* dei, uidelicet A • A 1 S » 1 i— 24* Propofltlo capitis huius quarta,quae apud Campanum eft 5*1. f"0i fuerit fuperfkiee linee rationali atque binomfo quiit to contenta . linea que in eam potefteonuinettur efle potena mebialeetrationale, • Exemplum huius oftenfum eft laperius circa propofl tionc (api. huius z.ex figura propofitionis primx capitis huius. > Scilicetlinea figurae illius A b d eft binomium quintam, fir dens ix-f-»/%i8o. Si igitur ex a b & BDflat una linea reda, eify coniungatur ad angulum redum linea alia aequalis lineae? AB, tunc fiet fuperfleies binomialis quinta, faciens,/# 25-910 «4- /44 . Huius igit radix quadrata facit A • A* T9 *<> -f- »44*' hoc eft.potentemYationale & mediale , ut eft linea compofit» «x B H & G F, illius figurae pradidae. Itacphac propofrtione docet Euclides optimum atep certifti mum modum inueniendi lineas potentes ronale & mediare, Propofitio capitis huius quinta, quae apud 1 Campanum eft 5-8, <. re>i linee in longitubineronalt abiuitgator quabrangnlu s altera parte logiuo, qS ftt equale quabrato linee potetio rona: l e et mebtale,alteru latus eius binomiii quinta efle necefte eft*' Haec eft conueria praecedentis, docens quadratum linea: po- tentis rationale & mediale.pofle redigi inftiperficiem bfnomf afem quintajquod fit.dum ad ipfam linea quadrati illiusCid eft ad lineam potetem rationale & mediale)inueniunt duae lineae? (tanqua ad medium proportionale) extrema: , quarum una fi$ longitudine rationalis,^ altera fit binomialis quinta, ... > Vt Arithmeticae Liber, ii* r 8x VtfiAC faciat M * -t & C b fariar me C E factet A D ( td eft,breuior linea elemetaris quartae) faciet*/^3 2.Vnde a e fadetA.yfcjx-f- 4:&e b faciet — 4*Etfunt quidem ae&eb lineae Jrefpondentes pro- poiitioni noftrar atep fupcriori,quae r eqUirit inuentionem hu- iufmodi linearum: fiuntop hoc modo multa, imo innumera ex 0 empIa.Sed ifta inuentio non e(l conflans & perpetua, ut iam oftendam iequenti exemplo. Recipiatur enim pro a c y^i-4-f-y^x4(refpqndentaut5; particulaey%%j-4 8iy^x4^»pofltioni Campani xy.ideft.fextae capitis 1 8, arque ut hae duae,y%fc8,&VfcV x,quaefunt particulae exempli proximi fuperioris&c. ) fli pro C B recipienda uepit y%%j-4 — y%%i4,atcpitapro A D C id eft, breuiore linea exem« pU elementaris quartae) proueniet cum pro c e ( id eft, 1 medio proportionali inter a C & c b ) proueniat 6 . Itacg AHfaciety%.y%x.itf-4- i x;afBB,y%,y%xid — M faciet, Z rj Sed Arithhjticab Liber Y3. 1*4 6 Vc fi ad lineam compofitam ex b h-& fg( figurae prima propoflrionis capitis huius) inuenianturduaeillae, prima A b, lecudax B.Djuel illa prima B c,&.'illa fecuda abd duplicata &c, Propofitio capitis huius ultima, quae eft apud Campanum 63. f&t aliqua tinea comcnfurabilie fuerit litiec poteri ronaU jrt met>ialcaipfa comprobatur effe potene ronale et ntebialc* ; V t data linea potente rationale & medialc,erit etiam potes rationa Ic &C mediale» cius pars dimidia, pars tertia , quarta, quinta frc. Item eius dupla , tripla , quadrupla,quintupla &c* |tem partis eius tertiae, dupla, tripla &c, f • • * Docet igitur haec propofitio cx una linea fpec/ei huius ior* mare infinitas lineas eiuidem fpeciei,uiddicet per multiplica# donem uel per diuifionem. 1': r ;cO ' De propofitionibus tranantibus lineas irratio# a nahs feptimap fpeciei,quac funtpotentes duo medialia.Cap.xxri, init haec fpecies linearum potentium duo me# dialia,fpecics linearum compofitarum. Diuida# tur'qj fpecicshaccin duasfubfpccies,quemadmo« dum illa fuperior, de qua dixi in capite pcedenti* T Primo enim iiint quaedam lineae potetes duo medialia}quae reioluuntur in partes compofitionis iuae» ita ut longior earum maneat fubbac fpecie, ut linea numeri huius . f- Al *,refoluit in /fcVfc i4-f-Vfc6 &C — J%6: manet autem longior (id eft,,/* . »4 ) fub hac fpecie, id eft, etiam eft potens duo medialia, T Secundo funt quaedam lineae potetes duo medialia , qu* refoluuntur ia parte* compofitioni* fuar, quarum longior non . maneat • 1: MlCHAEtrS STfffiLII mantat fubfpecie hac,led tranieaf ad fpeciem praecedentis cj# pitfs: ut i- in fpeciem potentium rationale & mediale, ut fatis uides. Propofitio capitis huius prima, quae eft apud Camp.29. FTDuae lineae inuenire potentia fncommenfurabilee,fu* ptrfttiemcp mehialem continente* , quarum qoabrata paris ter accepta ftnt mebiale, incommenfurabilc buplo fupcrflcief vniue linee in alteram* . .. * Hoc eft,inuenire lineas duas, componentes lineam potente duo medialia,queadmodfl proxima lcquens ^politio docebit. De modo autem inueniendi lineas,quales harc propofitio defcribit.fimilia dicenda ueniunt rjs quae didla funt circa duaa propofifiones capitis pracedenris priores.Necp enim hoc loco conftans eft Campani fiC aliorum ratio inueniendi lineas tales per propofitionem capitis 1 9 quintam, quar eft apud Campa# nmn 26 : quod iterum uolo oftendere exemplis* ArithmrtiCjab Liber ir. ‘ Vt £C,A cs ^ 1 8 ti™ 8 (CCrte ^l8& 8 reipondent propofit/oni illi prardirta) erit cb/*%,8 — ^ & £ e faciet a Dbreu/or (tota eleraerarem qnartam)facietA*2 2 Itac^ a e &der Ay%7»-f-^8,& 1 B facietyw*7*- JE? Ha: linea:, recfie quidem ioxta Campani traditionem compo* nunt potentem duo medialia, hanc y*V*288-Ww Sed fl pro a C recipias 4*5-4 & 4*6,quae etia m refpondenc pradictae propofitioni zJ\96) faciefq* a e 4.4 x 6C E B faciet 4-4 2 ^—^2. Sed ha partes no refpondet pro polition1 pra lenti . Non enim componunt potentem duome dialia,fed componunt potentem rationale & mediale ; uideli* cet hanc componunt 4 . As^-f-a* Itacp non eft conflans 4 — %/fc3,fub termino illo qui dcicribitur per pro politiones fuperiores capitis huias, Sic^Vi68-»-y%3 z jo Ium diuiditur in has le componeres dfc.yfci7-f-j»8i^fc.dfcf7 — 3 .Hac folae funt partes compofl- cionis fuar , quales deferibuntur per propoli tiones fuperiores capitis huius, Propolitio cApitis huius quarta, quae apud Campanum elt 3*3» F’ 0i fuerit fuperftciee linea rationali binomio'cg ferto contenta, linea quae ineam potefl efl irrationalia »bicitnr'

fit confideratio duarum linearum rationalium.potentia taU tum commeniurabilium.Vna tantummodo poteft linea con- fungi eidem C D.uidelicet A c.ut fint ambar, illae uidelicet,quae crantante feparationem, id eft,AB& AD.feu iz&y%288# lllar,inqua, iiint fub termino defcripto.Et fub eodem termino flint a c & a D.Videsenim ut ante feparationem fuerit A D, feuy&288,tanquam linea i qua debuit fieri feparatio aliqua, & a B ( feu 1 z ) tanquam id quod debuit feparari de a d, feu de y%z88,& ambar erant fub termino defcripto a propofitionc fuperiore.Poft feparationem autem fartam.remafit linea C D, feu y% 2 8 S — iz.Etimpoffibile eftutipfi CDpofiitconiungi diredfe alia linea .prarter ac ieu 1 a, ita ut illud quod fit ex addi# tione (ut eft a D.fcu y% 2S 8) cum eo quod additur feu coniungi tur(uf eft A C feu 1 2) Iit fubeodcm termino defcripto i propo firione fuperiore.Poteft criimy^2S 8 — • 1 2,diuidi/ny$72 —6 & y% 7 2 — 6. Sed illar dux partes n5 funt rationales.necg funt potentia tantum commenfurabiles SCc. Sequuntur definitiones Refiduorunv Cum refidua binomialia fequantur naturam 6 C fimilitudine binomiorum, ideo fubdiuidttur etiam fpectcs rcfiduoi u,in fex i : : > fpccics Arithmeticae Liber ii. fpedcs,quarii definitiones traditas nobis , flueab Euclide fiue (ut puto) i Theone, uolo ponere a tep exponere. pofittebtjabaeltiiefojflltcrdMtbnalttri longttubine (uc c i,fi freiat 4 ) altera refibuo (ut BC,fl fodat 6— % 3 x) abie- aa'cp fit ipfi refibuo alia linea (ut a d fi foc/at 3 1) feconMi eius terminum ( id eft , quae addita refiduo illi poflto.compo- nat lineam,quar,aim adieda,fit fub termino deCcripto, i pro- politione capitis buius prima,ut mox fequetur ) fi fuerit totu compofittim uidelicet cxb c&ad, faciens DC.ideii r«torf)it!ui,aIt(tumlittu«n(C(ffario eflrcfTPimprmiii. bb «j Haec Arithmeticae Liber J*1 ! MlCHAELlS SriFELII . 1 v • Hxc eft conuerfa fu per i oris. Vt fi fuperfides ^.faciat r6—J%i88o ,& tantum etiam fa# da t fuper fides i ,fad a t a ut L R 4 , tunc o L faciet 14—^180. Eft autem fupcrficies^ (faciens areafuay* — /fc z8So)qua* dratum refidui L s,facicntis 6 — %/*ao,ideo neceifeeft o Lcfle refiduum primum. Item fi ls fecerit fua longitudine A4 8 — 6,& L R faciat 6t tunc o L faciet 14 — 19 t.idfcpneccftario erit refiduum pri- mum. Vnde neceflfe eft.ut «/% 4 8 — 6 in femultiplicata.idcm fa dat quod i4-rAi9I*n^ multiplicata. Sequitur ex his.quodlibet refiduum (cuiufcuncp fit fpeciei > fi in fe multiplicetur, facere refiduu primum. Vt 74— J\ jo In (e fadt84 — »/$6480, quodeft refiduum primu necclfario. Quodfi diuidatur per numerum aliquem rationalem , neceflc eft producum etiam facere refiduum primum, ut patet ex pro politione fequenti. Et fic de aliis. Propofitio capitis huius ultima, quae apud Campanum eft 98, rCDuelibct linea refibuo commenfurabilie.ipfa quoque in termino et orbitie eft ibem rrffouum. Vt quia 84 — Jtf+So eft refiduum , cui conuenit particula defcriptionishacc, qua in definitione dicitur,quod totum com pofitum fit potentius linea adieda in quadrato lineae commen furabilis ipfi toti in Iongirudine.conuenieteriam huic 14—%/% , so.eo quod fit ei commenfurabilis . Neceflario igitur ambo Illa refidua erut fub eodem ordine, atep etiam fub eadem fpccic refiduorum. Et Gc de alqs, . ' De Arithmeticae Liber tu ip0 bat feparatio fueiit rationalis in longitudine, dicetur refi* • duum quartum. » Quinta definitio. / Pofitt» buabuelineie, altera rationali , alrera reftbuo ( ut C i faciens 4 ,& b c faciens /fc 1 1 — i) abiectacp fit ipfi reftbuo. alia linea fecuiibuni terminum eius (ut a d faciens x) fi fue< rit totum compofuum poreiittuo linea abiecta ( id cft, d c % fit a D) in quadrato liuee incommenfurabiha ipft toti tn lon« gitubiue, et linea a&iuncta (ideft, a d ) commenfurabilia f?t in longitubine ipfi pofice rationali (id eft.c o vocabitur reft* buum quintum. Sexta definitio. pofitio buabua lineie, altera rationali infongitubine,alte ra reftbuoC ut c i faciens 4 ,& b c faciens 1 z— A^)abi«ctac^ fit ipfi refibuo alia linea fccunbunt terminum ciu* (ut a d fa« ciens %/&6) fi fuerit torum compofitum (ideft, d Opotentiua quam fit linea abiecta (ideft, ad) in quabrato linee incom* tiienfurabilid ipfi toti in longitubine.fuerttqj vtracp ( id eft, A d & d c) incommenfurabilie in longitubine ipfi pofite ra- tiouali(ideft,c 1) appellatur refibuumfejrtum. Propofitiocapitis huius rertia,quafexfant in unam conflatae. P^nuenire refibuum primum, fecunbum.tertium.quar- tum, quintum, aut fejrtum. Polito binomio primo, fi pro figno additorum potueris ff- cnum fubtracftorum.tunc per binomiumprimum inucniftire* fiduumprimum.Vt per hoc binomium primum 6-i-S%iz in- uenies hocrefiduum primum 6 — »/^32. Sic per hoc binomium fecundum 1 8-f- 4,inuenies hoc re fiduu m fecundum 1 8 — 4, Sic per hoc binomium tertium -f- /^48, inuenies hoc reliduum tertium J^o — ^48. Sic per hoc binomium quartum tf-f-%/fcj-.inuenies hoc refti duum quartum 6 — bb q Arithmeticas Liber ii* J5>1 Depropofitionibus tranantibus rcfidua bime- dialia prima ,hacc conftituuntfpeciem irrationalium linearum nonam, 1 ' Caput xxiiii* Mnia illa quae de lineis bime dialibus difla funt cap. i8.Iibrihuius,atcgcap. 19. hoc capite atque iequenti repeti poiTent, quemadmodum omnia quae cap. t7.ditfa funt, potuiflent repeti capite praecedenti &c. Remittendus eft fgit ledor illuc, ne eadem faepius repetere cogar , 8t' utbreuis tranfeurfusper propofitiones linearum decompofitarum fuflficiaf.Hoc tamen non eftobmittendum, lineas. uidelicet refiduales bimediales primas,fubdiuidi in daas ipecies, uidelicet in fpeciem primaru priorem,^ in fpeciem primarum pofteriorem. Sed quia inuen tio huiufmodi refidualium fit per bimediales primas,ita ut per bimedialesprimas prioris fpcciei , fiant refiduales bimediales prima: prioris fpecieiA per bimediales primas pofterioris fpe cici, fiant refidualesbimediales primae pofterioris fpcciei, uide licet per mutationem fign i additorum in fignum fubtradorn. ideo fufticit fi de utracp fubfpecie ponatur exemplum unum atque alterum. Exemplum prioris fubfpedei primarum refidualium bimcdialium* Jvk 648 — Afc s 1 *■ >fit ex y%i6 48 -f- r 1 *. Itemy^zj-pz — ^1048, fit per 7^1048* Exemplum pofteriorisfubfpeciei primarum refidualium bimedialium. Afci88 — Afc7*,fftpcry*%z88-f-/?&7*< I tem ^43 x — y^S.fit ex v/^43 1 -f-^48 Ac* Propo- 1 • Michaelis Stipelif .Propofitio prima capitis huius, qu* apud Campanum cft 6?t F0i fuerit linea be linea abfci|a,fuertnt'qj ambe meMalee potentia tamam comtnfurabtl<0,fupcrftricm'c£ rationalem contincteo .relicta linea erit irrationalia» biceturc^ rcfibaun* Ittebiale primum. „ ,, j In numerisfacile eft inuenirc talia media!ta,quibus conue* niat deferiptio illa, quam propoiitio harc refert. Scilicet polito numero aliquo zenfizcnfico, diuide ipfum per numerum ali# quem numerantem eundem zenfizenficum. Recepto igitur di uifore illo, pnrpone ill/frgnumzenfizenficum , tunc habebis mediale unum. Alterum dabit tibiquotiens diuifionisillius, recepto figno zenfizeniico.Vt dato zenfizenfico hoc » i a 9 6* diuide eum per 72 , tunc quot iens erit 1 8: iracp Ai?*> 6i Ai 18 erunt medialia , qualia requirit & dcfcnbit propofitio harc. Jam fi alterum ab altero fuerit abfeifum, remanebit Ai7 » — JWl * 8, quod eil refiduu bimediale primum. Quod enim Ai7 * r8 fint potentia tantum commenfurabiles, poteris diui* fione unius per alterum explorare. Deinde quod rationalem fupcrfldem contineant, poteris cognofcere ex multiplicatione eorum inter fe.Scilicet,diuifio unius per alccrO,facit A*:*nultf plica tio uero facit 6, Propofitio Capitis huius fecunda,quar apud Campanum eft 7 J-. THulla linea, nift tina tanta, refibuo mcbiali primo, cotw fungi poteff, vt fint ambe fub termino earum, que erant ante ^ *Vr pofito hoc refiduo bimediali primo, Ai7 » — Ai » 8 nihil ei coniungi poteft fub hac coditione.ut hoc quod addi tur ,cum illo quod ex additione illa fit, habeat illam dcfcriptioncm,qua habebant duo illa ex quibus fatflum eft reflduum bimediale pri mum,perieparationeunius ab altero, Vt fi addatur Ai' 8 ad Ai7*— Ai 1 8, tunc fit Ai 7 a* Habent igitur Ai ' 8 &Ai7 1 de feri* Arithmeticas Liber i i. defcriptionem termini i propofitione hac defcr/p tf,& eandem defcriptionem habebant ante feparatlonem unius abaftero, Propofitio capitis huius tertia, qua: apud Campanum eft 87. F 0! fuperftcieo aliqua, rationali linea in lonqitubine reft buofcg fecunbo contineatur, linea in eanbem fuperficieni po* tene erit refibuum mebiale primum. Sententia eft : Superficiei refidualisbinomialitcr.quadrata radix.necefifario eft refiduum bimcdiale primum. Docet igitur propofitio hacc refidua bimedialia pr/ma inue nire alio modo, ab eo quem docuit propofitionecapitishuiuj prima. Scilicet»/* 162 — 1 *,eft refiduum binomiale fecudum. Quaere radicem eius quadratam, quam fi inuencris , inuenifti refiduum bimediale primum: fcilicet radix quadrata cx 1 6z — ia,facit»/**7i — »/**i8. Propofitio capitishuius quarta, quae apud . Campanum eft 93. F (Tum abiucta fuerit fuperfictce cqoalie quabrato reftbul ntebialift primi ab lineam rationalem .alterum latu» eiue erit refibuum fecunbum» Hoc eft, fi refiduum bimediale primum fuerit in ie multipli* catum.producitur fuperflcies refidui binomialis fecundi : quae talis eft, ut fi contineatur fubduabus lineis, quarum altera fit longitudine rationalis , necefte eft reliquam enc refidualem bi« nomialiter fecundam . ut»/**7* — »/** 1 8 multiplicatum in ie, facit ii. Hoc autem refiduum binomiale fecundum, fi diuidatur per numerum aliquem rattonalero.neccfle eft quo* tientem fieri, qui fit etiam refiduum binomiale fecundum. Propofitio capitis huius ultima.quae apud Campanum eft 99, F CDuclibet linea otrilibetrefibuomcbial» commenfura- bilie,c(ifub ipfiuo termino etorbinercfibunm mebiale- V t quia 161 — %/** 1 28 ,eft refiduum bimedialis primi, cc prioris Arithmeticae Liber fi« zox Etficex lineis (impliciter rationalibus producit lineas po* tentia tantum rationales, quae longitudine funt irrationales» Scilicet fi latera continentia fuperficiem illam , non habuerint proportionem, quam habet numerus quadratus ad numerum quadratu, necefTe eft uc linea potens fuperficiem talcm,fit irra lionalis longitudine . Si autem latera fuperficiem rationalem continentia, habuerint proportionem numeri quadrati ad nu« merum quadra tum, erit linea potens fuperficiem talem,ratio« nalis in longitudine. Propofirio capitis huius fecunda. V 0i fuerit fuperficies fub lineis rationalibus.fpccie biffe ventibus contenta, linea potens in fuperficiem illam erit irra tiona(is,bicetur'qp mebialis- Vt fi latus unum faciat latus alterum faciat i z, faciet fuper fides illa 43 z, &i latus quadratum illius ( id eft , linea potens in fuper ficiem illam )feu medium proportionale inter latera illa, faciet 4* z. Differunt autem 6 fpecie, cum altera (it longitudine rationalis, altera uero fit potentia tantum rationalis. Propofitio capitis huius tertia, quae apud Campanum eft 6?» r (Tum comuiicre fuerint fcue fuperficics , quarom alter* ftt rationalis,a(cera mcbialis.linea potens in totam fuperfi» cictu illam.aliqua erit quatuor irrationalium Uncarum, aut birioniialis,aut bimebialte prima.amlincamatorjaut potes rationale et mebtalr» Scilicet fl duae fuperficies illae ji &C 2$ (quae iam fequuntur) fecerint binomialem fuperficiem primam , erit linea potens in eam,binomialis.Vt fi 21 faciat i+.SC 25faciar,/%43 z, faciet U- nea potens 21 3,ideft,radix eius quadrata,binomium fextum boc%/%iS-f-y^. Si autem duae fuperficies illae compofuerint fuperficiem bU nomfalem fecundam >tunc linea potens in eam,erit bimcdialis ■- ce ij prima Michaelis Stifelii prima.Vt fi ?1 kcUtJm i,& 25 faciat 18 .facfet linea poten* J| 25 bimediale hoc primum y**z 43-f-%/**i7. Et fi iuperficies illa; duae compofuerint fuperficiem binomia lem quarta, tunc linea potens in fugficiem illa,crit linea maior* Vt fi 71 faciat ztuc remanet Ci5 faciens A43 * — » cuius radix quadrata,id eft linea potens in ®, fecit A% l43 A**% Si autem $ <6 fecerit A3 84,fecerit'qj 13 1 6,8i fubtrahat 13 de^f®, tunc remanet A 3 84 — i$,quac eft area ipfius <5. cuius '9 */*“+«!♦*/» Arithmeticab Liber, II, 196 Et quadrata carum fimul recepta, faciunt rationale hoc 1 2« . Si itaqj fubtrahas m v (id e. Ia tus quadrati m/nimi.i.ipfiiTs a) de v L(id eft,de latere quadrati e b f g) id c — y* 1 z dc ^-f-y%iz,tunc remanet s l, id eft, 7*. 12 — facit i z-f-v/^quat addita ad fe faciunt z^&c,. Propofi tio ca pitfs huius iecunda,quac apud Campanum eft 77. fTJulfa linea lineae minori coiungi pote(?,vt fub termino fuo ftant,mfi tantum que ante aflfeifionem coniuncje&atur. In tractatione fuperioris exempli, uidifti ut Sfr6 — i z fit fubtrada de^.6-j-Ai z^utremanierit^. i z — /*5>tf.SoIa igitur linea haec,v/fc . 6 — i z,poteft addi lineae huic y%iz — »/%96»utprouen/at linea maior,qualis erat ante ieparationem. Atcp ita illud quod additur, cum illo quod fit ex additione illa, funt fub termino qui deferibitur i propofitione praecedenti. Hac aut induuria addes J%.6 — i z,ad , i z — 96. Primo refolue 1 z — & PLfacicnte 10, fle enim fiet ut o L faciat 10—^40) tunefubtrada Q.Fde p x, remanet o Lreflduum quartum. Difpofito Arithmeticas Liber *9 7 1 1* Difpofito itacp medio proportionali teter ol&l R,continen tes iuperffciem i,produeitur L S, medium u/del/cet proportio* nale inter ol&l R,quod eft linea potens iupcrficiem i , cum quadratum eius $ fit aequale fuperfldei i.Fadt autem fupertf* cies i»i2o — »/*r7*o>cumfugfidesH ki faciat 1 10-^^760, Quare l s fac it A* 1 20 — Af76o: ficut L m fadt A , 1 20 -f— A ?76o,E(i autem L s, (eu L N,Iinca minor. Propofitio capitis huius quarta,quaeapud Campanum eftpj\ T (Tum abiuncta fuerit linee rationali, fuperfkie* equalis quabrato linee minorie,latueeiue fccunbum erit re|tbuum quartum* dd Vt - Michaelis StiBeeii *- Vc lineae l R (figurat iam datat) fadenti i x,adiunda eft Ctb perficies i, qaacft atqual is quadrato ^.cufus linea feucofta eft L s, linea uidelicet minor , faciens y%.izo — Vfc n8„ 8+3®«V*V MlCHAELlS STIPELII . # * 1 A pm -7« A A/ir*- 6* B i AAf * — rf» D y%«rtio8 — 8. C Propofitio capitis huius fecundabat apud Campanum eft?8« • T linea componene mediale cum rationa(i,coniunni tantum, vt fub earum termino fiant, que erant an re fcparationcm* Vt haec linea D c (in hac eti5flgura)fa ciens — 8, quae eft componens mediale cum rationali,folummodo poteft addi huic lineae a B.uel B c/aciente j- 1 — 6 . ita ut hoc quod additur,cum eo quod ex additione fu,(?nt fub termino de feripto i propofitione fuperiore, fubquo termino erant duae lineae illartqua|e una fubtrahebatur,uiddicet a B,& aItera,i,B c, «a erat i qua fiebat fubtrafiio* Arithmeticae Liber ii. jpp Summa eft. Pofito hoc numero %/*.2o8 — 8,hunc dabis fo- lummodo J\. %/fc yi — 6. ita ut aggregatum (quod fit ex addi tione amborum) cum VWfcpx — 6 cotineat fuperficiem ratio* nalem , & ex additione quadratorumeorumfiat numerus me* dialis quadrate. Sic autem funt addendi. Primo oportet ut refoluas 208 — 8,ea reiolut/one A '4 - Ad. Quaedam uerodicuntur.fecundaecomponentes mediale cu mediali .quarum quaelibet refoluitur in potentem mediale & rationale,# componerem mediale cum rationali : ut eft huius numeri linea,A> A^8 — A 8, qua refoluitur in c jj # . y** — .A17 — oed de his Forte latius dicam inferius capite trigefimo. Propofltio capitis huius prima , qua eft ' i ' apud Campanum 73. * r &i linea ili nea{&ctrabatnr,fucrinr'qj pot entia incoroen furabiles fuperpciemcg medialem continentes, quadratae# carum pariter accepta fuerint mediale , incommenfurabile cupio fuperficiei alterius linee in altera, relicta linea erit irra ttonalfejbiceturfcfl Componens mebiale cum mediali. x Vt polita linea B c (qua in fequenti figura oftcndiOfaciens A-Anf A 14 .dematurabea a b faciensA-Ai4— A»4* tunc relinquitur linea d c Sciens A. As>*— A4<>,qua eft irra tionalis componens mediale cum mcdiali.Vide autem ut de- feriptio linearum illarum C id eft, illius qua demitur & illius i qua demitur ) depida fit in figura hac, qua mox fequitur. Scilicer,potcntia a b eft Al4 — A *4»& potentia ipfius b c A'*4-+- A* 4 • harum maior diuifa per minorem facit quo tientem irrationa!em,id quod fignum eft certum eas eflein-. comenfurabiles.Secundo, a b & b c cStinent fuperficiem A»o- eft enim BCaqualisA B,utuidesinfigura.Itaqj Aioeftfuperff i*5 medialis,Tertio,A»4 - A.i4»« A*4-f-Ai4(qualun| qdrata Jinea^AB di Bc;parir’accepta/adut|IiocmediaIe A?d/ **■ V — W MlCHABLlS STIfELII cft A 9 6 propoficio capitfs huius fecunda, quae apud Campanam eft 79* . rifttce compotienti mefciale cum mebiali, nequit mntjt Unea,nifi una tantum,vt fub earum termino fiant que erant ^SSStSTe (huius itidem fupcrtoib figurae ) b*™ jv /, Q(5-A4o, quae eft linea componens mediale cu mediali, nequitiungi aliqua alia linea^ talis q fodat A9<$ — /*4°. Pofterior illa A * A 9& — A^o, refoluitur in A» A *4-t- Ah» — .A»Ai4 — Ah* Qua Gcrefoluta,additur. — A »4 ad . —A . A 24 — A »4. lunc remanet A- A H-f-A f4 additionis huius aggregatum; Propofltio capitis huius tertia, quae apud ^ Campanum eft j? r. r0ifuperf?ciee linea rationali refibuo^ fejrto continta* tur, latus retragonicum qnob fuper eam potefl, coprobatnr efic confiituene totum mebiale cum mebiali. _ V t fuperffcies i (qua in figura fupri pofita folio 197 u /des) cotenta fub linea rationali l r faciente 1 z, di linea o Lrefiduo fcxto.faciente Aio — y%6,cum faciat A »44® — /$864, latus te tragonicum L S, quod illam iuperffciem poteft (cum Ibper» fic/es $ fit arqualis iuperficiei 1 ) eft linea conftituens feu com ponens mediale cum mediali. Eft igitur harc probatio, modus alius /noeniend/ lineas com ponentes mediale cum mediali,ab illo qui propofitione capitis huiusprima ofteniuseft. Propofitio capitis huius quarta, quxapud Campanum eft 97. TSi ab lineam rationalem abiungatur fuperftcieo equa» Its quabrato linee componentis mebialecum mebialiJatuo eius alterum erit refibuum fertum. V t fuper fic/cs 1 C quae iam paulo fuper/us indicata eft) fteit A *4 40 — As 64.de tantum etiam facit fuperficies f .utufdeas alteram alteri efleaequalem,uideas'c$ LScfle linea quadrati^, ce eflecg Michaflis Stifelii efTefcp propterea lineam componentem mediale cum mediaH’ faciens,/%V% 1440 — J%86+. Cumc# l R latus unum fuperfi* ciei i,faciati x,fdeft,fit longitudine rationalis, necefteeft latus eius alterum eflTe refiduum binomiale fextum. Et eft hxc pro» politio conuerfa prioris. Propofitio capitis huius ultima, quae eft apud Campanum ioz, r Ouehbet linea commenfurabiliolmce conftituentt me* biale cum mebiali,efl linea confiitueno mebiale cu mcbiali. Vt cum linea aliqua longitudine fua fecerit 1440 — y^S^.ncccile eft quamlibet lineam uel numerantem eam,uei numeratam abea,eile lineam componentem mediale cum me diali : ut funt hae duae, 90 —7% 5-4. De Epilogo decimi libri Euclidis* Caput x 1 x. LTimo tandem loco propofitionum decimi Euclidis,ueniunt tradandar propofitiones Epia logi iplius.Sufceperat autem ille ex infinita con* fullone irrationalium linea rum,tredecim ipecies tradandas compedio pulcher rimo, quibus duas (pecies linearum rationalium praemiferat, tanefj initium ratio cinationis fuar. Ad has etiam uliiseft fuperficiebus , di ijs quide ufus eft qu4m parciflime. Producit autem ex fuperficiebus ra- tionalibus folitarie pofiris,duas (pecies linearum rationalium, utuidebimus. Propofitio capitis huius prima* T"0i fuerit fuperficics fub Itneia longitubine rationalibus contenta,linea potens in fuperftciem illam aliqua erit buaru linearam rationolium,aut rationalis Iongitubine,«ijt ratio- nalis potentia tantum* EtGc Arithmeticae Liber ir, §p^ aliquem, qui fpfum numerer.&utricp horum.uidelicet diuifori atcp quotienti, praepone fignu radicale zenfizenficum. Vt rece pto hoc numero zenfico feu quadrato 144 , diuido eum per a, tunc prouenit 1 S.Itacp 1 8 Qi .pertinent ad caput hoc : ut quorum feparatio unius ab altero faciat 18 — y*%3,uide licet refiduum bimediale fecundum» Sic fi diuidas 144 per 6, efficies modo praedicto */$%i4 — y%%6,&c« Cundi uero numeri mediales zenfizenfice duo,quora mul- tiplicatio unius per alterum conii/ ruit numerum rationalem pertinent ad caput praecedens . Horum inuentio pofita eft in capite illo praecedente. Deinde eundi numeri mediales zenfizenfice duo, quorum diuifio unius per alterum conftituit numerum rationalem.per tinent ad caput 16 . ut quorum &compofitio&feparatio,ni« hil aliud conftituit quam mediale. Horum inuentio fatis indi# cata eftpropofitione quinta capitis 1 6. Demum eundi numeri mediales zenfizenfice duo, quorum multiplicatio unius per alterum coftituit numerum medialem zenfizenfice.Horum & compofitio & feparatio improbatur. Et tales mediales etiam diuifionc unius per alterum conftitu- unt numerum medialem zenfizenfice : ufum tamen habent, quem capite 19 libri huius indicaui. Et (ut etiam de inuentionc eorum dicam )omnes rationales numeri duo,quorum propor- tio non eft tanquam numeri quadrati ad numerum quadrati?, fi uterq* eorum recipiat fignum radicale zenfizenficum .confti tuunt mediales duos tales. Propofitio capitishuius prima, quae apud Campanum eft 70. r 0i linea &e linea fecetur.fuerintcp ambe mefciales , po* tenttatantumcomnienfurabiled,contmeiitc6'c$niebia(e,rcIt cta linea erit irrationait9,bicetur'qj refibml mebialc fecubum* V t pofitis his duobus medialibus , ^96, & 5-4, deferi# ptis per propofitionem hanc; Si ^ J4 ftcetur de cc i), net i Michablis Stifblii tnttJ^6 — y^f4,quod eft refiduum bimediale fecundum» Sed hoc etiam nide, potcntiuscft quim fit in qua drato linea: repraefentadae ifto numero talis linea com* menfurabilis eft longiori mediali in longitudine : fcilicct J\%6 8CJtfi96 commenfurabiles funt utroqj modo commenfurabiU tat is. Ideo »/$#96 —■/*&*■ 4,eft fub fpecie priore refiduorum b U medialium fecundorum» Aliud exemplum,quod fit fub pofteriore fpecie refiduorum bimedialium fecundorum , in quo portio longior fit potentior quim altera illa qua: (ubtrahebatur ,in quadrato linea: incora- menfurabilis ipfi longiori (i qua fiebat iubtradtio) in longitu* gine : fcilicet Jn 1 08 di /fcH8,funt numeri mediales reprarien cantes lineas,quales deferibit propofitio h arc.com i 08 diui fus per »/^4S faciat s/% i?,8£ alter multiplicatus per alterum fa ciat s/frz. Ideo fi alter ab altero detrahatur, remanebit refiduu bimediale fecundum ,uidelicet i o 8 — ^48, Propofitio capitis huius fecunda, qua: apud Campanum eft 76. naulia linea rcfibuomebiali fecunbo comuneji poteftvt fub termino earum fiant, nift tantum ea, quar ab ea ante fc* parata erat. Vt pofito hoc refiduo b/mediali fecundo 108 — 48» folumodo hoc mediale ^48 ei coiungi poteft,ut flat 10S: atq$ ita poft illam coniundioncm, hoc quodeoniungebatur, dC liocquod ex coniuncfiione fiebat, fiant fub termino earum, qua: ante feparationem extabant . Ante ieparationem autem ponebantur 08, tanquam illud i quo fienda eftetfubtta- (ftio : 6i «/^48,tanquam illud quod eflet fubrrahendum. Propofitio capitisliuiustertia, quae apud Campanum cft8S. r Si linea rationali in longitubine refibuo*# tertio conti* «eatur, erit linea fuper tam poteue refibuu mcbiale fcciibum» Hoc % i Arithmeticae Liber %j, 19$ Hoc eft, lineae rcfiduales bimediales fecunda; etia alio modo fnueniuntur, praeter fepara tfonem medialis i mediali. Scilicet, pofita fupcrficierefidualibinomiali terria,quarro radicem qua aratam deeo,& karcerit neceflario refidufi bimediale fecundo, Vt radix quadrata de A 1 9 z — A 1 8 o,facit/*fc7j- — Ai* 7* Sic 0 fuperficies contineatur fub linea rationali faciente z,& refiduo binomiali tertio faciente «/$48 — A 4J» quaero medio proportionale inter latera illa, &erit illud linea potens fuper illam faperficiem contentam : fcilicet x in /^48 — A$$ multi* plicata.faciut A ' 9 * — A 1 80. Cuius radix quadrata, cfUinea illa potens infuperficiem iftam,ut u id imus, Propofitio capitis huius ultima,quar apud Camp.cft 514. V 0i fujpcrpciee equalie qua&jrdto reftfcui mcfcialie fecfifcf applicata fuerit at lineam in longitutine rationalem, altetii latue eiue erit reffruum tertium» Si, inquit, fuperficies aequali* quadra toreftdui bimedialis fe- cundi, applicata fuerit ad lineam in longitudine jrationalem; Hoc eft,potemia linea; refidualis bimedialis fecunda;, tali* eft fuperficies,quac diuifa per numerum rationalem, faciat nume- rum refidualembinomialem tertiam.Vt A%x7fn fe, facit A 19 x — A' 80 • haec diuifa per ijacitA+S — Ji+s* Item Ai 108 — Ai48 in Ce, facit A3 00 — %/fc»88,haecdiuifa per *, facit A7Si — %/&7*je(iduum binomiale tertium. De lineis minoribus. Caput xxvr, ■ x numeris repraefentantibus lineasmaiores,fa<« cile fiunt numeri repratfentantes lineas minores» Scilicethocfitjfidcleto figno additorum reperto, ponas loco eius fignum fub tr artorum ♦ Vt ex A * * -i- A 1 * » reprar fentante lineam maiorem, fit A* 6 — A 1 x,rcpraefentans lineam minorem, cc tij Lineae Arithmeticae Liber ii. 104 «ufus radix qdrata feu latus tctragonku facit v/*Vfcj 34 1 6, quod eft linea componens mediale cum rationali» Propolitio capitis huius feptima,qux apud Campanum eftioj-, rSifaperficiee mebialie be fuperfTcie mebiali fcetraba- tur.fuerintqp fuperficiee incommenfurabilee.linea poteria in relicta fuperficiem.altcrutra erit Suarum irrotialium Itnea^, «ut refiDuii mebialefetSm,aut coponene mebiale cu mebiali. Ratio eft: quia talis fuperflci?s,aut eft relidualis binomialis tertia ,aut relidualis binomialis fexta. Si luperficies illa fuerit relidualis binomialis tertia, tuc linea potens in ® .erit reliduum bimediale fecundum. Vt 1? $ 0 fe cerit 13 fecerit 84., fubtrahaturc^ 13 def (15, re# manet 0 radiccm.£aciensV&% 192 — VfcH8,qux eft reliduum bimediale fecundum . Si uero fuperficies illa fuerit relidualis binomialis fexta.tunc linea potens in 0 erit compones mediale cum mediali. Vt IT J (5 fecerit A 1 9 i3 fecerit /* 1 x8,fubtrahafq} Vi de$ 0 , tunc remanet 0 radice fua faciens 192—,/% \ z8,qux eft componens mediale cum mediali. Propolitio ca pitis huius ocftaua.qux apud Campanum eft 67. ^(Ttim poftta fuerit linea binortiialia,ceterei$ irrationale» fequentes eam, non erit earum aliqua fub termino altenu». Vt, Linea binomialis,? 21. Bimedialisprima,y%% 8 Bimedialis fecunda, 1 8 8. Linea maior, 6 -f-V* 1 2. Potens mediale & rationale, * ♦ Potens duo medialia, 1 i-f-Jtf. Relidualis binomialis, ? — 1 1, Relidualis bimedialis prima, 8 — J&i* Relidualis bimedialis fecunda, 1 8 — 8, Linea * V - Michaelis Stifelii Unca m inor, %/%. 6 — ix. Componens mediale cum rarional/y /%8— *• Componens mediale cum med/afiVfc 8 — J%6. Nulla harum linearum poteft eflfe fub ipeciealtcriusillarum. Sententia eigo propofitionis huius eft : Species irrationalium linearum eflfe impermixtas. Propofitio capitis huius ultima, quae & apud Campanum eft ultima* FiTu m poffibilc fit feriem linearum irrationalia in infini tum prohuci,non eft poffibile diam earum conuenire in ter* mino et orhine cum ea que prccefTerit. Sententia eft,efle prarter prardidas fpecies, alias fpecies m# numerabiles linearum irrationarium.quar non poflint permi* fceri aut confundi : fed ita contra fe efle diftindas, ut quatlibcf fuas proprias lineas fub fe contineat.De qua re didum eft ca- pite libri huius fextodecimo. De propofitionibus quibufdam in decima Euclidis defideratis* Cap* xxx* e epflogum Euclidis adijciendas cenieo propo- ^AMyl (itiones quatuor defideratas in decimo, ut quaru obmiflione (Int ncgledac odo fubfpecies Iinearu ^ irrationaliumiuidelicetduaefubfpeciepotetium i mediale et rationale,item du* fub fpecie potentia duo medialia , deinde duae fub fpecie componentium mediale cum rationa!i,item duae fub fpecie componetium mediale cum mediali.lllas igitur propofitiones oportet me hoc loco ponere, ot notiores fiant paulifper fpecies illa: 4 ab Euclide obmilTae. Propofitio capitis huius prima. riDuao lineae iuuenire potentia incommenfurabilee.fn* perfictemtE rationalem continente#, quarum quabrata par» ter Arithmeticae Liber i r. 2qnaruni'cp longior pofitt boo mebiatia. Hacpropofitionc fignificantur partes compofitionis.linea rum fecundae fpeciei potentium mediale & rationale. Modus autem inuentionis fubfpcciei illius, qui nunquam fallatjtali figura repraefentatur. B ^ " — * Redpe quadratum collae rationalis in longitudine, confli* ute'cp redangulum altera parte longius,quod contineatur fub duabus Hneis: quarum una fit colla recepti quadrati , & altera fit diameter eiufdem quadrati.Deindecoftituealiud ouadran gulum altera parte longius, quod contineatur fub colla qua- drati recepti, & fub diagonali prioris quadranguli redanguli. Et fi ex duobus quadrangulis illis retfangulis, fiat unum qua# dran gulum redfangulum, tunc linea potens in totam iuperfl- ciem compofitam ,crit portio maior inuenronis illius quam req uirit propofitio haec fecunda capitis huius. ^ t f -.r- Arithmeticas Liber ii. a Vella BCcofla quadrati a BBC) factat S.facietBC diameter • eius y*. 28 cuUquatur bp.EH ergo quadrangulum abfD' quadrangulum altera parte long us primum, ex inueniendit tentum Eub AB& b g feu a h .conftituit quadra nguia rertsn gulum fecundo loco inueniendu, quod ell a h g b Compofa igiturquadrangula illa duo lm.&l M.vconftituut qu?dra“ gulum L M N O.Vndc linea potes in fuperffciero L m n o hoc eft.medlumjjportionale inter a b&a l.facft/i.AiarSfi-I- /48 192: facit enim AH /4191,81 H ifecit/jYrS feli cJZ - A D aequalis H t ). Et quia DHeft differentia inter ah& ™ quemadmodum luperficies n ell differentia inter l h n a- » fupetffcies.ideo D H (ad,/* .92-/4,28: &medlump^ tionale Inter 1 D & D H,eft linea potens in luperficiem « Vnde cum fuperffcies N faciat/*. 2288 -/43 facit linea po"£ in eam*/%.y%i2z88 — J%St9u V L^igitAViliz88-i-A8i9z,&AVii2288-ASi02 funt tales,quales requirit propofitio haecfecunda. ConftiwaJ enim potentem rationale & mediale.cum tame maior port“o. num Iit componens duo medialia . Hanc autem lineam com! ponunt duar portiones inucntac,y^V% 49 lyi-u 1 23 De duabus alrjs fubfpcc/ebus pertinentibus ad duas ^pofftfones capitis huius fuperiores. ^SSU^m3im^Urm^Utem fpedes Plentium rationale 8 mediale duas habet fubfpecies,«ra fpedes componentium me d«ale cum rationali duas habet fubfpecies nafcctes ex d”buS • fuperionbus fubfpeciebus,per fubtradionem portionis mino! ris i portione maiore.ut notum eft. no* Vc fi fub trahatur »©480 — d4 , de hac portione * 048 0 -h 64 , tunc relinquitur ,920—^6 qaa. eit prima componens mediale cum rationali. Sicfifubtrahat 4. A» «88— 4 8 »5> Z,de i Zi83-t- A 8 1 9 Mune relin - ^ ‘j quitu* Michaelis Stifeli t qtifcurv/%.y%49 1 j- z — 1 1 8. quae eft linea fecunda componens mediale cum rationali. Facile iameftuidere,ut fecundum ifta praedida formandae fint propofitfones quatuor, dc conftiiutione qua tuor fpecierd praedidarum,quas breuitatis gratia hicobmili. Propofitio capitis huius tertia. FIDuae linea© tnuentre, potentia incommcnfurabilee.fu* pe ffrieroepmebialemconttncntee^uarum quabrata pari# ter accepta /tnt mcbiale.iucommenj urabile buplo fupcrficict vniue in altcrant,ct quarum longior poffit buo mcbialia. Hac (ppofitione defcribuntur lineae feu portiones,conltitu* entes additione fui * lineas primas potentes duo medialia* Sicut enim lineae potentes mediale 6C rationale fubdiuidutur in primas & fecundas, ut didum eft luperius, fic etiam potetu tesduo medialia fubdiuiduntur in primas fecundas. Sunt igitur primae potentes duo medialia,quac refoluuntur induas lincasquarum longior fit potens duo medialia, &brc uior fit componens mediale cum mediali. Huius uero ipeciei portionesfic inucniuntur. Recipe qua# dratum coftae quae fit linea Medialis, &! conftitue quadrangulfl lredangulum altera parte longius.quodfub duabus lineis con tineatur, quarum una fit cofta quadrati illius recepti , & altera T Arithmeticas Liber it. 207 * fit diameter eiusdem quadrati, & tali quadrangulo iunge qua- dratum receptum, ut ex utjoqj fiat unum quadrangulum, Ucut hic uides exemplum eorum. Obferua a c e d (i. 0 fa)efle quadrangulum contentum fub cofta quadrati 3> arcp fub diametro eius, fcilicet di, diame ter eft aequalis lineae D e. Et (3 eft aequale quadrato J&Ct Sit igitur a D in longitudine iua Juti, tunc D 1 ieu a C faci et fua longitudine A& 14, di c b faciet etiam Atcp ita fu perficies © fr, faciet 1 z, Si fuperficies faciet <5. Etfic linea potens in totam fuperficiem illam coropofitam.i. medio proportionale inter a d& a b, erit linea logior inter duas illas quas requiritppofitio haec, Sii breuior erit mediu proportionale inter icS^ c £. Medium autem ^portionale inter ad ab facit /fc./fcir — f— • Et medium proportionale inter 1 c & C e, facit 1 z — A6. Et illae duae lineae cohftituunt fui additione direrta /%. 49 -f— 24, quae eft linea potens duo medialia priorisfpcciei, ut patet ex partibus componentibus ipfam, Propofitio capitis huius quarta. flDuae lineae inuentrc.pocenttA incontmcnfurabtlee/n- perfirienfcg nicbtalent conrincntee.quaruquabrata pariter accepta fint mebiale.incomenfurabilebuplo fuperficiet con* tete (ub ambab$>,ct quaru locitor poflit rationale et mcbiale. Haec eft ultima ,ppofitio capitis huius, quae docet inuenire partes duas conftitucntes linea fecunda potente duo medialia. Eft aurem linea fecunda potes duo medialia,taIis,Vt reioU uatur in duas lineas alias, quarum longior fit potens rationale & mediale, 8i breuior fit componens mediale cum rationali. Sic uero inucniuntur partes illae. Recipe quadratu coftae ra tionalis in longitudine,& conft/tue quadrangulum reiftangu jum altera parte longius,quod fub duabus lineis contineatur, , ff iq quarum MlCHAELlS STIFELM' quarum una fit cofta quadrati recepti,& altera fit dupla a 6 di* ametrum quadrati eiufdem, & tali quadragulo iunge quadra# tum receptum,ut ex utro fiat unum quadrangulum, ficut hic uides in exemplo* Sit Igitur A f ut tf,tunc a b fodet 288,61 BC» fodet 6, 8t GB fodet %/&z88 — ^quemadmodum ac fodt */$ 288 Medium ergo ^pportionale Inter at di a c fodet 10368 -f- 3 Et medium .pportionale inter gb&be fodet /3 * 0 3 — 3 6. Et illa duo media proportionalia lunt exemplfi propofitionis ultimae capitis huius.Componuntcnim lineam potentem duo medialia fecundae ipedd.uidelicet hanc, 4 1 47*-h'/%}6*88. De duabus fubfpedebus linearum compo- nentium mediale cum mediali* FSi ponantur duae lineae refpondenres propofitioni capitis huius tertiae,fubtrafiatur'cg breuior de logiore, remanebit linea componens mediale cum mediali fpeciei prioris* Etfl ponatur duae lineae refpodentes ^pofitioni capitis huius quartae, fubtra • haturcp breuior de longiore, remanebit linea componens me- diale cum mediali porter ior/s fpedd. Exemplum prioris*. Vt ,/*V% 1 z — 1 z-f- y&d, relinquit 8 — J\ 24, Exemplum pofterioris, Vt — 3 6. de 103 68 -f- 36. relinquit/*Vfc4»47* — 62888*, De re# Akithmbtkae Libbb. ii; 208 De refolutione Ignearum irrationalium in lineat rationales. Caput xxxi, Ineac irrationales multar, funt reiofutae in lineas n tionales i Ptolemaeo in AImagefto,ubi fcicntia nuum.feu chordaru & arcuum trartat.ut libro pri mo capitenonofecit.Non quidem pr?ed(e (quod ipie ibidem fatetur )necp adeo propinque,ut pro# pinquiusadprarcifionemnemo poftit accedere, cum utrunqp iit impofsibile/ed ut pro fuo inftiruto opere fufbcerc uidit,uc videbimus* Propofir/o capitis huius,ex lib. 1 .cap.9. Alma, .• Ptolemari fumpta • riData drculi biametro, latera becagom,beragoni,penta 0oni,tetragoni,octagoni, arq$ trigoni, tfopleurotum, cibent (irculo inferiptomm j-eperire. THanc propolitionem Ioannis de monte regio, pro nego# flo praKent/ comodifsimam,uideamus per exemplu,quod ipfit quocp 1 Michaelis Stifelii quocp juxta Ptolemaum tradat. In qua tradatione noftrunr erit, obferuare,qua ratione il!/, ex irrationalibus numeris Unc- arum, fecerint numeros rationales. Primo polito femldrculo fuper diametro A B,facfente par- tesClnter fe aequales) i zo .erigitur orthogonalls , i medio pun* do diametri,uldelicet c D,quae Hnea,cum fit femidiameter cir- culi,aequabitur lateri fiexagoni.circulo infer ibendi. Et cum a C & C D intercipiant quadrarem circuli, ncceffeeft a d efle latus tetragoni circulo infcribendi,atcg a H,item H D ede latus oda goni inferibendi eidem circulo* Secundo orthogonalis trada i medio pundo femidiametrf CB.i.E F, cum abfeindat parte quarta diametri, ncceflarfo cft dimidia pars lateris trigoni (ubicp fubintellige, ipfo pleuri,feu aequilateri)quare linea A Ferit latus trigoni circulo inicribedi* Tertio recipitur menfura inter punda E D,quae lignatur dc pundo E uerfus a. Et Ut E G, aequalis trahendae E D. Itaqj Ii* nea g D, aequabitur lateri petagonicircoloinfcribendi.Et GC aequabitur lateri decagoni circulo inferibendi, ut docet «ppoG* tio decima .tertijdecimi Euclidis* , Cum igitur femidiameter faciat «So.i.Iatus hexagoni aequtla teri drculo infcribendi/acit latus trigoni aequilateri,*/* 10800» Et latus tetragoni, 7x00, . Latus uero pentagoni, 9000 — itfzooooo* Etlatusodagoni,y%7zoo — y^zj-^zoooo* Et latus decagoni, ^45-00 — jo. .Harum linearum numeros Ungulos refoluit Ptolemaeus in fiio imageftojin rationales. Qui & G regula refolutionis no ponat^amen ex re ipfa facile erat illam reperire. Regula refolutionisnumerorum irrationalium, in numeros rationaIes,qu5 Ptolemaeum ufum ftiiflc uidemus* T fEjrtraberabicce quas flgna rabicafm fignat effe extra* tjeJ>rte,cr refibuu multiplica per € o, p:obiKtum't pofl i)iai(ionem fub* trahae quotientem irefibuo remanente. Rationem regulae huius facile oftendere pofTum in nume* ris rationalibus. Vc (It extrahenda radix quadrata de 144. Volo recipere pro radice .. . "3? — : — ; — — Si Z* z ? -9 : numeri illius 9, quae in fe multiplicata facit 8 i.Sub» traho igitur 8 1 de 1 44, tuc remanet 6].Diuido igitur 6) per duplum radicisin* uentse.id eft per 1 8 , facit 3 addenda radici (ut uidesVn pidura figurae rationem horum omnium) reflat igl tur ut 3 in fe multiplicata etiam fubtrahas i refiduo, . ut ad figura tranfea t eam'q$ fuppleat. V ideamus nunc exempla Ptolemaei. Exemplum primum de latere trigoni. ^ Linea figurae fuperioris a D,id eft latus trigoni aequilaterl circulo infcribendi,facit praecifc 1 oSoo.Hunc numerum i** rationalem fic refoluo in rationalem . Primo extraho radicem quadratam de 1 08 oo,facit 10 3, & remanent 191, quae ifcuiti- plico per 6ot & fiunt 1 i4<>o,quae diuido per zo 6 (cum illenuttie rus fit duplus ad ( 1 0 ?}radicem inuentam, fiunt yy minuffclij* tcgra enim illa refidaa quae fuerant multiplicata per 6id eft yy minu.Fadunt autem yy min. in fe multiplicata, 30 2y fecunda, quae fubtrahe i 130 minuris, id eft i 7800 fecundis,tunc remanent 477y fecunda.Ea diuide per zo 6 diuiforem priorem, tunc inuenies z 3 fecunda 8C c. gg Itaqp Michablis Stifelii , linteg.min, r.l Itaft hunc numerum 1 103. 5-5*. 23.I inucnies i Ptolemaror. pomum pro chorda arcus 120 graduum, in cap.nono Iib. i,& in tabula arcuum & chordarum. Eft autem arcua graduu uo)4 tertia pars circumferentiaecirculi. Exemplum fecundum de latere tetragoni, Latus tetragoni .id eft linea a d, facit prarcife %/fc7 100. cuius radix facit 84,$! remanent i44.MuItiplicata 144 per 60, faci* unt 8 640, quae diuifa per duplum radicis,id cft per 1 68, facit 7 1 minuta. Qua: in fe multiplicata, faciunt 260 1 fecunda : quae fubtra• Et iftum ponit Ptolemaeus pro chorda fobtenfa a reni 43- gra* duum circumferendae. Sunt enim 45- gradus odaua pars dr« cumferentiae. Exemplum Ptolemaei qufntum,de latere deca« goni circulo inferibendi. FLatus decagoni circulo infcribendiC id eft, linea figurae datae g c) facit prarciie%/fc45*oo — 30. Quaero igitur primo ra« dicem quadratam de 450 0 , qua inoenta, fubtraho ab ea 3 0, & gg i j reliquum Michaelis Stifelii reliquum erit numerus ratfonalis,quem Ptolemaeus ponit pro latere decagonl Irrationali. Scilicet radix quadrati maximi, contenti fub 45-00, facit ^.Remanent autem 1 i.quaerefoluta in minuta, faciunt 660, Diulfa uero per duplum radicis inuen tae (id eft,per 1 34) fiunt 4 min.SC remanent 1 14, quae refoluun tur in fecunda 7440, a quibus fubtrahuntur 1 6 fecunda proue nientia ex multiplicatione^, min. in fe. Remanent ergo 74x4 diuidenda per 1 34,proueniunt'<$ j ■ j- fecunda, Atcp ita facit ra- dix ex4yoo. 67,4, ST* Subtrahe tandem 30 integra de radice illa.tunc manet numerus Ptolemaei pofituspro chorda fub* tenfa 3 6 gradibus circumferentiae circuli : qui facit integra minuta fecunda 37. 4* ST* Etficdealijs. Vt fi refoluendus fit ifte numerus irrariona tis ,/$45-00 -f— 3 0 .facile fcies ipfum refolui in hunc numerum rationalem, integra minuta fecunda 97* 4* ST* Tot Igitur exempla pro uarlctate numerorum irratfonalift refoluendorum fufncientJedlori ftudiofo. De numeris irrationalibus contradis ad corpora». Caput X X x 1 r. quod elt ultimum libri huius iecundi,continensomnia illa quae & 1 3 Euclidis & <4 docent. X capite praecedenti bene animaduertet prudens ledor.ut lineae & numeri irrationales, accommo dari debeant ad res aftronomicas.Vtdam Ptole mxus in fequetibus docet, ex data alicuius arcus chorda, chordam reliqui arcus ipfius femicircul/, Inuenire, id quod facile fit ex confideratione penultima primi Euclidis,8CaIiarum quarundam paucaru, ponifqppro exem* pio latus decagoni aequilateri circulo infcribed/,lineam'q^ fub* tenfami Arithmeticas Liber tr# em tcnfam uni angulorum pentagoni eidem circulo infcribendi, qualium linearum ufus in libro tertio decimo, item in quarto decimo (fi tamen ille eft Euclidis) admodum frequens eft: non obfcure (Jgniffcareuoluit, quantam occafionem rerum aftro* nomfcarum 5. fe inuentarum , praebuerint fibi propofitione» Eudidis.de lineis corporibus irronalium numeroit «criptae» Propofitio capitis huiusex 1 3 Euclidis fumpta. rzattra quincg corporum regularium inucnire, per bia* metrum Ipbcrar circumfcriprtbilie fingulis illis corporibus. Sunt aut quinq; corpora regularia illa :Tetrahedrum,id eft coipus quatuor bafium, Hexahedrum ,id cft.corpus fex bafiu, Odahedrunyd eft.corpus odo bafium, Dodecahedru id eft, corpus duodecim bafium , 8C Icofahedru, id cft.corpus uiginti bafium.corpora uidelicetarqualibus fuperfidebus teda. Et ab hac aequalitate fuperffcicR' fcu bafiu uocant corpora regularia. Kgurationes uero horum corporum ftudiofus Ledorui* derc poteft in Geometria Alberti Dureri Nonbcrgenfispido rum qui noftra aetate floruerunt arnffciofiflimi,ibi pulchre fuit proprtjs delineationibus oflenduntur : Qadco hic omittuntur. Habet autem tctrahcdrumquatuorfuperficiesfeubafes trl angulares aequalium laterum.Cuius figuram pulchre tibi mon itrabit chartula figura: huiufmodi,exdft&compIicarafecuii- dum lineolas fuas. Odohedrum habet odo fuperficies triangulares zequaHff laterum.Cuius figuram tibi cognita faciet charra fimili modo figurata a complicata.uti apud Durerium pater» Icofahedrum habet fuperffdes triangulares aequalium lato* rum uiginti: cuius figurae delineatio pa tet apud eundem auto» rem atqj fi talem chartam figurauerisrexcifam'qu complicaue» ris,ffguram icofahedri tibi monftrabit. Hexahedrum habet fex fupfides quadratas.aimfitcubu». Cuius figuram tibi dabit talis charta, fi item complicetur. Sequitur tandem dodccahedrum,habens fuperficies pen ta« 88 ilj gonalcAi Michabli* Stifbiii gonales duodecim atquilateras : cuius figurae copiam faciet tibi idem autor iam fupradidus. Quod autem plures fpecies aliae corporum regu larium non One dabiles.fic dccnonftratur. Primo. Certum eft , quod ad conftitutionem anguli folidi, pauciorestribus angulis fuperficialibus ,non pofTmt concur- rere : fictu ad conflitutionem fuperficici redilineae , pauciores tribus redis lineis, non concurrunr. Secundo.Ccrtum eft di hoc,quod anguli fuperficiales, (oli* dum angulum conflituentes, fi pariter accipiantur, feu addan tur, minores Cint qua tuor angulis redis ncceflario. Tertio. Certum etiam cfHiiperficies aequiangulas inter (e aequales (olummodo confliruere corpus regulare, PraemifTis iam ijs,uide quae fequantur. De trigonisaequiangulis. V Cum unus angulus trianguli arquianguli faciat duas fer* tias unius redi, faciunt tres anguli tales.duos redos. Poliunt igitur tres anguli tales conilituereangulam (olidum, conditu* unt'qi talem, quales requirit tetrahedrum , id eft, corpus qua- tuor bafium. Item quatuor anguli fuperficiales tales, faciunt duos angu* los redos cum duabas tertrjs unius redi, Poflfunt igitur talium quatuor, conftiruere angulo folidum,cum non attingant quan tiratem quatuor angulorum redorum , conftituuntcg talem, quales requirit odohedrum,id eft , corpus odo bafium. Item tales anguli quinc^iuperflciales,conftiruunt angulfi folidum,cum ualeant tribtjs redis di una tertia redi, ut ne illi quidem attingant quantita tem quatuor redorum.Et tales (eu tantos angulos requirit Icofahc drum , id eft , corpus uiginti bafium. Sex autem anguli iuperfic(ales,quales (eu quantos fac(t tri angulus arquiaogulus.taciut prarcilc quatuor angulos redos, ideo irapoflibile eft, tot pofle angulorum talium concurrere ad Arithmeticae Liber -ii; m ad confhtutionem anguli folidi : multo minus poflunt plure» talium, confli tuere angulu folidum. Relinquitur igitur demon ftratum.quod fub iuperficiebus triangularibus non pofiit.regj corpus regulare, aliud, i fpeciebus tribus prardidis : fcilicet corpus regulare redum fuperficirbus triangularibus , aut erit corpus quatuor, aut odo.aut uiginti bafium. De quadrangulo atquiangulo Qi arquili tero* V Cum angulus unus quadrati fit redus,fac/unt tres anguB eius,tres redos,atqj ita quantitatem quatuor redorum angu- lorum non attingur,ideo'cfc tres anguli fuperficiales huiufmodi conftituunt angulum iolidum redum.qualcs ieu quatos requfe rit hexahedrum.i.corpus lex bafium,(eu cubus* Quatuor aut anguli redi,aut pIureQbn poflunt coftituere angulum Iblidum.ideo impoflibileeft.ut iuperficiebus quadra tis pluribus quatuor ,paucioribus'uc, tegi pofcit corpus ali* quod regulare* De pentagono arquiangufo. r Cum uero angulus unus pentagoni arquiangufifcciatre* dum, cum parte cius quinta .faciut tres anguli tales, tres redo» cum tribus quintis unius redf.Et cum illi quatitatem quatuor angulorum non attingant, mirum non eft q> tres anguli tales conftituat angulum folidum. Conftituunt aut talem folidum, quales aut quantos requirit dodccahedru.i.corpus i z bafium. Quatuor uero anguli pentagoni/aciut quatuor redos cum quatuor quintis unius redi. ideo impoflibile eft ut quatuor an guli fales,aut plures.poflint conftituere angulu folidum.Itam impoflibile eft,ut ex pentagonis pluribus duodecim paucio ribus'ue,poflit tegi corpus aliquod regulare prxeife. * De hexagonis a reliquis polygontjs arquiangulis. V Angulus hexagoni arqanguli unus,facir redu cum parte tertia unius redi : iraq? tres anguli tales faciut qua tuor redos . prafdfc.Itaqj ex h exagoni arquianguli angulis.impoflibile eft «oftitui angulu foIidu;muItominus poteft coftitui angulus fo/i v . .. . due* Primo. Polito (emicirculo diametri a b fidentis i to,eriga* tur femidiameter ec,& erit a C latus odahedri infcribendi fpharrar axis a b. Patet hoc ex ^pofitione i y terti] decimi, quae dicit proportionem axis fphaerae circumfcribentisodahedrura habere proportionem potentialiter duplamCid eft, duplae dimi diacam) ad latus unuroipfius odahedri; fcilicet quadratum axis Michaelis Stifblii dus ex angulis aliquot polygoniae alicuius fequetium,c5 tafiS polygoniarum anguli tres, lemper excedant quantitatem qua tuor redorum . Itacp impoftibile eft corpus aliquod regulare tegi hexagonis aut heptagonis &c. Patet ex his fufficientia fpccierum regularium corporum plene demonftrat*. Quibus uifis ad propofttionem capitis hu ius reuertatnur.quae requirit laterum inuentionem cornorum Arithmeticab Liber ii. ijj axis facit »44oo,& quadratum lineae ac facit 7*00. Diuifum autem unum per alterum , facit quotientem reprarfentantem duplam proportionem, ut fatis notum eft.Sccudo parer etiam ad fenium , fi infpicias corpus ipfum oAahedri : uidcbis enim mox ut latus tale coincidat cum latere quadrati infcribendi circulo illi,cuius diameter eft axis fphatrae illius. Secundo, erige orthogonalcm G D, ira ut G b fit pars tertia ipfius diametri a b :& trahe ita ad&d b, Sierit A D latus tetrahedri ,&db erit latus hexahedri feu cubi fphaerar inferi- bendi.Primum paret expropofitiorlt 1 3 terttjdecimi Euclidis, quae dicit axim fpharrae circumicribentis tetrahedrum ( id eft, diametrum ab) habere proportionem fefquialterx dimidia# cam,feu(ut textus loquitur) fefquialteram potent/aliter. Cum autem G d fit medium proportionale inter a g faciente 8o,&g B faciente 40, faciet gd,/* 3 loo.Itacp per penultimam primi,faciet a d Jty 600 :Si (per eandem) faciet d b»/&48oo# Videiam an 14400 habeat proportionem fefquialteram ad 9600. Secudum patet ex 1 4 tertijdecimi.quae docet axim fpliae rac circumicribetis cubum,ad latus cubi (eu hexahedri,habere proportionem potentialiter triplam.Vt 1 4400 ad 4800, facit triplam proportionem. Tertio, ereda orthogonali B I adacqualitatcm diametri a B, trahe b i , 6C fic trahitor f h orthogonalis 3 pun&o ubi E 1 in* terfecat circumferentiam, & erit F B latus icoiahedri faciens ^,7200 — «/&10368000 .Ethoc eft quod dicit propofitio 1 6 tertijdccimf,qudd latus tale necefiario fit linea minor, fi uideli cet axis fphkrae circumfcribetis icofahedrum fic linea ronalis. Sic autem inuenitur numerus lateris huius. Cum e b faciat 60, Qd b i. i 20, faciet e 1 ^ 1 8000. Facit aute E F 60, cu fit femidiamef circuli, Vnde regula de tri hic utor fic: E 1 dat 1B, quantum dat E F, facit F H. Hoc eft, 1 8000, 1 20/60. facit y*288o,&: tantum facit f h .Cuius dU midium eft e h, ficut dimidiam ipfius 1 b eft e b . Et quia e b hh facit * ' . Michaelis Stiteui fecft facit 7zo, ideo H B facit 60 — J^yxo. Cuius quadratum, additum quadrato ipfius F H, facit quadratum ipfius F B. Quarto. Si D B diuidatur fecundum proportionem haben- tem media & duo extrema, tunc maior portio diuifionis illius erit latus dodecahedri infcripti fphcrrat, cuius axis (it aequalis diametro a B.Cum autem D B(id e(t,la tus hexahedri feu cubi) faciat 4800 C axi fpharrar faciente 1 20) faciet maior portio diuifionis illius A 6000 — «/$izoo,ideft o B.Ethoceftquod dicit 17 tertijdecimi,latusdodecahedrf e(Te lineam rcftdualem-» uidelicet axi fpharrae.cui infcnbitur.exiflente linea rationali. Item ex latere icofahedri. i. ex linea f b, fuperioris figurae, fi latus t< igoni fiat , & circumfcribatur circulus eidem trigono# at eft K l huius figurae (equentis , latus uidelicet icofahedri in» fciibendi fp baeraeaxis A B (fuperioris figurae) facientis 1 20« X • p Et K H latus pen tagoni^erit b tus dodecahedri, Et m n (Id eft, j. 1 “ • linea. / Arithmeticae Liber ii. 214 linea fubtcndens angulum pentagoni) erit latus bexahedri (ea cubi. Et M PCideft, diameter quadrati lincar m N) erit latus tc- Crahedri.Et o Q.(id eft, cathetus trianguli lateris M P) erit la- tus ocftohedri.Corpora illa omnia uni dC eidem fphaerae inferi* buntur, cuius axis eft A B fuperioris figurae, facit'cp 1 20. Haec funt fere omnia quae docent tertius dedmus Euclidis,& quar« cusdecimus. Numeri figurae proximae fuperioris. Latus icofahcdri KL,y%.72oo — ^10368000, .• Diameter K R, facit y^,p6oo — y%i84320oo, Latus dodecahedri K M,y% 6000 — »oo. . > c .» Latus hexahedri MN,facit»/% 4800. — >.j Latus tetrahedri facity^6oo,&eft MP. Latus otfiahedri o Q. facit ^7200, T Similiafere docet propofitio nona quartidecimL IDiuifa, inquit , qualibet linea fecunbum proportionem ha* bentent mcbium et boo errrema (ut eft a b fequentis figurae» faciens «/%. 2400 — f — %/% > 1 j-2ooo,diuifa in a C facientem V%.x4oo-v/*i 1 y2ooo,&CB faciente y%.48oo — ^18432000) erit proportio linee potentis fupra totam, eius'cp portionem maiorem ( ut eft linea D a faciens 7*48 00, quam uides polle quadratum aequale quadratis linearum D C, leu a B totius, QC a c portionis maioris)ab l ineam potentem fupra totam eiuf- bemcp portionem minorem (ut eft linea d b Fadens7*. }ioo — y% 10 3£8ooo,quamuidespofte quadrata linearum DC (eu a b totiusA c b portionis minoris) tanquam proportio late* riecubiablatos icofabebri. Hoc eft, fi da fiierit latus hexa* hedri ieu cubi, erit proculdubio D B latus icofahedri inferibedi eidem fphaerar,cui inferibitur cubus lateris d a . Si autem D B facit — y% 1 o 3 68ooo,tunc fadet axis fphaerae circum- «fcribentis corpora illa 1 a o, ut iam oftenditur. w> «i y* 1 < . ► Michablis Stitelii Vt autem haec figur a prae* beat exemplum fere finga lis propofitionibus tertii- decimi Euclidis ataj quar- ti dedmi , prudens Ledor bene intelliget.Ec ut res ed magis innotelcat» uolo ego eidem figurae infcnbe* re omnia latera propofitio nis, & capitis pratfentis QC praecedentis*. Eft autem a b diuifa fearndum proportionem habentem me- dium & duo extrema in pundo c, item H g in pundo b. Primo*. Arithmeticab Liber ii. 11$ > rPrimo* Si-fuerit circulus, cuius diameter fit AC, erit /pia a e latus hexagoni circulo illi inferibendi. Et o b Ciuxta quinta terttjdedmi) erit larus trigoni circulo illi infcribendi.Teftatur idem quinta quartidccimi. Et a F erit latus tetragoni eidem circulo inferibendi ( cum a C fit femidiameter,item C B ) ut a C F in circulo tali faciant quadrantem circuli. Et b f erit latus pentagoni eidem circulo infcribendf,iuxtt decimam tertqdccimi. Et c b erit lacus decagoni eide circulo inferibendirut habet ptopoOtio 9 tertqdecimi,& teftatur idem io tertijdedmi. Et o A fcu a Gfunt enim aequales duae illae)ericlinea fubten' dens angulum pentagoni, eidem circulo inferipti. rSecundo.Sifueritfphaera.cuiinfcribitur linea B F,tan£p latus dodecahedri, inferibetur eidem fphaerae linea B D tanqufc latus icofahedri. Et D a feu a g inferibetur eidem tanquam latus hexahedri/eu cubi. Et D G C quae eft diameter quadrati D a) inferibetur eidem fphaerae tanquam latus tetrabedri. , Et i G ) quae eft cathetus orchogontj trianguli D i g ) inferibe* tur eidem fphaerae,tanquam latus cxftabedrf. De fuperficiebus corporum regularium. DE fuperficiebus corporum regularium funt propofitio* nesquartidccimi,fcxta,feptima,fii odaua dic.quas pau- cis abfoluam,abfoluta ia m tratffatione linearum feu laterum eorum corporum.Cognitis enim lateribus.facile erit quantita tes bafium feu fuperftderum inuenire. Nam latus cubi (feu he xahedri inferibendi fphaerae) in ie multiplicatum quadrate .fa- cit aream unius fupeificiei.quarum fex funt in uno cubo. Sunt haec notiflima. rin dodccahedro funt duodecim bafes pentagonales aequi* angulae inter fe aequales ,ut fatis ditfhim eft fuperius. Si aurem linea durfta i centro pentagoni ad medium unius larerum,fue* sit multiplicatu in dimidiu ambitus pentagoni eiufdenyd cft, hh< iij i» eu MiCHaELIS STlFBLlt in latera i£ , tunc producitur area pentagoni Unius. Vt fi fatua dodecahcdri faciat */%& fit » 600-4— »/$7x000 , Haec igitur linea multiplicara in 3 7700 — ^$75*00.1. in dimidium ambitus bafis unius,feu in latera duo eam dimidio,facit aream unius pentagoni (eu bafis:uideiicet quadratum de numero hoc — »/%75'ooJ facit %/%. 45-000 — »/$1 1 15-000000 . Hoc 4am multiplica per linea m inuc ta m.i.per J%. 6 o o -f- »/$7 zoo», facit /fc.iSoooooo — »/$ 64800000000000. Et haec eft area unius bafis, quae fi multiplicetur per 11 (cum iz bafespenta* gonales tegant unum dodecahedrum) prouenit numerus cun tfarum fuperficierum fimul,qui facit hoc produ&um* »/^.1591000000 — »/$ 1341^91800000000000. Et hoc eft quod dicit (exta quartidecimi : 0i,tnquit,pcntago nue figurae buobecim bafturn fuerit inferiptud circulo, et i «mro bueta fuerit linea abmebium laterie pentagoni,quob fub vno latere pcntagoni.atque linea illa i centro bucra.con* tinerur.fi multiplicetur per $o,ejrurgct area fuperfiaalte pmuerfa capone illius buobecim bafium. Paret hoc.Nam idem prouenic,fiue 2 i ( ideft,(emiambitut pentagoni ) multiplicetur per iz, fiue y multiplicentur per 6; Utrobiq? erum producitur 1 iu (*> * fc Arithmeticas Liber m, h$ . V In reliquis corporibus , lingulae bafcs lunt triangulares arquilaterar . Iracp daro latere corporis huiufmodi , multiplici illud in fc,& i producto fubtrahc hoc quod iit ex dimidio late* ris in fe(hoceft,i quadrato laterisunius fubtrahc partem quar tam quadrati produ&i ) tunc relinquitur quadratum catheti. Regula autem eft,quod Dittirtto latcrtd trianguli cquilateri multiplicaro in catbctum.probucitur area trianguli iUtue. Et hoc eft quod propofitiones qua rttdecimi,undecima Qi. duo» decima docent. Prior harum dicit : In omni triangulo «equila tero, fi ab uno angulorum eius perpendicularis trahatur ad ba fim}laruseiuiUemtrianguli ad ipfam perpendicularem potens tialiter fefquitertiam habebit proportione. Pofterior fic dicit ; Quilibet trigonus atquilateruscutuslatuscft rationale.fuper* flcies eft medialis. Sed dfdorum prius exemplum uidesmus. Latus icofahedrinfacfatnrmhimc,yfc. 7100 — »/$10368000, faciet lateris dimidium ./$ , 1 800 — ab cunctae fuperficiee corporie icofabcbri pariter a*ceptae(fi ab xmafpbera ambo corpora circumfert banturJcfi tanquam proportio lateris cubi ( quem eabent fpbera circumfcri0tt>ab latus trianguli ipftue icofabcbri. Sic pofltis quadrangulis illis duobus, H gef fuperiorum figurarum, ano in pentagono, & altero in trigono, erit quocp eadem proportio illius quadranguli quod eft in pentagono, ad illudquadrangulum quod eft in triangulo, quae eft omniS bafium dodecahedri,ad omnes bales icotahedri, cum urrunqj . ano 6C eodem numero ( id eft,trigenario) multiplicatu.reddat omnes bafes fui corporis.proporcionc non mutata.EtCut dide odaua quartidecimi ) etiam eandem proportione habet latus cubi, ad latus icofahedri (G eadem fphacra corpora illa circum* feribat) de qua proportione etiam loquitur 9 quartidecimi. Itacp fi i quadrangulo H G £ F,quod eft in trigono,exurgat co* Ium na ad menfuram lateris cubi ( leu ad altitudinem lineat 1 K Agnatae in pentagono)atty altera columna exurgat i quadran gulo H G e f quod eft in pentagono,ad altitudinem lateris icoi iahedri (feu lineat o C in trigono ) tunc in utracp columna runq erit una & eadem foliditas.SaIicer,quadrangufum quod eft in trigono habet area hanc,,/W 184000 — 149299 zooooooo*- Quae area multiplicata per 4800, facit ^.14883200000 — «/fcHJpSy 3 5-6800000000000. Et eft foliditas columnat exurgentis i quadrangulo quod eft in trigono. Sic quadrangulum’ qcP eft in pentagono h g e F, facit J%.z$$oooo — Vi 1 df $$80000000. Quod multiplicatum per latus icofabedri, feu d c, latus ipflus friangulijfacicntis /&7*9.9 — vfy 1 0 j 68 0 0 o, facit foliditatem 1... / priori*. J Arithmeticas Liber, {j. ii 8 prioris columnae uidelicxf, ' ^£.2488 3200000 — S%)4}?8r}j68ooooooooooo, Sic ( ut dicit 1 4 quartidecimi ) 0* tetrabebrum et octabe* brum otia eabemqj fpbcra ctrcumfcribat,erit ona ejr bafibue tettabebri,abonam epbafibueoctabebri fefouitertta. Patet* Nam latus odahedri talis, femgeft cathetus bafistetrahedri* omni aiit triangulo equilatero ( ut dicit 1 1 quartidecimi) fiaGonoanguloru ciue perpenbicularie trahatur ab 8afim* latue etuf bem trianguli ab ipfam perpcnb& in cen- tro terminetur. Vnde quaelibet pyramidum talium , pars eft totiuscorporis illius.denominata 1 numero bafium.Vt in te- trahedro,eft pars quarta, in hexahedro eft pars corporis lexta» inodahedroeft pars ipfius odaua , in dodecahedroeft pars Ipfius duodecima, & in icofahedroeft (una pyramis eius)pars ipfius icofahedri uigefima. Regula igitur communis eft, ut in- quiras foliditatemunius pyramidum huiufmodi, in quolibet corpore regulari,ca'cp foliditate inucnta , multijpliceseandem per numerum bafium corporis illius. Ea autem loliditas i nue* nitur generaliter per triangulum orthogonium in pyramide tua obleruandum.In quolibet autem triangulo tali, erit hypo« tenufa eius,pars dimidia ipfiasaxis,infpharra circumfcribere corpus illud. Et bafis eiufdem trianguli,femper erit femidiame ter circuli circufcribentis bafim corporis illius unam.His habi cis facile (id eft,per penul cimam primi) inuenitur cathetus tri- anguli orthogonq illius . Eft autem cathetus talis, pyramidis altitudo. Altitudo uero multiplicata in aream bafis, producit columna pyramidis.quam(iuxta Euclidis 8 duodecimi) opor* tetclTc triplam, ad luam pyramidem. Columna igitur diuifa. per 3 , producitur loliditas pyramidis eius. Videamus ergo nunc negoctj huius exempla. rSitaxis fphatr* circumfcribcntis tetrahedrum , hexahe* drunk Arithmeticae Libbr ii* 219 drum,odahedrum,dodecahedrura, & icofahedrum, longitu* dinelua faciens 120, Itacg In hexahedro erit latus unum longitudine »/^48 0 o‘.Et area bafis eius 48oo.Et altitudo unius pyramidis (quarum fex com plent totum hexahedrum,iuxta numerum bafium eius) facfcr 1 2oo,cum fit dimidium lateris cubi ( ut docet ultima quarti decimi ) Semidiameter autem circuli circumferibentis bafim hexahedri unam , facit */% 2400 . Multiplicata ucro altitudine unius pyramidu,in area unius bafiu, ,pducit 27648 000000, quae eft foliditas columnae pyramidis unius. Eft ergo ioliditas trium pyramidum, cum columna quaelibet fit tripla ad (iiam pyramidem. Ita® haec duplata (cum fex fint in hexahedro py* ramides tales) facit totius hexahedri, feu cubi, foliditatem Ai 105-92000000. Idem prouenitex multiplicationelateris .cubi cubice.ut notum eft: feilicet^cedenroillo fecit y%48oo. In tetrahedro erit latus unum,fub hoc numero, «/$9600 , 8C bafis una faciet hunc numerum ,/% 1 7280000. Semidiameter uero circalicircumfcribentis bafim, feciet «/fc 5 2 oo.Vnde alti- tudo unius pyramidisin tetrahedro (quarum quatuor concur» runt circa Centrum corporis) fecit 20. Itacp area bafis, id eft, A1728000 o.multiplica ta per 2 o,feu per ,/% 40 o, fecit colum* nam unius pyramidis,ideft r 20 00000, Cuius tertia para facit «/1*768000000. Et tantum fecit una pyramis. Quatuor ergo pyramides (id eft, ioliditas totius tetrahedri) faciunt nu* pnerum hunc«/% 1 2 288oooooo.Eft praeterea tetrahcdrum para tertia hexahedri. Vndepofita foliditatecubi ,fi illam diuidaa per 3 .tunc prouenit tetrahedri foliditas^beadem fphara cir* cumfcripti. Eft etiam totum retrahedrum una pyramis, cuius columna aequa fit cubo. Igitur multiplicata bafi ima in altitu- dinem ipfius tctrahcdri(id eft, in duas tertias axis ipbaerae illius quae corpora illa circumfcribit) producitur foliditas cubi &c. Inodahedro faciet latus unum /%7200 ( ficut enim latus tetxahedri,eft diatnetcr,bafis unius,in hexahedro ,fic latus oda . c ii «n • bedri r .'MichAbui Stifilii ' hedci eft cathetus, bafisunfus in tetrahedro) & ba fis una facit ^fc97ioooo. Et cum fcmidiameter circuli c/rcumfcribent/s ba (im unarti , faciat fua longitudine A 1400 ( quantum enim eft latus unum tetrahedri,tantu facit diameter circuli circumfert* bentis bafim unam o Probatur hoc per propofltionem 1 6 quart idecim/,quar dicit: <3ctdbcbrum biutftbile eft m buas pyramibee arqueoftae, quarum altitubo equalie eft ari fpbere: bafte anrem vtriufq» eft quabratum fuSbuplum ab quabratum ajrie fpberar. Pa tet hoc ex infpcdione corporis illius: fcilicet bafis illa eft quadrata,cuiusdiametercxaxisfpharrar,cum latus unum qua drati illius faciat S%7ioo. Facit igitur bafis area 7^00 : & alti* tudo unius pyramidis facit 5o,Vnde6o in 72 00, facit 432000, columnam uidelicet altcriuspyramidum.Itaqj tertia pars eius (id eft »44000) eft iolidirasunius pyramidis. Ergo ambar py- ramides faciunt 188000. Et hatceft foliditas totiusodahedri» 6i eft rationalis,ut uides. » In icofahedro iunt uiginti pyramides cocurrentes c/rca ceti trum. Eft autem latus unum corporis huius fub hoc numero, 7200 — ,/%i 036800. Et bafisunafaciW%.i 1664.000 — ^75- f 8 271 00000 oo.Etfemidiameter circuli circumfcribcntis. bafim hanc, facir 2400 — 115-2000. Fadr ergo altitudo uniuspyraroidis 1 2oo-f-»/% 11 72000, Harc multiplicata in arcam bafis,fadt hanc columnam: »/%.466f^ooooo -f- ^43737^4^72000000000. Huius pars tertia facit foliditatem pyramidis unius.uiddicet, pyramis una fac. 7 1 8400000-1-^737477 12000000000« Et harum pyramidum uiginti, fedunt foliditatem totiusicofa hedri.ea facit hunc numerum, ^.2073^00^000— /^$799^3 jpzopooowpooooa* Arithmeticas Liber rr. 220 In dodecahcdro funt duodecim pyramides aequales, c/rca contrum concurrentes . Latus aute unum corporis huius,facit hunc numerum ,J%6o 00 — izoo ♦ Et bafis eius una , facie 1 Soooooo — ^64800000000000. Scmidiameter aut cir- culi circumfer ibcntis bafim unam dodecahedri, cofncidit cuiw femidiametro circuli circumfcnbentis bafim unam icolahedrf». Ex quo fequitur lineam altitudinis, unius pyramidis in dode* cahedro (ex his quae drca centrum concurrunt) aequalem efie lineae altitudinis unius pyramidisin icofahcdro, cum hypote- nufa orthogonij (de quali fupertos didum eft ) utrobicg C imo ubiqg ) fit idem, uidelicct dimidia pars axis iphaerae circum» (bibentis corpora illa . Itacg altitudo uniuspyramidis facir 1 zoo — | 1 lyzooo.Haccaltttudo multiplicata in aream bafis, facit 1 1960000000 -f- ,/$93 3 1 zooooooooooooooo. Et eft numerus ifte,foIiditas columnae,unius pyramidis,copIi# cans quatitatem triu pyramida ( ut habet 8 duodecimi) Itacp fi ifte numerus quadruplet(cum tres pyramides fint pars quarta totius corp.dodecah.)tunc ^pducit foliditas totius dodecahedrt ha:C,y%.zo736ooooooo-f-‘ y%z388787zoooooocoooooooo. De proportionibus corporum ad inuicem. Es T autem proportio cotporie ( inquit roquartidecimi) bobecfl^ebrt ab corpus icofabcbri,ft ea ambo una fpbera indubat , ficut proportio omnium bafium bobccabebri.ab omnee bafce tcofabcbrt. Quia ficut 1 2 bafes in dodecahcdro ionferGtur ad zo bafes in icofahcdro, ita duodecim pyramides aequales id dodecahedro, conferuntur ad zo pyramides arqua* !fe$ in icofahcdro. Et quia pyramides funt utrobiqj altitudine aequales [u^dida eft paulo fuperius] fequitur unum efie nume- rum opor tcrc.qui multiplicet bafes omnes dodecahedri,ut pro ueniant omnes pyramides dodccahedri ad centrum concurren * tes (id eft,ut proueniat totum corpus dodecahedri) & qui mu! tiplicet bafes omnes icofahcdri ut proueniat totum corpus ico fahedri, id eft, omnes pyramides corporis illius circa centrum, concurrentes . Notum eft aute ut pofita aliqua proportione^ • MIchaims Stitilii fpia proportio non matetur, fl utercp eorum uno & eodem nu- mero multiplicetur, aut diuidatur. Et eandem proportionem* etiam habet latus hexahedri ad latus icofahedrhut dicit 8 quar tidecimi.Vnde fi latos hexahedri multiplicet icofahedrum,ne cefTe eft prouenirc hoc, quod proucnit ex multiplicatione do* decahedri per latus icofalicdr/* VJttm proporrio octabcbii ab tetrabcbrum,efl ftcut pro* portio quabrati ape fphere circumfcribcntie corporailla,ab quabrangulum contentum fub latere vnotetrabebri» atque fub fctmbtametro circuli, flaftm tetrabebri circumfcribentie. Docet hoc idem penult.quartidecimi fub uerbis obfcuriorib?. PJtem proportio berabebri ab octabebrum, circumfcri- benteilla fphacra una. eft ftcut proportio omnium bafmmbe jrabcbri.ab omne* fiafee octabebri* Ratio ert.Quia idem drculus circumfcribitbafim unam he xahedri,& hafim unam odahedri, ut necefle Gt fex pyramides hexahedri , quae concurrunt circa centrum hexahedri. & odo pyramides odahedri, concurrentes circa centrum odahedri, habere altitudines aequatas inter fe: idco'q? necertc cft,propor tionem baGum,in utrocp corpore refpondere proportioni py* ramidum.VtGcut una baflsin hexahedro,fe habet ad unam bafim in odahedro, ita fe habet una pyramis in hexahedro,ad unam pyramidem in odahedro.Et Gcut fe habent fex bafes in hexahedro.ad odo bafes in odahedro : Gc fe habent fex pyra* cnides in hexahcdro.ad odo pyramides in odahedro. Vt autem hexahedrum Gt triplum ad tetrahedrum,didum cft fuperius fatis Sic. Epilogus capitis huius ultimi. * jTuero finiam tandem caput hoc, nihifcg eorum prae- termittam,quae docent decimqstertius & decimusquar I tus EuclidiSjConferam figuram priorum propofitionQ certtjdecimi,cum figuris propofitionum pofteriorum. Htt AftlTHMBTfCAH LlBBB. *U Hacccflautem figura propoGtionum priorum, tertijdecimh Liaeat diuifae fecundum proportionem habentem medium & quo extrema* \ a B c in pundo C* G fe Hin pundo b ,id eft, a e h in pundo E* 1 HACinpundoA. hac Kinpundo c« • Item trahenda linea a FKin pondo f,81c» Hatcuero figura (equens , complicat exempla propofttfo- num pofteriorum terti) decimi, di omnium propoutionuD quartidccimi* . • .. r hlt j * W' rrr. /MichabliI STifBm T tVfl ' ' ^,-y - , . “ Primo fumpta eft femid/amcrer minor/s cfreuli.ad mento» feamlineae e f prioris figurae : fcilicet e Ffeu eh>& l m feu M N fupponivyur efle inter fe arquales.Erit igitur D G feu D H Ia priore figura aequalis, n m o in pofteriore figura* Coueniec igitut AriTOmbticab LllBR. ! J* 111 igitur utrfqj hoc.quod docet propo(7t/o prima tertrjdecimf : Ici licet l N m diuifa eft in pundo N.tecundum proportionem ha Bentem medium di duo extrema,ficut G F b in pundo F.Vnde fi ad m N addatar M o direde,uel ad F e addat e o ut fiat D H* poterit N M o quinquies hoc quod poteft M o.ficut o G uel D H quinquies hoc poteft quod o e iemel poteft. 0i, inquit prima ter rijdecimi , Diuifa fuerit linea fecundum proportionem has Bentem medium et duo ertrema , ft maiori portioni linea in longum addatur cqualie dimidio ipftue linee proportionali ter biuifar,qu*dratunt linear compostae er ije duabus, quin« tuplum etit.adquadratam dimdi) ipftue lineae biuifae* E t cum fecGda tcrtrjdecimi fit cohueiia illius, conuenit etia illa utriqj.uidelicet H D fiC N m O.Tale aliqd etiam habet 3 eiufdci Secunda autem quartidedmi docet iudicaredelineis taliter di uifis : Quicquid, inquit.acciBit vni lineae BiuifaefcomBotti proportionem habentem meBiuni et Buo ertrema , cuilibet lineae (tc Biuifae probatur accibcre-Scilicet certus Ium H o di* uifum e fle in pundo P, fecundum proportionem habentem mediam & duo extrema : item m n in pundo s,item mn lui pundo N.itcmw q^x in pundo Q_. Et (iede alijs. Ad hoc ucro iudicium conferunt nonnihil propofit/ones quartidccimi,prima,tertia,undccima: item tertijdccimi.tcrtia, quarta, nona &c.Eas ordine aliquo congruo u idea mus. Prima quartidedmi fic dicit: Onelibec linea perpendicularis Bucta a centro circuli ab «tteBium latens pentagoni ( ut eft m o ) cqualis eft dimidio lateris Becagontfumpto cum BimiBiolacerie beragont. Deinde ponitur diftributio partium hoc modo: 4£t eaBem perpendicularis eft equalis perpendiculari buct£ I centro ad dimidium lateris trianguli ( ut eft m p ) fumptac cum dimidio lateris Becagoni. ut eft p o. * Cum igitur linea conftituta eft dupla m p,& p o fit pratdidct modo diiriia, fecundum nona terftjdccimi, necefte eft ut etiam 'r- kk ij Mkthabuj Stivblii M O fic fit diuifa. Sic autem dicit 9 terttjdedmi: ©i latus h^agoni Cut cft m N)latue'cp : becagoni(uteft n Dquos vnus circulos citcumfcribit,fibnnuicem in longfi coiiiurigantur.tota linea ex cie copofita,biuifaerit fecundum proportionem habentem mebium ct buo cjrtrema>crtV<$ por tio cius maior latus beragoni. Vndccima autem quart/decimi fic dide : 0i buobus propinquis angulis pccagoni equilateri intra circulum befcriptt>i r emt tm e fuorumla teru buc reae lutee fubtenbantur ( ut fi trahatur in circulo minori N a fecantem x Qjvtracg altcramf • ** *. •'•i. Arithmeticae Libbr ii. 21; 0i fectmbum proportionem habente mcbium potentiDs eff latere bejragom eqpilateri.quantum potefi latus becagoni equilateri,ft fine cibe circnlo inferipti. Sequitur lineam G 1 trahendam, in figura priore, efte hoc quod in pofteriore eft y N (eu n q.. Sequit et<5 ( per 4 quartidecimi) a F trahenda in priore figura,hoc e(fe §d in pofteriore eft x<*. Sic aurem dicit quarta illa quartidecimi: (Dnabraturo lateris pentagoni (ut eft in priore trahenda G i,& in pofteriore a F ) quabratumefc lineat quar illius pen» tagoni angulo fufitenbitur ( ureftin pofteriore figura x q , Qi in priore a f feu e k trahenda ) ab quabratum femibiametri, Cut eft m L in poftcriore,& e f in priore) qufntuplam propor- tionem faciunt. Item hoc quod eft ia pofteriore figura r Q_N,in priore figura Idc it\ eli yg* ,i : MlCHAlLII «TlFILIl cft trahenda a K.Quae 0 trahatur, critipfa diuiia /n pun<3o F fecundum proportionem habentem medium & duo extrema. 3l'; Item linea B k feu C lin priore figura trahcnda.cft hoc quod Ojt cft in pofteriore figura trahenda, 6Cc. Ex figura autem pofteriore pulchre patet. ( fecundum dicta fipperiora) ut latus icofahedri,id eft b g,& latus dodecahedri,id cft (i una fphaera eaprcumfcribat,bafcs habeant quae ab uno circulo circumicribantur. *y Item patet ex eadem figura, ut latus hexahedrK id eft x qJ di latus oclahedri (id eft z T) fi eadem fphaera ea circufcribat» bafes habeant, quae abuno circulo circumfcribantur. V Item patet ex eadem figura , ut bafis tetrahedri inferibendi eidem fphaerae. Angulari circulo c/rcumfcnbatur ; ftilicet tra* henda q.r cft latus tetrahedri illius.&c. * Quadratum autem cuius bafis eft Z T, circumfer ibitur i dt culo, cuius diameter fit aequalis axi, fphaerae, corpora illa circii* (cribenti ; fdlicet v T trahenda, fedeti zo, fi x m femidiametet minor is dre uli fac ia t 140 o — 1 1 y z 0 0 0 ♦ F Habes f tacp Letftor iam hoc libro fecundo, omnia quae Eu didesdocuitdenumeris irrSnalibus abftradis & contradis* Et quae Campanos ,atcp ante eum Theon, poft illos uero Zam bertus .demonftrarc ftuduerunt geometrice, ego, pro inftituto meo opere.non obfcurius oftendi arithmetice ; id quod grates mei ledotes-fatebuntur proculdubio, Maleuolos uero, qui cau (as calumniandi ftudebunt quaerere, res ipfa prodita, animo cbnfiifos caftigabixSed quicquid flat,Deo omnium bonoruni largitori fit gloria, Arnen* XIBRI ARITHMETICAE SECVND1 de numerisimuionalibus finis* ** ... * T • F >• d. I • • • APPENDIX LIBRi SECVNul, ; DB Q.VADRATVRA CIRCVLI. •T Ad Adolphum 4 Glauburgk Francofordieniem, iuuenem magnae fpei. S. ispvtationem meam banc Geometricam, (id eft, ad Arithmeticam non pertinentem ) de Quadratura circuli,fuperaddidi,iuflu uir/.cui de# berem & corpus & anima, fi fieri poiTet,ut homo merito hoministanta deberer.Eamdifpuratione cibi mi Adolphe nuncupare uolui, qudd uideamte nonfolum Phy ficis, fed& Mathematicis rebus auidiflimeftudere,feque* ftrads befttjs illis malis,quar & pietati & artibus funt infcftsr auaricia,ambitione,inuidia QCc» Cum enim mihi pulchrum efle uideatur, pulchras mathematom fpeculationes, talibus ani mis prodere, pulchrius efle certo fcio.tam pulchras mcntes,om nibus artiam ftudiofis,in exemplum proponere* V Difputaturi de Quadratura circuli, obieruenteflcdiftiit# dionem, inter drculum phy ficum ftcirculff mathematicum, i Obferuent etiam eam quaeftionem, I Philofophis ucttrid bus motam, efle de circulo mathematico, non de phyfico. 3 Circulus phy ficus eft imago quarda circuli ma thema tici* • 4 Triangulus eft polygoniarum omnium prima* f Omnium polygoniarum ultima eft circulus. 6 Rede igitur deicribitur circulus mathematicus eflVpoIw gonia infinitorum laterum. ' . r 1 » 7 Mathematici itacp circuli circumferentia , nullum recipic tuimerurn,necp rationalem necp irrationalem. * ~ ■ v 8 Ante circulum mathematicum funt omnes polygoni* nu vnerabilium laterum , qu?madmodam ante numerum infiniiflf funt omnes numeri dabiles. 9 Reflat igitur circulum circino fadum^noneiTematbc# uwticum* Michablx* Stifblii I o Tunc autem circulum dabis mathematicam , poftquam dederis numerum infinitum : idcp uolunt illi,qui angulum con tingentia affirmant ede minorem infinitisangulis redilineis. I I Infinitusnumerus ficut ad res non contrahitur, fl etiam guttas maris imagineristtoti coelo maioris; fle circulus roathe maticus,non contrahitur ad materiam,etiatn fl omnium auri* fabrorum, totius orbis tcrrarura,opcra&induftria eflet parata polita & complanata. 1 1 Necp rationalem proportione,necp irrationaIem}habet circumferentia circuli mathematici.ad fuam diametrum, l $ Vt certiflimum fir,quadratura circuli mathemade^exee dere rationem calculationis humanat. 1 4 Si aute quaeftio eft de quadratura circuli phyfici , fruffil tanta triumphi proclama tione ia (farnus eam quadraturi efle aliquando inuentam, quafihac inuendonc ingens aliquod & infolitum aditum fuerit miraculum* l f Licet Euclides Qi Ptolemaeus uti cogerent arculis inulti ferie, tamen ubicp prudentiflime atep dodiflime declinaueront quxftioncm proportionis pertinentis ad quadraturam circuli^ id effiproportionis circSferentiar circuli ad luam diametrum. 1 6 Vt ( exempli gratiaJdum Euclides propofl tione o da ua fui duodecimi, pronunciaret de proportione columnarum ad • pyramides fuas , caute QC erudite cxduflt columnas pyramis descg rotundas. 1 17 Tanti uiri exemplum iecutus eft Ptolemaeus , dum par'- tes diametri drailidiuideret in partes izointer fe aquales, & circumferentiam in partes ; 6o inter fe quidem aequalcs^ed par tibus diametri inaequales. 1 8 Hfberet quidem circultss rationem quadrationis iuae , (2 poffibilis eflet cognitio proportionis circumfercntiaead fuam diametrum. 1 9 Ex multiplicatione enim femid/ametri in fem/circumfe* rentiam^roducercf area quadraguli,aqualis circulo ilii dato* Appendix Libri ii. 22? :20 Relinqueretur autem nihil amplius faciendum,quam medium proportionale inueniendu eflet.inter duo latera qua- dranguli illius inaequalia. Hoc enim medium eflet cofla qua- drati circulo aequalis. 2 1 Vnde conflat quadraturam circuli nihil aliud efTe.quim conflitutioncm quadrati, aequalis circulo dato. 2 2 Sed aequalitas jlla non cft referenda ad circumferentias, referenda ueroefl ad areas figurarum. 2 5 I nuentio autem aequalita tis iflius,praefapponit numeru aliquem , repraefentantem longitudine cfrcumferentiaecircuIJ praecife,fiue rationalem fiue irrationaIem,qui neutro modo e fi debilis. 24 Vnde fequitur primo, impofTibile efle.ut aflignetur pro portio circumferentiae circuli ad diametrum fuam,aut femicir cumferentiaead femidiametrum, 29 Sccudo fequitur,impoflibiIe efle, ut inueniatur medium proportionale inter femidiametrum circuli & femicircumfe- rentiam eius. 2 6 Sequitur tertio , impofTibile eflfe , ut quadretur drculuii mathematicus. 27 Ineruditi feredi funt,fi ifla impugnauerint,cum talia fint quae pietati nihilconferantautadimant. 2 8 Tamen eruditi fentient,haec eadem Euclidem & Pto- lemaeum fenfifle. TDe quadratura circuli phyfic/, 1 . Poflibile efl,& fatflu facile, ut fumpta proportione aliqua propinqua, inter fcmidiametru& circum fere tiam circuli phy fici,quadret circulus ille,ita at qdratio illa facisfaciat fenfibus. 2 Poflibile (inquam)efl, ut dentur duae laminae aereae,aeque fpifltf,fufari#exeademmixtura,quarum altera (ir circularis, reliqui uero habeat figuram quadrati;& ut in utracp fit pondus unum dt idem,ambac'q$ percuflat,unifonum reddant. 9 Proportio illa rationalis circumferentiae ad diametrum, II cuius Michaelis Stifelit cuius autorem ferunt eflc Archimedem (id eft, tripla fcfquife* ptima) miram rei propinquitatem habet.adcd uidelicet,ut qua dratura circuli, fecundum eamfacfta.fenfus tudicium faflat. 4 Vt faciente diametro circuli partes 28, faciet cofta quadra ti, circulo illi aeqoalis,v/%6 16. Hoc eft, integra minuta fecunda 24. 49. c Proportio uero illa irrationalis,inucta i Nicolao de Cufa, de qua Ioannesde monte regio difputat, admodum.uicina eft proportioni rationali Archimedis. 6 Faciente enim diametro circuli 28 , faciet cofta quadrati, sequalis circulo illi ( fectfm proportione iftam irrationalem) */|. 2^^5-4-f-A^48 27. Hoc eft, integra minuta (ecunda- 24. 47. 3). • 7 Si (inquiunt) ex femfdiametro circuli dati, atquechorda quadrantis eius.direde coniuntftis.fiat diameter alterius circu li,erit triangulus aequflaterus eidem maiori circulo infcriptus» ifoperimcter circulo dato. FQuod argumenta phyRca nihil faciantpro quadratura circuli mathematici. 1 Nihil faciunt,qui quaeftionem a Philofophis motam, de Quadratura circuli.fllo aut circino tentat exoluerc. 2 Frulhi laborat, quotquot fe calculationibus fatigant, pro inuentione quadraturae circuli,quocuncp tandem modo aut medio hoc flat. • ' 2 Chordae arcuum fumptorum de circulis, dari pomintwb numeris rationalibus aut irrationalibus prarcife. 4 Quae uero dantur fub numeris irrationalibus praedfe,no poliunt dari fub numeris rationalibus praecife. ^ Proportiones uero chordaru ad arcus fuos,neqj fub ratio* nalibus,nec|j fub irrationalibus numeris dari poliunt, tf Cum numeri irrationales , fecundum Euclidem» non fine * numeri Appendix Libri i i. 116 numeri, manifeftum eft, proportiones irrationales.efte propor tiones tanquam numeri ad nonnumerum fub numero. y Manifeftum eft etiam proportionem circumferentiae cir- culi ad diametrum, atqp arcuum adehordas fuas,efte,uel tan<$ numeri, ad non numerum fub non numero, uel tanquam noa numeri fub numero, ad non numerum iub non numero, 8 Argumentum hoc phy ficum eft, fi fic colligas. Da bile eft quadratum circulo dato ma!us,& dablleeft quadratum circulo eidem dato minus, ergo dabile eft quadratum Illi eidem cir- culo arquale . Non iequitur. 9 Sicut non fequitur, Dabills eft numerus rationalis mino* boc numero lrrrat/onall^.9000 — V%i6zooooo,ateftUIcie- quens, Integra minuta fecunda 7». 3*. 3» Et dabills eft numerus ratlonaliscldem numero Irrationali maior.ut eft Ifte rationalis, integra minuta fecunda 70. 33» 3« 'Ergo dabills eft numerus rationaIis,e!dem numero irratio# . nali aequalis, f o Phy fica argumeta in rebus mathematicis plammcp fallfit, 1 1 Si phvfica argumenta in rebus mathematicis fallunt, mul to magis fallunt argumenta &phyfica& mathematica, In re- bus diuinis. 1 2 Corpus efle perfede iphaericum, uldetur quidem mihi im plicare contradidionem. Sed icriprurafacrahaber}Noncrit impofii bile apud Deum omne uerbum, f ; Orbes coelorum font opera manuum Dei : ideo negare Aon audeo, eos habere rationes circuli mathematici ab(blutc« Sed de his omnibus fuo loco in Geometria mea dicam latius» CLARISSIMO VIRO D. IACOBO Milichio.Medicina: docftor/3fuo patrono. Ratiam & pacem in Chrifto. Vides uirclarifli' mc,ur confilijs tuis in rebus Arithmeticis ubicp aufcuIccm.Diu ucro iam eft, quando mihi erudi j.tioncm Campani eximiamcommendafti. Hac egd commendatione accendis, coepi intelligerc, ex ipfo,decimum Euclidis,numeroru beneflcio.Et cum poftea meditarer librum de numeris irrationahbus.fecutus confilium tuum, addidi cum illi libri meo.Dcindc tuo quoqj cofilio ufus, Algebram (quam perfaafifti bonis rationibus, i Gebro Aftro nomo,autorceius,ita e He nuncupatam) multis exemplisillu* (Iratam fcripfi: quanquam pauciiTtma fint mea, maxima uero pars eorum fit Chriftophori Rudolphi ( quem te amare mecu noui,ctiam iam in Chrifto quiefcente,ob egregiam fidelem'cp Algebrae publicationem ) caeterorum quaedam funt Adami Rifen.qui dt ipfe mihi uidetur fua candide tradcre,ut hominem hunc facie mihi ignotum C aeque ut Chriftophorus facie mihi' ignotus manfit ) admodum amem, & libellum cius reuerenter penes me habeam . Quemadmodum igitur Campanus mihi ad manus dedit librum Arithmeticae meae fecundum,ira Chri* (lophorum mihi tradidifte hunc librum tertium reputo : nam exemplis eius uti uolui hic,ficut illic ,ppofitionibus Campani. . Vtruncp uero feci confilijs tuis acquiefcens, Quare tihi gratum, librum hunc,futurO efte,mefcg eo nomine tibi recommendandum fore, fortiter confido. ' r ' Vale.Ex pago HoIt$dorff. Anno domini . fecunda dic lanuartj. . , u*. Michael Stifelius. . X: r, n" c MICHAE LIS ; STIFELII ARITHMETICA ' liber tertivs, de nvmeris Codicis, & de regula eorum» id cji,de perfida corte calculandi. * % * • i\ De regula Algebra?,& de partibus eius, . earumq? declaratione. Caput i.. lgebrae regula talis eft,ut integrae arti calcu ’ Iandi,merito conferri pofsit: imo eidem arti colla ^ngeeam praecellere,hacmea tractatione pro babo. Complicat autem regula haec, omnium re- gularum aliarum exempla , uireshj lingularum loperat un/uer fas, nifi Detri regula fit excipienda.cuius opera haec in multis indiget.Quamuis autem regula Ealfi miram ha* beat laticudinem.comparata tamen ad Algebrae regulam,uix eam collationem meretur, quam centrum in circulo fignatom adcircumfcrentiam habet. Certum eft autem regulam Falfi, formatam efle iuxta formam regulae Algebrae, quemadmodu regula Algebrae, formata eft iuxta forma regula: Dctri.De re- gula Alligationis (quam etiam Algebra complicati perfecte complet) hoc uideo.quod prarter Algebram fit formata.Carte rum regulae SocietatO, Diuifionum,Mercfmonioru,Commil tationum.licet i regula Detri fluant : tamen regula Algebrce eas perfici atc$ compleri, offendam exemplis plurimis,quae fhi ferius iuis locis adducam. Regulas uero has, Aequalitatis.Se* parationis,Tranfuerfionis, Commixtionis, Pofitionis.Legis AugmentijDecrementi, Pluris, Refidui, Collectionis, i alias 11 ii)» huiuf#' * Michablis Stifelii huiufmodi ridicula ferentes nomina , re&e mihi uideor appel- lare C&fi ioco hoc fiat ) uexationes populi. Ex Algebra enim talium regularum. quolibet die decem aut uiginti formare feu fingere facile poflem, (i harum rerum inexperttsingentjsillu* dere uellcm.Complicat etiam regula harc Algebrar, inuentio* nes linearum & fuper ficierum infinitas : id quod adeo notum eft.ut rede afinus dici mereatur, qui pronunciare audet Alge* bram nihil docere aliud c$ ea quae doceat regula Alligationis, fiue ex ignoratia fiue ex malitia proHciicatur talis affirmatio» Hacceft aurem famofa illa regula Algebraf.ad fuam Omplicitatem atqj Iatirudinem redada. Inucnturus numerum inueniendum abfeonditum, ponat loco illius j Cofs. (nos autem ponimus i ) & in* uenta aequatione aliqua,rcducat eam, fi reducenda fit. Deinde per numeru figni codici maioris,diuidat reli- quum aequationis,eidem diuifori aequatum, fed deno minato tarnen.Et fic femper proueniet numerus ille ab (conditus qui inquircbatur,uelin quotiente, uel in ali qua eius radice. Radix autem fi qua fuerit extrahen- da,pulchre hoc atque fufficienter fignabitdiuifor fuo coflico figno. H«ec,inquam,eft famoflfTtma illa regula.reduda ad fimpH- dtatem fuam germana,(iibqua immenfam copiam ufiis com- plica t, ut exempla eius abunde teflatur. Omnia igitur quae hoc libro uel dicenda uel docenda uenerint,adcam,tanquamad fcopum unicum, referenda erunt» • r Habet autem regula ipfa quatuor partes ; duas uidclicet eflentiaI9$ft duas accidentales. Partes eflentiales funt : Inuentio arquationis,& D/uiflo. In quolibet enim exemplo tegulae illius, requiruntur haec duo* • At Arithmeticae Liber ru. * 2*8 At reliqua duo (id eft, accidentia) in plurimi* exemplis non concurrunt: ideo partes regulae accidentales dicenda funt. Sunt «tacp Aequat ionurcdud/o, & Radicum extraflio, partes, accidentales regulae Algebrar.Exempla autem illa omnium fa cilima funt, in quibus partes eius eflentiales folummodo con- currunr,abfque accidentalium partium concuriu . Ideo ab illi» tanquam 4 facilioribus incipiam,ut Ledor paulatim 5C fuccefi fiue ab ipfis fuauitcr deducatur ad ea, quae iudicantur efle difFi» ciliora. Sed ante omnia exponamus regulam ipiam per exemplum aliquod facile & 'commodum, ut regula intelleda.catcra qua dicenda iunt(uti funt exfeipfis iucunda &philolbphica)iucun diora reddantur ex (cientia ufus eorum. Exemplum exponens regulam Algebra; & eft 47 Chriftophori. <£|t ntfmcrus/cmue partte/tmta ct quarta/ fufc tracte a toto relinquant iy. Quod Chriftophorus numeros exempli huius contrahit ad ulnas panni, nihil nos impedit.Nccp enim Algebra regula ca~ rat denominationes uulgares, fcd folummodo coflicas deno r minationescurat ; ut funt ha denominationes, fc. rt. %fr. /?. & c. Quae & numeros colficos conft fluunt. Eft enim numerus coi# ficus nihil aliud.quim numefus figno cofTico denominatus* Sed de hac reioferius fuo loco dicendum erit. Docet autem regula, primo ponendam efle i coflTam,ieu(ut nos facimus) 1 radiceift.i.unamiummamunitatum.quauidft» licet intelligatur efle aqualis illi numcro,qui mihi proponitur ut ipfum quaram & inueniam. , Pono igitur 1 1*. tanquam partem unam aquationis,^ procedo operans iuxta textum pronunciationis , quam habet exemplum, in hunc uiddicet modum». « 1 Cum*. »1 ICHAELIS STIPELII • um pronunciatio dicat de parte tertia nnmcri inuenicndf, recipio partem tertiam de lo^quaeft^ieCficut tertia pars de flo. eft ff^) dicatqpde parte quarta, recipio |^e,cum fit quar -Tfj pars de n*. Sic autem ratiocinor. Ecce inaequatur toti nu- mero inucniendo.ergo aequatur uni parti tertiae numeri in* e^ucniendi ; dt aequatur parti quartae numeri Inuenicndi. *&£J tf ^^«i^^j&lCum ucro tertia & quarta partes numeri inuenicdi/ubtradae gerint ab iplo numero inueniendo, relinquuntur i y unitates» ‘~t^*^1iuc illa fint contratf a ad ulnas panni fiue ad quamcuncp rem aliam ) id quod pronunciatio habet. Sequitur ergo, quod fi |n y Z', 1114111 j IU v|UUU pi UUUIlUallU uauLii Uvvjuiiut li gwj vjuuu u j *<, fubtraxero ab in(tanquamdtoto)quddreli(fiumrema *ncns faciat i y tanquamfuum aquale.Remancs uero relidium ' Tin,.& huic aqualia funr (iuxta exempli pronuciationem) S • Atcp ita inuenta eft aquatio, iuxta prononciatione quam ^ ^ __ M»diabet exemplum. Vnde fequitur In regula: Et inuenta aqua# tione aliqua.] Habes autem iam, ut cx textu exempli, inueni* y~+%l2L f^^r***^**4 enda fint aquationes: atep fatlsintelligfs.aquationem nihil i f* aliud cfle,quam inuentionem proportionis aqualitatis , Inter \H*L t st-ti — — _ duos terminos diuerfimode denominatos . Nam fi termini illi uaria ualde.ideft, Arithmetica, Geomefrica, * w v*** Ji4^^1?Mufica,Aftronomica,theoremata artis gfpe «♦»* 4w****~*Sic modo etiam dicendu eft(pro pleniore expofitione regula) * eu&^2> aquatio exepli huius pofiti alia pofiit inueniri.Scilicet com* tf A ~iunis lententia eft, totum aquari fuis partibus omnibus fimul umptis. Ttacp necefle eft,ut y.aquentur cumne, if^ffcilicet-ri^i- »y aquantur m tanqifam partes luo toti, dvA v*-ff**^ Sequitur autem in regula illa Gebri: Inuenta m anuationem e^Z«reducat,fi reducenda fit.] Tunc uero reducenda elt aquatio, lh* u e&X' jp t^/^uando in terminis partium eius una denominatio plusquim /e^<^y«"-nuIlofignocofiicodenominata,ad unitatem denomina- tam figno cofiico illo, quam fert iple diui for. Vt cum diuido 1 y perTi, tunc producitur 3 6,qui ad unitatem eam proportionem ba be t ,qua m ha bet 1 2«, ad unitate Igitun 1«, idem erit quod 3 6, luxta communem fenrentiamhanc; Qn$ uni Si eidem funt ' aequalia , etiam inter fefunt aequalia. Hinc dicit regula : Et fic femper prouenit numerus ille abfcondirus.qui quaerebatur.] Addit tamen regula jierba haec. Vel In quotiente diuifionis, mm uc • v k ' i ■ *■ t «. ... Michablis Stitblu (ut In «templo noftro quo regulam expono) ue! in radice efut aliqua.] Vt fi in exeplo aliquo pofita faiflet ne, & ex proceflu pronundationis fuifiet inuentus numerus figni huius % (ut iit» piiTune fit) aequatus alicui numero nullum fignum coilicun» habenti(ut fi z%eflent aequati numero huic x88)tuncdiuifione feda(ut x88per i diuifa fadunt 144) qon produceretur ualo* uniusradicis,fedpotiusuniuazenfi,feu unias quadrati, quod fit ex radice inuenienda, idcocg quarreda efiet de quotiente illo radix quadrata (ut/%.de 144 facit 1 2) QC illa edet numerus inue niendus,(eu per 1 ^ repraefenca tas.Et fic de altjr. i Et hoc cft quod* in fine regula dicitur : Radix autem fi qua fiieric extrahenda, pulchre hoc atqf fufficienter fignabit diuifer fuo figno cofiico. ] Scilicet, fi 1 rt inueniatur arquatus 1728, tunc ne faciet 1 2 . Item fi 1 ^aequetur 25- <5, tunc 1 o e faciet 4» Item fi 1 fi inueniatur aequari \ t, faciet 1 2*. 2 « Et ficdeahjsio infinitum» Habes igitur per haec expolitam totam Gebri regulam , ita ut nihil defit,niu forte unius adhuc didionis deficiat intelligen da, huius uidelicer,Maioris « Sic enim habet regula : Deinde per numerum maioris figni colfici,diuidat 0ic4 ] Satis autem exuerbis ipfis uides, ut aliquando incidat aequatio reduda, in qua remaneant plura figna codicaqulm unpm , quae inter fe fint diuerfa , di tunc maioris figni cofiid numerus diuidit reli- quum fibi aequatum. Vt fi z -f- 2 22^ aequent 1 60 , fune tranf* ponuntur 2 22^, ut 2% maneat aequati 160 — zzie, Atcg ita 2% (depofito figno fuo cofiico) diuidit reliquum « hoc eft,x diuidit 160 — zx remanent 80 — 1.1 !«,,&<* Probantur autem erempla regufar,poft reiolutionem radfa eis,iuxta «pnunciafionis proceflum. Vt, numerus inueniendus Da Arithmeticas Liber ti>« 2JO Dc partium regulae Gcbri oftenfione, cx figura quadrangulari; Caput iu IN vo repetenda ueniunt fingula membra re# gulae Gcbri, eodem ordine ut in capite fuperiori fuerunt expofita . Nam cum ea exponerem cum collatione exempli.ineptum mihiefle uidebatur, (i omnia tanquam in una olla.fimul coquerentur, & fic particulae exempli, regulam ipfam declarantis , Iongiut ab inuicem fepofitar,quafi a m/lTar, diutius eflent quaerendae, FIta<$ ab aequationum inuentione mihi dentio incipiendi! -erit.In qua re animaduertendum eft , ut Algebra fit calculatio per lincas,& fuperficies.atcp corpora, progredientium fubpro portionalitate Geometrica cotinua. Pulchre autem ex hac iit# quenti figura aequationes offenduntur &declarantur* 0 | 0 0 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 | 0 J 0 0 | 0 oj.o | 0 1 0 0 0 0 0 0 0 |o|o|o|o|o|o 0 1 0 1 0 1 0 1 o|o- 1 0 1 d | 0 1 0 1 0 1 0 0 | o| 0 | o| 0 0 1 0 1 0 ( 0 1 0 | 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 |o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o £(l igitur i oe linea quaedam partium,fubcerto quodam nu «nero,feu feries quaedam rerum quarumcuncp, fub numero ali# quo determinando uel determinato, quemadmodum hic uides in iuperficie hac quadrangula, lineas fex longitudinis,quavum quaelibet habat citras duodecim :& lineas latitudinis 12, qua* tum quaelibet habet cifras fex. Vides autem primo.ut i z iz lati tudinis aequentur 7 x.Tota enim figura habet 7z dfras. Et 1 z latitudinis l{near}(cu radices,totam figuram filaro quadrangu- nun tj larem „ • Michablis Stifelii Iaretncotnpleftt.Sk 6 2«. longitudinis aquantur 7** Quia fex linea feu radices tales, complent totam iuperfleiem quadran- / _ ^i^^igularem ‘Nam, Et hinc uides ut proportio aqualitatis, talis fit ^^^£T^ ^>roporti0,qua terminus eius refertur ad fe, tanquam ad aliud, hoc lub aquationibus codicis. At uero fub identitate cofiica ^4>^v^Uv4 ut dudico 6 iz Iongitudinisaquari 6 2e Iongitudinis,aut dico H**" 71 aquari7*)refertur idem ad feipfum tanquam adieipfutn. i+firnf- t^^^Etquanquam illa identitates, dum incidunt C ut iape fit) loco CeuM~ ^hjl, ot ^«^‘cequatfonis, inutiles fint &i Heriles omnino, tamen (ut Algebra ^ £**w~^regula hac nihil tam uile ede finit in rerum natura, cui non fo ct ' >i -'x/0r °alde uaria aquationes reducenda. Exempli gratia, 1 2 ^ * *r«?> . . . j. » tegula nac ninn ram uue etie unit in rerum natura, cui non 10 ^««iim aliquem ofdcijadignet) ea pofita,mira facilitate forman- ponatur aquari 1 xxe.Quicquid jam trandulerisabuna parte - vad alterannmediante figno fubtradorum.nafdtur aquatio re# ^ £7*v ducenda, modo hoc quod tranfponitur no reqciat fignum fub< «X^^-^^^^tradlorum.lnfpedaigitur figura quada»gulari,transferantur £f «*—•*■ vg^c-^-j^jd partem alteram , ita ut pars illa translata ferat fignum fi a ' fubtradorum ,V ides autem ex figura, ut 6 radices latitudinis 7- i} VJ^^3F^^^ac,ant *6 * * 2$, aquantur 1 z 2«, — 3 6. Sic 8 2«, aquantur ,f. O— i !•>»■ «quantur 1>. , EtBcdealife 1* flT^^Item quicquid rurfum retro tranltuleris, quod uel lignum fubs ***'''* t^i~^^^rrafemper manet aquatio • r* T8r~Z7 fubuariationibusiftis terminorum. Vtpofira hac aquatione, 6**^**? v^*^iidelicet 6 2c aquata 1 x 14 — 3 aequatae i i i<> — 3 <5, fi de diminuto transfe ras$,ficftabitaequario,6 6 aequata — 30] Hoc em fadum eft.uidelicet ad hanc parretmoe— 3 6 addidi Aquando ea fubttaxtde diminutofuo.Paterexcommuni fenfu. Scilicet habere malo 1 x — 30 groflis,quahni x 3 6 grof. Ifacp ad alteram partem arquat(onis etiam addenda funt 6,ut terminus fle ftet, 6 n,^cf,v- ad aequationem integrorum per multiplicationem in croce. ^nt 1 ‘‘aequataixi* — dd,fic itabit exemplum ad redii ftion*m; j3*-j-_ll r l*3fc — dd r Xtaqp Arithmeticae' Liber rir. tfi Itacp 3 a^-f- 1 2 aquabuntur rfo — 330. Irem ,x aequentur10^ ' 8 multiplica in cruce,runc uide bis e fle 2 1 24 -f- 84 aequata yo 3^—90. Haec exempla etiam funt formata ex figura illa quadrangulari* Rgtfo reduftionis huius fumitur ex /pio Algor/thmo miriu riarum. Quando enim minutiae multiplicantur in crucevtunc acquirunt aequales denoroinatores,utf atet ex algorithmo mi nutiarum . Quando autemminutiae habent aequales denomi* natorcs.tunc ea eft proportio inter numeratores,qute eft indi ipfas minutias. Si igitur proportio aequalitatis lit inter minu* lias ( ut cft inter illas quae aequationem faciunt) (i illar reducant ad deno minatores aequales, neceffe eft ut inter numeratores etiam fit proportio aequalitatis. Itacp denominatores abijciuh tur tanquam inutiles fcafuperflu i ad hanc rem . Ideocg fufficit ad prardicftaro redudionem multiplicatio in cruce» TDe aequationibus aute hulufmodi,,/^^ aequata nfuo loco dicam.i.capite quinto de coflids numeris irrationalibus# Quamuis hoc exemplum ( fumptum de figura fuperiori qua- drangulatam nunc facile intelligi poflit,redudum.Satis c* nim conftar,ut quadrata inter fe neceflarfo fint aequal/a.quord latera funt aequalia. Itac$ fi ^242* fit aequalis 1 x jiecefleeft uf »4 2* fint aequales 144. Tltern in figura quadrangulari etiam facile u/dere poteris, ut 2% fint aequales 12 2^. Sed locus huiuimodiarquatiombuf declarandis aliu3 inferius deputabitur.Quanquam & hoc e*- 1 em pium cum fimilibuseti3 iam poisit intelligi , Scilicet utram pars aequationis diuila binario ( id eft, uno & eodem numero ut paulo (uperius dieftum cft) relinquit 1 % aquatum 61 0 Satis autem conftat quod quadratum ( id eft, 1%) habens (e* latera ieu 6 radices}habebit in uno latere (eu in 1 , partes fet» punda 6,lt*c$ redufta aequatio fic ftabir. adaequat* i x» fcu 1 2* aequata 6* Or > mi L... Michabus sti fe lii * v 1 De diuifione quam regula Algebrae praecipit* SAtisdirtum eft paulo fuperius , uc omnia quae praemittit regula Algebrae diuifioni , ea praemittat propter diuifione, ot facile intelligere poflls Diuifionem efle principalifTimam partemtegular Algebrae. Nec mirum. Ea enim reiolu/t i o«,iti quolibet exemplo eius.immediate quidem, quoties diuifoils fi* gnum fuerit ?«: media t juero, cum diuifor aliud habuerit fignu tfoflicum.uidelicct %. uel rt.uelfcfc. &c Brcuibus iam o flendi potefi, quod regula Algebrae ,in uni* uerfa incomparabili^ copia fua,fit regulae Detriminifiraofi) cfofifiima}ut & hac ratione, regula Detriexcellaqquicquid uel inuentum eft,uel inueniri poteft in tota Arithmetiea.Remittic autem Algebrae regula ( fi acute res infpiciatur ) omnia ilia ad regulam Detri, cuius opera rurfum in multis exemplis indiger, quafi famula dominae fuae auxi lio, ut uidebimus in exemplis. ' Sic autem facit Afgebra. Aequationes inuemas,uel ex pro# nunciatione exempli immediate, uel mediante aliqua propofi Ciane Euclidis, aut aliquo alio theoremate artis alicuius.redu* (flasq? (id eft, ad regulam De tri paratas & coaptatas) ubi res pofiulat.remittit ad ipfam regulam De rri,quatenus illa more fuo, ad aequationem inuentam fuperaddat alteram, quam rei perfccftio requirit.Necp enim regula DeTri minus operofa eft in combinandis aequationibus,qua'm in combinandis propor* tionibus ; utrunqj enim uidere licet in quolibet exemplo eius. Vt(exempli gratia) 3 poma emuntur pro a & : ergo(iuxta re* gulam De tri) 6 poma emuntur pro 4$, . Seruant quidem nu* meri rerum , (uas coaequatas proportiones. Vt ficut 3 ad z ha- bet iciquialteram proportionem , fic eandem proportionem habet 6 ad 4. Sed nihilominus res numerorum, interim feruant fuas aequationes combinata s.Vt.ficut 3 poma aequata fiint ab emptore a tc^ uend itor e, duobus dena riohs: fic 6 poma aequata funt 4 denariolis , ab eifdem. Sic fimiliter dum ex figura qua* drangula,colligoinhuncmodu; 62*faauc 7 z,ergo/^e fac. is* (eruant Arithmeticae Liber iit* 23$ < /eruant numeri fuas proportiones inaequalitatis, & res nume* ;rorum feruantfuas proportiones aequalitatis* Sed (ut ad rem inftituta regrediar) oftendendum mihi erit, qua rationeregula Algcbrar diuidat, per numerum coflicum, deponentem fignum fuum coflicum quod gerit. Sed natura nu merorum hoc habet.quod duo numeri aequiualentes,ina?quali "ter denominati(ut apud nos /unc a gac & 24 inaequales fine numero unitatum^coaiTumpta^ unitate denominata £ deno- minatione horum numerorum maiore, conflituant terminos tres regulae DeTri.qua operatione ualor unitatis fic denomi- natae producar. Vt hic uides,z gro.dant z4$s.quantu datrgs*? Item ex figura quadrangulari fic: 1 1 1* dant 7 z, quanta dat r^ Etficintelligirur 1 2« multiplicari in terminum fecundum , ut fic etiam fecundus terminus recipiat fignum illius unitatis* Sed illud mox interimit diuifor, qui eft terminus primus in di- fpofirione De tri. Quando enim diuidendus Si diuifor habue# rint eandem denominatione,tunc altera alteram tollit(ut fatis •docui libro primo de diuifione numerorum uulgariter denomi ■natorum ) Si hac ratione amittit diuifor (dum diuidit ) fuam denominationem.Ex quibus omnibus patet diuifionem illam, quam praecipit regula Algebrae.cfle compendiofam operatio* nem regulae De tri,&c.Vnde cum ex figura quadrangulari fu •perius pofita,uidcam 7 a aequari 6 24* item 7 * etia aequari 11 %* diuido 7 z per 6, Si inuenio 1 z,id eft, numerum partium longfo fis radicis fe ala ter is. Item diuido 7 a per 1 a,& inuenio 6,id eft numerum breuioris radicis,aeque ac fi per regulam De tri fuif« fem operatus. 9 FDemum pars regulae Algcbrae accidentalis eft,Radicum cxtracftio , de qua nunc ultimo loco mihi dicendum eft aliquid €x figura quadrangulari pofita . Facile auteuides, ut a^aequea «ur 7 a. Et notum eft, z % cfle duo quadrata.Itacg duo quadtatt aequantur 7 a. Haec diaiflo non producit refolutam radicem, ied refolutum zenfum. Sic enim regula De tri habet: Michaeus Stifeii i a%dant7»*ergo i % dat 36, Quaerenda cft igitur radix qua1- drata de 36, ea facit 6. Sic i $ aequatur 7 z/acitc^ 1 %. 144. Et ideo 124 facit 12. Item 4* * aequantur 7i,fecit i%.»6.Et »2* fa» c/t4.Itcm 8 fc aequatur 7 2, facit 1 fc. 9. ideo 1 2« facit 3. Sic 18% aequant 7 2. Vnde 1 % facit 4. Et 1 2« facit x,8ic. Et hoccft quod dicit regula Algebrae : Numerum abfeonditum rcuclari,ucl in quotiente diuifionfs,uel in aliqua radice eius.] Additcp regula. Radix uero (i qua fuerit extrahenda, hoc pulchre & fufticieter ' (Tgnabit diuifor fuo coflftco ligno.] Scilicet, ubi diuifor habue* rit hoc fignu c^.tunc extrahenda erit radix cubica de quonente dhii(ionis.uthic,3 coaequati 10 29, facit 1 rt 343,8^ 1 2* facit r* Item ubi diuifor fuerit denominatus hoc figno , extrahenda erit de ^tiente diuifionis radix zenfizenfica: ut hic, 5- %% aequan cur 80. igitur 1%% facit 1 6fiC 1 2e facit i, Sic ubi diuifor denomf nabitur ifto ligno fi, erit extrahenda de quotiente diuifionis ra dix furdefolida : ut bic,8/? aequantur 8(92, itaqj 1 f> facit 1024, 6 1 2* facit 4.Et fic de alns in infinitum* Item ubicuncp polita ruerit denominatio figni liuius, * , ad diuiforem(at hic, 1 % aequatus 72 — 62^) extrahenda erit ra- dix quadrata de quotiente diuifionis,quaIis qualis fit quotiens ille; iciliccr quando 2 & aequantur »44— 122«, tunc 1 $ aequat 7 2 — 6 2^Efi ergo radix quadrata quaerenda de quotiente hoc 7 2 ~ 6 24. Sic etiam dum 1 % aequatur 6 2« -f- 7 2, quaerenda cft radix quadrata ex quotiente hoc, 6 2*-f-7 x. Item fi 1 & aequetur 1 2 24 — 36 1 quaerenda erit 123 de quotiente hoc 122^ — 3 6, Item fi r% aequetur 182«, — 7 2, quaerenda eft radix quadrata de quotiente hoc,» 8 2«— 72,Sed de inuentione radicum huiuf* modi docebit caput quartum. SAtis indicaui.ut calculatio fecundum regulam Afgebrae fit calculatio quaedam per lineas & fuperftdes.Oftenfaq* fune exquftdrangubri figura uariae inuentiones aequationum &c. Reflat nunc ut fignifieem, quomodo exempla & aenigmata formari pofltat fecundu aequationes inuentas aut inueniendas, Alexandct Arithmeticae Ltber n i* 234 V Alexander magnus.cum aliquando familiarius Califthe- nem philolbphum compellafiet,de xtate fua.fuorum^ amico rumpia diflcruit. Ego, inquit, Epheftionem meum duobus an- nisantecedo. At Clytus amborum annos fua artate compre- hendit,& prartcrea annos quatuor.Cui Califthenes: Cum pa- ter meus uixerit annos 96, iucunda mihi fuit ifta relatio 6 rex* Nam annos trium ueftrum artas eius praccife habuit* 1 Quxritur qua xtate Alexadri habita fuerit iftud colloquium* Primo pono unam lineam annoru pro xtate Epheftionis, id eft, 1 24 . Et fic pro xtate Alexandri ponenda erit xqualis U nea annorum, & duo anni.i. » 2*-+- 2« Et fic pro xtate Clyti po nendx funt dux linex prioribus xquales, & 6 anni.i* Et his fimulcoputatis,uideI/cet 40<2,-f-3,xquatifunt5) 6, 7. i * ifi. iia. ibj?. Et I7c deinceps in infioitura. Quemadmodum autem hic uides, quemlibet terminu pro* gremonis coflicae , fuum habere exponentem in iuo ordine (ut i habet i* r $ habet i QCc.) Oc quilibet numerus coiftcus,ler* uat exponentem fuae denominationis implicite, qui ei feruiat & utilis lit, potiiTimu in multiplicatione & diuifione,ut paulo Inferius dicam. Generantur autem ligna CoiTica Ungula, ex luis exponenti bus numeris.hoc modo. Exponentem ligni relolue in partes fuasahquotas incom* pofitas,(i Ut compotitus, ita ut ipium numerum partes illae refe ran t.mul tiplica tione fua inter fc.Quibus partibus fle flantibus applica cuilibet iuum lignum, tunc habebis lignum integruin integri illius numeri* . Exemplum* Volo inuenire lignum huius numen t4*RefoIuo eum in pat fes fuas aliquotas incompolltas , ipfum multiplicatione com- ponentes.uidelicet in z, >. z. 3, Et quia harum partium ligna lunt Arithmeticae Liber sii* funt hacc %. %. ct. ideo fignu codicum uigefimarquartae qua a titatiscolficxCanitas enim.i.primus terminus progreflionir colTicar.non reputatur inter quantitates ) eit hoc .Et reda ritur quodlibet lignum codicum rurfus in fuum exponentem numerum, Sic autem reducitur: Cuilibet ligno fuum exponentem fuprapone,quofado,muI tiplica exponentes illos inter fe, & ncccflc erit ut ea multipli# catio nc redeat numerus exponens illius ligni compotiti, ut Mc i o o generat hoc lignum hoc lignum apfi rurlum ad hunc numerum 100 reducitur. Sicut igitur infiniti funt numeri, ita infinita funt ligna colit ca.lcu cofTicx denominationes. Et ficut idem numerus non poted generare alterius numeri lignum, fic eadem denomina# tio cofuca non poteft clTe nili unius folius numeri exponentis expolita. Et ficut ncceflc cft,ut quilibet exponens copofltus, pariat lignum codicum compotitum, fic necetieeftut expones incompofitus.pariattignumcodicumincompotirum. . Progredio numerorum incompoutorum. *. 3. 9*7.1 i.»3.l7»»9»»J.a?.3»«37.4>.43*47.J,3«J’9^»* ^7.7i.73.79.^3. 89.97. roi. 1-03.1 07,&c. Progredio lignorum incompolitorum. cz.p.bp. c/?. d]?. e^. {Vc. Progredio lignorum compotitorum, ce*. %/?. iiez. ibfi. Sic. De multiplicatione^ diuitione.&radicum * extradione. r . Quando numerus codicus fuerit multiplicatus aut d/« uifus per numerum abdradum, tunc nihil didertea multipli* cario,aut diuifio,a multiplicatione aut diuifione numeri uulga riter denominatf,per numeru abftra dum. Vt licut 4 multi- plicati.per 3, faciunt 1 z : tic 4 oe multiplicat* per 3 , faciunt lz^, Et 4* multiplicati per 3 , faciunt n 1 , &c. Item MlCHABLiS STIFELII Item ficut i zftdiuifi per j,faciunt4f? : ita *z 2edlui& per 3, faciunt 42e.tt 1 z fcdiuifi per ^faciunt 4%. * 2. Quando numerus cofficus fuerit multiplicatus aut dtr uifus per numerum codicum, tunc numeri fignorum,fuam qui dem regulam (equuntur iuxta Algorithmum communem, fed Ggna fuam propriam multiplicatione & diuifionem habent» Regula multiplicationis crdiuijionis lignorum Cofficorum. AEjrponentca fignorom.tn multiplicatione a&fcc,in fciuifTo ne fubtra^e, tunc fit ejrponcno figni fictibi. Exempla multiplicationis. 3 z % multiplicari in zj c«.,faciunt 8 00/?. Item 4 in fe faciunt 1 6 3. Item 5- % in le faciunt a 5- Exempla diuifionis. 800/? diuifa per zj c* .faciunt 3 z fc. Radix quadrata ex 1 6 % , facit 4 2«* Radix quadrata ex zy^facityfc. Et ficdcalqs. Sic 4 ^ in fe cubice multiplicata faciant -64 xl , cum exponent figni huius 14 triplatus.faciat 3 .cuius fignum fit ct. Ita rurfum radix cubica ex £4 ct, facit 4Ze,cum exponens figni huius ct ter tte parte fui faciat i,cuius fignum fit2€,,&c. • Sic igitur probat multiplicatio diuifionemCut ubicp)&diui fio mulnplicationem.Item multiplicationemquadratam.pro# bat radicis extradio quadrata : di uiciffim radicis extra dio, probat multiplicationem quadratam dic, Alia probatio iuperiorum» Sit ualor ne. z ( poteris enim ualorem recipere ad placitfi, cum extra operationes regulae Algebrar, numeri coflici ponat uagas^portiones) tunc 3z%faciunt iz8.& zj-ct faciunt 200, faciunt uero 800 fi. 2 5-600. Vide iam an multiplicatio duorum horum numero^-, 1 z8 ,8i 2 oo.etia faciant z5--600.Ec ficdealtjs» Demonftratio prardidorum. . Qualiacunq? facit Arithmetica progreffio additione, & fub* tradionc, talia facit progreffio Geometrica multiplicatione. Qi Arithmbticab Libbr m< 217 & diu i fio ne. ut plene oftendi lib. 1 . capite degeomet.progref. Vide ergo, o» i» *• 3* 4* f* 6» 7* St I. 2. 4. 8* l6« 32. 64. 128* 25*6« Sicut ex addltloneCln fuperlore ordine) 3 ad 5* fiunt 8,fic(in In- feriore ordine) ex multiplicatione 8 In 3 2 fiunt 25- rf.Eft autem 3 exponens Ipfius octonanj , & j- eft exponens numeri 3 1 • Qi 8 eft exponens numeri 25-6, Itemficutin ordine iuperiori,cx fubtractione 3 de 7 «remanent 4, ita in inferiori ordine ex diui- fione 128 per 8, fiunt 16. Similia hic uides, I* a* 3* 4* f‘ 7* S. »* 1%. ic*. i/J. ifcrt.. »b/?. 1%%*. Sicut ex additione 3 ad j fiunt 8 ,0cex multiplicatione 1 rt in i fcfc&.Et ficot ex fubtractione 3 de 7 remanent4*fic ex di# uiiionc 1 b/? per irt, remanet 1 TDe reductione cofficorum numerorum , in minimos, fub eadem ,pportione, facile iudicabis.Scilicet 24^ & 3 6 j? fic flant in minimis,2.& 3%,Cum numeris enim tignorum agimus hic, iuxta Algorithmum communem . Signa uero reducimus pe* Subtractionem minoris tigni,ab utrocp numero coflico. Hinc fit ut alter eoru(.i .qui minus fignu habet)femp fiat abfolutusu Sic fimilif de tribus aut pluribus numeris codicis iudicabis. Vtti jfcrt aequati fint 14%%- 8%, tuc ita dabit aequatio reducta: 3 aequati 14% — 8. Probo. Radix maior facit 2 (minor enim radix facit , Alia exempla additionis. di«— ix 6% — 8i« »i« — 4 — 3 %• 8i« — 1 6 3%-f-*oi« Pro 1 1« (caufa probandi) poterisreciperequemlibet nume fum binario maiorem, in exemplo priore.Et in pofteriore ex* ... „ . oo. i) empto Michaelii Stifblh etfiplo, poteris recipere pro 1 i* quemlibet numerum quina* rio minorem* Exempla Subtractionis. tfs«,-f-8 — 8 4 — 4 45*"t"4 4^—4 Exempla exceptionis. rfrt.— 83^ ict — ioi« *ce. — idi 4Ct-f-x^ 4^ — Alia exempla fubtrad/onis. 6d — 8^ j3*-f-io ZC^-f- ICflg — z 4ct — i8ie — 3^ Alia exempla fub tractionis. 3%-f-io^ 82e-f-o 1 z2& 3% — *4 - *4 4*£ Vhftnum exemplum 3pp2f ec efle cootr^ rcguhiw ponit 0* Sed flgnum fubtradorum quod ponitur in relido Gibtradionis, prooenit ex prioribu* particulis, & non ex po* Aerioribus. Exemplum Multiplicationis. da* — 8 ' • ? 1 v —3 3°fc-f-*4 — Aliud multiplicationis exemplum, f— 824— d. ** 4 —*4%— 3 ***•+■ *4 I »*H- 1 dtf — 3 4* — 3 *«*+■ »4 Veli Aiuthmeticab Libbk. ni*‘ 2;? Vel Gc pone lumtnam* 3 <**— 3 * K, Exemplum Diuifionis* — jj.02^ 3ro%— «'ffae-f-jr* 8* r^— j Aliud exemplum diuiftonis* — fc quotiens **%—*?* -t-t* (6*-t-8i£— tf, **-f-oie — * ^%-f-oie— 4 ?fc-+-o3$ — 4 Exemplum extradlonum radicum quadratarum*. /*<■ Zffy'. — v^^-f-^4 (^— 8* Aliud exemplumextra&ibnis radicum* — Mi» ■SoJe-f-.roo- (^^-+-4^— 10* Probatur multiplicatione radldiin fe, ut 4-4^ — io* *fr-t-43fe — »o 3coffici figni mniorie, reliquum equationt8,ci- bembiuifortCfcb benominato) equatum rc. Cum autem 1 y fit aqualis 84 — 8 34 .ideo requirenda eft radix de hoc connexo 8 2*.Pono —4 loco — 8 2«,: qua multiplico in fe,fcci« unt 1 6,& hac addo ad 84,fiunt ioo.Addoautem(&nonfub< trabo)quia dimidium numeri radicum, intelligitur poni cum fuo figno fubtra,quar eft radix quadrati huius 72 — 6 faciens fua longitudine 6.Vnde 36 aequatur huic numero cofiico 72 — 6tz .Figuram autem de# monftra tionfs huius, nofti efle exemplum quartae propofitio- nis fecundi libri Euclidis. Sequuntur aliae formationes aequationum ex fecunda fecundi Euclidis. 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Illi 0 0 0 0 0 0 IMI 0 0 0 0 0 « f 1 1 1 0 0 0 0 0 O 1 1 1 0 0 0 0 0 O 1 1 1 1 0 0 0 0 0 O 1 1 1 0 0 0 0 0 O 1 1 1 0 0 0 0 0 O 1 1 1 1 0 0 0 0 0 O IMI 0 0 0 0 0 O 1 - > i 1 1 1% aequatus 1> o | o | o o o| o i | 1 1 1 | o j o| ol o | o 1 i | I I I I | 0 o| 0 1 0 1 o| o| i | i | < 0 1 0 | 0 | 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0 | 0 0 |. 0 1 0 0 1 0 1 0 | | 0 0 0 | 0 | 0 0 o| o|o 1 0 0 0 0 0 0 0 1 o)o| 1 1 0 1 0 0 0 00 o|o|o| | 1 0 | 0 1 0 1 0 | 0 | 0 O | 0 1 0 j i j Itacg extraho radicem eius quadra tam.id eft, a B,faciens longi tudine fua 5» .Demum addo radici illi inuentae , dimidium nu* meri radicum,uidclicet 3«hoceft»addo (propter lignum addi* torum) illi radici lineolam a c»ut coftituatur quadra tum.cutus cadix fit 1 2, Quod quadratum repraefentabatur per numerum; bUQCr Arithmeticae Liber rn, 24$ fiunc coflicum, 6 -f- 71. Item per 1 & . Figura autem ipfa eft exemplum propofirionis fextae fecundi. De aequationibus,duas radices habentibus. FSunt autem aequationes quaedam, quibus natura rerum huiufmodijdedithabere duplicem radicem, uidelicct maiorem & minorem: id quod plene docebo a tep demonftrabo. Et ut citius rem hanc capias,rec/piamus exemplum arquati onis,cui conueniat figura immediate fuperior : fcilicet, 1 fc fit aequatus /8 ^ — 71, Primo pono dimidium numeri radicum, uidel/cet 9 (cum in ttquationeftenr 1 80«,) hoc eft, pono lineam a B,facientem Ion girudine fua 9. Secundo , multiplico eam in fe, fecit 8 1 , id eft, quadratum fignatum dfris & literis I. Tertio, fubtraho ab illo quadrato,numerum atquationis pofitum i parte ligni diminu# iorum id quod lignum fubtradorum fignat,uidelicet fieri de- bere fubrra dionem : fcilicet, 71 fubtraho ab 8 1 . hoc eft, i qua# drato lineae A B, fubtraho' gnomonem quem uides fignatum cifris,Et fic remanet quadratum quod literis i fignatum uides. Quarto Igitur extraho radicem quadratam ex illo quadrato ' relido,fecitradixilIa 3: eft em radix quadrata lignari literis i, ' Quinto (cum iam 7 *,id eft, numerus politus £ parte ligni fub- tradorum, per fubtradionemfuo officio fundus fit, atep cum figno luo diminutorum omnino reiedum; nec$ enim numerus talis duplici ufu gaudet , ueluti dimidium numeri radicum, id quod me oportuit uerbofius dicere hic pro expolitione mem bri quinti feu ultimi.modi illius quem luperiuspofuide extra- dionibus huiufmodi , & iuxt a quem modum ifta omnia fiunt quae hoc capite docentur ) nullum fignum amodo fupereft,id cft.nccp fignum fubtradorum , nec$ lignum additorum,quod exprefle eilec pofitum. Ideo res pulcherrime refpondet aequa- tioni, fiue radix illa quadrati lignati literis i,uidelicet 3 (quan- tum ctiamfacit lineola a d fua longitudine) fubtrahatur de ra dicc qpadra ti lignati ciftis Qi literis i ( id c,de linea a D)fiuead pp tif cam» Michaelis Stifelii cam addatur. Si fubtrahitur,tuc relinquitur radix D B.Si uero additur* tunc fit radix C B . Scilicet u i % arquetur 1 8 — 7z,* tunc radix .6 rcfpondei aequationi tanquam minor radix, & iz eidem aequationi refpondct tanquam maior radix.Nam fi pro radice recipias 6, tunc i fc facit 3 6. Vide iam anrcfpondeatal tera pa rs aequa tionis,uidelicet an 1 8 le, — 71 etiam faciant 3 6, Faciunt autem 18^(1^ faciente 6 ) 1 08, i quo fubtrada 72, relinquunt 36. Item (7 recipias pro radice , lineam c b ( id eft , 1 z ) tunc 1 facit 144 . Vide iam an refpondeat altera pars aequatio* nis : hoc cft,uide an is^e — 7 i etiam faciat 144. Faciente aut 1 ie. t z. faciunt 1 8%. z 16. i quibus fubtrahe 7 a, tunc remanet 1 44. Et res fic inuenitur probata » Sic quoties 1 % aequat numero radicum, pofiro cum numero abfoluto, mediante figno fubtradorum , tunc femper (uno (o- lummodo cafu excepto) habebit ipfa aequatio duplicem radi- cem. Altjs uero cafibus.impoflibilc eft unam aequationem con Cinere plures aequationesquim unam. Exemplum exceptionis, Vtfit 1 % aequatus iitq — 36. Pono primo dimidiumnu* meri radicum , id eft, 6 . Secundo multiplico 6 in ie , fiunt 3 6, i quibus fubtraho 3 6 pofita i parte (igni diminutorum, rema* net o.NihiI igitur erit,quod uel fubtrahatur i dimidio numero radicum,aut ad eum addarur. * 1 • V \ ■ * ' * Itacp quoties inciderit aequatio inter 1 % & radicet politas, cum numero abfoluto,mediante figno fubtradorum, fueritqj abfolutus ille numerus aequalisquadrato dimidij numeri radi* cum, tunc ex]caufa iam oftenfa , habebit aequatio talis pro ra- dice fua,diaiidium illud numeri radicum (impliciter. Aritkmeti<5ah Liber iii. 244 TEt ut plenius captas membra, modi extratftionum, cju* loquuntur de additione & fubrradione (ut funt membra ter* rium &t quintum, modi illius) ita accipe rem hanc. Quoties 1 % aequatur tali numero coflico, 8 3» feu (quod idem eft ) 3 8 f — 8 , hoc eft, quoties in altera parte aequationis mediat fignum additorum inter radices & nume* rum abfolutum>tonc femperfit additio in utrotfc membro id efr,in tertib & in quinto, & nunquam fit fubtradio,& impoflt- bile eft ut talis aequatio duas radices habeat. Et quoties fignum fubtratforum , mediat /n altera parte x» quationis,aequatae ifc, fteterintcp radices i parte fignifubtra- aorum.ut hic 3 3— 8 ^tunciuxta tertium membrum fit addi tio,&: non fit fubtratftio, ed quod duo fubrratfh inrer iemolti* plicata,faciant additum, feu ponant fignum additorum . Sed iuxta membrum quintum feu ultimum, fitfubtratftio, propter fignum illud fubtradoru pofitum. Et impoflibile eft, ut aqua- tio habeat plores radices quim unam. n Et quoties fignum fubtradorum mediat /n ea parte aqua- tionis, qua aquatur 1 * , ita ut numerus abfolutus ftet i parte- figni diminutorum, ut fic 8 — 3« , tunc in tertio membro modi praditfi, fit fubtradio.&non fit additio , uidelicet pro- pter ipfum fignum fubtratforum fit fubtradio,cumhicnon multiplicetur fubtradum in fe,per membrum fecundum , ficut in priore difpofitione aquationis flebat. T ranfir autem numerus ille abfolutus cum figno fuo, cd q> fimplex officiam habeat .Numerus uero dimidius radicum duplex officium habeat. * Ideo in ultimo membro, ncc¬a fubtracftionis necp addi- tionis remanet. Idco'qp( lege aquationis) liberum erittib/.ut ueliubtrahas uel addas ; utrocg enim modo inuenies radicem aequationifatisfacientem. In cafu exceptioni s pradida, nihil additur, & nihil fubtra* «tur,iuxta membrum modi ultimum, Ideo &c. Adrjcienda- MlCHABlU STIFELII V Adfjc/cnda nunc eft demonftratio, qua uideas & int*lli- as,aequationeshuiufmodi( ubi fignum fubtradoru mediar, ante numero abfoluto£ parte illius (igni) habere duas radices (plures autem duabus, nulla aequatio habebit ) naturaliter • Et in hunc uium repetamus figuram capitis huius fecundam» uidelicethanc; B C F Quae ut hic ftateft exemplnm propofi tion/s tertiae.fecundi U* bri EucIidiSjCum arque pofliteile exemplum quartae fecundi. Vide igitur. Cum dico i aequari — 1 8. Certe exipfa v- figura uides,ut ifta haec aeq tio conucniat quadrangulo a b c d, atqj quadrangulo C d e F. Quadratumenim minus, quod oi- delicet literis i eft (ignatum , uides aequari iz xi— 18 . Scilicet totum quadrangulum a b C D continet i z aequales radices ha bet ipiiim quadratum minus,fignatum literis i. Vnde fi ab iftis radicibus fubtrahatur numerus 1 8, id eft, haec pars eius quae ci- tris fignata eft,tunc remanet i fc.id eft, quadratum ipfum flgna tum literis i. Conuenit etiam per omnia quadraognlo cdef: quadratu enim maius quod pundis eft (ignatum, uides aequari fimiliter 1 — 1 8, Scilicet, totu quadrangulum c o B F continet i % quales o o o o o o ili i O O 0 O 0 J o i iji 0 | 0 | O 0 | 0 0 1 f 1 i ♦ 1 ♦ ♦ 1 ♦ ♦ 1 * 0 O | 0 . 1 ♦ 1 ♦ 1 ♦ ♦ 1 ♦ 0 | 0 o ♦ 1 ♦ 1 ♦ 1 ♦ ! ♦ J ♦ O 0 0 ♦ ♦ . 1 * J » 1 . o o |o - 1. M. o| o | o .1-1-1. 1- - o o|o Arithmeticae Libe* m. 24^ quales radices haber ipiiim quadratum maius,pundis fignatfir. Vndc fi ab iftis i z fubtraxeris numerum 1 8,ideft,hanc par tem quadranguli quae dfrls lignata eft.tunc remanet 1 fc.idefl, quadratum ipfum punrtis fignatum* Certe uldcs unam 8C eandem aequationem hanc 1 fcxqua* tus 1 z — 1 8, habere duas radices.cum utricp quadrangulo conueniar.Ec eft 3 radix eius minor: &6eft radix ciusmaior. Vt fatis uides b Cefle latus minoris zenfi,& d b efle latus maioris zenfi. Quando autem dico, 1* aequatum 17 — 6-^, Certe uides uc illa ;tquatio folummodo minori quadrangulo conueniaLuide llCetABCD. * Sic quando dico, 1 % aequatum efle 7% — 3 3*,uides maiori Co lummodo quadrangulo conuenire. At qn dico, 1 * aequari 6 1*,-«- 3 6, aut 1 aequari 3 i* 7%4 uides ut aequationes iftae conueniant folummodo quadrato, continente quadrangulum utruncg.uidelicet abfe. Regula quaedam generalis comprehendens extradiones radicum zenfizenficarum,zenfi* cubicarum.zeni?zenzenficarum,zenfurdeibH darum,zenzcnlicubicajt,zenbiurdeiblidarui? 'lce lint denominatae, ita ut exponentes denominationS leruent leges progreflionis Arithmeticae.cum exponente par« cis non denominatae (qualem conflat efle o ) tunc potefl: fleri extraaio radicis quadratae,iuxta modum hoc capite pofitum: prouentt enim femper numerus abiolatus, flue ille flt rationa- lis.liue irrationalis. Poteris igitur poftea ex numero inuento. extrahere aliam radicem ( fi fignum coflicum maius , flt com« politum) iuxta reliquam partem figni compofit/.fubnoutam. Sequuntur exempla regulae huius,radices rationales producentes* «w I % , * 'MlCHABLI S STJJBLIf inaequati 145-0 — 8%. * > 1 %% aequatus 1 8 %-f— ^4-®- 1 %% aequatus 43 3 % — 41616* 1 ^ aequatus y 1 zo — 16 c«. 1 ict aequatus zoort-f- 34 $-6. 1 aequatu* 800 — ij^yr» 1 inaequatus z^^j-tTO' — -zo%^. . • inaequatus zooofc%-f— »85-076881* 1 M&aequatus z°oo° $$ — 784611 19*- J 1 aequa tum 74»4 — zoo /?. 1 %/? aequatum 80/? -f- 39609, inaequatum zoooji — 9994z4« Declaratio exemplorum, Primlexemph'fignafunthxc,%fc.%. o. Horum lignorum- ‘exponentes (unt hi, 4* z. o. Seruant autem termini conditiones omnes progrelfionis Arithmeticae, quemadmodu I ft i termini progreflionis Geometricae , 1 • z. 4 . feruant condi# tiones ptogrefltonis Geometricae.&c. Sic Irgna cofltca exempli quarti font hac, , c o. eorum autem lignorum exponentcs.funt 6. 3.0, , Sic ligna feptimi exempli funt, fcfcfc. fcfc. o. Horum'q$ ligno- sum exponentes lunt, 8.4,0. _ * Sic exempli decimi ligna funt Horum uero ligno- rum ex ponentes.funt io.j-.o. V Modo di regulis huius capitis fubtjduntur etiam aequa- tiones huiufmodi lignorum (ut uldebis capite fexto) uidelicet fecundarum radicum. . a fc. a. o. horum lignorum exponentes funt z. 1,0. Item a fc*. Afc. o. di horum fignoru exponentes funt 4.1.0» QCe* • Sic B%rt . Bce.. o. horum lignorum exponentes funt 6. 3.0.. ; Similiter t*** c*. 0, hotum lignorum exponemesfunt 4. a.o; Etficdealijs, * 1 z . » 5 4 ' S - 6 * 7 8 9 10 1 1 iz 1 Arithmeticae Liber i7fi. 246 Sed repetemus priora exempla. ' » FPrlmum exemplum fufr.x aequati 145-0 — 8 fc. D/ufdo Igitur 1 4 j-o — 8 % per 2, tunc 1 inuenltur arquatas 7 2 j- — 4%* Extraho igitur radice zehficam.feu quadratam ex 725- — 4%, facit 2 y. Deinde quaero radicem quadratam ex 25-, facit y. Et haec eft radix aequationis* Sic radix aequationis exempli quart/,eft4. Nam 1 % eius In- uentus iuxta modum in hoc capite datum, eft 64. Quaerenda icitur eft radix cubica ex 64 ( iuxta ligni huius rt lubnotatio* nem; facit 4. Et fic de alijs. De numeris codicis irrationalibus,# eorum , Algorithmo: # de numeris abfurdia. Caput v* \ • '* 7 * *>.* j aepissime utimur numeris irrationalibus fub regula Algebrar.adeo ut i plarrifq; dodisui* ris.numeri irrationales abfoluti.uocctur Coftici. Sed nos Cofticos numeros folummodo eosuo- camus,qui denominatione aliqua coftica funt fi* gnati.ut latis fuperius Indicaui. Eos autem Cofticos irratio* nates uocamus, qui faciem irrationalium numerorum ferunt fub coftica aliqua denomina tione, etiam fi refoluta i^inueral- antur fuifle rationales ♦ Necg enim de ijs iudicare poftumus, antequimr 2« refoluatur,an flnt rationales uel irrationales; cum fjb eodem ligno radicali, atque lub eodem ligno coftico, modo ftnt rationales modo irrationales.VtCexempli gratia) Ii in aliquo exemplo inueniatur ifte numerus /&io?«Juifte lub arquationc aliqua, cuius iic inuenta/ecerit y .certum eft ipfutn numerum fuilfe rationalem, arquatumqp cum 1 o.cum nihilo* minus in-aliquo alio exemplo.infinitis modis.arquari poftic nu meris irrationalibus,aup ita uere clleirrationalcs.Sic fieri po* qq ij tcft Michablis Stifelii tefi'(lmo facpe flt) ut numerus cofl7cus,abf<$ ligno aliquo radi cali politus, flt irrationalis : ut fi ifte numerus 2 o inueniatur fuifle fub aquatione aliqua,cuius 1 * fecerit 1 8,certu cft ipfum numerum fuiffe irrationalem,*quat6'cfc zoo &c.Haec ideo dico,ut intefligas me numeros coflicos irrationales uocarc eos, qui fub Algorithmo cadunt,qucm hoc capite tradabo, id eft, qui i parte liniftra habent fignum radicale,fignificans radicem extrahendam, quam numerus ipfe non habet : fcilicet %/fc 1 a ^ atc$ 7% 3 6 2«. uocabimus irrationales, & A) 6 fcuocabimus ra* tionalem &c. Credo ifta fufficere pro repraefentatione huiui Algorithmi.Nec enQciatio numeroru huiufmodi difficilis elt. Scilicer ady^iz%, facit y*fz*-f- y* ltem)6deSM6*,,facitSz)<;x>—36. Etffcdeafijs. Veruntamen fi figna coflica fint arqual/a numeri irratio# nales, fiue fignis illis addi poflinr,abfc& fignis additorum,tunc figna eos nihil impediunt , quemadmodum denominationes uulgares eos non remorantur abAlgorithmoru fuorum praxi. Vtqufaex y% 8 ad /fciS, fit yo. Ideo etiam exy% 83«, ad 8 fi t y o 2£.Et ex A 3 fcad»/%i8&,fit*/fcyo Sic etiam ex y* 8 2* de 1 8 remanet %/% 2 . Et ex 8 % de7%i 8 fcfubtrarta^emanct/** *,cd quod ex y* 8 fubtrarta dey$i8, remaneat»/* z. Sed probemus tamen exempla data arithmetice. Pono q> 1 2$, faciat 2, tunc 8 23, facient 1 6. cuius radix quadrata 4'igi^r y* 8 2® facit 4. SicAi8^tacittf .Nam iSiefad unt 3 6, cuius */fc facit (Utac* y* 1 8 *> -j-V*8 2* feu y*y 0 ^faci- unt 10, Vide iam an /%yo2* etiam Sciant 10. Scilicetyo^fa* dunt ioo, cuius y* facit 10. SicfimiIiterinuenies/%18^—’ 8 0« (eu v/^za« facere z,quemadmodum z de 4 fubtrada re* linquunt z. Altero exemplo (quod datum fijit) fit ex 8 *, addita ad y* 18 *, hoc aggregatum y*yo*. Faciat igitur 1 a*.*, tunc 1 * faciet 4, ateg ita 8 % facient 3 z, cuius radix quadrata fa citv/fc j 2, Sicy*»8*iunty*7z . Addenunc 3zady^7z, tuncinuenies y* zoo . Et tantum etiam facere debet y* yo *• Scilicet yo 3 faciunt xoo.cuius/fcfacit/fczoo. Satis igfturufdes resiftas effe certas. Et pulchre eis refpon* dent reliquar regular huiufmodi operationum. De multiplicatione & diuifione. V Quis numeri cofiici irra tionales/equuntur Algor ithmff numerorum irra rion alium, ideo non ferunt multiplicationem ■uc diuifioncm,niG idem fignum radicak habeat uterc^.id eft. qq iq nulli# ' .'MlCttA^LlS SflPBtU* * multiplicans & multiplicandus,aat diuiibr QC diu/dendus* (De (ignis autem codicis hic nihil dico ed quod illa multipli- cationem nunquam impedfanr,& diuiuonem etiam non i enj- per impediat,ut fatis nora fant harc : fcilicet 6 1?, diuifir per 3 %, faciunt p^cum 6 % diuifi per 3 1« faciant 2 2® &c.) Reda t igi* tur ut de redudione Agnorum radicalium dent d dicam. Suffi- cit tamen fi hoc fiat per exemplum aliquod. Ea enim regula, quam dedi de huiufmodi Agnorum redudione, fuperius libro (ccundo,in Algorithmo numerorum irrationalium medialia* nihil hic uariat. Sed exemplum u idea mus. Volo multiplicare 8 2«, per At 1 6 % . Primo igitur cos re* duco ad idem Agnum radica le. Sic autem dant ad regulam redudionis* Fiunt autem per regulam hi duo numeri codici, /fcr? j-f 2 rt, &Act2j-d%&.Iam igitur dant fubelfdem Agnis radicalibus, atcjj fub priori ualore feu proportione, id qd’ probando ed Ac» Faciet 1 2t.2.tunc8 2«,faciunt i<5.Cuiusv/%.facit4 ltacpy%8 2c funt 4. Item At 1 6 % funt etiam 4. Nam 1 6 fc ( 1 2* faciente 2) fa ciunt 6 4 : cuius At facit 4. Vide iam an colfici numeri inuenti refpondeanr, id ed, an uterq? eorum faciat 4. Faciente aut 12«. 2. faciet 1 ct. 8. Itacg j 1 2 re, facient 4096, Ollius Act,id ed radix zenAcubica , facit 4. Item 1 fcfc facit 1 6, Faciunt Igitur 2 $6 £& etiam 40 ptf.ut eius Act faciat 4. Iam igitur multiplico «/fcctj- 1 ice inerti? 6 Ac fiunt 310716^. Proba. 1 b/? facit i. 28 .unde 13 1072 b/i faciunt 1^7772 16. Iam uide an huiqs numeri faciat 1 6. Nam cum utercp multiplicatio, nis terminas faciat 4 ,& 4 in 4 faciant 1 6 ^equitur quod numo- v .-i rus Arithmeticas Liber :lm, 248 rusprardidus faciat id. Scilicet de »<5777x16, fecit 4096. &%/ct de 4096, facit 16. Exemplum diuifionis. Volo diuidere Art 131071!^ per %/% c« j- 1 z c* , facit diuitfo Scilicet 1 3 1071 per j*i 1 diuifa/adunt zj-6. Sic figna radicalia in multiplicatione & diuifione funt inde- clinabilia, fed figna coiTica declinantur: ideo Quotiens facit J ictis. 6 ty. De redudione irrationalium cofficorum numerorum ad terminos. • ’ * • : i ' > • . »"• ' V T Quandiu autem figna radicalia terminorum proportta* nis aut aequationis alicuius, non fuerint reduda , non poterit fieri redudio fignorum cofficorum, qualem redudionem do- cui capite (uperiori* Vt politis his numeris duobus cofficis irrationalibus,,/^** 1 ^intelligatur facere x,ipfi inter fesequaticrunr. At fi reducasfigna eorum coflica, fignis radicalibus non prius redudis.nequaquam manebit arquatio. Neqp enim aquabitur 8 cum ,/1* i6 5s.fi 1 5* faciat z, ut fuppofitum fuit. Redudit enim fignis radicalibus.flerentAcfiyj z Si 6%. Et fatis uidesut^rtj- iz ioi4,non finr numeri arquales. At re* dud/s prius fignis radicalibus, antequim reduc3tur figna cof- fica.fic flabunt, ,/%* y i * ct & Jtfi zr6 ** . Deinde redudis li- gnis cofiicis.fic flabunt J\tfty 1 * iy6 5*. Satis autem ui* des, ut 1 faciente z ,fatiat>/irt. numerum arqualem alteri fine figno coffico polito 8ic. • ‘ s • * * . ». • V* • , De Minutijs huius Algorithmi. - * - T • < . . . FNihfl quidem cfl in tota Aritbmer/ca hac, quod fa-pius «fietitum fuerit hac regula , uidclicct quod Minuiixqualef. - 1 ✓ 1 cunqj. MlCHAB.Hl STIfltll cuncp.fequantur Algorithmum fuorum integrorum,fuxta re* gulas Algorithmi communis. Itacg nihil opus cft hoc loco.uc ud regulae uel exempla ponantur, quod toties dederim exem# pia de buiufmodi operationibus* De (ignis additorum QC iubtradorum,Si de numeris Abfurdis. FNec opuseft plura d/cere.ut Algorithmus praefens utatur lignis additorum &C fubtradorum.Ea enim dicerentur quae dl da funt prius. Sciendum tamen, quod duplici neceffirate uti# tnur (Ignis illis . Primo enim utimur Illis innumeris talibus, quorum proportio praecife dari non poteft : ut in numeris irra tional ibus. Secundo urimur eis in numeris talibus, quorum ^portio ignota eft,& (1 praecifa fit; ut in numeris coflicis.dutn numeros quaerimus nobis abfeonditos. Sed praeter neceflfitat? hanc duplicem,utimur eis commoditatis gratia, ut aliquid per ea monftremus aut doceamus, queadmodum me hoc loco uti uidebis.non neccflitatis fed commoditatis cau(a. Prima autem regula de fignis illis tradita,quatuor habet ua riationes exempIoru,quae fequentibusexemplis repraefentant. 8-f-4 8—4 r o— f — y io— r f 0 — f 8-f~4 8—4 18-1-9 *8 9 2-t-l 2 1 Sequitor exceptio regulae , quae pertinet ad fubtradii Et habet etiam quatuor uariationes, quae (equentibus piis repraefentantur. • * •-M1 1 o-f-t 10—2 8 — 2 IO-f-2 »+-3 8 — 3 10 — J- 3 — * 2 1 2-f- 1 3 — 2 Secunda regula.quantum attinet ad additionem,etiam qua» tuor uariationes habet, quae fcqucntibut excmplii reptae# lentantur. •-H1 Arithmeticas Liber iii« 249 8-f-r 8 — r 8-4 I «-I-4 . 10 — 4 io-f-4 10-f-r 1 lo—f f 8-f — i 18 — 1 »8— f— 1 18 — l Quantum uero fecunda regula pertinet ad fubtradionem» huiufmodi quatuor uariationes habet. •s-f-y »8+4 »8 — T 1 8—4 8—4 8—5- 8-1-4 8-t-r to~h9 ,0~f~9 10 — 9 10 —9 Regula multiplicationis di diuiffonis, quantum attinet ad multiplicationem.quatuor uariationes habet huiufmodi. o-f- 6 0 6 0 - | — 6 0 — 6 o-f-4 0 — 4 0 4 o-f-4 04- 24 o-f- 14 0 — 14 0 — »4 Quantum uero attinet ad t luitionem, quatuor (imilesuarJ ationes habet huiufmodi: 0-I-14 0-+24 0— »4 0—24 0 ~ y ■ 6 0 6 o-f- 6 0 6 o-f-4 0 4 0 — 4 o-f-4 V Vides certe,ut haec omnia uaniflimis nugis uideatur efl*e fimilima ,& tamen Cofficae operationes, fecundum ea fadar» plane mirificas inuentiones habent . Sed ut nihil obmittam eo Tumquae ad integritatem Arithmeticacpertinenr,meam'<$ fa- cultatem non ruperant, dicendum mihi uidetur hoc loco de Numeris fidis intra nihil. Quemadmodum autem uariae finguntur radices numerope, fub numeris n5 habentibus eas radices,fitfcg haec fid/o fumma utilitate pro rebus mathematicis : ita finguntur etiam non fru ftri.numeri infra o, id eft, infra nihil. V t uolo exemplum fubtra dionis politum iiiperius repetere hoc; 8 — 2. •o— T . 3 — * rr Primo i . MiCHAB tis SYlFBtn Prirrto fubtraho iode8,&: non inoenio numerum aliquem (iipra o id cft, fupra nihil,quem ponere poffim iufta fubtradto nisIege.Nam fi ille i quo debet fieri fobtrartio, effet maior eo qui fubtrahitur ( ut fi loco numeri 8 poneretur numerus n) tum tandem haberem numerum ponendum uerum , Sic fi illo numerus i quo fleri debet fubtratfio,eflet aequalis ei qui fubtra hitur (ut fi loco 8 ponerentur i o ) tunc relinqueretur o.i.nihil, (quod mediat inter numeros ueros & numeros abfurdos) Iam uerocum numerus fubtrahendus maior fit co 5 quo fit fubtra- tftio reftat ut numerus infra o,id eft, infra nihil,ponatur,uideli- cet o — a,Sic fimili ratione poftea fubtrahoo— j- deo — 3 inuenio o -+- 3 .i. numerum fupra nihil, feu numerum uerum* Sic Cofla folet.pro immenfa copia fua.ijs uti quae funt,& ijs qu* finguntur efle. Nam ficut fupra unitatem ponuntur nu- meri integri, & infra unitatem finguntur minutiae unitatis , & ficut fupra unum ponuntur integra, & infra unum ponuntur* minuta feufratf a : fle fupra o ponitur unitas cum numeris « infra o fingitur unitas cum numeris. Id quod pulchre repraefea tariutdetur in progreffione numerorum naturali, dum (eruit progrejfioni. r . . 1-3 1-^ — 1 1 0 1 l | *| 3 1 4l S j 6\ U | i V a 1 i 4l 8|i«|3»K4| Poffet hic fere nouus liber integer feribi de mirabilibus nu- merorum ,fed oportet ut mchic fubduca,& claufis oculis abeS. Repetam uero unum ex (uperioribus, ne fruftra dicar fuifle in campo ifto. Sed fentenda inuerfa repetam quod mihi repeten* dumuidetur. u V Qualiacuncg facit progreffio GeometTica multiplicado & diuidendo, talia facit progreffio Arithmetica addendo & fub trahendo. Exemplum. Sicut £ multiplicata in 64, facit 8, Sic — 3 additum ad 6ri a« c u -i ^ citj*. Arithmeticae Liber 'iit. ifo cit 3. Eft: autem — 3 exponens ipfius ficut 6 eft exponens numeri 64 ,QC 3 eft exponens numeri 8» Item i?cut 4 diuidens 64, facit 5-11: fic — 3 fubtradum de 6 facit 9. Eft autem 9 exponens numeri huius 5- 1 2. Item ficut 64 diuidens -g facit-f—. fic 6 fubtrada de — 3 re- linquit — s>.Eft autem — 9 exponens fradionis huiusy|x« •Et fic patet pulcherrimum iudicium de minutijs unitatis ab ftradx,& de ijs qux Eudides,Boetius,8t altj fenferut de indiul fibilirateunitatis.Dequa re etiam primo libro difputaui,uide* licet minutias unitatis habendas elle pro numeris fidis. V Sed qua ratione fit.ut — 24diuifum per — 6 faciat-f— 4? Refpondeo.Ea rationcquaex uno minuto diuifo per unum icxrumCquod incredibiliter minus eft millefima parte unius mi nuti ) fiunt horae 777600000, facientes fere 887 16 annos. Item ( ut familiarius fimile ponam) ea ratione qua k diuifa per ? facit 2. Nouerunt etiam indodi £ fc contineri fub k fi bis. , Sic unum fextu continet fub uno minuto toties , 777600000* (cum unum minutum tot faciat fexta)& fic contrahitur ad quotientem iftura aduerbialem, denominatio ifta remporis}ui delicet horarum, ut deinde tot horae faciant annos 8871 6. Sic dum diuido — 24 per — 6 , tunc dico — 6 contineri fub — 24 quater.Et ifte quotiens fic notandus uenit -j- 4. Quado Anim fubtraho — 6 de — 24, tunc remanet — 1 8.Et fic femel fubtraxi — 6 de — 24. Subtraho igitur — 6 de — 1 8, fit rema* net — » 2 : dC fic 2, id eft,bis fubtraxi — 6 de — 24.Tertio fub* traho — 6 de — 1 i,6C remanet — 6. atep ita ternarium feci fub trahendo.Quarta igitur fubtradione fada, 4 produxi, rema* nente o. Vides aut ut in abfurdis numeris omnia flant abfurde ex multiplicatione z et in 4 Afc proueniant 8 c*. A% (hoc cft , 8 ce multiplicati in 1 a %) Suppono progreflionem Geometricam duplae proportionalitatis , pertinere ad primas ' radices : & progredionem triplae proportionalitatispertinere ad fecundas radices . Itaqj z et faciunt 1 6, & 4 a % faciunt 3 6. Multiplico igitur 16 in 3 6,fiunt y7<5.Iam uideo an 8 rc multi* plicati in i a 1 etiam faciant si6. Faciunt autem 8 cubi 64, Qt 1 a% facit 9.&C, De additione & fubtra&ione nullam habemus difficultate. Scilicet z ad z a, faciunt z 2e-f- z a . Sic z a de z 2$ , faciunt aie — 2 a, SCc* rVt uero totam fecundarum radicum tradationem intel* ligas, fubijdenda iime praedidis exemplis AIgorithmi,exem- pia quaedam ufu facilia,doneccapite 1 z alia ponantur. Exemplum Chriftophori 20. I . Sunt duo numeri, qui additi ad fe, faciunt 1 y , Diuifus uero maior per minorem.facit 15». Numeri illi iunt 1 2«, & 1 a . Et fle ion per (dum duo numeri proponunt quacrendi,obmifli proportionis eorum connotatione) poteris pro fecundo nu* mero ponere ia. Quando uero duo numeri quaerendi propo- nuntur , & connotatur proportio, ut facile, abfcpadiutorio fe* eundae radicis, poflffs utruncp repraefentare, tunc perfuade tibi peccatu efle , fi per plura flant quae poftiint fleri per pauciora* V nde fi mihi proponantur duo numeri quaerendi fub propor- tione dupla, qui multiplicati inter fe faciant 1 8»ego mox pono hos duos numeros coflicos 1 z oe.ftatimcg inuenio z % aequa tos 1 8,&c. At fi hos duos potuero 1 ic. 1 a. tunc oportebit me primo fecundam radicem, id eft 1 A.refoluere in radices pri* masjanrecp poflim procedere. Scilicet , cum proportio dupla debeat efle inter duos numeros illos»tunc fuppono 1 a efle du- plum Arithmetica! Liber m, piam ad i^.Vndc ii 124 dupletur, tunc erit aequatio inter 22* & i a .Diuido igitur,& inucnio i a facere x k* E t fic pono tan- dem hos duos numeros, i a®. x ii . &c« Sequitur profecutio exempli prioris* Pofitis duobus numeris exempli dati, i lA.audioinpro Cunciatione,additos facere ij.Itacp 12^-f- ia aequantur tr* Etpertranfpofitionem ia, aequatur iy — ne. Facit igitur ia, a r — 1 2e. Vnde numeros inuetos denuo pono,(7ci 1 j- — 12*. Audio igitur ulterius ex pronunciatione exempli, quod maior diaiius per minorem, faciat ip. Hic (2 dubius, uter eorum fk maior,fcito hoc Rtum e fle in arbitrio tuo. hoc eft, 1 2« potes re* dpere uel pro maiore uel pro minore. Si enim 1 oe pro maiore feceperis.tunc , r— aequabitur 1 9, & faciet ne. 14 i . & fic minor numerus erit |> Si uero 1 oe receperis pro minore numc ro,tunc 1 rf2£ 7e aequabitur ip>dC fic faciet 1 ie. j. Fltfem exemplum aliter. Sunt duo numeri, quorum maior diuifiis per minorem, facit 19, Additi uero ad fe.faciunt 1 y, Numeri funt, 1 24. & 1 1. Diuifa autem 1 ^ per 1 a, facit aequatam i^.Itac^ 19 a fune aequata 1 2$ . Facit igitur t a. Vnde fic repetuntur numeri primo politi, 1 ^.f^.VItcrius autem in pronfleiatione audio, qudd numeri inuenti faciant iy fi addantur. Itaqp »^-f— -fi^S hoc eft, 75^ aequantur 1 y» Et per redudionem, 28 y aequantur ao ^fecit 1 K. 1 4 i* Ergo facit 4* rVel fic operare* Numeri funt, 1 2*. ia* Audio autem maiorem diuifum per minorem facere 1 9. Vnde Inaequatur 19. Et per redu&ionem ad integra, 1 a aequatur 19 a* ♦ Igitur ia fecit 19 2c. Itacp fic ftant numeri in propor* Cione inuenta, 1 . 1 p 2« , Et illos duos numeros audio fecere iy,fi addantur »Itacg 20 a* aequamur iy,fecit ne.|* «« Vd Michablij Stifblii • rVcUniibet) refolue min ia* ut Sunt duo numeri , qui ad fe additi faciant i j.Diuifus utro maior per minorem facit ip* Numeri funt, ne 6C ia. Hi additf,faciunt i^-f- i A,acquatum i j-.Ergo per tranfpofl- tionem i ^aequat ij- — i A.Igitur i a^facit ly — ia. Sic ago repetuntor numeri, i a. i y — ia. Sequitur in ,pnunciatione exempli, quod maior diuiiiis per minorem faciat i?.Itaq? — aequatur i p. Et per redudio* nem ad integra, ia «equa tur zSj- — ipA . Et per redudionetn ad flmplicia, zo a aequantur z8 y. Facit i a, i 4 £ , Et fic de alrjs. Y Aliud exemplum. 2. Septem uiri debent mihi pecuniam hoc modo. Primus, & fecundus, tertius, quartu5,quintus, & fextus.debent 14Z fly (Hic obferua,quod debitum (eptimidebitoris folummodoex- clufiim eft ab hac fuirima florenorum. Pqpo igitur pro fumata feptimi 1 2«. florenorum, & fle erit fumma totius debiti, i4z-f- 1 ^ flo.) Secudus, tertius, quartus.quintus.fextus^feptimus, debent 1 16 flo. ( Hic excluditur debitum primi . Pono igitur pre fumma primi, 1 a florenorum : & fle iterum uenit fumma omnium,faciens 1 z6 -fr 1 a flo.) Tertius,quartus,quintus/ex- tus,feptimus,&primus,debent 1 36 flo. (Excluditur hic debi- tum fecundi : pono igitur pro debito eius 1 B flor.& fic iterant producitur fumma omnium, faciens 1 36-f— 1 b f£.) Quartus» quin tus,fextus,feptimus,primus, & fecundus, debent iz8 flo» (Hic uides excludi debitum reruj, Itaqj 1 c florenorum debec tertiuSj&eritfummaomnium i z8 — | — i C flo.)Quintus,fextua, feptimus,primus,fecundus,&tertius,debent 130 flo.(Hicex* eluditur debitum quarti,quod facit 1 D florenorum. Eft igitur fumma totius debiti, 1 3 0 — f— 1 D f^.) Sex tus, fept imus, primus; fecundus, tertius, & quartus, debent 1 zo (Hic excluditur de* bitum quinti, facit itaepuniuerfum debitu iftud,izo-f- 1 B 6eptimusjprimus,fecundus,tertius,quarcusja:quintus}dcbcnt w 1 -X Arithmeticae Liber iji; 2^4 148 flo.(Hic excluditur debitum fext/,faciens 1 p florenorum ut totum debitu faciat 1484- 1 f flo.) Quaftio ergo eft.qilan tum qutUbet horum debitorum peculiariter debeat C' Habes aute aequationes fcptem in hoc exemplo. Satis enim conftat ut quodlibet totum,ubi integro, iit aequale. 1424-12« 1 f- 1 a Quia fepties ponitur 1 3 6 -f- 1 B fumma omnium, ideo 1 1 8 -f- 1 c fex aequationes erunt. 130-f — | D 120-J-l E 148 -f-“l F I. Quia 1424- 1 3« aequatur 12*4- ia, ergo per redu- ctionem 1 a aequatur 1 6 — f- i 2«. Etcii fumma fforcnoruni quam debet primus. ■ a. Sic cum 14 x-f-i aequetur f 3 B.facieti B* <4- 1 ^.Et e ft fumma fecundi. , *. Item i4*-f-i3fc aequaturi 28 4- 1 C. Fadt igitur » C, ■4-f-i^. 4. Et 142 -f- aequatur 1 jo 4- 1 d . Fadt igitur 1 D# l*-f- 12«. f. Sic 1 4» 4- aequatur 1 20 -f- 1 b , Fadt igitur 1 i. *2-f- 12«. Et 1 42 4- 1 2« aequatur 148 -f- 1 p. Fadt igitur 1 P# #2« — 6, Summae iiogulorum; Debitum primi, itf-f- 1 3« Debitum fecundi. 6 4- 1 ac Debitum tertii, 144- 1 2« Debitum quarti, 124-12« Debitum quinti, 22 -f- i^j Debitum fextf, 12« — 6 Debitum feptimi, 1^ st q Additio • V. —y MlCflABLIS STIFBL1I Additio harum fumraarS omnium facit^-f-^.Et quit eft fumma omnium , ideo d aequantur 1 4*-f- • ]c. cum etiam fit fumma omnium, ut uidimusfupcrius, Reducta aequatione hac, inuenies nefacere i f - Summ* igitur Angulorum fic ftabunt relolutae# Debitum primi. 29 R Debitum fecundi# 19 fv Debitum tertij. 27 R • Debitum quarti, 2S no* Debitum quinti#. ysR . Debitum fexti* 7n Debitum ieptimi» »3 R ... - .. - Satis uides.uidebisfcp plenius ex capitis duodecimi excphs, qqjtn commoda Gnt figna mea pro fecundis radicibus poli»# T Aliud exemplum egregium# i Sunt duo numeri,qui fubtradi i fuis quadratis , relitu quunt 78. Additi uero ad produdum proueniens ex multipli* itione namerorum ipforum inter fe,fcciunt 3 9. Ouaftfo eft, quanti flnt numer illi/ * — 1 11 t;;. 1 1 1 1 1 1 1 1 1° 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1» 1 0 0 0 1 0 1 0 o|o|o|ojo|o| 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 1 0 0 9 0 1 0 o- O O O O O O O I [:> o|o 0 o|o 0 1 0 1 O 1 0 | 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 | 0 o) o|o | 0 | o|o| 1 c_ 0 0 0 0 0 0 0 i t* o o 1° exhdcfigurd [umptumcft* Arithmeticas Liber iii» 2?$ Pidura cxcmpU pracfenri*. Pro primo numero pono iicC&eftA C linea) & pro numero fecundo pono i a ( & eft I/nea c b ) 8C pro fumma amborum» . pono i B ( &eft linea ab) fiquidem fumma amborum debeo» iuxta pronunciationem exempli, addere ad iummam prouenf entem ex multiplicatioe unius in alterum,eandemt$ iummam fubtrahere debeo i fumma quadratorum ex utrocg numero fa- dorum. Facit igitur quadratum numeri A c ( feu i*&) i % . Et quoniam famma amborum quadratorum, facit 78 , poftquam lumma amborum numerorum (id eft, 1 B) fuerit ab eis fubtra* da,ideo flgno maius quadratum fle 78 -f- 1 B— i&cum ambo quadrata fimul fumpta, faciant 78 -f- 1 B.Et fupplementun* unum»i, medium ^portionaleioter ilia duoquadrata,fic flgno,. » iip MlCHAELIS STIFELIi 39 — 1 b,co qu6d fupplementum illud proueniens ex multipli catione unius in aherum.faciat 39 — 1 b « Nam fi 1 B ( inquit pronuntiatio ) addatur ad fupplementum illud, tunc tandem fiunt 3 5>.Sic fi 1 b fubt rabatur i lumina quadratorum,tunc tan dem relinquuntur 78* Clare autem ex pidura exempli uides> quod duo quadrata (id eft,78 -f— 1 b) dC duo fupplemcta (id eft, 78 — a b) aequen tur quadrato lineae A B.quae linea facit 1 B . Itaqj 1 b% aequator iy6 — 1 B. Quaero itacp radicem quadrata ex i?6 — 1 B, irncta modum extrahendi,datum capite 3 .Eodem enim modo extra hesde 1 — 1 b radicem,quo extraheres de i?6 — Pronundatio autem exempli unum folummodo ponit fup* plemcntum, ideo alterum addendum eft, ut figura quadrati \i* neae A b compleatur .Inuenies autem per cxtradionem talem» 1 b faciat ii. Et haec eft fumma amborum numerorum* Deinde quaeftio eft .quantum faciat utere# per fe.Nofti aute iam.q» 1 B faciat 1 a. Itaqj 39 — 1 B facit >7. & 78 -f- 1 B — 1% facit 90 — 1 fc.Eteft x7 medium proportionale inter 1 1&90 — 1 % (ut latis cognofcis ex inlpctft ione figurae). Multiplicato igitur i %in9o — ifc, fit hoc productum 9 c — 1^, aequatum quadrato numeri Z7« i. 7 19. Vnde aequabitur 90 $ — 7x9» Quaere igitur radicem zenfizenficam ex 90 & — 7x9 « Scilicet {adix zenfica feu quadrata» primo quaereda eft ex 90& — 719» eo modo per omnia, ficut docui cap. 3 «uidelicet no aliter quira fi pro 90% — 719 ponerentur 90 5«, — 7x9 aequatae 1^. Facit igitur radix zenfica maior 8 1 .cuius radix quadrata eft 9.61 ille eft numerus maior.Sic radix zenfica minor facit 9,cuius radix quadrata eft 3 .& eft numerus inueniendus minor. Nofti enim ex tjs quae dixi capite tertio.ut huiufmodi numeri coffici habe- ant duplicem radicem : & hic uidcs.ut natura rei,hic,& In fimi UbusexempliSjCogat hanc duplicitatem# Dc *i. Arithmbticab Libbr i h; Dc exemplis regula: Algcbrae pertinentibus ad caput primum. Caput y 1 1, v N c, parte praeceptorum Algebrac huius finita, fequitur pars altera.de exeplis regula Algebrx, quorum maximam partem recepi ex iucundiflt* ma copia illa exemplorum.quam Chriftophorus . nobls exhibuit. Habet etiam Hieron.Cardanus ingenioljifimas quafdam exemploru opera tiones.quas opor- tebit me addere «emplis Chriftophori : quibus fuperaddam no.™" Ia Adami Teu Gigantis. Confido autem quod liceat inihi hoc, quemadmodum licere mihi puto ufum illum propo# fitionum Euclidis.ex Campano & Theone, que uides in hLro Arithmetica huius fecundo &c. Cui autem hoc difplicer repu tet quam diligenter & candide hanc artem colam.qui reueren* ter Ungulos quorum feriptis utor, appellem, & nihil eoru mihi arrogem. Deinde fi Chriftiani fumus>non dubitamus omnia i * s h a de o etiam fpinas has.quibus fe ambitiofi&inuidi torquent a tqp alios pungunt. Capitis autem prafentis exempla, talia erunt, qua partes re gula Algcbra eflentialcs (de ouibus dixi capite primo) habe, antfolummodo,& qualia Lector intelligere poflit cx primo capite intellecto, etiam fi nondum intelligat fequentia capita. Primum capitis huius exemplum, • t _ • Et eft Chriftophori x, ^Vmmam pecunia quam in manu mea fero.exift/mat qui, Odam aftantiu nalere 20 flor.Cuius errorem ego fic corrigo, bi inquam pecunia huius mea haberem adhuc partes, tertiam & quartam, tunc haberem 20 florenos. „ . Quaftio eft quantum habeam, •* fl°r’ 1 T Cid eft, (fd eft i Je) curo toto ' M.cUni ih) efficiunt flnmi irI s^tqi «f^furoa illa cum 20 Diu!# Michaelij Stifelii Diuidendi funt igitur ( iuxta regulam) zo ft? per i rl.tune tru uenies i z f| fi?.& eft ualor unius radicis politae.Tantum igitur pecuniae habeo in manu mea. hoc eft, i z fi?. 1 3 gro. 3 7J &• Obferuabis aut,ut in uno exemplo multae concurrant aequa dones. Vt in hoc exemplo, aequatur primo 1 2$ numero inixn» to : uidelicet 1 z 7^. Secundo } aequatur 4-^.Tertio Jae aequa (ur 3 1^. Quarto tandem i-~ ti aequantur zo. Satis itacpuides ut poft politam unam radice, flat proceftus per obicuras aequa tiones,donec peruenias ad aequationem claram, ubi ambo ter- mini aequationis exprefte lint politi : qualis eft in bocexemplo aequatio duorum terminorum horum 1 7! 24, 1 zf|. Secundum exempIum.Et eft Chriftophori Z7. SAbeo 4 groftbs diueriorum uaIorum,ualentes (imul 6 fi?. Quoru primus feu maximus,ualet duplo plus fecundo, udus ualore triplus eft ad tertium. Et terdus quadruplus eft ad quartum. Qyaeritur quanto quifqj ualeat. / uie aequanturtffi?» 42« 12« Hoc eft, 41 ^aequantur 6t facit 1 *e.+f fi?.&cft ualor quarti Itacp 4 2* faciunt fi?. Valor terttj. Et iz 2« faciunt »*-ffi?.VaIor fecundi. Et z42<. faciunt 3^7 fi?. Valor primi. Valente igitur 1 floreno z 1 gr, & 1 gro.oalente 1 z &(quem ualorem unius floreni uolo retinere per totum librum,lic enim no oportebit me eandem rem iarpius repetere) ualcbit primus feu maximus, 3 fi?f 1 o gro. Secundus ualebit 1 fi?. 1 y gro. 1 o*j Tertius ualebit 1 z gz*. 3 Quartus j gro, |f&, $2tU Arithmeticae Liber m. 2?? • Satis autem uldcs.ut polita i ^ fadus fit afcenfus i m/nfmo tifcp ad maxlmum.i.ab i 5* ufcg ad 24 2^ Poteris tamen etiam (pofita 1 oe) defcendere hoc modo* ne . v 4^ sequantur d* 42« r?2® j Hoc eft aequantur 6, Facit 1 * 3 5-f ualorem primi groffi.&c. Exemplum tertium capitis huius. _ EteftChriftophorlzS. fTpRes foen conferunt totam pecuniam luam , atcg Ita collf- X gunt i ff .Fuerat aurem fumma primi fubduplaad fum« mamcollatam i fecundo . Et fumma fecundi fuerat fubtrlpla ad fummam tertq. 1 Quaeritur quantum qulfqt contulerit» xie sequantur Hoc eft, 9 24 aequantur 4 f^Itacp » 2* facit ft. hoc eft, 1 grof* 9 $v.& eft fumma primi. Ergo fumma quam contulit fecundus, fuit 3 gro.d &.Et fumma terrrj fuit, 1 o gro. 6 Exemplum quartum capitis huius, ' &eft Chrfftophorl 29, Eflprogreflio geo metrica .triplae proportlonalitatis.trlum terminorum, cuius fumma aggregationis facit 10, Quaeritur quanti fint termini illi. 1 2«. 32«. 9 2*. Sunt Igitur 1 3 ^aequatae 10, facit 1^.7? I Et haec eft progreffio quaefi ta, -ff. if. ff. Quintum exemplum capitis huius* ' Y A EteftChriftophorf 30. i. Jy o numeri funt fub proportione quadrupla, quorum m! tt nor Michablis S?I VELI f nor fubtradus I maiore, tantum relinquit, quantum maior fa dt diuifus per minorem. Quaeritur quanti fintduo numeri illi, * Facit i^0i4i«,.Itacp diuifus ma .filij 4^ »foo Aequantur ergo 83«, cum 3000 flore.facit 1 2^, 375* . Septimum exemplum capitis huius. Et eft Chriitophori 1 r 6t *|t T Ercator quidam, qualibet parte fummae alicuius tertia, iVJL lucratur partem uigefimameiufdem fummar capitalis* Deinde lucratur qualibet parte tertia fummae prioris capitali^ partem nonam lucri prioris.Et fic omnibus fimul computatis, uidelicet fumma capitali cum lucro toto,inuenit 864 • Quarritur quanta fuerit fumma capitalis,&c« Summa capitalis eft 1 2*. Lucrum primum facit 3 i*. diuiias per io.!, 2^*. Lucrum fecundum facit tres nonas de-^2^ * ■« 1 — * tfiln Arithmeticae' LibeViii* 2^8 Haec autem omnia, id eft, 1 le&r* ae dC ^ ac, addita, faciunt 1 j aeqoata 8 64 f£,Facf 1 j ic. 7 * o fumm am ca pita Icm , Et lucrum primum,id eft 5-5^ facit 108 ft.Et lucrum fecodura facit 73 2£,id cft 3 6 ft. Summa omnium facit 8 64« Odauum exemplum capitis huius» 8C eft Chriftophori 1 5-7. TV /T Ercator quidam fummam florenorum imponit,& qua IVI libet parte tertia fummae illius lucratur partem uigeft* nam illius fummae capitalis . Deinde lingulis partibus tertijs fummae capiialis,lucratur partem 9 aggregrati ex fumma ca* pitali di lucro priori*Et f?c lingulis computatis, inucnit mcrca cor ille 1 38 ff. Quaeritur quanta fueritfumma capitalis 8fc* Facit i ^ f^1 fumma capitalis. Lucrum primum facit ^ Lucrum fecundum £| Vu Aggregatum horum omnium facit 77 aequatum 13 8 flore. Facit 1 3e*5>o. fummam capitalem* Et fle eft lucrum primum 1 3 5 fo Et lucrum fecundum 3 4 % &c* Exemplum capitis huius nonum* Et eft Chriftophori 15-8« TV T Ercator quidam fummam florenorum impqnit,qui fln- LV 1 gulis quartis partibus fummae illius, lucrator trigeflm i partem fummae illius capitalis.De/nde lingulis par/ibus quin tis fummae illius capitalis,(ucratur uigefi/n *m feptimam parte fummae illius capitalis » Et illis lingulis computatis,i.fumxns capitalfSi lucro utrocp,inuenit 113 6fc. Quaeritur quanta fuerit fumma capitalis 8U, Summa capitalis 1 Lucrum primum 771«., Lucrum fecundum 75 Haec omnia fimul,una fumma , faciunt jjjtz aequata 1136 fc facit i 161 o. tt ij Excm MtCHAlLIf STIFB LIY • Exemplum capitis huius decimum* . „ , T s Et elt exemplum regulae Deuri. TRriapomauenduntur » i denariolis, Quaeritur quot po- ma uenda ntur pro j- 7 * 9. Hoc exemplum ideo pono, ut fignificem regulam AFgcbrar, fimplidteromnesrationescalculandiambireatqpcoropledi. Quanquam enim ipfa indigeat aliquoties regula De trl.nibJ- lominus tamen etiam ipfam De tri regulam comprehendere Didetur* Ponitur aurem pro numero inueniendo 1 ae. Et fic flant numeri. -r. po. 9. po. 9. 3. a*. 1 ae. 5-72. Notum eflautem.utduo termini regulae De tri extremi.ia rer (e multiplicati, aequentur duobus terminis medijs inter fe mul tiplica t is. Vnde nae aequantur 17 »6, facit 1 1*, ij-6 poma. ■ T Volo iam etiam uariationesexempli huius ponere,utui- deas quanta licentia fit in regula Algebrae* po. 9 • po. 9 ' « J . * , , ’ i* • 1*1. J7*. • 3. n. * V* '9 po. 9 po. 1 1. 5-7** 1*- •11^:1 9 po. 9 po. T7*# 1 1. i* Satis aatem notum eft * ut uariatio ifta politionum, uarjet etiam pronundacionem. Offenditur etiam exemplis huifmodi, ut aequationes exem* piorum regulae Algebrae aliquando fint arte aliqua quarrendar. Exemplum undecimum capitis huius* Et efl Adami Gigantis , Eft autem cximplum rcguU De tri inuerfe . E St mafla quaedam argenti , pondus habens marcarum 7, dC continet quaelibet marca mailae illius 5- (emiuncias puri argenti.Commitcetur autem maiTae ilii liquatae, alia mafla cu- pri* Arithmeticae Liber hi. 2?^ pri puri.ponderis x i ma rearum. Quaeritur quantu argenti puri habitura fit mafla illa noua fub qualibet marca. Sic fiat exemplum. argen.mix. arg.pu. arg.mix, .argen.pu. ’ 7* r* »8« - 1 In regula autem De tri inueria, aequantur duo termini prfo res,inter (e mulriplicati , duobus terminis pofierioribus,tnrer fe multiplicatis. Vnde 28 ^aequantur jy,facit i 2«. i^femuncl arum puri a rgenti.fub qualibet marca, nouar illius mafia me* morata . Reliqua aero pars uniufcuiufcp marca, erit cuprum purum : fiz faciente una marca mixti argenti fedecim femuru cias.conrinebit (per hac qua iam dida iunt) onaquarqj marca 14 ~ iemiuncias cupri puri, T Ne autem illufor aliquis tibi perfuadear,ex loco hoc,mca non pofle intelligf,abfcp ledione libellorum ab alrjs feriptorff, de huiufmodi regulis, uolo tibi mi Ledor latius declarare ex* emplumhoc.rationemc^ regula de tri inuerfae fuffic/enter ex* ponere, id quod etiam in feque ntibus exemplis faciam : id eft. non iolum numeros , ied etiam res numerorum exponam , ubi hoc necefie efie inuenero.ut non fit necefle auxilium petere ex libris alrjs pro intelligentia exemplomm qua ponam.Quanip uellem,ut omnes qui meam hancAIgebramlegunr,hbros illos haberem quos ego dto,ea'qj qua cito conferrent dic. Declarabo autem exemplum pofitum, & rem (piam per fimile hoc, QV nt (eptem focrj,quorum quilibet habet y Veniunt aSr ^jad illos alrj (ocrj i », qui pecunia omnino carent, inter quoj iftos pofieriores (bcios,diuidut 7 (brij priores fuam pecuniam aequaliter, ira ut tota pecunia illa diuila fit inter uigintiodo (ocios illos aequaliter. Quaeritur iam, quantum quilibet illorum 28 (ociorum habear. Facile apt intelligis, ut quilibet eorum minus habcat,quim unufquifqj 7 fociorum prius habuerit, eo quod quilibet eorum « iij, de , MlCJTAELlJr StiFBLII; defua pecunia aliquanti dederit illis z 1 focijsfuguenientibus. Et hoc etiam uides,utquantoterminusregulaeDetritertius augetur,tanto oporteat quartum terminum minui.Et hoc ell fignum peculiare, quo pronunciatio exemplo^.- regulae De tri difcerninir i pronunda tione regulae De tri inueriae, V t hic: Ex focrjs fcptem habuit quilibet y : ergo ex iocijs z 8 habebit quilibet i £ Vides certe ut 28 ponat minorem numerum.Si maiorem proportionem quim ponat numerus ille 7. At leam dum regulam DeTri.ponente hoc numero 7, hunc numerum j- .poneret i fle numerus z8, hunc numero zo ; icilicet maiorem numerum poneret quim ponat ille numerus 7» eo q> eandem poneret proportionem, qo$m ponit 7. riam itacp facile intelligis(ut ad exemplum Adami redea) quod marra: prioris maflie,quae argentu continebant.commu- nicent argentum fuum,mards alterius maflae, nihil prarter pu rum cuprum continentibus . Atqj ea ratione fieri uides.ut nu« merus maior marcaru.conilituat minorem numera iemiuncia rum argenti, quim minor numerus marcarum conilituar. Et ficdealijs exemplis etiam iudicabis facile. Vt (7 quarflio incidat de aliquo opere perficiendo per plures perfonas, quod per pauciores, longius tempus requirat ; fdes ex his tale exem piam pertinere ad regulam De tri inucrlara. Duodecimum exemplum capitis huius. Et cft exemplum regulae Sex. TRes comenfales mei, dant mihi hebdomodatim undecim gro(Tos.Quae(lioe(l,quantamihidebeaQt 18 commenla les pro menfa ad 40 dies. Numeri exempli fic liant, perfo. dies grof. perlb. dies grof. 3* 7* » »j. f 8 , 40. ne Reducuntur aotem illi numeri lex ad numeros quatuor re- gulae De tri, per multiplicationem perfonarum in tempus. Sd- licet Arithmeticae Liber mi. 260 licet ex 3 in 7 fiunt 2», 8! ex 18 /n 40, fiunt 720-. ut nunc ftc iie« niant termini regulat De tri locandi. perfonae grofli perfonae gro, ii. i 1» 710» ii® ■ Aequantur aurem 21 ic.79 2 o.tadt 1^ 377? gro. De hulufmodl exemplis facile eft iudicium. Notam enim eft,ut eadem pecunia holpltl proucn/a t , flue unus, duobus die# bus utatur menfa ipfius,iluc duo utatur ea uno die. Quod dico ut intelligas rationem reductionis illiusprardidae, T Simili ratione multiplicatur pondus in-lpadum*iuxta fe quentem pronunciationem. PRo 3 centenanjs,uehend/s per milliaria>7,debetur uectori 1 1 gro. Quaero iam fic Cut & uariationem numerorum fi- mul cum uariatlone rerum fignificem) quot uehendl funt ccn* tenarij,pro 3777 gro.per 40 milliaria? Sic ftant numeri iirordfne luo. cent. millia, gro. cent. roil. gro, ", Sciliceteandem mercedem habet uector, l?ue uehat \ cent. per unum milliare,fiue unum cent.uehatper 2 milfiaria. Tale etiam eft exemplum Chriftophori 145*, quod firpronunclauit. TRes fartores per fidunt 7 tunicas1 14 diebus. Quot diebus perficiunt 2 fartores, 8 tunicas? Sic ftant numeri exempli, far. dies tuni. fart. dies tuni. 3« «4» 7. 2. |i* 8« Sic autem ftant ad regulam De tri. 4*. 7. 8. Itacp aequantur 141*8! 3 36, facit ii*, 24 dies* Et uc de GmiUbus exemplis» Tertium Michablis Stipelii Tcrtiumdecimum exemplum, • I JVo denarioli Bohetnid.fadunt 3 denariolos Saxonico* feu Mifnenfes;8< 24 denarioli Saxonici faciunt 3 groflos Mar chionicos : & t8 Marchionid faciunt 16 folidos Wirtcnbcr- genfes : & 6 fol/ckXOirtenbcrgcnfes faciunt 4 i gro. Saxon, Quatritur.quot Saxonids grallis ualcnt 40 denarioli Bohemid i Satia uidcs, ut exemplum multiplicationibus reducatur ad regulam De tri/ub numeris illis dans: s 1 84^. XfplO. 12«, Facit 1 2« 'grof. s groG Et tantum etiam fadunt 40 denarioli Bohemid. Qjiartumdedmum exemplum. TResfocrj uolunt diuidcre 45-5- . Et quando primus red- pit x^,tunc debet fecundus recipere 3 ft.Et quando fecuflL dus.r ccipi 1 4 f^.tunc deber tertius recipere s * Quaeritur, quot flore nos recipit quilibet de fumma illa diuidenda < 1 Quali mulriplicationehocexemplum reducaturad regulam De triUatis dare figmficarur iequcnti figura. x Aequantur Arithmeticae Liber i'ik & • * -pr8J« Aequantur autem 35-2« 3 w \ & facit 12^. 13, ,15e 15-2« • Sic ftat ad regulam De trf* • 82«, ... 1 3^5« 1x2« 45-5- fadt 195* Sic probabis. Primo uide,an numeri inuenti additione ad fe,faciant4j-j-.Deindeuidean ic^diuifus per z,iadatquan* tum 1 j-6,diuifus per 3 .Item an 1 5- 6 diuifus per 4, faciat quantd i^5-,diui(uspcr 5-» Figura diuifionis huiuimodi Inter quatuor fodos* ?o3e HRHHHBHpHi 105-2« Figura diuifionis inter quinqg. 384^ 5-76 2« Et fic deinceps* iri Qu/ntumdecimum exemplum capitis huius» J. Res mercatores focietate ineunt» Primus cum 40 fi manet Mrcn ab tis STtriLtr duobus menfibus.SecGdus cum i o fi manet quintp menfibus* Tertius cum quadam iiimrna florenorum manet 3 menfibus* Lucrantur autem 3 176 florenos.Et in diuifione recipit primua »040 ^.Secundus recipit 1 3 00 Et tertius 93 6 ft. Qtjseritur quanta fuerit fumma florenorum impolita i tertio» Sic flant numeri. 40v* *• 1040» *o. J". 3*7** * 3°°» ** *• ^ 9}$ _ Rcdudi per multiplicationem-ad regulam Dc tri,uc itant* 80. 1040. xjz. 100. 3*7*« *3°°* • ' 31« 93*» Aequantur autem 98 18 34 & *3J’87*»F*cit 1^,14. T Variationes exempli huius fle notantur. 40, 123 1040* • iie jr* 3 *7** 1300* 24. 3* **a Alia focictatum exempla uidebis capite duodcdmo.Iua iatn pro primo capite poflta iiifliciant. Sextumdecimum exemplum capitis huius. EteftChriftophori 5-0. Mi aliquot ulnas panni, quae iterum uendidi. Emi autem , j- ulnas pro 7 fi. Et uendidi 7 ulnas pro 1 1 fi* Lucratusfcp 1 hac mercatura looft. Quaeritur quot ulnas Emptae flnt atq* uenditae. Facit 1 2«, ulnarum. Vtituraute regula Algebrar,regula De tr^flrpiflime,quem« admodum uritur alijs ^politionibus Euclidis,atq; alijs artium fpeculationibus. Sic autem inuenitur aequatio huius exempli, ulnae fi ulnae ?. 7» na facit 7^f?» . t . ulnas J Arithmeticae Liber ii i; i6z ulnae ulnae 7» ijj ne» facit Satis autem intellfgis ede florenorum fummam , expoli tam pro ulnis cmptis,feu fummam capiralem.Et ede flo# , tenorum fummam receptam pro ulnis uenditis. Iraq* 0 fubtra hatur fumma expolita, feu capitalis fumtna,de fumma recepto rum,tunc manet lucrum purum . Scz | ^de relinquunt f^quod cft lucrum purum.Et hoc aequatur 100 f^. Cum pro nunciatio dicat lucrum mercaturae prardicffce fbifle 100 ff. Diuidendi limt igitur iuxta regulam Algebrae 100 per —f, facit i ie.j-S3y ulnarum emptarum atq? uenditarum . Pro illis emptis ulnis expofui flo. id e, 8 16 ff^.Et pro uenditis illis* recepi 4^. Sic inuercitor exemplum hoc* FEmi aliquot ulnas panni.Emi autem 7 ulnas pro r 1 . flo* Et totum pannum illum iterum uendidi.Coadus aute fui dare j ulnas pro 7 flore. Etfic mercatura ifla intulit mihi damnum 1 00 florenorum. Quaeritor ut prius 8ic. Dcdmumfeptimum exemplum capitishuius. Et e& A danti Gigantis, licet fub alijs numeris fit pofittm» SI 100 librae caerae emantur pro 17 flo. Quaeritur ,quot librae dabuntur pro 1 ff .quatenus 1 0 2 factant lucrum 18 flore norumc* Facit 1 librarum. Sic autem flat exemplum ad regulam De tri. ft V> B 17. IOO. IOZ. 600« ® a b * »lC l01-f-»8. I IQlZ Aequantur autem duo produ (fla regulae De tri flbijnuicem* Scilicet 1 zo ^aequantur 600 Facit Sic inuertitur exemplum hoc* FEmi 1 00 libras caerae pro 17 f( » & damnum intulit mihi uu ij merca . • Michablis; Stipblit mercatura hxc 18 florenorum per »01 florenos expofitoi. Sic ftant numeri ad regulam De tri. R r R 16 17 loo, 102, facit 6 oo. R 1 16 12* r 102 — 16 18. facit 842« Aequantur itacg 842*01111600, facit i 2*. 7? librarum da- tarum pro i R. Vendidi itacp 6oo ulnas pro 84 flo . quas emera pro 102 R,. cum coatflus Eierim uendcre 7 4 ul.pro 1 flo. V Sequuntur uariationes exempli ipfius Adami.quarum. pronunciationcm diligens ledor facile dabit. Prima uariatio, R • * .R * 1 o* -100, 102,. facit —Aa2 R 16 .. R ,16 Ii r ioi“f~ . 1 8,. facit 6oo,. Secunda uariatio. R 16 R. 16 17« »2« 10 2, facit 6 i* R B R 16 . r • 1 y 1 02—f— 1 3 , facit, 6*o. Tertia uariatio. R 16 . R 17* 100 12« facit TC 16 . “R * j- 1 2*4- 18, facit- 90, Quarta uariatio. • r 16 R 16 »7. ^ IOO, 102, facit 600 : , 16 R 16 |2ft. y l02-f-|8. facit $00 2® Quiorai V Arithmeticas Liber hi. Quinta uariatio. a « ft s 1 7 * ioo . 101. facit 600. R $ y. R fl> ~ . i>e facit yio-f-yae» S/miles uar/ationes etiam habet exemplum inuerfum . Sed (bffidunt fignatx uariationrs diligenti Lcdiorf. Decimum odauum exemplum capitis huius. Et eft Adami Gigantis. QVidam mercator emit lanam & cxram pro 1 14 floren is. Emit autem 1 00 libras Ianarpro feptem floren/s. Et 1 00 libras caerae pro 14 R. Et pondus lana: emptx duplum eft ad pondus caerae. Quxritur.quantum emit de duplici re tali? Sic ftat exemplum ad regulam De tri. * 8 R $ l0°» »4. ■ » iz facit 1B 100. R 7. is a fadt ii?» Aequantur ergo ^cum 124. Et facit ia* 44*7 U>, carx emptae.Itacp libras lanx emit 88 j-f .. Dccimumnonum exemplum capitishuius,- Et eft Adami Gigantis. A Rgcntarius quidam cambiens,^ 68 f? recipit, pro quibut jrv exponit groftos quadruplicis ualoris. Quorum quidam 7 faciunt 1 fi. Et quorundam 1 8 faciunt 1 Quorundam 1 1 faciunt ift.Et quorundam 28 faciunt 1 ft.Exponic autexqua* lera numerum groflorum de qualibet fpeciecorum. Quxftio. Quot groftos exponit de qualibet fpeciegroflorft illorum;' Facit 1 iz groflorum de ipccic qualiber. • Siciiat exemplum ad regulam De rri. * ** " uu irj, 1 Michaelij stifblii J^ro. g gro. g 7 18 il 18 12« 7* 71 2« 77 2« 7?2« Itacp 77^ aequantur j-<5s .Facit 1 2«, 2 o 1 6 groftbs de quali# betfpecie. Probationes huiufmodi exemplorum faciles funt, ideo casbreuitatis caufa intermitto» Vigelimum exemplum capitis huius. Et eft.Chriftophori 1 1 5-. DVos tabellarios intercipit ipacium miUiariorum 140, qui una & eadem hora incipiunt proficiici alter uerius alte# rum. Vnus eorum quolibet die perambulat 8 milliaria. Alter uero perambulat quolibet die 6 milliaria. Quaeftio eft, quando conueniant. Facit in f 2« dierum. Sic ftat exemplum ad regulam De tri. dies mil. dies mil. 1 8 12« 82« 12« 62« ltacg »4 2«, aequantur 140. Facit 1 2«, 10 dies. Dc exemplis regulae Algebrae pertinentibus ad fecundum caput praeceptorum. Caput viii. alia iam exempla ponenda fimt,qux ultra par tes cftentiales regulae Afgebrae, admittat partem accidentalem priorem, quae eft redudio aequatio num,habentium flgna additorum &t fabtradoru, I ad aequationes flue lignis talibus repofitas» Et quia aliquando laboriofce additiones^ (ubtradiones incidunt 1 Arithmeticae Liber ii i. 264 Inddunt.fub exemplis, talia ligna recipientibus.uoloillis pra- «nittere theoremata quadam, quorum beneficio & labor huiuf modi operationum atque tadium facfleuincantur. Theorema primum. V Pofita rei partes,ad ipfam rem pofitj copendiofc addere* Vt fit res polita, » s*0-.—!-? •>«. Sint rei huic addenda tres quarta ipfius rei . Hte non opus cft ut primo extraham tres quartas de repofita,ut fis extra&is, ipfas rei toti addam, fed copendiofeita operor. Addo \ Cideft denominationem partium totius ) ad unitatem , facit L quas xnultiplicoin 3 |,0-~ ' facit 1 * t*®—1 Secundum theorema. FPartem rei polita, ad partem alteram eiufdem rei conr- pendiofe addere* Sit res polita, 8,€f ,x • V olo partem tertiam rei huius addere ad partem quartam eiufdem rei. Addo j & 3; , fiunt — : quas multiplico in '*• facit 3 ,&eft futnma aggregationis quafita* Theorema tertium. r Polita rei partem uel partes ab fpfa re compendiofc fubtrahere. i®» Sit res pofita, V olo ab hac re pofita/ubtraherc j &c j/ubtraho eas ab uni* nen* ; c!uas multiplico in rem politam, & fiunt ra o^. 7o»Si hac eft fumma quam quarebam. Theorema quartum. r Polita rei partem unam i parte alia eiufdem rei compea diofe fubtrahere . Sit res polita, '^rb »4 Volo de parte tertia rei huius,fubtrahere partem eius quar« m.Subtraho £ dc j, remanet ^Multiplico igitur rem pofitS tam per facit 3 ^ \Qi hoc eft relisum quod quarebam. Theorem* MlCHABLrS Stifelii Theorema quintum. TPoflcac rei partem uel partes inuenire. S it res pofita . 1 1 Volo partes eius, tertiam QC quarta compend/ofe /nuen/re. Recipio^ quas addo, fiunt ■£. Eas partes multiplico it» rem politam, fiunt ,l2€fy '+. Eteft pars tertia &C pars quarta de 1 ^ e. • Item uolo \ de eadem re pofita inuenire.Mul tiplicoeam per£, fiunt Etficdealijs. Theorema (ex tum. ripiam rem dc qua partes funt extracflar,reftituere, • Vtfint partes tatia& quarta rei alicuius 11 Volo inuenire numerum illum, dequo fumptae funt partes pofitae. Addo f faciunt t| : & per illam minutiam diuido partes pofitas, fiunt 144 Huius integri, partes tertia S>C quarta, funt ,a-7-l2e» Primum excmplu capitis huius,& cft Adami Gigantis* Sint qua tuor matta: argenti mixti. Primae pondus habeat 1 1 marcas, quarum quaelibet contineat 9 femiuncias puri are genti. Secundae mattae pondus fit 1 j- marcarum.cufus quaelibet marca contineat 7 femiuncias puri argenti.Tertiae matta: pon dus habeat 14 marcas, quarum quaelibet contineat » o femiun- cias puri argenti. Quartae mattae pondus fit 1 36 marcarum, quarum quaelibet contineat 14 femiuncias puri argenti.Sit aut conflanda ex his quatuor mattis , una matta , cuius quaelibet marca contineat 1 j femiuncias puri argenti, Quaettio* ^ Quantum argenripuriadroifeendumeftroattisittis? Facit 1 2* marcarum puri argenti i Explicatio exempli illius* Miret mixti argenti» Scmiuncix puri argenti . Semiunda puri cupri. 1 1 99 77 *T loy >sy »4 240 144 1*6 1004 »7» 18 6 6x8 Quae »348 Arithmeticae Liber itr. Quaelibet marca fuppo&itur pondus habere » 6 femiuncia- •r um. Vnde quando marca una dicitur continere 9 femiundas puri argenti, tunc intellige refiduam partem efle cuprum. Quando igitur fuerit mafla propofita, quae habe v 1 1 marcapj pondus ,& quaelibet marca cotineat 9 femiundas puri argenti, tunc totum argentum maflae illius faciet 99 femiundas puri argenti. Ergo cuprum maflae eiufdcm, faciet 77 femiundas, Vbi enim fub una marca continentur nouem femiunciac puri argenti, neccfle cft fub eadem marca contineri 7 femiunciaa puri cupri ,&c. Sic autem ponitur exemplam ad regulam De tri. VUrcftmx arg. Marpuarg. 18 6-f- »3« Scmiuiui * cupn. 6 18. \MarcamixU* _l___£ Facit 1 marca mixta .maflae nouae, , 8 £4.-, ^femiundas cupri. Et aequat haec minutia uni femiunciae cupri. Nam fi una marca debet cotinere 1 j ■ femiundas pari argenti, certe necrfleeft can dem marcam (per fuppofitionem praedictam) continere 1 fem, cupri. VndeC per reductionem ad aequationem integrorum ter minorum)aequabunrur 628 cum 186-f- 1 ?z. Et (per reductio nem aequationis ad fimplicium terminorum aequationem, i, quae necp figna lubeat additorum necp fobtractorum) aequa» bitur 1 ^cum442.Itacpi ae facit 442: fcz 1 i«,m arcarum facit 442 marca s,& r ^ fcmiunciarum facit 442 femiundas. Vnde 442 marcae puri argenti, addi debet maflis praedictis, tunc noua mafla .conflata ex maflis praedictis Iiquatis,conti- nebit fub qualibet marca 15- femiundas puri argpnti. rSic (fi quaeflio fit, quantum cupri addi debeat maflis illis liquandis,utfubqualtbetmarca contineatur r fcmiuncia puri argenti) ftabitexepluroad regulam de tripro cupro addendo. Mare* mix.arg. Mare* puri cupri. I Scmiunci* argenti. | Marca mixta. 2)48 Pacit igitur 1 mai ca mixta, maflae nouae, ,e£4^V Et haec mi- xx nutia WlCMABLIS STIFELIT notia aquatur uni femiunda puri argenti . Fadt n* ♦ i t 6t* Tot igitur marca cupri commifcenda erunt maflis pradidi» liquandis, rSi autem quaftio fit, quantum contineat i marca argenti» fi conflentur mafla pradida,& nihil eis addatur aut fubtraha. tur,fic flabit exemplum. marca femiunc, mar. femiunciae 1S6 »348 1 facit , ,0 Probatur fic per cuprum, marca femiun, mar. femiun. 186 6x8 1 fecit ,11 3 91 fEt fi quaftio fit, de quinta mafla, commifcenda pradidis maflis, qua fub qualibet marca contineat 3 femiuncias puri argenti :& qua commixta ieu cumpradidis maflis liquata, producatur noila mafla, continens fub qualibet marca * femi* uncias puri acenti, Qpaftio inquam ut, quantum pondus ha beat talis mafla. Sic flabit exemplum. Murex mix. Murex mix. 1 86~4" t Semiuncix arg. Semiun arg. 1 M urca noud. ...... ^348-f— 3 ^ I » . Facit igitur 1 marca nouae mafla femiun.argen» sequatas j- femiunc.arg, Facit 1 i*. 709* Et tot Jharcas habuit mafla quinta. Probo fic : marca icmiuncia marca - femiun. 895^ 4475-. 1 5 ■ JL II rtUUltl IA AUMIUVIIV / w »TT /J ^ tione X348 ad triplum numeri huius 709, &c. FEt fi quaftio fit de fuperioribus qua tuor maffis.quantum cupri igne confumcdum fit, ut fub qualibet marca nouae rnaifce conflanda ex illisquatuor, inueniantur quindecim femiun- ci* puri argenti, fic flat exemplum» maicat r Arithmeticas Liber iii# Marcomi.org. Marco puri cupri. Scmiuncio argenti. I Mor.no. maffe. 186 — ile »348 | 1 v Facit ita cp una marca de mada noua , femiun.argenti puri. Aequaturi# minutia hxc cum 15- femiunc, puri argenti. Facit igitur 1 i^jy.Tot itacg marcae dc cupro ^praeditfarS qoatuor maflarum confumptae, relinquerent mafiam nouam, quae fub qualibet marca c5tinerct 1 y femiuncias puri argenti. Probatur. . Mareae 1H8 T? I Semiunc. I Mareae I Semiunc. »j£8 \ r . * 1 Poterat etia proxima quaeftio fuperfor /nueniri per fequen- tem pofitionem, Morcomi.org. Marco cupri. I Scmiuncio cupri. I M oranouomojfo. <86 — 1 lg. | 618 — 1 6iq" I 1 Hfcuides femiun.cupri aequari uni femiuciae cupri, eo quod una marca debeat continere fyiemiundas argenti. Facit I2s,utpriu3,297f. Quando autem fub tra hi tur 1 ^mar# carum cupri, de 186 marcis,tunc fubtrahendae ueniunt 16 1® femiunciarum cupri, de numero femiunciarumcupri ( cum t marca contineat 1 6 fem /uncia s,ut fuppofitum cft) ficenim ma net aequatio inter cuprum contentum fub 1 8 6 marcis mixtis}& femiuncias cupri exprefle pofitas dCc. Sic pofitto harc Marco mix.tr gt. Marco puri cupri. | Scmiuncio arg.puri, 1 Marco mixto. 1 8^ —f — 1 ae, | 1348 { 1 fic poterat difponi: Marco mixti arg. Marco puri cupri.' I Scmiuncio cup.puri. I Marca mixta. 186 — f— 1 I 6z8-f- 161$, I 1 in utracp enim diipofitione idem facit 1 ag. Sic etiam politio haec Marco mixti arg. Marco arg.pmri. j Scmiuncio cupri. I Marca mixta. 1 86— }— j i 628 J 1 »4.**. xx ij fic Marea mixta. I MICHAELIS STIPELir fle poterat difponi: HUrue mixti arg. Marea puri argenti. I Scmiuruia puri arg. 186 — ^ l^e I t)48-j-»63e Secundum exemplum capitis huius, & eft Chrifto- phori 74. fub uariatis tamen rebus politum. DVas habeo meniuras uini.quarum una ualet 1 a & ,« al- tera 1 y Volo mifcere menfuram unam ualentem 1 j $. Ouseftio.Quantu uini recipiedum eft de qualibet menfura? Facit de priore 1 "K menfurat pattium.Et de altera 1 — n* par tium menfurar». Et fic ftat exempli dilpofitio. menfura - menf* a ^ , iz 1 ie facit 1 xig — J 17 1 — 1 ag, facit 1 y — »y?e- Et duo illa produda.id eft, 1 x & ly— ly ^.aequantur Facit 1 * \ . De illo igitur quod ullius eft, recipio j unius meO- Curse ; de reliquo recipio J . Probo fic. tnenf. t & IX menC r & facit 8 e facit y Tertium exemplum capitis huius. Et eft Chtiftophori 75-* fub re tamen uariata.. MEnfura uini ualet 1 o &.Huic uolo tantum aquar commi fcere, ut una menfura commixtionis illius ualeat 7&. Quacftio.Quantum aquar commifcendum eft i men.uini. men.aquar. I 9s I men.c5mix. & |a , ^ \ 10 | r 1 t>c. iynx. _1±_ Aequantur igitur , ^ & 7 1 5. Itac^ tres feptimae unius menfurar , comrpixtar cum una menfura uini illius, faci- unt commixtionem Cuiusuna menfura ualeat 7 ^ Arithmeticae Liber iit* 167 Probatio iumitur penes difpofitionem exempli (ic: menf. & menfura & (1 io 1 facit 7 Quartum exemplum capitis huius. Et eft Chriftophori 77. fub re tamen uar/ata. SVnt in quodam uafculo 20 menfursr uinf, quarum qifceli* betualet 1 1 &.Et uafculo illi infundituraqua.donecuafcu lum uino illo atcp aqua repleatur .Et tunc Ualet 1 menfura uini illius fic commixti cum aqua, 1 o Quatftfo. Quanta eft capacitas uafts illius? Facit 20 -f— 1 2^ menfurae. Sic ftat exemplum. menfurae uini. | rreniurat aquar. & I menf. commixti* 20“}— 12«, »4° 1 t ' Satis uidesut7?-£r2e& lofintarquata. Facit igitur 1 24,4, Itauafculum illud capax erat 24 menfurarum. Quintum exemplum capitis huius* Et eft Chriftophori 86* Y“X Vm Archimedes iuflu Hieronis inquireret.quantum ar- Jgenti dolo artificis loco auri fuiflet immixtum coronae fu 1 4 7. Fuit ergo hora inter fecundam Si tertiam poft meridiem. Exemplum odauum capitis huius* Eteft Chriftophori4. ESc numerus, eoius duae tertiae, aequantur parti eiufdcmfltt meri dimidiae.rernario adaudar. Quarftio. Quantus eft numerus ifte. Facit 1 2«. Cuius duae tertiae faciunt :& dimidia pars mi jneri inucniendi , adauda ternario, facit tf* Huic igiuif aequantur facit Exemplum nonum capitis huius, Eteft Chriftophori 9, SVnt duo numeri,qui ad fe additi fidunt zo. Quot u maior diuifus per 3 , quotientem facit qui fumptus ad odauaa partem minoris,facit cum ea 5*, Quaeftio eft, quanti ftnt duo HU numeri* Primus fadt 1 23, Secundus facit zo — 1 2$,. Sit igitur 1 iz numerus maior ( nam 1 2 4 poteft etiam pr® minore recipi Sic.) qui diuiius per 3 .facit Eft aut odaua pars de zo — 1 *>,haec l0-= ,a«-. Addo illi 1^, facit tfof*rafc* Huic aequantur y. Facit 1 2^.1 z. & eft numerus maior. Facit itaq* minor numerus zo — 1 2^.id eft 8* Exemplum decimum capitis huius. Et eft Chriftophori 7. VT V meri cuiufdam pars tertiat(uperaddita eidem numero, IN facit aggregatum, quod excedat 40 tanto, quanto ipfe numerus inueniendus exceditur i 44. & Quaeritur quantus Iit numerus ifle. yy Fac* U' r. MlCHAELlS STIFELII. ; Fadt 1 24 .Huic fuperaddita pais cius tertia, facit i \ Vnde i } 2$, — 40, aequatur cum 44 — 1 Facit 1 3«. 36. Exemplum undecima capitis huius,& eft Chrifto.8. 1 St nuroerus,a quo fubtradae duae quintae ipfius, rclinquot tantum infra 100, quanto numerus ipfe fuperat 1 00« ' Quxftio eft, quantus fit numerus ille. Facit 1 I quo fubtradaednae quintae ipfius,relinquunt^ie* Vnde 100 7 ,l€ aequantur cum 12* — loo.Facit i^.uy. Exemplum duode€imum,& eft Chriftophori 2 3* E St progreflio arithmetica, noue habens terminos iub dii* ferentia unitatis progrediens, cuius fuma aggregationis facit 48 . Quaeft io eft, quae fit ifta progrcfiio. Facit 1 *>,. 1 -f- 1 . 1 ae-f- 2»&c* Et fic ultimus terminuserit 1 i£_i_ 8. Huic additus terminus primus, fit 1 -f-8, Huius di« tnidium eft 1 'ae +- 4.quod multiplicatum per numerum termi norum.i.per <>.&cit 9 1*.-+- 3 *.Et huic aequantur 48, Facit t*u » terminum uidelicet primum. Vnde haec eft progrefli o quaefit? . l}. 2.j. 3 4?« S T» 6T*7b 8 T* ?T* Ifta omnia fimul faciunt 48. • Exemplum tertiumdecimum capitis huius, & eft Chriftophori 2y. p St progreflio arithmetica nouem terminorum, cuius termi nus primus fecit 4 . Summa uero aggregationis terminorum fecit 48* Quaeritur quae fit ifta progreflio. ^ Facit 4. 4-H- ne. 4-f- 2 ^,.&!c.Ec fic ultimus terminuserit 4 . g ^ . Cui additus primus,fecit 8-f-8^. Cuius dimidium 4-4— 4 Je. quod multiplicatu per numerum terminonim.i*. per q, facit 3 6-4-3 6 Facit • » term , 5 quibus fub traho 3 . facit 4 i*— 3 ,quae diuido per 3 . Et fic 4tV } aequatur cum 15- y .Facit 1 i*. 1 9 2« Et haec erit progteflio, 3.1 1.48* 1?** Exemptam decimumfeptimum capitis huius* E tefl A domi Gigantis jo, de regula Falfi datum . Cluis quidam feruo fuo pigro Ita mercede triginta dierum conftituit, ut laboranti fingulis diebus dare uelit 7 od- antem ucro multare uelit 5- Ratione aure foda poft tempu» fllud,feruus ne<$ recipit alfquid.necp domino aliquid pendit*. Qu«cftio eft.quot diebus laborauerit &c. * Eadt 1 2«. dierum laboris,& 30 — u* dierum orij* Sic ftat exemplum ad regulam De tri* dies l & I dies I & 1 I 7 1 I 7* ... i- | s 1 3° — 1 »ro — 5~26ft.Quia 10 boues— 40 , eft exceflus jwecrj 1 oboum.ulrra 40 Sic 1 8 bo. — 96 f£, eft exceflus feu diftereatia i S boum ultra 9 6 fc Et uttuoqt exceflam pronund YY: 0} atio MlCHABLlS STIFELtI at io aequat mutud . Reduda igitur aequatione hac, inuenitur i bos facere 7 ft. Si autem dixifletfanio ille, 10 boues tanto (e emi’ (Te pluris 40 ff, quanto 1 8 boues cmerf potuiflet minoris p6 ff , tone (ta ftaret aequatio : 1 o boues — 4 aequati p6 — 1 8 bo. face* refep » bos, 4^.1 8 gro. Sic (fi dicas, 4 gro. — 3 oui s emi 4 1 oua) aequatio erit inter duos numeros poHtos, quemadmodum fuperius indicaai fub quibuslibet quaruor terminis regulae De tri, efle duas propor tiones ad inuicem aequatas, quae ita fint proportiones inaequa# Iitatisfubnumeris,utfimul (int aequalitates duae fub aeftima- tionererom confideratae &c . Pulchre igitur inuenies 1 groflo emi 1 1 oua. Sic fi dicas, 4 gro. — 3 $, facere 4 1 inucnies 1 groflTum fa- cere 1 1 dena. Sic fi d/cas.i o 3 libris facere 30 inuenies 1 libram fa cexe6f(t 14 gro. Si aut quaefiiofir,quotlibrasiaciat 1 f^.tunc numerus flor.critdiuifbr,& inuenies 1 f? facere j|Iib- V Similisarquatiocft in i fio exemplo Adami. DVm 7 ulnae uenderentur pro 4 £ fremerem 17 ulnas pro 1 0 1 3 gro. T^uaeftio eft.quorgroffi coputcnt pro 1 Sic itant quatuor termini regulae De tri.' ulnae fi ulnae I gro. - 7 1 4* '7 IO. 13. Vjuai IUIII tviiiiiiiuui pu iiumviu piiuu UIIHIIU» ideftjper 7. Et fecundum terminum multiplica per numerum terrrj termini.tunc inuenies aequationem inter numeros uulga riter denominatos , uidelicet inter ^ , 6C 70 4- p 1 groi* inueniesq; 1 facere 14 gro. FSic aequatio inter numeros uulgariter denominatos inuenitur ex ifto exemplo. QVidam recipit i mercatore quodam crocum pro 10 flo* Deinde iterum recepit ab eodem mercatore 14 Ifb.crocr. : Poflca Arithmeticae Liber- ih, 271 Poftea reddidit mercatori 30!$ croci, &! mercator iupputato ualore croci,reftituit ei /4^. V idos certe,ut 1 0 -f- 24 fl> fuerit debitum totum, & fim/lt ter 30^ — K^.Ideoiqp loft-f- 24 ffi aequantur 3 ofl> — 14^, facitfcg 1 $4^. Fltem in ifto exemplo Adami fimili fere modo incidit aequatio praeter numeros coflicos. QV idam ciuis inuenit pauperes ante ianuam domus ftrar, quibus feptenos erogat denariolos ,referuat'qj in manu fua 3 o $.Qui fi cuilibet dare uoluiflet 9 $,tuc ei defeciiTct 3 0 Vides hic,ut ieptem fammaedenariolorum,iuxta numerum pauperum fumptoru,plus 3 0 denariolis.fuerit totus numerus denarioloru,quos ciuis ille in manu habebat.Et fimiliter 9 fum maetales,minus 3odenariolis.Itacp7 ium.-f- 30 $ aequantur 9 fum. — 3o.Redu- Vides Si bic,ex tertio loco, producta quarti loci inter feefle arquata.beneficio mutuatae denominatiois uulgaris.ltacp prae* dido modo inuenies 1 fum. florenorum, pro tunica illa politi fecere pj flo. rSufficiant ifta pro indicio Algcbrae Germanicae, ad obfe- qulum illis praeftitum.qui putant Algebram non pofle confe- qui abfqj cognitione Lingua; htinae, putante^ eam efle diffici* liocem quini fit regula Falli Sic. Deinde ex huiufmodi operationibus optime oftendi poteft, qua ratione tot calculadi regulae ad nos deuolutae flnt. Scilicet fuerunt illuforcs ingeniorum.qui deledati opinione hominum exiftimatium , ipfos efle lingulari induftria inueniendi regulas praeditos,& hioccultata earum fonte, tales riuulos adnos de* duxerunt.Mircemquofdam(rjs ftmilesjUri&indignarilenfi, quod Chriftophor us prodiderit Algebram tanta fide* , Re Arithmeticae Liber Ii u De exemplis pertinentibus ad caput tertium» Caput i x» m n i a exempla fecundae, ter t/ae,# quartae, regu larum Chriftophori,& infinitarum talium, perti* nent ad caput hoc peculiariter, ut no minor copia eorum haberi polTit, quim ea fit quam Chriftos phorus,p prima fua regula eximia fide exhibuit* Obruor aut in tanta copia,aded,ut cum pauca refcribere cogar (quod inftanter exemplar i me cxigatur,ut illud reddam ocyus Typographo deferendum ) etiam tempus eligendi exadius optima, me deficiat. Parcat igitur Ledor mihi,(l uideat me no ubicp protulifle optima exempla , aut prolata, optimo ordias colloca fle# SVnt duo numeri fub proportione dupla , qui additi ad (e, tantum faciunr,quantu multiplicatio eorum inter fe facit* Facit » oc & z 24. Hi additi ad ie,faciunt 3 iz* Multipli- cati autem inter fe,fadunt z &. Sunt igitur 3 ae aequatae » & Facit 1%. tk^. Ita<$,iuxta regulam Algebrae, quaerenda eft radix zenfica ru Michabli s Stipblii FVk les aute,ut data opera talia ponam exempla.quaeop» cationes fingulas capitis terti) Cid eft , Algorithmi numerorum cofficorum)conti neant, Rerum autem uulgarium exempla ne mohoc loco i me exigat : puro enim me illis fattsfecifle, pro inftituta mea numerorum tradatione.Nofti etiam ex fuperiot sibus.ut quorum quadrata funt aequata, eorum quo cp radice* inter (e fint aequales. Sed bocpaucis etiam hoc loco deledat, me oftendere,ut uidelicetres Geometricae refpondeant opera tionibus Algorithmi numeroru co(Ticorum.Scilicet,nouimu* ex Algorithmo, y i* in fe multiplicatas,facere 2y fc.Fadat iam radix aliqua 4 (ut in exemplo praelenti) hoc eft, ponatur linea diuifa in 4 partes aequales, quintupletur in longum,tunc ha» bes radices quincp ad fe additas geometrice» quae faciunt linei xo partium prioris diuifionis. Haec igitur linea dutfa in (e, fa- cit 4 cur. Sic y ?e multiplica tae in fe, faciunt Depida i taq? figura quadrata, cuius cofta habeat 20 partes diuifionis fuar scquales,experire, an in eo inueniatur uigintiquincp quadrata* quorum onumquodqj collam habeat, continentem partes qua» Hior diuifionis praedidae,&c« Exemplum iextum capitis huius. Et eft Chrifto.s.pro fua regula fecunda pofitum. E St progrefito Geometrica trium terminorum ,fub dupfar proportione progredientium,quorum quadrata ad ie ad» dita faciunt 189*. Facit 12«. 25£,4i$. Progrefllo quadratorum, 1 fc.4%. 1 6 Faciunt autem ad- diti, 21 1 aequatos 189. Facit 1 fc.^.Vnde 1 2«, facit 3, Sunt igi- tur termini progrcfTionis illius, 3.6.12. Exemplum ieptimum capitis huius* Et eft Chrift.3 .pro fua regula tertia pofitum. *f~r Sc progrefiio geometrica trium terminorum, fub propor Tytione fefquialtcra progredientium , cuius progreftionis caminus maximus, multiplicatione partis fax dunidiae,inpat ^ ten» f Arithmeticab Liber tif. 27^ itm unam tcrtiammedntcrmini1producattHtmeru>quiinuI* tiplicatus per quariam panem termini minimitfaciat 72*. Facir4i«,62e,92e. Itaqjf* multiplicatae per 2 ^faciunt : qui multiplicat/per 1 3«, faciunt 9 ce aequatos 72 . Facit igitur 1 ce, s.Vndc radix eius cubica facit z.Sunt igitur numeri inueti pro progreffione illapropofita, 8. 12. 18. Exemplum odauum capitis huius. Et eft Chrifto. 1 o-.pro Ii» tertia regula pofitum. T7 St columna quadam,orthogonaliter lirrgens i baff qua* JL>drangula rc^angula^uius ba fis latera funt fub propor* tione fefquitertia : altitudo uero columna proportionem!»* ber?ad latus maius bafis, duplam fuperbipartientem tertias Qi facit ipfa ioliditas 93312, Quaftio eft de dimenfionibus lingulis quanta fint,- Facit latus minus ipfius bafis, 3 ^ Et latus bafis maius facit 4 Et altitudo columnae lo-fie, Hatdimenfiones inter fc multiplicatar/aciunt 1 28 ce,aquato# ^33 12. Facit 1 ct,729. Et 1 24 facit 9, Vnde latus bafis minus facit 27. Et latus maius facit 3 & Altitudo uero columna facit 96. Exemplum nonum capitis huius. ^ Vnt duae columnae, (urgentes orthogonaliter i bafibus qua l jdratis. Et cum bafium proDortio ad innirpm fir jjiujjoriio earum aitituuinum, ad inuiceniL' lefquitertia. Et ea etiam eft proportio breaioris columna ad aitiorem. Soliditas autem ambarum columnarum fimul fum-- pta, facit 671» Nunc quaftio eft,quanta fint lingula dimenuones in utraqt. Sic ftat exemplum hoc figuratum* . 48 ce. ** jdee. Sunt MlCHABLU STIPE!,!! Sunt autem numeri cuborom fimul furopti, uidelicet 84 c* aequati 672*Facit 1 rt, s.Vndc 1 23 , facit 2. Coda igitur bafis,columnae minoris,facit 6, Et cofta bafis,maioris columnar.facit 8* Et bafis ipfa minoris columnae, facit 3 6 • Et bafis maioris columnae,facit 64. Et altitudo minoris columnati facit 8« Et altitudo maioris columnae,fadt 6* Et foliditas minoris columnae, facit 288. r Et foliditas maioris columnae, facit 3 84, Vide iam an ea quae in pronunciatione dicuntur, illi calcula* tioni refpondeant. Quando autem dicitur.proportionem bafium ede fuperte» ptipartientem nonas,& proportionem altitudinu eile fefqui- certiam,fequitur mox eam ede proportione altitudinis unius ad altitudinem alterius columnae,quae eft codae unius bafis,ad codam bafis alterius , Ed enim proportio iuperfeptipartiens nonas, duplicata proportio, proportionis ieiquitertiae. Et cum nihilominus eadem proportio fit inter foliditates columnarii, id ed,propbrtio fefquitertia, fequitur minorem columnam ne* cellario elte altiorem maiore,&c. Exemplum decimum capitis huius* Et ed Chrido. 1 8.pro fua tertia regula pofitum* NVmeri cuiuidam pars tertia di quarta multiplicantur inter fe,& produdum diuiditor per 27 : & fic proucniunt duae tertiae radicis quadratae numeri illius inueniendi* Quaedio ed, quantus fit numerus ille* Facit 1 • Multiplico igitur p 6i p inter fe, faciunt -g. produdum illud diuifum per 27, facit aequatum duabus tertijs ex A 1 2«,, quae ^pueniunt ex multiplicatioe | in A « ae* Scilicet A 5 ^ aequatur cum f J* . Et per redudionem corii ad quadrata, 1 2* aequant Et per redudionem ad integra, 9 aequantur 4 1 9904. 2^, Et per redudionem lignorum, 9 aequan J ' 'l Arithmeticae Liber i i i. 176 aequantur 4 19904. Fadt 1 ,466^6. Et 1 facit 36. lam tu uide.an calculatio ifta refpondeat pronunciationi. Scilicet, 1 x & 9 inter ie multiplicata, faciunt 108. Quae diui(a per 27 .faciunt 4. Sum autem 4, duae tertiae de 6,id eft, de radice quadrata ex 3 6, Exemptam undecimum capitis huius. Et eft Cbrifb pbo ri,uariata tamen fft pronunciatio parumper • Eft autem »9. pofitum pro fua tertia regula. E St numerus, cuius pars tertia multiplicata in fe,& prodifc dum multiplicatum per partem quarta numeri eiuidem, producit numerum .cuius radix quadrata fit numerus ille de quo loquor • Quaeftio eft, quis fit numerds ifte. Facit 1 ae. Multiplico igitur per id eft, quadratum tertiae partis numeri illius,muItiplico per quarta partem efufi» dem numeri , producitur^ ea multiplicatione quadratum nu- meri inucniendi.Itaq? aequatur 1 fc.Et per redudionem ad * integra, 1 ce aequatur 3 6%, Facit igitur 1 , 3 6 % . cuius radix cubica facit 3 6. i Patet per redudionem fignorum.ut fuperius docui drea : exemplum primum capitis huius. Recidit enim exemplum Chrifto, 19. pro fua regula tertia pofitum, modica mutatione mea hac,fub regula eius prima, id quod ipfa mutatione mea indicare uolui. Meae uero regulae unicae nihil poteft excidere, fed omnia fub una regula cadunt. Exemplum duodecimum capitis huius. Et eft Chriftophori primu.pro fua fecunda regula pofitum. 9 E St numerus, cuius dimidia pars multiplicata per tertiam partem eiuidem numeri,producit 5*4. Facit 1 ^Vndc $ aequatur 5-4. Facit 1 3 »4. Et 1 a* fadt 1 8. & eft numerus inuentu* quem quaerebam. Vide* Michablis SrrFBtir rv ides certe uel hoc exemplo, quim infiniti* modis.tu /ple facilioperapoftis formare exempla :& deinde ex quolibet exemplo formare regulam, quales illufores illi inueneruntide quibusfuperfusdixi. Scilicet, ex ifto exemplo regulam formo hanc: Recipc(inquam) denominatores partium quae nominatur. dC eos ititer fe multiplica , produdumfcp multip lica in numero datum, tunc radix quadrata illius produdi , dabit tibi numezS quaefitum. Exemplum. Propono tibi numerum inueniendum,cuius partes tertia 8d quarta producant fua multiplicationeinter fe, 7 6 8. Recipio 3 & 4, qui multiplicati inter fe faciunt 1 z. Multiplicoergo i 2 in 7rf8,ttunt 92 j rf.Guius radix quadrata facit 9 6, numerus uide licet quem quaerebam. Et (ic de alrjs. Rationem autem regulae fatis uides ex operatione exempli prius data. Nam nullam numeralem mukiplicationemuidet Ibi.niO quod 2 in 3 funt multiplicata: deinde produdura(.i«6) Alit multiplicatum in numerum exprefle poficum.i.in 5’4«& Gc fiebat quadratum numeri inueniendi. Sic etiam fimili ratione formare poteris regulam de tribus partibusnumeri aliquotis.Vt (exempli gratia)0t inueniendus numerus, cuius partes,dimidia,tertia,& quarta, inter ie multi* plicatae, producant 72. Recipe uerba regulae proximo loco po firae,& pro radice quadrata quaerenda, iube quaerere radicem cubicam. Sic de partibusquatuoraliquotis.numcrialicuius inueniendi conftituenttbus multiplicationefua inter fe, nume- rum aliquem darum,pone in regula extradionem radicis zenff zenficae. Er de quinq? partibus pofiturus regulam, doce ex* trahendam efle radicem lurdefolidam.Et fic de alijs. Habes huiufmodi regularum formandarum aliquot exeat pia in libro Arithmeticae huius primo,capite feptimo. De I Arithmetica! Liber m* 377 * - « ■ * . , * De exemplis regulae AJgebrae pertinentibus ad quartum caput. Caput x* BODO hoc,quoomnia Chriftophor/ exempla, fecundae, tertiae,& quarraeregularurrqatc# infini* tarum fimilium, pertinent ad caput praecedens, eo (inquam) modo pertinent ad caput hoc ded- mum,omnia Chrifto.exempJa, quintae, fextae,fe* pt/mar>& odauae regularum, ut (atisdifcere poruifti ex ijs quae ^locui capite quarto libri huius tcrtij, atcg ex exemplis fcquen tibus plenius forte difces. Primum exemplum capitis huius* Et eft Chrift.primu,pro fua regula quinta pofitum. Vaero numerum mediantem inter numerum fenario ma iorem,3i alium numerum binario minorem, ita ut extre mi illi numeri inter fe multiplicati faciant 84, Numerus ille quem quaero, fadt 1 2«. Faciunt igitur extremi eius,per pronunciationem deferipri, 1 6, & 1 * . Hi inter femultiplicati/aciunt hoc produdum 1 42$, — u.fii ■huic produdo aequantur 84, ut habet pronunciatio. Reduda • igitur aequatione ad fimplicia, quantum fieri poteft .aequatio ueniet inter 1 — 42$,. Facit igitur 1 h?6 — 4i^.Vnde ulterius inquiredutn eft,quanrum faciat 1 2«. hoc eft,radix zen fica feu quadrata extrahenda ex 96 — 4ie,ficut docui cap*4« libri huius.Facit autem */%, 96 — 4 ( hoc eft,radix quadrata ex hoocoflico numero 96 — 4 2^) 8 . Vnde extremi illi numeri, inter quos mediat 8,iuxta pronunciatfonem exempli, (iint 1 4 & 6. Hi enim inter fe multiplicati/aciunt 84. Poterant extremi etiam fub hac ^pnunciatione inueniri* rNumerus quidam, multiplicatus in numerum odonario ^maiorem, facit 84* AA Numerus MlCHAEllS STIFE1II Numerus file fadt i ille alios in quem multiplicarfde* bet, facit 1 8. Facit aurem multiplicatio illa i % -f — 8 a«.* fiC Illud produdum arquatur 84.Tranfpofitis autem particnli» tranfponcdis ut oportet.inuenies i fc arquari huic numero coi* fico 84 — 8 ie.Ita<$ cum i fc arquetur 84 — 8 ^.arquabitur 1 a« huic A. 84 — 8 ie.ltacg extrahenda eft radix ex 84 — 8 ?e»fcz ^,84 — 8 affecit 6, Item extremi illi inueniri poterant per hanc pronundationem. rNumeros quidam multiplicatus in numero ie minorem odonario.fadt 84. Numerus ille facit 1 2«,, & alter facit 1 — 8. Facit autem multiplicatio coru inter ie 1 fc — 8 2«,& illud produdum arqua* tur 84,Tranfpofitione uerofada.uidebis 1% arquari S^-f-84, Et faciet 1^,14, Exemplum fecundum capitis huius. Et eff Chriftopbori primum pro fua regula ieptima , pofltum,numeris tamen mutatis* Q Varro numerum mediantem inter numeru binario ma- ior em fenario minore , ita ut extremi illi numeri intdr ie multiplicati faciant 48* Numerus ille quem quaero facit i ^.Faciunt igitur extremi cius iQi r 1«. — 6, qui inter ie muJtiplicati,faciunt 1 fc — 42« — i»:arquatur autem iftud.huic 48 .Tranipofitis autem particulis.arquabitur 1 fc.42e-f-60.Fadt 1 24. 1 o.Stmt igitur extremi cius 11 &4, facientes fua multiplicatione 48. Poterant tamen extremi fle inueniri. FNumcrus quidam multiplicatus in numemm odonarfo fc maiorem, producit 48. Numerus ille fadt 1 ^.Facft ergo alter 1 2c-f 8 ,0ic.ut fuprt* Exemplum tertium capitis huius. QEt r fl Cbriftopbori primm,pro regula fua fexta pofitm. Vatronum«Q,quoduo numeri flot minores,unus odo« natio » Arithmeticae Liber iir, i?8 nario,& alter fenario, ita ut illi numeri duo minores inter fc mulripHcati, faciant numerum quaternario maiorem eo,quem quaero. Quantus nunc eft numerus quem quatro? Facit numerus quem quaero 1 2«,. Sunt igitur numeri inter fe multiplicandi i ^ — s,6i i 2«, — 6. Faciunt uero multiplicatis ont,i %-f-48 — 14 2«, .Et aequatur iftudprodudum huienu* mero coflico 1 2*4-4. Redudioneuero fada , aequabitur 1 huic numero coiTico, 1 y 2« — 44. Cuius radix quadrata maior, facit 1 1 .& illa eft: radix exempli. Vnde numeri ali] duo excpli, illo minores,(unt y & 3, quoru multiplicatio facit ly. i. 1 1— f— 4, Nofti autem ex rjs quae dida iunt cap.4.ut huifmodi numeri coflici habeant duas radices , maiorem uidelicet & minorem. Eft autem radix minor de 1 y 2« — 44 .quaternarius, fed illa ra- dix refpondet exemplo polito folummodo per numeros abfur dos : fcilicet politis 4 pro radice exemp!i,erunt duo reliqui nu* meri exempli — 4 , & — t, quorum minor, i. — 4. eft minor quaternario per 8. Qi maior eo rum.id eft. — z,eft minor qua- ternario per 6. Multiplicati uero numeri illi abfurdi inter ie, faciunt 8 : qui numerusCiuxta pronunciationem exempli)qua ternario maior eft radice illa excpli minore. Vides itaq?,ut per numeros abfurdos pulcherrimae exemplord probationes flant. Ut non fruftr! lignantur. Exemplum quartum huius capitis. Et eft Chrift. 1 .pro fua regula odaua politum. Q Varro numerum cuius quadratum mediet inter numerll quinario maiorem , & numeru alium binario minorem, ita ut extremi illi numeri inter (e multiplicati producat zy3 8« Quantus eft numerus ifte^ Facit f 2^ Vnde extremi numeri illi.inrerq^os mediat qua dratum numeri quem quarro,faciut i%-f- «rA — y,qutmul tiplicati inter fe, radunt hoc prodigum 1%% -f- ? % — <0. Et ae- quatur hoc produdum huic numere 1 y 3 i J? -dudione autem uda, inuenies 1 $ aequatu huienumero colftco zy4g- — 3 abfolutus numerus ftec i parte figni fubtradorum. Secudo uides hoc ex re ipfa numerorum , id eft, ex fuperficie, cui accommodantur numeri illi. Potes enim intelligere 1 & efle attributum minori quadrato partiali,& zoy — 1 & attributa maioriquadratopar ciali:uel intelligere 1 \ efle attributa maiori quadra to,& aoj — 1 fcefle attributa minori. Sic enim fcies uel maiorem radice recipiendam efle, uel minorem. Minor radix facit 6. Vnde & minor zenfus facit 3 6. Et maior radix facit » 3 .Vnde & maior zenfus facit 1 69. Sic 6 mulciplicatain i3,faaant 78: 8^36 ad- dita ad 1 69, faciunt 20 j-. _ Alia eiuidem exempli operatio. T"\Vo quadrata partialia faciunt 203-. Et duo quadrangula integrantia Ceum quadratis partialibus) quadratu totale faciunt ambo 1 j-6,ideft,bis 7S.Itacg quadratu totale facit 361* cuiusradix quadrata facit 19. .v Et fic exemplum uertitur in hanc pronunciationem. TSunt duo numeri,qui additione fui ad fe faciunt 19 ; mul* tiplicationeaut fua inter fe faciunt 78. . Vel in hanc pronunciationem. V Sunt duo numerfqui additione fui ad fe faciunt 1 9 ; addi- tione uero fuorum quadraroru faciunt zoj. * De priore prius. Eacit numerus unus 1 alius facit 19 — ne. Et Gc mox AA' iijj fcio' Michablis Stipblh fdo,ex fpfa re, q> exemplum habiturum fit duplicem radicem, eo qudd iiib 1 2«, poflta,poiTit intclligi duplex numerus,uideli# cetuel maior numerus exepli,uel minor* Atcg ita etiam mox fcio, qualem (aciem habitura fit aequatio exempli reduda : fcz 1 % aequabitur tali numero coflico, qui partem abfoluta ponat I parte figni fubtradorum.Sed uideamus operationem, Mul* tiplicatio unius in alterum, facit 192« — 1 fc. & huic produdo aequantur 78, Vnde fic flat aequatio reduda, feu debite tranf- pofita, inaequatus 192* — 78. Facit radix maior 13 ,& radix minor facit 6, De pofterfore pronuntiatione. Vno numero factete 1 2«. .faciet alter 19 — 12*. Faciet igitur 'quadratu unius numeri 1 \ , & quadratu alterius numeri facit jrfi.f_,fc_-382*.Et illa duo quadrata faciunt 10 r, ut habet pronundatio. Itacn 3^ 1— f— x % — 38 2«., aequantur zoj.Etper redadionem aequabunt z huic numero coflico 382«, — tf6, Fada igitur diuifione per z,uidebisi % aequari cum 192«, — 78* Facit radix maior 1 radix minor 6, Pulchre i da omnia offenduntur figuris Geometricis • Sed poterit diligens Ledor iftasoftenfiones feu demonflrationes» facile formare ex ijs quae pofui in parte praeceptorum huius Algebrar. Sequitur alia eiufdem exempli pronundatio* TJi Stfuperficies quaedam quadrangula altera parte longior^ tj, cuius ambo lacera longitudine lua faciant I9,are8 aurea fuperfidei illius facit 78« Facit latus unum 1 24* • Et alterum latus facit 19 — ne* * Notum eft autem, ut area diuifa per latus unum .producat latus alterum.Hinc fit,ut ^^^aequenf 1 ^.Item ^ aequen tur 19— 1 2«. Qpamcuncp aut harum aequationum recipias, inuenies 1 % aequari buic numero coflico 192«,— 7 8. Faci et ta* dix maior (ut prius; 1 3, & minor radix faciet 6% * Alia Arithmeticae Liber i ii. 280 Alfa riufdcm exempli pronundatio & operatio* D Iuide 28 3 in tres terminos continue proportionales,quo rum mcdiusfadat 78« Primus terminus t Secundus terminus 7 8« Tertius 18 3 — 10«, — 78. Notum eft aut,ut ex multiplicatione extremorum inter (e, prouenia t produdum aequale ei quod prouenit ex multiplica# tione medij in fc.Vnde 205- 2« — 1 ^aequantur 6084, Et redu# da aequatione flue debita particularS tranfpofitione, aequabit » % huic numero coflico,ao j-o«__rfo84.Facit radix maior 1 69, & radix minor fadt 36. Et funtduo quadrati numeri, inter quos 78 mediat proportionaliter. Sed hoc etiamuide. Numerus ifte coflicus, 205-2« — 6084, quem uidifti uni zenio aequatum, duas radices quadratas ha- bet.uidelicet 1 69 maiore,& 36 minorem. Videamus,inquam, utrum hoc uere flt in numero hoc,an ita e fle Angatur : quemad modum in Arithmeticis aliqua Angi, non uno (olo loco in fupe rioribus oftendi. Recipiamus ergo primum radicem eius ma- iorem.i. 1 coflicus numerus fic deterit, 2 05- 0«, — 6084) remanettg 1 296.01 ius radix quadrata eft 3 6. Et in tota numerorum unf- oerfltare non inuenies alium numerum.cui ita refpondcat cof* ficus numerus ifte, 205-0« — 6084. &c* PExiftis poterit diligens Ledor, non folum altorum (at Chrifto.&c.) exempla leda intellfgere. QC quarftiones eorum foluere,fed etiam flbi propria quotqt libuerit formare.Nihilo- sninus tamen plura pofuiflcm,nift ad ftatutu tempus.quod in- flabat dum ifta fcribercm,reddendum mihi fuiflet exemplar» MlCHABLIf STIFBLT! De exemplis regulae Algebrae pertinentibus ad caput quintum libri huius terti). Caput x i. o LV i hucufcp ullum ponere exemplum, qudd haberet numeros irrationales CofTicos,aut irra* tionales abfolutos. Nunc ueio locum naduscon gruum , id cft.refpicientem caput praeceptorum quintum, quod totum eft de huiufmodi numeris, replebo totum caput prasfens talibus exemplis,quae ufum ha- beant irrationaliam numeroru coiTicorum , Qc irrationalium abiolutorum. Pertinere uero mihi uidentur huiufmodi exem* pia peculiariter ad Geometriam, ideo omnia huius capitis ex* empla erunt geometrica. V olo autem inc/pere ab exemplo ultimo fuperior is capitis, Primumexemplum capitis huius, SVntduo numer/,quf additione fuorum quadratoru faciunt ioj : ipf? uero inter fe multiplicati faciunt 78, Ex capite aut quinto fatis uidere potes, quos numeros ap* pellem Codicos irrationales. Scilicet coflrcorum numerorum e,id efty^i y, multipli# canda in Jy, z 0 j- — 1 iter um fit %/fc. z 0 j- % — 1 Addo igitur dito produda illa.ficut nofti ex lege multiplica tionis,feu (quod idem eft) unum ex eis duplo. Multiplico igic — »%%»pery?f4.Etficffty%.8zo 4%%, Et haec eft reliqua fumma multiplicationis propofitae. Et haec fumma aequatur numero illi quem fiiperius o flendi, uidelicer lyrf.Vides aut ut aequatio reducenda fit ad quadrata: fcilicet 8 zo y — 4 ^aequantur 143 3 6. Et per tjanfpofitionem debitam particularum, 4 yy aequantur 8 zo % — Z43 3 6. Diuide ergo, tunc inuenies 1 yy aequari ioy y — 6 084 . Facit 1 % . 3 6, Ideo 1 ze, facit 6,Et tanta eft linea a B.Et fic linea c o facit 13 • Quamuisautem zo 6084 duas radices habear,taroen cotradus ad figuram exempli, maiorem ra dicem, fub tali fua (ignatione,amittit, Potuiifem autem maius quadratum par tiale fignare hoc numero cofTico i y:5i minus quadratum li- gnare potuifTem hoc numero zoy — r % . Et tunc certe maior radix recipienda eflet,& nequaquam minor. Sic res ipfa indi*; cat,quac radix fit recipienda. Alia eiufdem exempli operatio. T TEI fic poteris opcrari,cum uideas fuperficiem quadrang* , V Ia» altera parte longiorem, fignatam numero 78, conti l j ca ’ * O»*1 Arithmeticae Ltb er. iii, 281 heri fub lineis quae fint aequales illis ab &c D, Multiplica 1 id eft 1 %. quadratu diagonalis A C, coniti tutum fit ad aequalitatem quadrati A b & quadrati B c , ut habet penultima . v BB q primi Michaelis Stifelii primi Euclidis. Cum igitur quadrato diagonalis lineat faciat xo, & quadratum a b faciat i %,fequitur quadratum B C facere xo — | fc.&fic radix eius,ideA .linea b c, facie c^.zo — ifc.ut dixi. Multiplico igitur A b in BC.ur proueniat area; icilicetiz* (euy*ifcin»/fc.zo — 1 1, facit %/%.zofc — ifcfc.Itaqj produco illi sequatur Jty6. Et per redudionem ad quadrata, aequantur 96 huic numero coflico zo% — 1 fcfc.Et per debitam particularum aequationem .aequatur 1 %% huic numero coflico zo fc — 96, ■ Facit 1 %, 8. Et 1 ze facit 3 . Ergo a b facit %/% 8 ,& b c facit ^1 x.Sic enim a c facit 2 o,& area quadranguli J196, ut fa- tis patete Tertium exemplum capitis huius. E St fuperficies quadrangula redangula altera parte Ion- gior.cuius diagonalis facit %/% 1 8 0 fua longitudine, & eA- maius latus adminus triplum. Quantum facit area illius trianguli? Satis notflm efl.uel ex fuperiori exemplo 10% aequari qua- drato lineae diagonalis. Itacp 1 % facit 1 8 : 6C 1 ie facit » 8* Facit igitur b c fua longitudine 1 6z. Vnde fequitur aream, facere 5-4.. Exemplum quartum capitis huius. EteA ChriAo.46.pro regula fua prima pofttum* T,1 St triangulus orthogonius, cuius bafls facit fua longitu* JC,dine 1 8— f— 9 . & duo reliqua latera fimul furopta , facius. longitudine 1 6 1 -+-?* . E. . QuacAio» Arithmeticae Liber nr# 2 82 dratum lineae a E,&quadraifi lineat B C, quadrato lineae a c.ut notmtmu elr.et farp/Uime i me reperitu.Itaca 1 & -t- ies)rdlnquitur y%4 '47a.Eteft fubtradi° illa nihil aliud quam reductio. Itaqjtotum reliquum aequatur mhiIo,id eft, 41471 — i8ie — ^648% aequantur o. Itaqp 8 ^-f-^648 fc.aequatur 2 i6.-f-/s4i472.Diuideergo’ per numerum maioris figni coflici,reIiquum aequationis, tunc habebis quantum faciatcathetus. _ Obferuabis autem hic, quod in ifta panicula /^648 % . hoc ' lignum fc.quod pofitS uidcs i partedextra.reputatur pro figno ifto ^.propter tignum hoc */%, quod flat i parte finiftra. Nam «(exempli gratia) 6 fint multiplicanda per 1 ie,tunc fiunt 62«, Si^ut 6 fit multiplicandum per 1 **,tunc fit 6 * : & non fit \ C «ii 8- f-j* Aequantur aur,quar BB iij, $*,t .1 :Mi*H**1i* '$Ttf WVlTl ■ 4 is^utChriftophorus uoluit. Quando enim /fc 6 multipli* catur per 1 3*, tunc recipitur Vfc i fc pro 1 in. Ifta moneo pro* pter numeros, quos Lecflor meus in Chriftophofo fortailis ni- debit,circa operationem huius exempli eius 4 6 . ut fciat meos numeros corredius eflfe politos. Itaqj 648 %-f— 1 8 in haberi debet pro uno numero radicum : non propter lignum addito* rum,id quod Chriftophorus uidetur exiftimafle, fed q> utraqp pars lit numerus radicum. Diuiditur autem 1 1 6-f- 4 147», per 648 -f- 1 8. facit diuilio 3 z-f-4,Et tantum facit linea a B.Itacg latus a c facit %/fc yo-f - y. Volo aurem Le&orem hic iuuare indiuilionehaclaboriola* Primo multiplico diuilorem 648 -f- 1 8 per 648 — 1 8, facit 3 14 diuiforem nouum. Deinde multiplicoetiam diuiden dum xi6-f-y%4i47*,per»/fc648 — 18. facit nouum diuiden* dumhuncy^3 3y9Z3i-f- 1196. Diuide igitur priorem par* tem per 1 04976 (eft enim 1 04976 quadratu diuiforis noui) & partem pofteriorem,uidelicet 1 296, diuide per 3*4, i Exemplum quintum capitis huius, p s r quadrata fuperficies,faciens area lua numerumhunc, 67y-(-i/%4oyooo. 1 . . Quaeftio eft, quantum faciat radix eius quadrata* Hoc exemplum pono.ut difcas.qua ratione inuenerim mo- dum extrahendi radices quadratas de huiufmodi numeris* Nemo autem mihi fucccnfeat.quafi me redarguat culpa,quam paulo fuperius reprehenderim. Aliud ftquidem eft neceftita* tis, aut commoditatis gratia aliquid ftruere , aliudcp aliquid ambitionis caufa oftentare: cuius fontem, data opcra*occulces » Sic autem fiat exemplum figuratum, ut fequitur, “ “ VUa ARl^HMBTICAB:-LlBEa TJU 284 A B l?t ce o •te u © S%IOIlfO *7S — » 3* Vides ut pofterior particula folamodo diuifa fit in duo aqua !/a:fcz ^405-000 diuiditur in %/* 10 h6q,&S%ioi z4o,Deindc fatis uides, ut ex 675- debeant fieri duo quadrata , inter qu* \fyioi zj-o mediet proport/onaliter . hoc cft, numerus ifte 675- diuididebetinduas partes, qua inter (e multiplicata faciant 10 1 zj-o.Pono igitur pro minore parte 1 zc,tunc maior pars & ciet 675- — 1 2*.ltacp (>7r ^ — 1 % (quodeft produdum ex 1 a* in^7y — inaquabit fo / zj-o. Facit i^Cquaeft radix aqua tionisminor) zzj-. Itaq? maiusquadratum faciet4j-o , Faciet Igif radix quadrata fuperficiei ,ppofita,id e a c, 1 j- -f- 4/0, Proba multiplicatione radicis huius inuentain fe,qua facit d7y-f-^40j-ooo. Exemplum fextum capitis huius. E St circu!us,cuius diameter facit 1 zo,& orthogonal/squa dam linea ereda i diametro ad circumferentiam , facit »/%♦ ipzy — y^4oj,ooo. Quaftio cft,de quantitate patium diametri fic diuifa. . ... Sfc j 1 Sit igitur orthogonalis illa a c, tunc pro B c pono i 3«, 8C pro c d ponendus erit numerus coiTtcus ifte 1 20 — i ^.Cum aut a C fit medium proportionale inter b c &CD,erit aequatio inter uoie — xpxy — y%4oyooo,Faciti — wfyfyo* Et tantum facit B C.Ergo C d facit jy -4- J^yo» Deinde fi trahantur a d & a B,fdes per penultimam primi Eudidis,quantum illae chordae arcuum circuli feciant.Sdlicet minor a b faciet hoc numeruirronalem,/*. 54-00-/^6430000. Et chorda AD,/%.pooo -4-/^6480000. Exemplum ieptimum capitis huius. E St circulus,cuius diameter diuiditur fecundum proportio nem habentem medium QC duo extrema,eam'cpdiametrS alia linea diuiditorthogonaliter, in pudodiuifionispraedidae, & arcus unus ex minoribus,interceptus i lineis illis,liabet chor dam, facientem longitudine fiia hunc numerum irrationalem. 15-0 — /* 45-00, Quaeftio MlCHABLlS STIPELII Arithmeticae Liber i ii, 28? . *•’ 'Quaeftio eft, quanta fit diametercirculi illius# tcliquae lineae figurae illius quantae fint« Pono pro B B.f letSiquiaABcftdiufia (ecundumpropot tionem habentemedium & duo extrema, necefle «ftCB cbor pro minore portione, tunc tota linea a B faciet 1 yo — ,/£ 4yo -}— 1 ^,Et fic quadrato maioris extre mi,uidelicet 2700 o— »/% 40 y 00 0 0 o o,aequatur quod fic ex mul tiplicationc 1 ^,,in totam lineam. Fit autem, 1705* — ^£47oo£-j— 1 £. Et fic iterum aequatur 1 £ , toti huic colTtco numero, 27000 — »/£405-000000 — iyo2fc-f— »/£47oo£« cc tj Alia i MlCHAEllS STIFELII AHa operatio. PRo tota linea a b pone i ^ , tunc pro portione minore».' ideft, proEB.pones ne — • ro-f-y^roo.Atcp ita mul- tiplicatio ioein — ij-o-f— y%4j-oo( quae eft multiplicatio extremorum) producit aequale medio proportionali in fe mul- tiplicato, oiddicct 27000 — »/£405- oooooo.Etfic iteruaequar bitur ifchuic connexo» »7000 — ^405-000000 — i5-o^-f-y%4j-oo?(* Exemplum capitis huius otftauum, E St pentagonusaeqaiIaterus,cuius linea fubtenfa uni ango* lorum effecit 1 oo». Quantum e illatus pentagonif 3alb»:i i Vi'. •'*: i» VL“ i' • ' " ti.-ulj.; : ( teb ti;.n «rs l Notum eft ex primo Almage.Pt0rem.cap.5r. ut a d dutffcr in BC>faciat quantum facit a BinCD .cumeoquod fitex A'C in B d. Simile cftin quolibet quadrilatero inferipto circulo. Pbno igitur pro latere pentagoni uno, 1 3*,tunc a c in b d facit Arithotbticab Liber ‘i ‘i i. 287 p%,5i CDin a B fac/t looaa.Et a Di nC B facit 10000, funt em ab Si ad Si B C inter fe aequales. Ita c£ i%-t-iooi*aequan tur 10000. Fac/t i2««^i»5-oo — 5-0 .Et tantum facit latus unum pentagoni. Proba per conuerftonem* rSi larus pentagoni arquilateri fa ciar«/%i 25-00-5-0. Quan- tum fader linea fiibtendens angulum pentagoni illius unum? Facit a b, n«*Et fic a d in b c faciet 1 % : & huic aequabitur quod fit ex c D in a B.i.%/%i 25-00% — 5-0 le.cum quadrato unius laterum, id eft,A c in b D,quod facit 15-000 — ,/% 115-000000. Quaerenda cfl igitur ragixquadrata ex %/%• 15-00% — 5-0 15-000 — s%i 15-000000. V olo etiam hoc loco Ledori meo (eruire, Si hanc radicem quadratam extrahere. Sica utero ftat exemplum. A 3 >*r — «iroco— A»*j’oooooo. Multiplico igitur %/% j 1 25- — 15- in fe(ut fatis docui)facit mu! tiplicatio haec hunc fequente numeru.3 75-0 — %/% 78 1 15-00. Ec huic addo 15-000-«/%! 15*000000, fiunt 1875-0-%/% 195- 3 1 15-00« Ex hoc aggregato extraho radice quadrata.facit 1 1 j--V%3 1 1 5-. Et huic iam addo dimidium numerum radicum , uidelicet «/% 3 1 25’ — 2 y. fiunt 1 oo.Et rantu facit a B,id eft,lincafubten* dens angulum in pentagono propofiro. Aliaeiufdem exempli odaui operatio. OStendi capite ultimo fecundi libri, ut linea compofita ex latere pentagoni S C linea fubtendente angulum penta« goniaequilateri,fitdiuifafecundum proportionem habentem medium Si duocxtrcma.in pundo copofitionis earum-. Hinc fit.uc 100 (it medium proportionale inter i 2$, (quam pono pro latere pentagoni ) Si 1 00 -f- 1 25, ( quem numerum pono pro linea compofita ex latere pentagoni,Si linea fubtendente angu Ium pentagoni > fitq? per multiplicationem 1 ie in 1 00-f- 12*. ut i'oo 1% aequent 1 0 00 o(. i.quadra to medi) .pportiona lis) Siperredudionem i%aequet 10000— 1001«,. Etfic i^fadr ifcnj.oo: — 5-0». CC iq; Veli I Habes libro fecundo .capite ultimo.de propofitione Euclt* d/s.afTercntis latus pentagoni efie lineam, quae dicitur minor: ubi linea fubtendens angulum pentagoni illius fuerit linea di* ,fequitur b e facere 3 2«,cum a b linea fit fubtrada. Deinde fi de B e fubtrahas b D, facientem iua longitudine j- \ , fitfcg aequalisl/neae B G.fatisclare uides D E flgnandam fic Et fle facilifii iucundiifima ratiocinatione poteris tibi formare Salium exemplorum inilrumentaliu copiofum thefaurum dic. Videamus nunc ufum eoru; n ety enim talia froflri nomino •exempla inflrumentalia. Si ( exempli gratia) profitereris publice Euclidis tertium- de cimum aut quartumdecimum , ubi fere ubiq* incidit ufus • ^ * • < . JDD tetra# MlCHASlirl STIFEtTT ' tetragonorum, pentagonoru, dccagonorum dic, iibpfeurorfS, & uelles uaria (ut decet) exempla proponere in rebus talibus.- alio qui non faciliter inueniendis , tunc polles tibi huiufmodi exempla pro neccHJtate tali conftruere,atque uti eis . Scilicet, dandi fint tibi tres circuli cum infcriptione fuorum pentagono rum,atqj decagonorum : quorum circulorum primus fua dia* metro faciat izo, fecundi diameter faciat 3 6, terti) faciat 48. uelishp fingolorum circulorum pentagonos faciliter & repente' reperire per exempla inftrumentale,quod dedi. Recipe primo* (H placet Jmaximum illorum. Et quia 1 1«, (tanquam pars dia- metri quarta) facit 30. pentagoni autem latus uc lignatum ha- bes, 1 0% — A 2 ow (haec eft linea D G figurae pofitar)& cum 1 olfaciat 3 o}facit 1 $.900,8 i 1 rt.z7ooo,& i$%.8ioooo.Red pio igitur 10%, id eft 900 o. Deinde recipio 20 %$.f.i 6200000. quibus praepono (ficut mihi pidiura lineae omnia ad manus tra dit)»/$.facit 1 6 2ooooo.cui praepono 9ooo,interpofito figno * lubtradlopt.Vnde fic flabit hoc £Jd inueni, 9000-*/$! 6200000«. Et huic praepono ( ut picflura lineae etia indicat ) boc fignu */%» interponto pundf o.Sic igitur facili negocio inueni latus penta > goni , circulo inferibendi ( cuius diameter faciat 1 zo ) facere- */$.?000 I 6200000. Sequitur circulus,cuius diameter facit 3 6. Praefcribo rrtihi igiturhanc progrefltonem.cum 1 ^faciat 9, tanquam pars quarta circuli. o. $♦ rt. %$< I- 9 . 81, 7 »9* 6j*6i. Vnde iterum infpicfo pidhiram lineae D G. J%, 1 o % — z o$%« • Et rccipiqprimo r o %,id eft 8 1 o. Deinde recipio 20$$, id eft, * 1 3 1 2 20. cui ppono fignu,/$,ut docet me pidhira.fir J%i 3 1 220* cui praepono 1 0 zenfos priores,i.8 1 o.interpofito figno — ,ut fic flet 8 1 o — 1 3 1 z zo. Et fic praepono huic toti, tignum interpoffto pun Sequit Arithmeticas Libs* 29+ Sequitur tertius circulus.coius diameter facit 48« Cum igitur pars quarta diametri, tanquam 1 "K , faciat r 2, fic ftabit inuentionis huius progreffio. °* c*. ffc *• »** <44* 1718» 107 3*» Praeteribo igitur mihi (uolenti habere latus pentagoni interi* bendi circulo, cuius diameter faciat 48 Mineam d G.id eft, V%. 10 i— 20 oVnde primo recipio 10%, i, 1440 .Deinde zoifc. hoc eft, 4 14710. Et fic mox habeo latus pentagoni hoc; Vfc. 1440 — Vfc4i472o. fctffchaec eadem pidura^/%, 10 % — A* coaequatur infinitis .pentagonorum aequilaterorum lateribus. Sed & alium ufurn ufde. Proponitur mihiifte numerus.y^.^o — petitur I me, ut o flendam numerum diametri circuli circumfcribcndi pentagono.cuius latus pentagonicum habeat numerum prae* didum . Hic ego mox praetentem habeo aequatione ex figura mea inftrumentali,&abicg haefitatione aliqua dico, Vfc.jofc — »0%%, aequari -V%i6to. Item quadratum noui quadrato aequari, ut lofc — io&%,buicpo — ^,6 io. D/uido igitur 90 — y^i6io, per io — x o (qui eft numerus zenforum) 5C facilis eft diuifio; fic enim ftat. 00 — J^XfSpo (p. *o — J%?o Fac/t igitur 1 ?.Vnde nefacit 3. & eft quarta pars diametri. Vnde quater 3 faciunt i2,inuentam diametrum. Longum nimis eftet.iam eodem modo dicere deafijs lineis, quo de linea figurae pofitaeinftrumentaIi,D t,dixi,Tu autem ^liquasjtua diligentia exequere Ac* DD ij Secunda • MlCHABlIf STIFEL11 V Secunda figura inftrumentalis.. "• Hacceft figura i^timiexempli,repraeientansquamlibetl/** neam diuidendam fecundum proportione habentem medium - & duo extrema . Quamcuncg enim lineam redam proponas diuidendam,modo prardido,tunc aequabuntur ei figurationes lineae a b ,Qi operor quemadmodum circa figuram iuperiorem ■ copiote: Arithmeticas Liber rn. 2$i copiofe de hac tc docui* Vt flt linea, faciens ioo.diuidcnda fecundum proportionem habentem medium& duo extrema, tunc recipio hanc progreflionem fequentem ,eo quod x? fit quarta pars de ioq» lf. c«. (• »y» 6x?4 ijdij** 390 6i?4 Prafcribofcp mihi numerum line* a d hunc , A 20 % — i 5^ Itacp recipio 20 % j 25- oo.cui praepono Rgnu A.facit J\ ixyoo. do* autem radices faciunt j-o;. Sic igiturinueni portionem maiore diuifionis meae efle A 1 25-00 — 5-0 . Deinde pr*fcribo mihi alteram partem diuifionis huius , iuxta numerum line* DB.huncuidelicef, 6iz — A 20 Faciunt autem 6 iyo. i quibus fubtraho A 20%. lofcjaciunt 125-00. Itacp 1 s 0 ■ — Ai 25-00 ,erit portio diuifionis minor» H* autem portiones du* addit* ad fe, faciunt 100. Hoc exemplum infirumentale ideo pofuf , qudd uix fit ali# qua propofitio in toto tertiodecimo Euclidis &quartoded* mo etiam,qu* expreflifs uerbis.non requiratdiuifionem line* fecundum proportionem habentem medium & duo extrema» Sequitur tertia figura inftrumentalis» FEft & huius line* b c (qu* in fequenti figura patet) fre# quens mentio in libris Euclidis memoratis : ideo eam hoc loco ponere uolui», DD iij Sedi 1 , MrCHAEtll STIVBXpH' -A. S refonatdiapaion cum diapente.i.facit pro- portionem triplam.Triplabisigrtur |>i,tunc habebis aequati* onem,qua uel radices primaspoflis refoluere infecundas, uel fecundas in primas. Solemus autem nos refoluere fecundas in primas,nifi commoditas aliud iudicct. Cum igitur (itaequatio inter ' A & | A , & denominatores fint aequales inter fe. ideo erunt etiam numeratores inter fe aequati . Ideotg Terjcio denominatores , & referuo aequationem inter nominatores* Qua redufta ad fimplicia,habcbisaequatione inter 42«, & 8 A* V nde 1 a facit k ^.Ergo i facit x A.Et fic eft proportio du* pia ne, ad 1 A,&eftinuentum,^ portio maior diapafon refo* naucrit fupra minorem portionem,antequam ponticulus mo- ueretur pri rao. Sed probemus. Ponamus portionem maiorem facere »4, & minorem 1 fle fit diapalon. Dum autem transfero partem quartam duo* EE denarij MicHAfltu Srrtziri deflari] ad 14, tunc maior portio faciet 27, & ex altera parte remanent ^.Erit igitur tunc inter porriones,diapaibn cum dia pente;cam,pportioiam iit tripla inter portiones/ub qua pro- portione confidit diapafon cum diapente, Podea transfero (iuxta exempli prononciationem ) partem tertiam de maiore portione ad minorem, id cd,transfero 9 de 27 ad p.tunc utro- biq; fiunt 1 8,Ed ergo unifonus fatfus per fecundam ponticuli motionem. : ' Exemplum tertium capitis huius/umptum iuxta cap. ix primi libri Almag. Ptolemaei, Sint duae lineae defeendentes ab angulo aliquo, quarum Ion gior faciat 3900. & minor earu faciat 3380. Refledaturfcp altera in alteram,faciat'cg reflexa maioris 3 3 60, & reflexa mi* noris faciat 29 1 2. Diuidatbg reflexa maioris,defcendemenr minore fic, ut fuperior portio defcedentis minoris faciat 1980, & inferior portio faciat 1400.Ec reflexa minoris defcendentifj diuidat defeendentem maiorem f?c,ut fuperior portioilliusde kendentis faciat 1 7 1 6t8C inferior portio faciat 2 1 84. Quaedio ed dc partibus redexarum}quae fiunt ex inter - iedione earum, quanta unaquaeqj earum fir, Propoflt/onem operationis huiusCquae perfpicue patet ir» fequenti figura ) ponit Ioannes de monte regio ex Ptolemaeo: quam ego mihi fic formaui. r Si proportio quam facit una defcendentium,fua portione Inferiore, ad fuam portionem fuperiorem, fubtrahatur i pro* portione, quam eiufdem defcedentis reflexa fadt,fua parte in- * feriore, ad partem fuam fuperiorem , relinquit proportionem, quam facit reliqua defeendens integra, ad portionem fuam Inferiorem • Iuxta hanc propofltonem fic dabit aequatio una» 3380. 5767760 — 17161$ Ia 1409» t ^ Arithmeticas Liber iii# i$4 Tigtunmpi bniitf tortu* .1 Io minoribus uero terminis Oc flat aequatio# i6p4 36960 — ni« 70. 142« Ea uero reduda ad aequationem integrorum Oc liabit# Vt t j« 34 flnt «qnaueij-8 7 too — 770 1«. EE ij Deinde V x Digiti^ by Google a MlCHAELlS STlFELir Deinde reduefla ad ffmplicia fic dabit: Vt 3 13624 fint aequatae 15-87100. Facit igitur 1 1«,, 825-. Et fic inuentaefunt lineae DCpor tiones.Nam o f facit Siy^Et fc facit 25-3 5-, Reflat iam inuentio portionum reflexae minoris, cuius in* uentionis aequatio fic flat. >980 a. 3900, 4076800 1400 A# 2184« Ea in minoribus fic ftar. 99 A+ 25~. 203840 — 70 a, 14, Ad integra uero redudta fic flat, 1386 a aequata 5-096000— 175-0 Jl, Redu&a uero aequatione ad fimplida, aequabuntur 3136A cum 5-096000,. Facit ia. 1625-,. Et fic etiam funt inuentac portioneslineaereflexae B E* Facit enim b f. i 625-. Et f b facit 1 287,. FProba boeper inuerfionem hoc modo. Sint duae lineae defeendentes ab angulo aliquo, quarum lon- gior faciat 39oo,& minor earum faciat 3380, refle& eft Adami. TRcs fune foeti >quorum primus dicit ad fecundum,Si mihi dares dimidiu fummar tuar, tunc haberem i oo f^.Et fecun dus dicit ad tertium ; Si mihi dares fummar tuar parte tertiam, tunc; haberem i oo flo. Et tertius ad primum dicit : Si tu mihi dares fumma; tuar partem quartam.tunc haberem i oo Quacftio eft,quantum quifep eorum habeat* Primus habet i 2«, florenorum. Secundus habet i a florenorum* Tertiushabet i B florenorum. , Quod autem primus petit i fecundo dimidium fummar, quam ipie fecundus habet, ut ipie primus habeat loof^, fatis mihi indicat,arquationemefTeinter i ^-f-iAjSi i oo florenos. Sic aut ioleo ponere frada huiufmodi, ,Aacquaratioofl% Ergo zze-f- i Aarquantur zoof^.Et i a arquat zoof^ — zzc. Facit ergo i a,i oo ^ — z z^.id quod mihi referuoloco uniusA* Habuit igitur primus i z* florenorum. Et fecundus zoo — Zlft. Et tertius i b flor. Petit autem fecundus tertiam partem fummar tertrj ibcij.ut ficipfefecudus habeat loof^.Itaqjiam zoojt’ — zz^-f- |b, arqua ntuf i oo florenis.Sic ego foleo ponere huiufmodi fradi ones, ut denominator refpiciat totum numeratorem, ut tfoo~/ ^"^'Barquata 100. Aequa nturftaqj 600 — 6iz- f- 1 B cum 300. Atcphacatquatione uides fatis, ut 1 b refoluatur in 6 24 — 300. Et fle primus habuit 1 ^ florenorum. Secundus zoo fc — zz*,. Tertius^zc— 300^. Petit autem tertius partem quartam fummar, quam habet primus,ut fle ipie rertius etiam habeat centum florenos. Ita e# 6 5^-300 arquant 1 00. Item 1X00 arquant 1 ooff. Et fle zy z — 1 zoo sequantur 400, Item zj- assequatur 1 600 f£* . Facit 1 24,64 . Habuit Michaelis Stifelii Habuit igitur primus i ^,id eft, 64 Secundus habuit; aoo — x l^.i. 7 1 ft* Et tertius habuit 6 — 3 oo.hoc cft,84 Quod facile poteris probare* TPonit Ad a mus QC alia pulchra exempla pro regula Falfl, quae cum fimiles habeant operationes huic operationi propo* firac iam oftcn£c,idco ea prartermitto.Habct etia Chriftopho rus egregiam copiam huiufmodi exemplorum, quae cogor ob- tnittere penuria temporis: deinde decer,ut rem hanc contraha, ita ut caput hoc fuperiora non excedat, nimia prolixitate. Vice tamen omniu talium exemplojt, adhuc unu fuperaddam. Exemplum quintum capitis huius,in quo for mando imitatus fum Chriftophorum, talia ex* empla ponentem multa. TRes focrj fant , quorum primus dicit ad reliquos : Si uos adhuc haberetis 1 00 tunc fumma florenorum ueftroru effet ad fummam meam dupla . Secundus dicit ad reliquos: Si uos haberetis adhuc 100 f^tunc fumma ueft ra eflet ad meam tripla. Tertius dicit adre!iquos:Si adhuc haberetis 1 00 f^.tunc fumma ueftra quadrupla eflet ad fummam meam» Quarftio eft, quantum quifq$ eorum habeat* Primus habet j iz florenorum. Et reliqui habent 1 a florenorum ftinuf. Dicit autem primus, quod fumma reliquorum dupla eflet ad fummam fuam.fi adhuc haberent 1 00 f^.Ergo 1 a-*- ioof£ aequantur x iz florenorum. Sequitur ulterius,qudd 1 a faciat xxz — 1 oo.Itaq; fecundus & tertius fimul, habent — 100«. Quibus florenis addita fumma primi,fadt 3 xz — 100 ft.&cft fumma omnium, quod obleruabis. Secudus dicit, iumma primi & tertij ( adaurta 1 00 florenis) futuram cfie triplam ad fuam . Pono igitur fecundo foc/o 1 B» tunc reliqui duo habent fummam omnium,minus ca.quam fc* eundus haber.hoc eft, reliqui habet hanc fumma, 3 xz-i 00- 1 B* Cum autem fecundus dicat de fumma hac reliquorum,q> eflet eripit Arithmeticae Li.brr m. 2p? tripla adfummam fuam,fi ipfiadjiuc haberent-ioo ft.Sequitui? crgo.qudd 3 b aequentur 3 zc — 1 b. Et per redudioncm, 3.^5 aequantur 4 B.FacU igitur 1 B.i^Cum igitur primus habeat 1 , habet fecundus ^e. ' 1 Tertius dicit ad reliquos duos, Si haberetis 100 .tunciuBB ma ueftra ad meam efletquadrupla. Pono /git pro tertij fuma 1 c.tunc reliqui habent 3 a*— looft — 1 c. Aequantur igitur 3 — 1 c cum 4 C. Et facit 1 c (ut uidesj jr\ At qp ita Primus habet 1 zc. Secundus habet | ac. Tertiusuerohabet}ie« ?. Et hae tres fummaeiimul fumptae, faciunt 1 £*Jc,fcafZze, Et cum fit fummaomnfUjfitqj etiam 3 zc—i 00 iuma omnium, fatisconftateasinter feaequari. Itacg perredudiones^jH •aequantur zo 00. Facit 1 ac. 13-3 73. Vnde primus habet 15-371, - : Secundus habet 1 15-75, Tertiusbabet^zjl, TEx fila operatione facile formabis reliqua exempla fimilia.quorum tibi uariationem breuiter o flendam. TRcs focij funt. Quorum primus dicit ad reliquos : Si ego adhuc haberem 100 fotunc fumma mea eiTet aequalis fum. mae ueftrae. Secundus dicit ad reliquos; Si ego adhuc haberem 1 00 tunc eflet mea fumma, ad ueftranyiupla.Tertius dicit . ad reliquos : Etego ii haberem 100 haberem fummamquat ad ueflram comparata, cifet tripla. Summa primi 97} Summa fecundi 4 rnfc Summa tertn Aliud. ... rSunt tres focrj , quorum primusdicit ad reliquos ; Si uoa «e fumma ueftra remoucritis 100 f£, tunc fumma mea eiTet- FF fum mae Michabiis St it e iii fummae ueftrat aequalis • Secundus dicit adreliquos :Sf uos de , fumma ueftra remoneretis i oo ff.tunc fuma mea eflet adfum*r mam ueftram dupla. Tertius dicit ad reliquos,Si uos de fuma, florenoru quam habetis,remoueritis i oo jt > tunc lumma mea eflet ad fummam ueftram tripla. Quaeftio cft.quantum quiicjj eorum habeat* Primushabetj-4-n Secundus uero habet 7 K* Tertius autem 8 1 7? ft. Aliud. FTres focij funt, quorum primus dicit ad reliquos : Si ege de fumma mea remonerem 1 0 o ft, tunc fumma ueftra eflet ad fummam meam quadrupla.Secundus dicit ad re!iquos:Si ego de fumma mea remouere 1 00 f^, tunc fumma ueftra ad meam eflet tripla. Tertius dicit ad reliquos : Et fi ego de fumma mea fcmoucrem 1 00 .tunc fumma ueftra eflet ad meam dupla* Primus habet »847! R* _ Secundus uero habet 3 3 o 7j T crtius habet 4 °7t? f Aliud. ‘ FTres fbdj funt,quorfi primus dicit ad reliquos. Si darem nobis 100 tunc fumma ueftra ad meam fieret quintupla. Secundus dicit ad reliquos, Si ego uobis dare 1 00 ft.tunc fuma ueftra ad meam eflet fextupla .Tertius dicit ad reliquos,Et ego fi uobis darem 1 00 tunc fumma ueftra ad fummam meam fieret feptupla* Primus habet 1887! ft» Secundus i7Ti - Tertiushabet i66T§ft* Aliud. FTres focij funt,quorum primus dicit ad reliouos, Si dare tis mihi 1 00 fttunc fumma mea eflet fummac ueftrae aqualis; Secundus dicit ad re!iquos,Si daretis mihi 100 tunc fumma mea eflet ad fumo# ueftram dupla .Tertius dicit ad r eliquos : I 1 Arithmeticae Libbh iiu 2 Sidaretfsmihi i ooft tunciumma meaeffetad (intimam uc* ' Aram tripla. Primus habet 6377 f£» Secundus 1 1877 flore. Tatius oao habet 1 4*77 1 2e $8f - * A «J4 * I B Vnde 5 "77 c aequantur 15-4 :ed qudd numerus ille /3-4 colligat (ut fit in focietatibus) ex terminis quartis. Facit ergo 1 c, jo. Vnde amodo Gc ftat figura exempli» iguratum. Ise 3*1 12$ IA I B »3*4 3® 4® 84 Videbis igitur 1 2$ facere 77, Et 1 a facere 100» . * Et 1 B facere uidebis» 10* Exemplum Arithmeticae Liber ii*, 300 Exemplum nonum capitis huius* Et eft Imitatio exempli Chriftophori 1 1 2* TRes fhnt focn , quorum quilibet fuam fummam floreno* rum habet. E t primus de (limma fua duplat luminas duo rum reliquorum . Idem poftea facit (ecundus. Facit & tertius poftea idem. Quo fado.habet quilibet eorum 248 Quae Ilio eft quot flo» quilibet eorum primum habuerit» Summa omnium 1 c, • Primus habuit 1 >e» , Secundus habuit ia* f Tertius habuit ib. v Fadt autem 1 b. i c — 1 3e— 1 a* Poft primi foctj dona.adquirit Secundus 2 A» TertiusiC — 22^—2 a* ► Primus referuatx oe — 1 C* Poft fecundi iocij donationem.adquirit Primus 4^ — iC. Tcrtius4C — 42$, — 4 A» Secundus referuat 4 a — 1 C. Poft certi) (ocii donationem,acquirit Primus8 2e— 4C. * " * Secundus 8 a — 2C. * Tertius referuat 7 C— 8 2^ — 8 a, Ettflaetrespoftremaelumae.interfe funt aequatae. Nam luxta pronunciationem exempli, facit quaelibet earum 248 fc. Et fic fumma omnium facit 744 ^. Et tantum facit 1 C. lta<$ Primus habet 8 1«, — 297 6, Secundus habet 8 a — 1488» Cum igitur duae fumma: hae (in t inter fe arquatae,lnuen(es 1 a facere i2e — is 6, Tertius habet 6696 — 1 6 2$,. Et quia haec titricg fuperiorum duorum eft aequalis,uidelicet illi 82^— a?7tf,inuenies 1 ^facete 40), Itacp * , r. e Michablis Stifelii P> * . • . V T - •* Itacp Primushabuft40)f^. Secundus habuit z i 7 ft?. Ternus habuit »z4f^. •• , r Quod probare poteris iuxta prohunciationem 8, Reduc igitur aequationem illam,ut r a * maneat Arithmeticae Liber i i i. jof maneat aequatum reliquis particulis aequationis huius.Scilfcet i a % aequatur $6 a 4— i% — 28^ — 444.Etquiafuperius ia% aequabatur cum 1%-}- i44,ideo relinquitur 1 fc 4- 144 aquari f6A-t-i?f— 2 8a4-,s aequat 51284-1 ,%-V%3 , 36*4-45- »r 84. Keduc aequationem , tunc y88 -f- 28 * uidebis aquari Y* * 1 3 6 J-f-4r » r84.Et quadratu unius aequabitur quadrato alterius : fcz 3 136*4-43- 15-84 aequantor 343-7444. 3 2028 oe 4-784%(tantu enim facit 5-884- 28* in fe). Vnde x quatione hac reduda, inuenies tandem 1 % aequari 145«, — 45- , Et faciet radix aequationis huius minor j*. FStudiofe uero uolui exempli huius operationes difficilio- res ponere,ut uarqs exemplis uarieeatem miram operarionum inefle, paucis (ut licebat) Ugnificarem, ateg rjs omnibus iubin* dicarem immenfam radicum fecundatu ufumiex quibus fnero diligentem Ledorem libi alia atqj alia poffe inuenire arque Jbrmare,ut nihilopus fuerit me pluribus rem hancagere! GG Ledori* K~' ' MiCHABLI* STIfBLIi l^dori autem meo, mea hac opera ,Gc fer u ire uolui,ut diliges eia mea, me ei infinuarem atqj fidei/, potius qolm erudita, tra* datione feu oftenfione eorum quae doceo, hoc ab eo impetra# rem, ut memor mei effet aliquSdo in orationibus fuis adLhri^ ftum.Cui gloria fit, per Euangelium fuum , etiam /□ iius do- cis & creaturis fuis temporalibus* Arnen* Caput xiii« quod Epilogi uicc repetit mentione* perfedionis regulae Algcbrar , cum exempli* quibufdam Hieronymi Cardani ad hanc rem pertinentibus; d d en d v m eft nunc, Epilogiuice, Caput ultimum libri huius, quod continear exempla ta* KA\Z«: |(a qualibus ledor exadiusde peifedione Alge» I brac&difputare&iudicarepoflit . Ea igitur qua II hoc Capite dicenda funt , dicam ut inciderint per occafionem exemploro, quemadmodum in iuperioribus fex exemplorum Capitibus non abfcp frucflu rerum Arithmetica rum(ut puto)fcci. Accedamus igitur ad exempla qualia Ca- put hoc ultimum requirit. < , -Primum exemplum Capitis huius. Et eft Hieronymi Cardani 8 3 .Capitis 66, Arith. fuar. *•' Eft progreifio Geometrica trium terminorum ab unitate , incipiens, cuius aggregatum ex primo & fecundo termi- nis.diuifum per tertium, item aggregatum ex fecundo & te*» . lio terminis,diuifuro per primum terminu , item aggregatura cx primo & tertio terrainisLdiuifum per fecundum, faciat 1 * . Quxftio cft,quar aut quata fit ifta progrcflio.Facit. #. iH, Diuifiones font. * .1 hjb 1 Summa Arithmeticas Lirer mi. ?e* Summa omnium quotientum. r% Iftamigftur fu rnmam, aequat pronanda t/o exempli ,cum 1 3 , Vnde, per redadionem ad Integra, 13% aequantur i%%-f — xrc. -f—iie-f-r. Et per debitam particularum tranipofltionem, de qua in fuperioribus Capitibus dixi, inaequatur huic nume rocofftcofequeti. 13% — zet — zi«, — ‘i .Ex hoc igitur nume ro,iam(iuxtaregu1am Algebrae meam)extrahenda e flet radix Zenfizenflca, quae proculdubio proderet numerum illum Ia# tentem fub ne polita ,quem quaerimus.Sed ego fateor meas uf res huic operationi.atqg flmilibusefle impares. IUis auteami* cis meis hoc negocium committo, qui aliquando, me praetente gloriati funt.fe omnia ifla , quae inuenerim potuifle inuenire, n ocium eis id faciendi haerent . Cum autem uideam eos flbi ocium inuenire,quantum fufficit.pro acquiredis pecunijs.idfcg in quolibet anno non temel,mihf uero rnuideant.fi uel trienntj fpacio temel , gratus aliquis auditor me accedat, qui potio# ra Arithmeticae praecepta diteere cupiar,! icere mihi puto,ut iu xta gloriationem eorum hanc(ut caetera tranfeam)ab eis id o* neris exigam , quatenus me iam fatigatum iuuent. cum iflud facile poflmt.ftante eorum felici & forti confidentia inuenien* di noua dC intelligendi aliorum inuenta obfcure tradita . Ego tamen.ut ferio loquar , exiflimo illud fandi loanms Bapt iftae. Nemo poreft accipere aliquid,nifl ei datu fuerit deluper , etiam intelligendum «fle de fpinis iflis,et fcientiarum et diuitiarum. Sed ad exemplum redeamus. Cardanus ingenioflfllmetradf dir nobis huius exempli folutionem. Aequat autem ille 1 3% re liquis particulis aequationis politae & inuentae , & fle alia uia, pulchre inuenit folutionem, Scilicet, Ex urracp parte aequatio* nis, extrahendas radices uidit quadratas, pauculo auxilio adhf bito, Sciens enim,quod aequalitas manear, fl aequalibus aequa# * GG x lia ad- ' ; Michaelis StifeIit toaddantur.cumexuna parte aequationis, haberet 1 3%, ex alia autem parte haberet .Vidit ex u- trac^ parte addendos.eflc 3% • Sic enim ex una parte flebant 1 6 %,td eft, numerus codicus, radicem quadrata mhabens ,& ex altera parte fiebat ifte numerus coftlcus quadratus »c* 1 , Sic enim icimus etiam numeros hos necef# farioede quadratos. i»i.fZ3zi«iz3431*»i*34S'43l,i«Et(lc deinceps 1 * -4- z a*-f- 1 .Facit radix quadrata 1 Je-f- 1 * Item t fadt radix quadrata ise -f-i.Item ifcrt-f— z/? dix quadrata, ict-f-1%-4- 1 z*-f- 1 . Etfic deinceps ininttnf- tum.Nec huic rei officir,fi pro lignis addiroru ponantur ligna fubtradorum.Sic autem ftat exemplum ad extradionetn ra# dicis . ? i O O O -3% Sed primo extraho radicem ex 1^. facit »*. quem pono in locum Quotientis.Eum deinde dupla tum , pono fub numero cuborum.Si dico quoties inuenio z%in zet facit ize(quampo no ad locum Quotientis) multiplico igitur ne in z* fiunt zc* quosfubtraho i zct.remanet nihil ♦ Deinde multiplico 1 z«in- uentam in fe, facit »%.qui fubtradus a 3%. relinquit zfc.Poftea hoc quod eft in quotiete tota, duplo, duplatumfcp pono fub refl duo relido.atcp diaido.Dico em zfcin z%fupra politis, inuenio femel .Vnde pono in Qaotiente,et multiplico, atqt (ubtraho. Deinde multiplico 1 in fe,et fubtraho etc.Haec forte uerbofiuj dixi cfe fuerit neceftariu,(ed oportuit me eti3 tardiorib.feruire. Vides itacp ut radix quadrata ex una parte aequationis, fa dathuncnumerumcoflicum.ifc-f- ne-f- • .& radix quadrata ex altera parte aequationis faciat 4 zc. Cum autem quadrata fuerint aequalia , necefle eft ut etiam eoxum radices lint ad in- ^ uicem ARirHMHTlCltB? LlBBR III* £0$ ufcem aequales .Itacp^ aequantur ffc-f- na-f- 1 , Aequatur igitur i%(utex redudione uides ) ym. — i , facit radix maior *:±yV (nam radix minor facit *— ^*r) - H^cfetpro^mo * ♦ 1 j, Quotiens ergoprimae diuifionis facit S — Aio Quotiens autem fecundae diuifionis facit j--f-A»o Quotiens tertiae diuifionis facit 3 . &c. Exemplum fecundum capitis huiua Et eft Hieronymi 48 . Capitii fui 66, Eft progreflio Geometrica incipiens ab unitate, terminos habens-quin<$ , & dum quilibet terminorum diuidit fum* an«m aIiorum,fiun t ex aggregatione quincy terminorum illo* tum 3 s 6t ' 1 . Pfi Progreflio eft. 1, n*. »&. 1 c*. Quotiensprimus* • l -f- 12«.— f— ifc-f- ict Quotiens fecundus ne-f- ife-f- irt-f- 1$$ «Inmo VtaoUtu iLLm ilnoii >/.j v ' . .r * o : TertiusQuotiens» i-t li-i- •*- t-»** . . I2C Quartus Quotiens» 1 “f" ,rg -+- ifcfc »* Quintus Quotiens* »rt Quoticntes igitur ifti flmul additi faciunt Minutiam,cuius numerator (icftar* GG 3 % j£» < • nwijtjCf. i • tohof T.bn^lnsbni tir.csl { t n.; 19* b rt Si v| ■ - 1 -1 [ipOTiUTlfcl. P ' • . .1 L. t ;;•> • 1 JlQ* ; tg)T HtfiV ■ -'s^ncijp •r* * [ 771£f fotim.ribM M ichaelii STrPEtrr cct.c£.**rt.4/l«%tyk i« x « 3« 4* 4* 3« *» » Diuifor autem huius numeratoris facit i zfi. RcdudUsuero (ignis coflicis fic flabit numerator# o. 2$,. ct. /?. %c*. n* . i* x* 3. 4* 4' 3* ** »■• Denominator uero feu diuifor numeratoris huius e it, /*%. Et ilia minutia aequatur numero huic. 3 Sed jy6 ^aequantur numeratori minutiae praecedenti»» Etfic inaequatur 3**— 4/?—4^ — -3 it — — I* • _ Et ex fumma hac,pofterioris partis , de aequatione propoli ta, Jam quaerenda effet eft, radix Zenzenfizen fica. Quod cum fit difficile, alia uia reperit Hieronymus Cardanus refo- tutionem unius radicis,pofitaepro fecundo termino progref» fionis inueniendae. Sed aequatis 35-6 & reliquis particulis aequationis omni# bus(ut iuperius ufdimus)addit utriqj parti aequationis fic 3 6 inaequantur 1 +■ rtfc Quxreutrobicp radicem quadtatara>tunc inuenies ipz ae# quaricum. 1 ict-f- 1%-f- »*e-f — »'• Iterum adde utricg partium aequationis. i&.tuncxe& aequabuntur 1 f— | — 1 .Iterum quaere radi* cem quadratam ex utracg parte aequationis , tunc inuenies 4 ^xe.xquari. 1% 1. Hac aequatione reduquam facit multipli catio eorum diuiforam, inter fe,quam'<$ additio eorundem di uiforum ad le facit. Quarftio cft qui Gnt numeri flli.Non amem hic po« teris recipere. ne. 1%. »c?. Nara tunc necelTario fieri fignificaretur , fecundum nume- rum efle quadratum primi , Id quod fieri neceile eft folutnmo- do,dum progreffio incipit abunitate,&c. - Recipecrgo. ne. 1 a. i b. tunc Quotientes fic ftant: *j •. * ne. 14» I B. Kic XV ' jr w.r. - JMiCHABLIS STIPELPr* t.\ Hic obferua,quod medius minutiae denominator xqaa turipfi minutia: mediae , co quod denomina tores fint adinui- cem proportionaIes,fub aequalibus numeratoribus, Itaqj i a. aequatur 7^. facit igitur i a%. xy .Etideo ia. facit y • Vndcfrc dant numeri exenipii amodo. i^. y. i B* Et cum numeri ad inuicemfint proporf ionales , fequitur. multiplicationem extremorum inter te, aequari produco mul tiplicationis medi] in fe. Scilicet nz b aequatur xy. Quia uero in pronunciatione exempli habes, quod multi* plicatio eorum numerorum inter fe , debeat facere fummanf aequalem ei quae fit ex additione numerorum illorum inter fe, ex i xg uero in i b fiant xy. multiplica nda per medium, id ed per y. fequitur fummam aggregationis facere, i xy, Itaqj pronunciatio exempli praetentis iam uerfa ed in pro* nunciationem hanc. FDiuiditur numerus ixy «.intres partes adinuicem pro< portionaIes,quorum medius eft y. Quaeritur ergo quanti funt extremi. Sic dant numeri iuxta pronunciationem hanc i y* ixo — r tqj, n j/iir Nam ny — — y. facit i B. Erit ergo aequatio inter xy. 8C ixo xg — i fc.Cumfint numeri proportionales. Itaqj i£.arqua* tur ixoift — xy.facit nz.6o — »/%jy7y . et ed radix aequatio» nis minor.Nam maior radix facit y7r« Sic ergo dat inuenta progTeflio.tfo — y7f.y*tfo-f- Nifi autem utereris hac indudria reducendi pronunciatio* nem priorum ad poderiorum pronunciationem, negocium tibinafcererurcumiX4A B aequata xyA ^ Exemplum Capitis huius Quartum, ■ DEteJl Hiero* Car. 8 y . Capita 6 6 nummi tamen uariatu. Iuiditur numerus r x in duaspartes}quarum partiu qua» >;;; drac ArithmetiCae Liber iii. drata, multiplicata /n fummam cubicoru earum faciut 6804.0 « Quae ft io eft quantae fint panes iUae, S* hfc receperis pro partibus illis iie&i a. flue ne&ix — i2e.Tuncamboquadrata(ideft 144-4-1 fc — 24 irinam bos cubos(id eft, 1 7 28 -f- 3 6 — 431 olfacient hunc numerS coflficuiua multiplicatione 248832-4- 19008 — 103680 2« — 1728»* -4-72 fcfc . Qui aequatur cum 68040, Et fic 17281« — 19008 i-f- 1036801«, — »80792 .aequant 7 2 ii. Facit 1 i% ' 24 ct — - 2 64%-f— 14402«, — xy» ». Exilio igitur numero cof* fico iam extrahenda eiTet radix Zenfizenftca. Quod cum non poffimus prae flare, alia uia incedcndu erit, qua folutio inuenia cur . Eam Cardanus pulcherrime monftrauit. Docuit coipi numeros inueniendos ita repraefentare* 6-4-12«. 6 — 12«. ' Eft autem 6 dimidium numeri diuidendiydic« Quadrata partium. 36-f-rxie-f-li jd— |x2fc-f-»i facit aggregatum excis, 71 -f- Cubi partium fupt. 216-4- so8oe-f — 13&-4- it* 216 — 1082« -4- 18 i — it* Aggregatum ex rjs cubis facit # . 43* -t-3* i / Itaqj multiplicatio amborum quadrator&inr ambos cubos (id e(l,72 -4- 2 i in 43 1 3 6 i) facit hunc numerum. 3 1 1 04 -h 34J,6fc“f~ 7i%S% Cui numero cofiico aequantur. 68040 . Et per redudionem 72%% aequantur 36936 — 3496 i* Fadt 1 913 — 48 Facit igitur 1%. 9.' Et 1 ^ facit u HH Vixje ( - p/ 0/ 4 » • & > ; * MlCHAELlS t 4TIFBLI!» -\ Vnde partes illae funt. j .8i 9» ^fiede au[s infinitis exemplis,in quibus regulae Algebrx nfc hil deeft,( quar omnia exempla artis calculatori* comp«bm ditabit* ulla aliqua exceptione) liat nobis in mulrisd*^J™ uar iarum radicum extractio, quales ipfa in uarqs exemplis re ^Vtocerte5 ex’ omnibus quae hic,atqj in fcpertoribusd^ qudd fl quis haberet abfolutam artem extrahendi radices om-. nes ille per regulam meam datam .immediate, & abit* ulla ali qua alia requirendi induftria , abioluerct °mma exemp q uel formata funt,uel formari pollent unquim . ExM™ 'me per ifta omnfa fatl .< • — w • V „ - ’J 4' • -1 • • - » - *•*» > % k I APPENDIX, AD MECOENATEM? SVV M D0M1NVM ADOLJ>HVM GLAVBVR.CK ' Francofordienfem patricium , de Arirh» mctica Hieronymi Car- dani, Ri TH M B TiC A HieronymiCardani talis eft. Mi domine Adolphe, ut fefe tibi fatis abunde fit commendatura., dum eam legeris . Habet enim multa rara, quae alibi nufquam legimus . Deles dant autem me quardam exempla eius ade<5# ut quiefeere non potuerim, donec earibi peculiariter referipta mitterem.Orote nihilominus, amore artium ,qt»s tantopere1 coIis,quatenuseam Arithmeticam totam legas I principiodi- ligentiiTime.Si afluefcas.figna eius, quibus ipfe utitur, trans&- gurare ad figna noftra . Qoamuis enim (?gna quibus ipfe uti a tur,uetuftiora fint noftris.umen noftra figna (meo quide i udi cio)illis funt commodiora.Quid autem ex eo libro didicerim, ego (praeter exempla quar Capite ultimo, ultimi libri pofui, atcg ea quae iam ponam) indicaui in mea Algebra. Haec funt autem exempla Cardani,quorum ope rationes me mire deledant. Exemplum Hiero.Car.quod Cap.. 2 o. Et fot habebit progreffto illa terminos • Itenr Maximus terminus faciet etiam io unitates* Sic 'ipoteft aequari cuilibet fammae cuborfl pro gredientium naturaliter ab unitate.Si igitur aequetur 44,0° • inuenies iterum i?e fecere lo.ficut prius,&c. Exemplum aliud Hiero. Car. quod ponit Capire s • -nu- meris tamen furdis mutatis in rationales* QVidam lufit tribus diebus. Primo die lucratus eft quam tum prius habuit. Secundo die lucratus eft radicem qua- dratam totius pecuniae prioris plus 2 florenis.T ertio die lucra tuscft quantum facit quadratum fammar fuperioristotius* Et tunc inuenit fummam totam omnium fupradi&orum fa* cere«fjTo. Quacftio. Quantum.habuit i principio? Habuit primo |^,Et primo die lucratus eft ^.Habuit ergo iam /^.Secundo ftacp die lucratus eft 1 Je-f- 2. Vides iam quo confilio receptus fll^i principio operationis,uidelicet,ut iam poflecia* edaci. Dic igitur fecundo,poft peradu ludum, habuit. 1 %-f- 1 se-f— : *• Tertio dic lucratus eft fumma quadratam de 1 %-f- Hoc eft. 1 %*-+» -t- r % -f-4^ -b* 4*Et f?c illo die,poft ludum habuit fummam hanc • 1 -f— %-f- j^-f— 6 • Et harc fumma aequatur (iuxta pronunciationem exempli)huicnume to.j-fj-o.Quod cumita fit, & uideas fummam praedidam efle aggregatam, ex quadrato quodam, atep ex radice eius, NeceF fe eft ut etiam j-j- j-o.fit numerus aggregatus ex quadrato quo- dam , fumpto cum (ua radice • Vnde hoc exemplum fecundas |ium fequitur. Quaeritur numerus ad quem additum iuum quadratum fa- ciat j-jto . ' 1 , Pone igitur quod quadratum illud faciat 1 a h tunc radi» eius quadrata faciet ia. Etfic iAfc-f- 1 A. aequabitur j-j-j-o.^ •Itacp 1 Adaequabit j-j-j-o— l A.Facit 1 A.74, Ergo cum. 1 Jfc lC$ -l. 6 l-i- s K-t-6» aiquetur. j-j-j-o , Sequitur quod. 74* i u .atquetur db Arith. Hier. Cardani 308 jequetur i %-f- i.Naroficutprardicfia/uroiiia (quam di- xi aequari huic numero. j-j-ycOeft aggregata cx i fc-f- & ex quadrato eius. Sic s r s o . eft aggregatus ex 74 . QC radice eius , fcilicet 74 . & 5-476. faciunt additione fui 5- 5- 5-0 • Et cum 74 aequetur huic fummarC ut didum eft) 1 %-f~ i.ie-f- z. Sequi* cur 1 fc.facere 71 — ne. Facit itacp ne. 8. Cuius quadratum eft 64.Itaqtlu(orilIeprimoantequ2m primo die luderet ,ha* buit id eft, 3 x f£. Et primo die ludes acquiffuit ludedo {% id eft, 3 z f^.Et fic habuit 64^. Secundo dieiucratus fuit radicem quadratam de 64. id eft 8 f^.plus x ff.Et fic fecundo die poft lu dum habuit 74 * Tertio igitur die lucra tus eft. 5-476 f( . Hoc eft.quadratum de 74.Et fic tandem habuit 5- 5-5-0 Exemplum Hieronymi Cardani quod Capite 6 6. ponit, loconoaagefimoquinto.mutatum eft autem e|t numeris irrationalibus in numeros rationales. QVaerantur quatuor numeri continue 'proportionafet , quorum fumma aggregationis faciat 45-.Ec fumma ag- gregationis quadratorum eorum faciat 765-. *• Si fuerint quatuor numeri continue proportionales , fu e* ritc^ aggregatum quadra torum(ut hiceft 76y)diuifum per ag gregatum e* numeris illis continue proportionalibus ( ut hic eft 45- )tunc quotiens diuiOonis illius , sequatur Quotienti dii, de quo iam dicam. Summam aggregationis quadratorumCut hic eft 7* r)fub- .trahe 2 quadrato aggregationis numerorum ( ut hic eft xp.zj- • cum numeri aggregati faciant 45- ) & 2 dimidio relidi illius (quod dimidium hiceft.630. ) fubrrahe quadrarum aggrega* Cionis duorum numerorum mediorum ( de quibus paulo infe ■fius)0ihoc relidura diuide'pcr aggregatum ex medrjs illis nti meris duobus. Tunc quotiens diuifionisillius sequatur Quo* cienti dii dequo fopcrii» dixi, • / • •. * ** i- '♦ Porte Appendix Mich. Stifelii Pone ergo,qudd duo medij illi numeri 'ex qua tuor propor* tionaIibus,umul fumpti)fac/ant 1 3«. tunc quadratu aggrega* tionis eorum facit i fc. E t fic Aquabitur i7(ide?i,Quo* tienti prouenfenti ex diuifione 765- per 47. Ergo per reaudio* nem fiet ut 1 aequetur 630 — 17 2« .Facit 12«. 18. Et tantum faciunt duo numeri medij . Faciunt ergo duo numeri extremi 17. cum fumma omnium qua ruor faciat 45-. Vides iam ut exemplum illud prardidum .requirat exem- plum iecundarium,tanquam partem fui alteram. Et hocfic pronunciatur. Diuide 18. & 17. in quatuor partes continue proportionales.ita ut 1 8 . conftituat duas partes medias,& 27 coftituat duas partes extremas. Partes illae ficftant, 13^ IA, 18 — IA» 27—13«. Cum autem fuerint quatuor numeri continue proportiona fes,tunc fi ex aggregato duorum mediorum, feceris cubum, 6C cubus ille diuidaturptr aggregatum colledumex additione extremorum, et tripfb aggregati mediorum, tunc quoties pro ueniens aequatur produdo prouenienti ex multiplicatione, oel mediorum in fe.uel extremorum inter fe, Vt numeris fic flantibus. 8, 12. 18. 27, 1 1 8 18 »7 | 12 18 . 12 18 Addo iz-& 18. fiunt 30. cuius cubus facie 1 7000. Hunc cubuff diuiferisper aggregatum omnium numerorum figurat huius id eft.per 127. tunc producitur quantum faciunt duo extremi (ideft,8 & 27)inter (e multiplicati. Vel quantum faciunt duo medij (id eft, 1 2 & 1 8)/nter fe multiplicati. Sic etiam in exemplo noftro , duo medrj faciunt additione fla. iS.cuius cubus facit 7832. quidiuiiusper aggregatum ex Db Arithmetica Cardani, ;op f8 ter ,Si duobus extremis femel(id e ft, per 8 0 facit 7*.Ec tan tum facit etiam 1 a multiplicatu in 18 — 1 A.Itacp is a — ia% aequantur 7 *.fadc • a.6. Sic 175«. — 1 % aequantur 7 2.faciti2*. 3*. Sic igitur dant numeri quatuor continue proportionales exempli nodriprarfemis. 3. 6* 14» 24. Si aGt fle deterint quatuor numeri cotinue proportionales, iie. ia. if — 1 2«. 30 — ia. Tunc huiufmodi pronunciatione fubindicar. Diuidantur 1 y 8t 30 in quatuor partes continue propor- tionalcs.ita ut 1 j condituat primam Si tertiam , Et 30 con- ditua t fecundam 6i quartam» Quae autem ed proportioaggregari ex prima 8i tertia, ad aggregatu ex fecunda 8i quarta» ea ed proportio primae par- tis ad fecundam . Sic igitur proportio 1 ? ad 3 o fatis indicat partes fle reprarientari. 124, 224. 42«« 8 2^ Ita q* ij* 2«, aequan- tor 47(idefl,ij- i-30. )fadt 1 2^.3. Et (ic dant numeri, 3» <>. 14 24 Si autem fle decerint numeri quatuor continue propor- tionale*, 1.5«, 9 — 15«. IA. 3 6 — 1 A, Tunc talis fubintelligtur pronunciatio exempli» Diuidantur 9 Si \6 in quatuor partes continue propor* tionales,ita ut 9 condituat primam &fccundam.Si 36 confti* cuat tertiam Si quartam» Quae autem ed proportio primae Si iecundae fimiri fumpta rum,ad tertiam Si quartam fimuHumptas , ea proportio dimi diaca, dabit proportionem primae ad fecundam. Iterum igitur inueniUntur partes fle reprarfentar/. 1 2^.2 2^.42«. 82«.Et fic ice» rum ij-2«aequamur4j'(idcd,9-f-3^)faciti2«iterum 3» Sic fi prima fn tertiam multiplicata faciat 3 6. et fecunda io quarum multiplicata faciat 144. Cum proportio inter pro II durta 'Appendix Mich, Stifelii ' ducSa polita fit dupla .necefie eft uc proportio inter primam et fccunaam fit dupla. Sic fi prima in fecunda multiplicata faciat 18 . Et tertia ia quartam faciat 288. Cum fit proportio 288 ad 18 • fedecupla, equitur fecundam ad primam efle duplam, • Aliud exemplum Hiero . Cardani.quod iumptum cft ex Capi te y 1 Arithmeticae fuae.Sunt tamen ita numeri exempli mutati, ut pro irrationalibus habeamus rationales. Eluidarur numerus ille 468. in duae partes , ita ut quadra tgm partis minoris , multiplicaturo in partem maiorem, •mpirj’. Et quadratum partis maioris multiplicatam in partem minorem laciar. 14706 1 2 j-* i Hic obferuandum eil, quod radices cubicar,numerorum il* Iorum duorum qui in hac pronunciationeexprimuntur , me- diant proportionaliter inter partes diuifionis . Sic igitur fiant duae partes diuifionis cum fuit medijs proportionalibus in* terpofitis. ne. 175-. 245*. 468 — ne. Notum eft autem ut primus numerus multiplicatus in tertium, faciat quantum fc* eundus in fc.ltacp 245-24 aequatur 3o62j-.fjadt 12^. 1 zj-.Ergo 468— i^e.facir 3 4 j.ltac^iamfic fiant numeri. izj-. i7j. 24J-. 343. Et 1 rj-.cum )43. funt partes diuifionis praednfiae. Simile exemplum de Arithmetica progreflione quatuor terminorum fic pronunciarerur . Diuidatur numerus ifte 2 3 . in duas partes , ita ut duplum partis minoris , additum ad partem maiorem.faciat 3 0. Et duplum parris maioris , additu ad partem minorem faciat 39. Sicut autem circa exemplum fuperfas,di(fium fuit.quod ra dices cubicar,numerorum in pronunciatione politorum , me* dient proportionaliter,idefi,iuxta progreflionem Geometri* •* Ut Appendix Mich. Stipe u t Figura exempli huius fic ftat. * Ii 14-t-iA » ■ 4 > r*— *i \ * • Ut IA— IK ile Item hoc exemplum. Qu serantur duo numeri, quorum multiplicatio inter fc, cu additione eorundem numesonim ad produdfi illud,faciat >4. Quadra ta uero fufla.re motis ip fis radiet buscorS faciat 4» Sic ftat «xempU huius fle gura. 3+— 1 A ' SA * V f > 4 2,— J A IA— 11«. ©e Arith. Hier* Carda ni 01» Item hoc exempluma&c. Quaerantur duo numeri, quorum multiplicatio inter ie,re notis i produdo /pl?s numeris, faciat 14 . Et quadrata cotum addita ad ie,cum radicibus fu is iuperadditis faciant 61» Figura exempli huius fic ftit. »% 1 »4-1- U ia — tae < $ i tfz— i*—i . * > : ■ : -i • Exemplum aliud Hiero. Car. nifl quod numeri funt mutati. QVaerantur duo numeri,quorum differentia multiplicata in differentiam quadra totum fuouim,faciat 79Z. aggre ga tum'q$ numerorum illorum duorum , multiplicatum in ag« gregatum quadratorum eorum,faciat. s7i 0. Maior numerus. tA-f-Uc Minor numerus, ia — ia* Differentia eorum eft. 2 ic Aggregatum eorum eft. *a« * 7 . Quadratum maioris. 1 a * -f- 1 ^-f-z i* A. Quadratum minoris. 1 a fc -f- 1 z a^A* Differentia quadratorum. 4^a. Aggregatum quadratorum, x a i -f- a & - Itacg 1 %r f. Appendix Mich. Stifbui \ta<$ a ^multiplicatae in 4^ a firdunt 8 *a .quae aequantur Toi.fadt i iA.99* Item » a multiplicata in a* % -f- z%fecit4Ace-f-4%A.aeqwi tanWf _ r Superius autem uidimus i % A facere ?9.Ergo 4 % a faciunt ao6.Etfic4 At* aeqoanrur. r 3 x4.facit 1 Art.r331.6dt ia.ii Reiolutoiam 1 A.repete pronunciationerojScilicet Multi- plica differentiam numerorum in differentiam quadratorum id eft,a at 4* Capitis 66, aVaerantur duo numeri, quorum differentia in fcdutfa, faciat quantum multiplicatio unius in alserum • Et corQ ata faciant io. Haec eft figura Exempli* 1 Afc-f-l* XlZA ! 4% e >43* zo — 1 A\ — t fc-f—Zfc A Differentia maioris numeri iupra minorem facit z quae multiplicata in fe,fact'at 4% .Et huic aequatur produdu unius numeri in alterum.id eft, 1 a % — 1 facit 1 a fc. 5- %. Item radix quadrata totius figurae, facit z a ( & eff fumma amborum numerorum) Vnde4A%. eftarea totiusiuperfl- c iei , Item area eiufdem fuperficieifacit zo -f-8 fc.ut uides ex colle De Artthmettca Cardant ^14 collecffione particularum eius . Et (ic 1 A $ facit y-f- 2 Et quia fuperius uidifti etiam 1 a fc facere y %. ideo (equitor, 3*. aequari y. facit igitur 1*1 f.Et 1 2e facit y%iy. Refoluta f3£.Reiratut lArcfoIuatur. Vidimus autem iu< periusquod 1 A % faciat y fc.id eft,8 j. Ergo 1 AfaciWfc8£« Sunt ergo numeri inuenti« Primus.ideft.m/nor y%8 \ — j. Sccundus.ideft.maior Differentia eorum cft J%6\, Vide ut differentia inic faciat 6j. Et tantum facit numerus tauentus minor, in maiorem multiplicatus. Quadrarum maioris. 10-f— /fcyy£. Quadratum minoris, 10 — yy|. Exemplum Cardani 78 Capitis 66, D Iuidantur, «82, intres partes continue proportionales^ ita quod prima multiplicata per fecundam, et iecun« da per tertiam, & tertia per primam , faciant 7 644. Diuide 7644 per 1 8 2, tunc producitur media pars , quae fa* cit 41, Reftat igitur ut duae reliquae partes iimul faciant 140. Sic igitur ftant partes diuiffonis. 12«,. 42. 140 — nz. Itacp 1402« — ii- aequantur, 1 7^4. facirt2«..| 4, Vndeflc ftant partes inuentae. 14, 42. 12 6, Exemplum aliud, D Iuidantur 78 in tres partes continue proportionales, ita ut eodem numero(id eft, 78)diuiio per quamlibet partii! cius,exadditione Quotientum fiant isf. Sic ftant partes diuiffonis, »2«, ia 1 B. Sic ergo ftant Quotientes* 1 25l. 7S* «•34* »A, Regula * B* KK * Bigi*. Appendix Mich. Stifeli* Regula. Quantum flt ex multiplicatione medij In fe > tan« tum flt ex additione Quotientum ad fe. Fit autem ex multiplicatione in fc t>\4. Ht ex additione trium Quotientum politorum fiunt 1 8 s- V t patet ex pronun datione exempli.Ergo nr/^4. aquatur cu, 189. facit 1 A fc. 3 14« facit 1A.18.Vnde amodo lic dant partes diuifionis. t*i, 18. 60 — iic,. Etficdo?* — 1 fctequStur 314 .facit 1 o^.tf.EtOc partes diu| Conis praedictae funt. 6» tti si* Exemplum Hieronymi Cardani 1 10 Capitis66. QVarrantur tres numeri continue proportionales, quorO primus multiplicatus in fecundum , faciat 10 . &ag* gregatum quadratorum primi & fecundi, aequetur quadra# to terttj , Sic dant numeri tres. I IO. tOO-’ I. |5£. Irt» , * '' Sic dant quadrata. f IOO. lOOOO»' t. I I .LUioo Duo ergo quadrata priora aquatur tertio. Et lic ™ 73 equatur Reduc aequationem addenominatoresaequa- les,tunc'(remotisdenominatonbus)uidebisaequari 1 100%% cum roooo .facit r iqooo — 100%% ♦ Et 1 %% facit Jiizyoo — 5-0. Et 1 %,facit»/ fcVfci2j-op — yo, Et 11«, facit fcfc Vfc 1 z yo o — 5-0 . Et ed numerus primus qui quaerebatuj Secundus ergo numerus facit hanc minutiam. 10 — f Hoc ed ,J n s 0 0 -f- ♦ Et ter* Db Arithmetica Cardant^ Et tertius facit hanc minuriam. |00 J ii. J ij-ooooooooooooo — 2000000» Hoceft.y%%„/%j-oooo-f— xoo, Obferua Igitur,qudd diuidcre loperJ^J $125-00 ~y® (quod ad Algorithmum pertinet )eftdiuidere 10000. per/* nyoo — yo.Sicdiuidere loo.pery^.y^joooooooooooo* - 20000 oo.eftdiuidere.ioooooooo, peryjyoooooooocooo* ~ 2 0000 oo. Sic ergo ftant tres numeri exempli huius Iduent/. Primus. 2 joo — j-o. Secundus. «/iWif 25-00 -f- 5-0 Tertius. ij-oooo-f-xoo Proba Primo ufde an multiplicatio*/ $125-00 — j-o.In J ij^oooo -f- 2 00, faciat »/fcix 5-00 -f- j-o . Sic enim (cies radi- ces eorum zenfizenficas ( id eft , numeros ipfos exempli) eflc continue proportionales. Secundo ulde an multiplicatio J $ 1 25-00 — f o.In A ixj-oo -f j- o. faciat 10000 . Sic enim (cles.radlces eorum Zenfizenff cas,inter(e multiplicatas, facere*/ $$10000, Hoc eft 10 , ut ha betpronunc/atlo. Tertio uide.utru %/$.%/$ 1 x j-oo — j-o addita ad */ $,A 125-0® -f— j-o, faciat J $5-0000 -f— 200, Sic autem ftat exemplum ad regulam additionis, ^%.y%i2j-oo-t- ro.-f-./iVfiifeo — yo J $.*/$• *r00-f-J-0,-f-V J.%/^1 XJ-OO j-o Summa mulriplfcationis huius facit. A j-oooo-f-xoo. Ergo additio facit */$. J $j-oooo-f- 200* Sic*/$$ */$» 25-00 — j-o,ad J $$. A 1 25-00 -f- 5 0. facit / $$.*/ $5-0000-+- 200. KK , Exem- Appendi^ Mtch* Stifelii Exemplum Hiero.Car. u i. Capitis 66. Ouaerc numeros qua tuor continue proportionales , quortr multiplicatio inter fe faciat 8 1 .Produdum uero primi tofe, eundum faciat 6. Sic ftant numeri, ne« 6. 36 * • a>^- i# ri&« icx* ifi* Notum eft autem ut produdum duorum mediorum inter Ie, fit radix quadrata prodadi quod fit ex quatuor proportionali bus continue. inter fe . Itat* HS*qu«ur ?cEt fic !«P“' tureum ti^.fae/t i%J|.»4'Et 1 1 taar.V4.f-1 | -4 iaat V Vnde fic ftabunt numeri reioluti. Jffii 4» 4/%%J’4» a ir. Exemplum Hiero-Car. 8o.Capitis 66, Geometrice pronundatunv /^Onftituatur triangulus , habens latera continue propor* SitdUmeter circuli u partium fui , quae diuidatur fecun# dum proportionem habentem medium & duo extrema, & pci eundum diuifionis illius.trahatur chorda orthogonaliter , Junc dimidia pars chordae illius, erit latus medium trianguli conftiruendi.a: portio minor,diuifae diametri, erit latus minus & fic latus maius (eu hypotenufa trianguli ,er4 chorda arcus interceptiiduobuslateribuspracdidis. f d eft femidiameter circuli • Et B D eft portio maior diuifediametri.Et a b minor portio eft. Satis autem uides , geometrica ratione , b c cite medium proportionale inter a b & b dEft autem a c aequalis b d, Vnde cumadfaciat u. faciet a b. 18—^180. Facfcifcpbc * 03^80 — ' i8S*Ec a c faciet %/% 1 80 * Et fic linea: funt cotinue proportionales uidelicet a b,b c.et c a Et quadratum lineae a b,cum quadrato lineae b coaequantur quadrato line» a c fcu bd,Semidiameter eft f d* )D> Arithmetica Caudaxi* * iG Qjitdratum lineae a b facit 5-04— ,“^ a*-*** Demonftrationes, Quod Appendix MjCH* Stifelie Qu6d autem maximus eoram ualeat | unius redi ,dc der monftro . Angulus d facit unius redi , ut norum eft omnes angulos heptagoni cuiuslibet.ualere i o redis, 6ic . Et anguli illi duo uidelicet d a b.& d b a.fimul computat/.faciunt f unius redi.eo quod f?nt anguli trianguli, &c.Er cum fint aequales in* ter fe .facit quilibet eorum | untuius red/.Ergo neceflc eft an- gulum a b c ualeref unius redi, cum angulus b totalis ualeat '4 unius redi, Quop de Ari th. Hier* Cardani. ^17 Quod uero medius eortim , ideft , b c a,ualeat % unius redi Hc demonftro. Quadrangulis a d b c, habet angulos quatuor redis aquales,& duo maiores fimul fumpt/ualent V° unius re di. Ergo duo minores ualebunt(ii (imirl computentur)funius redi,& utercp eorum ualebit ieparatim f unius redi. Demum quod minimus eorum ,ideft, b a c oaleat f redis. Patet ex pradidis,Sci!icct a b c,eft triangulus, cuius angulus b ualet | unius redi, & angulus c ualet * unius redi, ut demon liratum eit. Ergo angulos eius a ualebit f unius redi. Quia necefle eit tres angulos cuiuslibet trianguli fimul fumptosTco cinere duos redos. Itaq,-^ fubtrada i 2, Relinquunt-i-. Item quia angulus d a c, facit | unius redi, ut paulo fupcrius • 'i aemonftratum, & d a b angulus, facit \ unius redi, necefle eit b a c fecere \ unius redice. Sequuntur nunc quaedam pulchrae redudiones aequa cionum Hiero. Card.ex Capite 2 2, & ex Capite S r.tranicriptar. S Int aquata. 2f-f- 4 x ce. cum KJae-f-yj-.Quaftioeft quantum faciat 1 xz. Sic operatio fit. Additur utriquepartium aquationis hoc connexum. 1 $ — f- 10 24— f— Et tunc x ce-f-6fc-j- 10 3 o], aquabantur cum lfc-f -16 xq,-\—6o» Diuide iam utruncp aquatorum , per x 2* 6 . tunc inue# nies 1 % -f- j-.aequari cum. 1 ic-f- 1 o.Et cum 1 aquetur, 1 24 -f-j. faciet i^V^yi-f-r. Sequituralia redudio aquationis & refolutio radicis, per Hieronymum Cardanum. Sintaquati j ce, huic connexo, 21 *>-f- 1 8 . Eft quaftio quantum faciat 1 a*. Operatio Cardani. Adde utricg partium aquationis 1 2 fc-f-9 a* , tunc inues nies aquari 3 ce-f-ixfc-f-^cum ufc-t-30 1* -f- is.DiuI LL de iam c Appendix. Mich. Stipeui de iam utruncp aequatorum per 3 2$ -f- 3 . Et fic i %-f- 3 ie.se- 2 nabuntur cum42* -f-6.facit i%.i Je-f-^.Etfic/nuenfturi 2« icere 3. Aliaeiufdem Car.redudlio. Sit 1 c*. aequatus 8 24^ 7. Quarflioefl quantum faciat. i?« Addeutricp partium aequationis unitatem, tunc ice-f- 1 ae- quantur 8 — 8.Diuide iam utranc$ partem aequationis per 1 2e -f- 1 .tunc inuenies 1 % — 1 ^-f- 1 . aequari cum 8 . Et fic 1 $ aequabitur 1 2e-f— 7.fi*cit 1 2«.Vfc 74 -j- r* Sic fl 1 c*. aequetur 8 1* — 7. Subtraho ab utracp parte aequa tionis 1 .Et fic 1 c* — 1 .aequatur. 8 — 8. Diuideotrancppar fem aequationis per 1 2«, — i.tuncjinuenfes. i%-f- i2c-f- f. aequari 8. Et (ic inaequabitur 7— 1 2e.fccit 1 2«. Ji7%. — j. Quando autem uis diuidere 1 re-|- 1 .per 1 2«, -f- 1 .tone op time (mea quidem fententia) facies fi fic opereris, at 1 re-f- 1 fic ponas ad ordinem. 1 re -f— o fc-f- o 2«, -f- 1 «Sic inquam figna coflica fe fequi debent.ut nullum intermediorum obmittatur . Et ut te iuuem ulterius(nam in Cardano modum hunc oon in ucnies)uolo exemplum praefens perficere diuidendo. — xi x^i .rrt-f— 0%-j— tf*e-f-*t' (1 x ^ -4- x* X^~j -X ’ y XlQ-f-X. Sic fi uelis diuidere 1 ce — 1 .per i2e — 1« flabit figura ope# rationis fic. si siz %-f- jcrae — «r. (1 %-f -m-f-i. xi t-~s xi*, — x xi*. — x Sic fi uelis diuidere 1 et 4- 1 per ne— 1 . fic flabit figura operationis. De Arithmetica Caadani *|ig — x% — r*z x^. — x xiz— x xv?.— x §ic fi uelis diuidere i rt -f-s per i a^-f- z.Gcftabft — 4 *e x | rt -f- & fr-f- x? ^e-f— % ( i %— - aaq-f-4, -nc-t-* Sic fi uelis diuiderc 8jrt -f- i x y ♦ per x a*— j, fic ftabit tv> emplum . — >01— foiz Ert 02c-f- (4$ — lofy—if, ?*l — i Sic fi odis diuiderc i6&— 8 i.per x i*— j, Sic fiat ffgu* ra exempli. ,*>e — j j Sicfiuelis diuidere jxfi-f- lox^perx^. — 4 .facit Quor tics diuifionis. 1 6 %%-f- 3 1 ct-t 64 % -f- iiS^-f-ixi^ElfiC de alijs infinitis* Exemplum pulchrum,unius ex alio; Tres uiatores dum fimul ambularent, peram inuenerunt,in qua erant 73 ft. LL a M c Appbndix Mich« Stifeiii Ad hanc fummam flore, cum primus & fecundus pecunil fuameontuhflent.inuentumeft, fummam illam efle duplam ad fummam primi di cercrj . computatam cum (limma fecundi & tertij. Collecta autem fumma primi di tcrtrj,ad illos 73 ftf. inuen- tum cft , fummam illam efle triplam , ad fummam iccuadi di terti) .computatam cum fumma primi di fecundi. Collcda uero fumma fecundi di tertij ,ad illos 73^. fnuen* tum cfl, fummam illam efle quadruplam .ad fummam primi ec fecundi,computatam cum fumma primi di terti). Quaeftio « Quantum pecunia; habuit quilibet uiatorum illorum , Pone quod primos di fecundus.habnerint 1 K florenorum Et quod fumma primi di tertij.cum fumma fecundi di tertij.fa- ciat ia florenorum. Tunc i^-f-73. aequatur ia Jacit igitur 1 a. • ,am fi huic fumma; addat 1 2«,. tunc prouenit fum- ma omnium uiatorum duplicata.uidelicetfumma primi difc eundi, primi di tertij. Secundi di tertij/aciutu 52e:r7,fi% . Secundo pone quod primus et tertius habeant 1 b floreno* rum ,tunc fumma fecundi di tertij , cum fumma primi di fecun di faciunt - iB.Etfic.i B-f-73. aequant Item, per redudionem ad intcgra,aequantur z b -f- 14 6. cum p^-f-zip — 6 b 1 Item 8 B , aequantur 9 14. -f- 7 3 facit 1 B* 9 7^-+ 7! $ * Tertio pone quod fecundus & tertius habeant i c florea norum,tunc fumma primi di fecundi,cum fumma primi di ter ti) faciunt lC# Etfic 1 c-f-7 3. aequantur cum 61*. -f- 1 4 6 — 4 C. E t per r edudion em. y c.aequantur 62^ -f- 7 3 . Et fic 1 C ( fi refoluatur) facit . Sicut autem cft fumma omnium trium duplica* (a(utfuperiusuidimus) ita B-f- 1 C.eft famma omnia duplicata.Nam 1 ^.eflfumma primi di fecundi.Et 1 B, facies Db Arithmetica Cardant. *;ip !****•«« fumma primi & terti) . Sic i c faciens ffae£\eft fumraa Affundi & terti]. Itaque fumma omnium duplica* ta facit 40 . Et illa igitur aequatur fumraaromniufupe* r|or/, idclr} 3 -r^Et per reductionem ad integra , aequatur raoie-f- a^zo.cum z66iz-f- »898. Facit n«. 7. 5""1 1 b. 9^-7\Hoceft 17. Et 1 C.Hoc' citzj. Sequitur iam alia pars exempli. Tres u/atores habent aliquot ff.Primus Si fecundus habent 7 flo.Primus Si tertius habent 1 7.Secundus Si tertius x) f(, Quaeftio.Qiiantum habet uftusquisc^. Pone qudd primus habeat iDft. Tunc fecundus habebit 7 — i D florenorfi.Si tertiushabebit 17 — 1 D flo. Item idem tertius habebit Z3 — 7 1 d. flor. Hoc eft i*-f-»D.sequ» ta»7 — iDft. Facit id. {ff. Itacp primus habuit Secundus habuit 6 yft. Tertiushabuit 16^. Habes iam, mi domine Adofphe congefta in hoc appendi te omnia illa, quae me maxime deledferunt, ex tota illa Hiero nymi Cardani Arithmetica.Optoautem.ut tu aliquando alia atqp meliora ex ea excerpas. Vale. Finis operis Arithmetice» Micbaclis Stifelij, LL $ Db Erratis* Dno & 'amico fuo Iohanni Petrcio MichacI Stifcl Gratiam St pacem in Chrifto. Oft/,uir optime.ut ifte liber nofter ultra quinque n/um, quafi captiuus fuerit detentus, antequam ad manus tuas deuenirer,& fatis conflat conda# tionem hanc moleftam fuifte,cum mih/.tum libe ralium artium ftudiofis multis. Poftea ufus con- filio amicorum,(imulaui me uelle librum locupletarent ea oc- cafione librum retraherem ad manus meas. SuccefTitbg confi» l(um,atcp ita coepi refcribere illu ab exordio, & inter fcriben# dum multa quae inddiilent addeba, multa c^C ut fit) mutabam. Cum aute me poftea meus promiftor irritaret iniuria,& fpem mercedis eriperer, dediti ab incepto, donec me compellarent uiri, quibus fi difficilis fuiflem,nephasefTeduxifTem. IUiteno minabant mihi,& honorificis uerbis ornabanr,a tcg ita reiedd opusdenuo inftaurare perrexi. Cuq? poftea ftud/oforu qui- dam referrent, te praeftituiiTe tempus nundinarum Francoror* dienfium jp xd/tione libri, modo ego morxcaufam non dare, atqj me pollicitationibus folicitarent ut opus maturare, adeo feftinare coepi, ut mctcpus relegendi quae didaffem deficeret* Et hinc nata funt errata quxdam,quorum me mea cofcientia reum agit, tecg abfoluit. Quanqua in tua quocp officina non* nulla ientiam efle nata, fortaflis roiniftrorum tuorum incuria* Optimiautem typographi officio uideris mihi fundus eftir, quod mihi librum remiferis corrigendum, i tam remoto loco* Sunt enim errata quxdam admifla talia, qualia forfitan nullus alius prxter me commode cmendaflcquticft primum inter ilia quae ponam* Vale* Regulam Errata. • Regulam de inuentionejlaterum numeroru polygonalfum politam folio. 24, facie i.tncipieteilinea ij. Sic lege Lecfitor. Numerum propolitum multiplica per differentiam progredi# onis tuae duplatam,6: a numero produdfo fubtrahe numerum qui fit minor una unitate quim differentia. Deinde dimidia- tam differentiam multiplicatam in fe adde priori producto ycx t radice quadrata aggregati illius fubtrahe dimidiatam dme* rentiam progreflionis tuae, tunc remanebit extremum maius progreffionis illius, atc$ ita continuabis progreffionem tuam abunitate ulqj ad extremum maius inuentum. Etquotproue ncrint termini,tot puneffa habebit latus unum numeri tui po# Iygonalis,dum in figuram talem polygonalem reioluitur. Regulam inueniendi extremum maius proportionalitatis Harmonicae , per minus extremum & medium, quae ponitur folio 9 8. facie 1 . ffc lege. Multiplica duos tuos numeros inter fe, & ,pdu<3um diuide per differentia, quae eft inter differentia amborum & terminu minorem. Item in fine exempli adducfU pro regula illa, dele has duasuoccs. Differentiam amborum. Folio 97. facie 1 . pro j I 7 | ia » 1 repone 3 1 6 I 9 Folio 1 x. facie x. linea pcnultima . Lege, incopofiti, pro cora Soliti. Itemfolioxo. facie 1. linea 14. Lege. 3.1 r. pro i.ifv tem folio X4. facie x. linea pcnultima, lege, 369. pro X69. Item folio 16. facie 1. linea X3.(?clege. Medius terminus mul- tiplicatus per numerum cellulani. Et facie x. in tertio ordine figurae quadrangulatae, transuerfaliter procedendo, lege, 189. pro 1 98. Item folio 5-4. facie x. linea x6. pro rt Et folio 99. facie x. linea 6. pro Harmonicam,lege, Contra# harmonicam- Et folio 64. facie 1 . linea 9. fic lege. Male enim Illa fe continent intra fines fuos. Et folio 66. facie 1. linea 16; LL iitj lege I Errata.' lege fic. 3. mi: in (e cubice multiplicata faciunt 3 z**. ja J'. Et ibidem linea x6.pro ij-.mir lege, 30.mirEtfoli09f.fo*- de r. Ii. za.Iege 1 1 7^ Cad : pro 1 1 £ Cad. Item folio 106. facie x. li.iy. fic lege. Vt a b,ad a b n. Etfolio 108. facie 1. linea x. $ b d. lege AB. Et facie z.li. 1 1, pro a b.lege,b c.. Folio 1 10. facie z. Ii. 3. lege.Radices numerorum* Et ibidem: linea y. lege,*/rt../rt 60 — «/$% zoo. Et folio ixi. facie i.Ifo 13. lege fic. Quado unus terminus .pportionis irrationalis fb- erit irrationalis etc. Et ibidem Ii. z8 . lege,rationaliu pro irra* tionalium. Folio 146, facie z. Ii. 1 s. lege. Si nunqua occurrar.. Et fequeti li. lege, quod tunc fande etc. Item fol. 1 5-4. facie 1. poft figura li. 6.,p,comenfurabiIem,lege incomenfurabilem. Folio zoo .facie 1 . Ii . i z .lege Vfc 1 7 -f- 3 . — — 3 , folio Z07. facie z. poft figuram li. 8 . lege fic. J%. -f- 3 6 z3 8. Et linea ultima eiufdem faciei Iege.y%„/%4 14 7z — 36x88. Item folio zc 8. facie z.li. z 3. lege fic. ^.9000 — 1 6Z00000, EtiequentiIi.lege>y%.7zeo — ^279x0000. Folio z 1 z. facie 1. linea 1 5*. pro quatuor,Iege,(ex. Et folio z ly. facie 1 . li. 1 . lege, Cuius fcmidiameter fit a c. Et linea 6. pro c b.lege.c f. Item folio Z3 i.focie 1. Ii. 4. lege izze — 3 6. Item folio Z3j-. facie 1. linea iz. lege, non comprarhendat. Item folio Z43 . facie z.linca 1 8 Jege,plures radices quim una. Item folio Z4 1. facie 1 li. 14. fic lege. 1 88. qui numerus eft iz* de hoc numero coftico dic. Item folio z y 6. fode z. in fine pri- miexempli, pro iz lege, 2°. Etfolio Z70. facie i.li. iz.lege fic C id eft 60 — 10 — y.). Et folio Z84. focie 1 . linea z. lege, '/%4oyooo.diuiditurin./% 1 0 1 zyo.& %/$ 1 01 zyo, Etfolio z86. fode 1 ,li. 7*Sicut(pofito hoc exempb Z700 — lyo^ut dixii multiplicares dimidio numeri radicum in fe* Item folio 293» focie 1 .li. 6. pro iuuellum. lege.interuallum. Et linea z 6, pro^. ■ominatores. lege, numeratores. • Folio Z44, fode z, ctfock 1* (equentis folij, ubicuntp inu* «. n ai* Em. AT A, netis 1 1 *£.lege, pro eis, 9 1«. Item ibidem pro 71 — i*z, lege 54 — 3^* Etibidem.pro.63e-t-36.aut ifracquarf3^-f-7*« lege tu fic. 62*,-f-z7,aut »fc, aequari 3 3«,-j- 3-4. Quod folio 7 9. $ portiones irrationales minoris inaequali* tatis, pro ^portionibus irrationalibus maioris inaequalitatis» error cft parui momentf.poter/t enim ledor relationem mu# rare ad libitum, utcuncg termini relationis ponantur. Et q» folio z6 1 . facie z. ubi exemplum quintumdecimu ponitur ad regulam De tri iub hoc Diuiiore z j- z. nihil quidem erratG eft, mallem tame hunediuiiorem eflc pofitu. i8o-f-3ie. Sic enim regulariter colliguntur Diuifores ex fecundis terminis huiuf# modi exemplorum, Diuilbrautcrp ifte zj-z.formatuseftex hac diipofftione terminorum regulae De tri* ne. 80, 3Z7, 1040. Inueniet etiam Ledor nonnunqua poni, fiue, pro fine.Item nrm pro numeru. Item Sed pro icilicet» Si eiuimodi alia quae ledorem non remorantur* Inueniet etia aliquado peccata qualia ^phibet puerorure# gulae,ucl maxime nobis ienibus. Vt folio 3<>4.facie z.ubi dum de diuiOone partiu numeri cuiusda fcribere,mox excidit mihi partiu memoria (neicioqua mentis diftradione)ira ut referre mafculino genere,non partes numeri.ied numeros partium* Item folio z 1 1. facie 1 . Cum ledorem infpedurum fuper- fleies corporu regularium, remififlem ad Geometria Alberti Dureri.poftea poiui uocabula demonftra tiua .quibus ledor re uocatur tanquam ad prsrfentes figuras. Cum uero oculos cir# cufer r, nihil eoru inuenit,quae uocabula uidebantur ,pmittere. Male me habet error ifte prae exteris. Sed cum nimium feftina rem quatenus ad praeftitutum tempus abfoluerem librum, 8C metuere fore ut deliniationes illae figurarum mihi multu tem- poris fuflrurarentur,uidus hoc tedio, remifi ledorem ad Geo* metriam praedidam* Poftera aero die, cum me foliciraret Lcdoris c Errata. Lf floris inopia, cui uidelicet deeiTer copia uidedi GeomctriS Dureri,tediO q> me prius uicerat difcufli, illudq* ego uici rur* fum.dcliniado figuras illas fic intermiflas.atc# ita fecunda harc emedare coepi quae prius fcripfera. Si aute paulo altius emeda tione illa incepifle.fublata quide fuiflet foeda harc diferepatia, at pditis(ut uideo)chartulis figuratu illaru.quas libro impofii era.Ieflori nihilo meli? fuiflet cSfultu. Oportet igit ut uel bic falte figuraro huiufmodi delrniatioes intueri atej intelligerc poflitLeflor. * Superficies corporisquattuorbafiS Talis figura excifa,& coplicata dabit figuram corporis regularis quat tuor bafium. Figura . faper ffeiei de corpore regulari iex ba* fiumut in plano explica cur. Talis figura excifa,& complicata Cubi folidi* tatem refert, feucorpo* ris regularis fex fuperflei erum. Supficies corporis regularis oflo bafii in plano exprefla. Talis figura excifa & coplicata fpeciem corporum regularia oflo bafium refi?rf. TaHs figu- ra' excifa 8C complicata cftendct tibi quid fit Cor» pus regulare duodecim ba fium. r Item dum inciperem fcribere tertium librum, iubrjt ani tnum meum recordatio de quodam iniquotBonacbo,quinoc impiam luam uitam agit in Auftria. Harc ideo dico, q> ledor in praefata parte libri me comotum fuifie intelliget fuper qua- dam difeeptatione habita cum monacho illo. Reputet igitur ledor me illic uoluifle fabula texere aut hiftoriaro,exeplo O» uidij in faftis fuis, modo hiftorias intermifeeris rebus fuis Ceti is, modo fabulas,mecg ( fic inqua animo reputet ledor)ob in* genrj inopia defecide, atep conceptum argumentum ita inter* mififlc» Figura iug fidei corpo* ris regularis uiglti bafiu. Talis figura, cxcifa de pyro,& com plicata, prae- bet figurae fo fidae regula* ris uigiti b& umuifionc. I. mffffle. Vale led or. Erraeatg mea lute boni confule,& ifa jatisfacfifone mea benigne accepta excufa, Breu/ autem (deo dante) habebis per me noua rationem calculandi operationes plgcbricas lingua tamen Germanica. Iterum bene ualc mi lector. Ptfn JToto» di qJTT. (S.diiu Gollaa-(£^. ^lao*)